Cinemática do ponto material Definições Trajectória

Cinemática do ponto material
Definições
Trajectória – conjunto de pontos do espaço definido pelas posições ocupadas pela ponto
material durante o seu movimento.
O estudo do movimento de uma ponto material pode ser escalar e/ou vectorial.
Condições Necessárias
Estudo Escalar
Estudo Vectorial
- Trajectória conhecida
- Posição do ponto material
- Posição do ponto material sobre a - Origem do sistema de eixos
trajectória
- Origem arbitrária sobre a trajectória
Nota: Não é necessário o conhecimento prévio
- Sentido positivo arbitrário para o da trajectória
movimento
Grandezas que precisam de ser definidas
Y
P'
r
+
O
O
P0
d=∆r
P
r
Abcissa do ponto material – medida
r
algébrica feita sobre a trajectória do arco
r
compreendido entre:
O
X
- A origem das abcissas, O e
Vector posicional ou vector posição: Vector
- O ponto considerado.
com origem na origem dos eixos (ponto O) e
Ex.:
extremidade no ponto considerado.
s 0 = OP 0 = +20m
r
Ex.: rO = OP0 = Vector posicional do ponto O.
s = OP = +40m
r
r = OP = Vector posicional do ponto P.
s ' = OP' = −20m
O
Variação de abcissas do ponto material ou
medida algébrica, feita sobre a trajectória
do arco compreendido entre pontos
considerados.
Ex.: s - sO = ∆s = POP = +20m
s’- sO = ∆s’ = POP’= -40m
Vector deslocamento – É o vector que indica
a variação de posição do ponto material.
Ex.: ∆r = P0 P - Indica a variação de posição
de PO para P.
O vector deslocamento é independente da
trajectória entre os pontos considerados.
Distinção entre espaço, variação de abcissa e vector deslocamento
Um ponto material demora 20 minutos para percorrer os
caminhos indicados na figura com o seguinte trajecto:
O→A→O→A→B→C→D.
OA=360m; BC=200m; AB=340m; CD=300m
D
B
C
A
O
Espaço Andado
Percurso efectuado sobre a
trajectória
e = OA + AO + OA + AB +
BC + CD = 360 + 360 + 360
+ 340 + 200 + 300
Variação de abcissa
É a medida algébrica do arco
compreendido entre a posição
inicial e a posição final. É uma
medida feita sobre a trajectória
s = OA + AB + BC + CD
e = 1920m
s = 1200 m
Rapidez média
Velocidade linear escalar
média
É
o
percurso
médio É o deslocamento escalar
efectuado em cada segundo
médio por cada segundo
Variação da abcissa ∆s
Espaço e
vm =
=
vm =
=
∆t
Tempo
Tempo t
1200
1920
vm =
vm =
20 × 60
20 × 60
−1
v m = 1,0 ms −1
v m = 1,6 ms
Estudo Escalar
Velocidade escalar instantânea
v=
d = OD
direcção: recta OD
Sentido: de O para D
Módulo: 840m
Vector velocidade média
É a variação de posição em
cada segundo
d ∆r
=
∆t ∆t
direcção: recta OD
Sentido: de O para D
Módulo: 840/1200 = 0,7ms-1
vm =
Estudo Vectorial
Velocidade instantânea
∆s
∆t →0 ∆t
v = lim
ds
dt
v=
v = lim
Vector deslocamento
É o vector que indica a
variação de posição
∆r
∆t →0 ∆t
dr
dt
O valor algébrico da velocidade escalar
instantânea pode ser dado pelo valor da É um vector tangente à trajectória no ponto
tangente do ângulo formado pela tangente à considerado.
curva s(t) no ponto considerado e pelo eixo
Ponto móvel de coordenadas (x,y,z)
do tempo.
Vector posicional
r = xu x + y u y + z u z
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Vector velocidade instantânea
Lei do movimento
v = vx ux + v y u y + vz uz
a abcissa sobre a trajectória em função do
tempo
dr
s=s(t)
Como v =
1 – s = s0
dt
dr d
= ( xu x + y u y + z u z )
dt dt
d r dx
dy
dy
= ux + uy + uz
dt dt
dt
dt
dx
⎧
⎪v x = dt
⎪⎪
dy
⎨v y =
dt
⎪
dz
⎪v =
⎪⎩ z dt
O módulo do vector velocidade instantânea é
dado por
2
v = v x2 + v y2 + v z2
Vindo
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
v =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2
2
Atendendo que quando ∆t tende para zero, ∆r tende para ⏐∆s⏐
ds
∆r
∆s
= lim
⇒v =
ou v = v
∆t →0 ∆t
∆t → 0 ∆t
dt
lim
Estudo Escalar
Como
Estudo Vectorial
Considerando u t o vector unitário da
tangente à trajectória orientado no sentido
positivo desta, pode-se escrever que
ds
v = ut
2
2
2
dt
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
v2 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
Como a velocidade escalar instantânea é
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
dada por
podendo determinar-se a lei do movimento
ds
v=
⇒ v = vu t
s(t) conhecidas as funções x(t), y(t) e z(t).
dt
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
v =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
logo
2
2
Aceleração
Estudo Escalar
Estudo Vectorial
Aceleração média no intervalo de tempo
∆t
v(t + ∆t ) − v(t ) ∆v
am =
=
v(t + ∆t ) − v(t ) ∆v
∆t
∆t
am =
=
∆t
∆t
é um vector dirigido para a concavidade da
curva
Aceleração instantânea
∆v
a = lim
= lim a m
∆t →0 ∆t
∆t →0
a = lim
∆t →0
∆v
= lim a m
∆t ∆t →0