Capacitores e Dielétricos

IBM1018 – Física Básica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 9
Capacitores e Dielétricos (continuação)
Energia armazenada num capacitor
Um capacitor não armazena apenas carga, mas também energia.
A energia armazenada num capacitor é igual ao trabalho necessário
para carregá-lo com carga Q, estabelecendo uma diferença de
potencial V entre as placas (dada por Q/C). Ou seja, a energia
armazenada num capacitor é a energia potencial elétrica associada
ao trabalho para carregá-lo.
Para calcular a energia potencial elétrica U de um capacitor
carregado precisamos calcular o trabalho W necessário para carregálo. Para calcular W, imaginemos um instante qualquer durante o
processo de carregamento. Nesse instante intermediário, a carga no
capacitor será q (0 < q < Q) e o potencial correspondente será v (0 <
v < V). Como a capacitância do capacitor é constante, q e v estarão
relacionados por
‫ݍ‬
‫ݍ‬
=‫ =ݒ⟹ܥ‬.
‫ܥ‬
‫ݒ‬
Para adicionar uma quantidade infinitesimal de carga dq nesse
instante, o trabalho necessário será igual à variação na energia
potencial elétrica
1
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ܹ݀ = ܷ݀ = ݀‫ܸݍ‬.
Temos, portanto,
‫ݍ‬
‫ݍ‬
ou ܹ݀ = ݀‫ݍ‬.
‫ܥ‬
‫ܥ‬
O trabalho total para carregar o capacitor com carga Q será então
ܹ݀ = ݀‫ݍ‬
ௐ
1 ொ
ܳଶ
.
ܹ = න ܹ݀ = න ‫= ݍ݀ݍ‬
‫ܥ‬
2‫ܥ‬
଴
଴
(1)
Este é o mesmo trabalho realizado pelo campo elétrico quando o
capacitor é descarregado (q vai de Q a zero).
Definindo a energia potencial de um capacitor como zero quando ele
está descarregado, podemos escrever a energia potencial de um
capacitor carregado com carga Q como
Δܷ = ܷ(‫ )ܳ = ݍ‬− ܷ(‫ = ݍ‬0) = ܷ(‫ܹ = )ܳ = ݍ‬,
o que implica que, de (1):
ܳଶ
ܷ=
.
2‫ܥ‬
(2)
Esta é a expressão para a energia armazenada em um capacitor
carregado com carga Q.
Note que, usando a relação Q = CV, a expressão acima pode ser
reescrita de duas outras formas:
1 ‫ ܥ‬ଶ ܸ ଶ ‫ ܸܥ‬ଶ
ܷ=
=
2 ‫ܥ‬
2
(3)
2
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e
ܸܳ
1
‫= ܸܸܥ‬
.
(4)
2
2
As expressões (2), (3) e (4) são equivalentes e o uso de uma ou outra
ܷ=
depende da escolha de qual par das três variáveis (Q, V e C) usar em
função da conveniência.
Note que a equação
ܳଶ
ܷ=
2‫ܥ‬
é formalmente similar à expressão para a energia potencial elástica
de uma mola deformada por ∆x (= x − x0 = x se x0 = 0):
݇‫ ݔ‬ଶ
ܷ=
,
2
onde k é a constante da mola (lembre-se de Física I).
Podemos dizer que o capacitor carregado é o análogo elétrico de
uma mola deformada (comprimida ou esticada). A carga Q é
análoga à deformação da mola x e o inverso de C (1/C) é análogo à
constante da mola k.
A energia potencial elétrica fornecida a um capacitor quando ele é
carregado é análoga à energia potencial elástica fornecida a uma
mola quando ela é deformada.
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Energia por unidade de volume
Se um capacitor armazena energia, onde está essa energia?
Como o trabalho feito para colocar uma carga positiva a mais na
placa carregada positivamente vai contra o campo elétrico entre as
placas, podemos dizer que a energia fica armazenada no campo
elétrico entre as placas.
Como esse campo elétrico ocupa certo volume no espaço
(dependendo da geometria do capacitor), podemos concluir que deve
haver uma densidade de energia por unidade de volume no espaço
entre as placas do capacitor.
Para tornar isso mais concreto, consideremos um capacitor de placas
planas e paralelas. As áreas das placas são iguais a A e a separação
entre elas é d. Portanto, o volume entre as placas é A×d.
Como a energia armazenada no capacitor é (equação 3)
ܷ=
1 ଶ
‫ ܸܥ‬,
2
a densidade de energia é
1 ଶ
‫ܸܥ‬
ܷ
2
‫=ݑ‬
=
.
Volume
‫݀ܣ‬
(5)
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Vimos, na aula passada, que a capacitância de um capacitor de
placas planas paralelas vale
‫ܣ‬
‫ߝ = ܥ‬଴ .
݀
Substituindo em (5),
1 ‫ܸ ܣ‬ଶ 1 ܸଶ
‫ߝ = ݑ‬଴
= ߝ
.
(6)
2 ݀ ‫ ݀ܣ‬2 ଴ ݀ ଶ
Se a diferença de potencial entre as placas for Vab = V, a relação
entre V e o campo elétrico E entre as placas é
V = Ed.
Substituindo em (6),
1 ‫ܧ‬ଶ݀ଶ
‫ߝ = ݑ‬଴ ଶ ⟹
݀
2
1
(7)
⟹ ‫ߝ = ݑ‬଴ ‫ ܧ‬ଶ .
2
A densidade de energia armazenada no campo elétrico existente no
vácuo entre as placas do capacitor é proporcional ao quadrado do
módulo do campo elétrico.
A relação de proporcionalidade entre a densidade de energia u e o
quadrado do campo elétrico E2 é válida para qualquer capacitor no
vácuo. Na realidade, ela vale para qualquer configuração do campo
elétrico no vácuo.
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Portanto, mesmo que não haja matéria numa região do espaço
(definição de vácuo), se houver campo elétrico nele haverá energia.
Estude agora os exemplos 24.7, 24.8 e 24.9 do livro-texto (pgs. 114115).
Dielétricos
Quando se coloca entre as placas de um capacitor um material
isolante, ou dielétrico, a diferença de potencial entre as placas
diminui (veja abaixo; note que o índice 0 é usado para indicar os
valores no vácuo).
Como as cargas armazenadas no capacitor são iguais nos dois casos,
‫ܥ‬଴ ܸ଴ = ‫⟹ ܸܥ‬
‫ܥ‬
ܸ଴
=
> 1.
‫ܥ‬଴ ܸ
A capacitância do capacitor com o dielétrico entre as placas é maior
do que com o vácuo entre as placas:
C > C0.
(8)
Define-se a constante dielétrica K do material dielétrico como
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‫=ܭ‬
‫ܥ‬
.
‫ܥ‬଴
(9)
Note que K é um número puro (adimensional) maior que 1.
O livro-texto (pg. 117, capítulo 24) dá uma tabela com valores de K
a temperatura ambiente (20oC) para alguns materiais. Note que
Kvácuo = 1 e que Kar = 1,00059, ou seja, a temperatura ambiente, do
ponto de vista de aplicações práticas, um capacitor com ar entre as
placas pode ser tratado como se houvesse vácuo entre elas.
Quando a carga é constante, como no caso acima, podemos
combinar a expressão C0V0 = CV com a definição de K para escrever
ܸ=
ܸ଴ ‫ܥ‬଴ ܸ଴
= .
‫ܥ‬
‫ܭ‬
(10)
Quando o dielétrico é introduzido entre as placas do capacitor, a
diferença de potencial entre as placas é reduzida por um fator K.
Se o potencial é reduzido por um fator K, o campo elétrico entre as
placas também é reduzido pelo mesmo fator:
‫ܧ‬଴
.
(11)
‫ܭ‬
Essa redução é devida às cargas induzidas pelo campo elétrico no
‫=ܧ‬
interior do dielétrico (veja a figura abaixo).
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A densidade de cargas sobre as placas do capacitor é σ (+σ sobre a
placa carregada positivamente e −σ sobre a placa carregada
negativamente). O campo elétrico induz densidades de carga nas
superfícies do dielétrico: −σi na superfície próxima à placa positiva e
+σi na superfície próxima à placa negativa.
As densidades de carga induzidas no interior do dielétrico reduzem o
campo elétrico entre as placas do capacitor.
Note que o dielétrico estava neutro antes de ser inserido entre as
placas e ele continua neutro depois de ser inserido. Houve apenas
uma redistribuição das cargas no interior do dielétrico. Essa
redistribuição é denominada de polarização.
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Como visto nas aulas passadas, o campo elétrico entre as placas de
um capacitor de placas planas e paralelas está relacionado à
densidade superficial de cargas líquidas nos seus extremos por
ߪ୲୭୲
.
‫=ܧ‬
ߝ଴
Quando existe vácuo entre as placas do capacitor, a densidade
superficial de cargas líquida vale σ, de maneira que
ߪ
‫ܧ‬଴ = .
ߝ଴
(12)
Já quando existe um dielétrico entre as placas, a densidade líquida é
reduzida para σtot = σ − σi. Logo,
‫=ܧ‬
ߪ − ߪ୧
.
ߝ଴
(13)
Substituindo (12) e (13) em (11) temos:
‫ܧ‬଴
ߪ − ߪ୧
ߪ
⟹
=
⟹
‫ܭ‬
ߝ଴
ߝ଴ ‫ܭ‬
ߪ
⟹ ߪ − ߪ୧ = .
(14)
‫ܭ‬
Podemos manipular esta expressão para obter uma equação para a
‫=ܧ‬
densidade superficial de carga induzida no dielétrico:
1
ߪ୧ = ߪ ൬1 − ൰.
‫ܭ‬
(15)
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Note que se K for muito grande, σi ≅ σ. Neste caso, σi praticamente
cancela σ e o campo elétrico E e o potencial elétrico V ficam muito
menores do que quando há vácuo entre as placas.
Define-se a permissividade ε do dielétrico como
ߝ = ‫ߝܭ‬଴ .
(16)
Em termos de ε, pode-se escrever o campo elétrico no interior do
dielétrico como
‫=ܧ‬
ߪ
ߪ
‫ܧ‬଴
=
= .
‫ߝܭ ܭ‬଴ ߝ
(17)
Pode-se também reescrever a capacitância do capacitor de placas
paralelas quando há um dielétrico entre as placas como
‫ܣ‬
‫ܣ‬
=ߝ ,
(18)
݀
݀
e a densidade de energia armazenada no capacitor quando existe um
‫ܥܭ = ܥ‬଴ = ‫ߝܭ‬଴
dielétrico entre as placas como
1
1
‫ߝܭ = ݑ‬଴ ‫ ܧ‬ଶ = ߝ‫ ܧ‬ଶ .
2
2
(19)
Estude agora os exemplos 24.10 e 24.11 do livro-texto (pgs. 118 e
119).
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