Fund Algebra – Números Primos

Fundamentos da álgebra
Profª. Ms Renata Siano Gonçalves
1ºsemestre - Noturno – Campus:Osasco
1ºano de Matemática
Números Primos
Alguns números são de importância fundamental na teoria elementar dos números
inteiros: os primos
1.Exiba todos os divisores de 24 e de 23.
2.No exemplo acima, vemos que alguns divisores dos números considerados são
óbvios;por exemplo, obviamente 1 e 24 são divisores de 24. Quando, como ocorre com
23, um número tiver exatamente dois divisores, esse número diz-se primo.
Repetindo:
Definição: Um número natural p diz-se primo se ele tem exatamente dois divisores.
3.Volte ao exercício que resolveu (ex. divisores dos números de 1 a 30) .Lá você pode
encontrar os naturais menores que 30 com exatamente dois divisores, em ordem
crescente.Proceda com a seqüência, escrevendo todos os primos menores que 50.
2,3.........................................................................................................................,47.
4.Observe que 1 não está na relação dos primos. “O fato de 1 não ser primo é uma
convenção matemática ou, em outras palavras, é uma questão de definição.Os
matemáticos convencionaram não chamar 1 de primo.A decisão poderia ter sido a
contrária , isto é, incluir 1 entre os primos. Mas com a exclusão do 1 , torna-se possível
enunciar proposições a respeito dos primos, sem fazer exceções ou dar qualificações.
”(Niven, I.,Números: racionais e irracionais, Tradução de Renate Watanabe, SBM, Rio
de Janeiro, 1984(p.13).).
5.Um número diferente de 0 e 1 que não é primo diz-se composto.Note que, da
definição vem imediatamente que, se um natural a é composto, ele admite um divisor b
diferente de ....... e ........ , isto é, um divisor b tal que 1< b < a .Um divisor nessas
condições diz se um divisor próprio de a.
Critério para decidir se um número é primo
II. Vamos agora examinar a seguinte questão:
Dado um natural em particular, como decidir se ele é um número primo? Utilizando
ingenuamente a definição, um método possível seria testar se ele é, ou não, divisível por
alguns naturais menores que ele próprio (excetuando-se, é claro, o 1).Mas existe um
processo mais simples.
6.Proposição:Seja a um natural composto, e seja f o menor divisor próprio de a .Então(i)
f é primo.
(ii) f ≤√a
Critério para decidir se um natural é primo:Para verificar se um natural a é primo, basta
testar se ele é divisível pelos naturais primos f ≤√a.Se ele não for divisível por nenhum
desses naturais, podemos afirmar que ele é ..................Complete com: primo ou
composto.
Usando o método acima, verifique se 223 e 1009 são primos
III. O crivo de Eratóstenes
Eratóstenes(276-194 a. C) que foi diretor da famosa biblioteca de Alexandria, elaborou
um método para determinar todos os primos menores que um certo número natural n> 0.
este método é conhecido como Crivo de Eratóstenes.
Primeiro, se escreverem todos os naturais menores ou iguais a N. Depois suprimimos
todos os múltiplos de 2, diferente do próprio 2; depois, os múltiplos de 3 e assim
sucessivamente.
Construa o crivo de Eratóstenes para o número N = 100, usando o método de
Eratóstenes
Os primos são:...........................................................................
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Todo número natural, maior que 1 , ou é primo ou pode ser decomposto em fatores
primos. Por exemplo: 210 = ..............................(escreva a decomposição em primos)
Entendemos a representação de um número (como 210) como produto de vários
primos.Entretanto, podemos ampliar o significado da expressão “decomposição em
fatores primos”de modo a incluir o caso de um único primo.Assim, a decomposição em
primos do número 13 teria um único fator, o próprio 13.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA(TFA):
Todo número natural, maior que 1 pode ser decomposto de maneira única, em
produto de primos.
Propriedade Fundamental dos Primos: Teorema de Euclides
Comecemos examinando algumas afirmações.
1)Sejam a, b naturais.Verdadeiro ou falso? Se falso, dê um contra-exemplo:
(i)Se 7 divide ab então 7 divide a ou 7 divide b.
(ii) Se 6 divide ab então 6 divide a ou 6 divide b.
(iii) Se 19 divide ab então 19 divide a ou 19 divide b.
(iv) Se 10 divide ab então 10 divide a ou 10 divide b.
Considere as afirmações (i) a (iv) acima e examine-as criticamente. Procure descobrir o
que existe de comum entre as verdadeiras. Para isso, compare as hipóteses das
verdadeiras com as hipóteses das falsas. O que é comum entre as hipóteses das
verdadeiras, que não acontece nas hipóteses das falsas?
O resultado que você acabou de enunciar é conhecido como Propriedade Fundamental
dos Números Primos.. Enuncie-o novamente, para registro:
Propriedade Fundamental dos Primos:.........................................................................
2).Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se falsas, justifique.
11 divide 4488.
168 divide 4488.
245 divide 2695.
343 divide 441.
3).Escreva cada um dos naturais acima como produto de primos positivos:
11=……………………………….., 4488=…………………………….
168=……………………………… , 4488=…………………………….
245=……………………………… , 2695=…………………………….
343=……………………………… , 441=………………………………