teoria do consumidor

Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
TEORIA DO CONSUMIDOR
EXERCÍCIOS
Exercício 2.1 Restrição orçamental e efeitos da variação dos preços e do
rendimento
Suponha que um consumidor gasta a totalidade do seu rendimento mensal, no
montante de 160 unidades monetárias (u.m.), na aquisição de 2 bens (X e Y) e que o
preço do bem X é de 20 u. m. e o do bem Y é de 10 u.m.. O rendimento disponível
deste consumidor é fixo, assim como os preços de mercado destes dois bens, no
período em análise.
a) Deduza a expressão analítica da restrição orçamental para este consumidor,
represente-a graficamente e explique o seu significado económico.
b) Suponha que o preço de X diminui em 20%, tudo o mais se mantendo constante.
Qual é a expressão analítica da nova restrição orçamental? Como se posiciona esta
restrição orçamental relativamente à inicial?
c) Considere que os preços dos bens são os iniciais e que o rendimento do consumidor
aumenta em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e
represente-a graficamente.
d) Suponha que, em relação à situação inicial, o rendimento e os preços de cada bem
aumentam em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e
compare-a com a inicial.
Resolução
a) Sendo R = 160 u.m., px = 20 u.m. e py = 10 u.m. e dado que o rendimento é totalmente gasto na
aquisição do bem X e/ou do bem Y, a expressão analítica da restrição orçamental é: 160 = 20 X + 10 Y,
onde X e Y designam, respectivamente, a quantidade adquirida de cada um dos bens, expressa em
unidades; 20 X representa a despesa no bem X e 10 Y a despesa no bem Y.
Resolvendo em ordem a Y:
10Y = 160 − 20 X
⇔
Y=
160 20
−
X
10 10
⇔
(1) Y = 16 − 2 X
A expressão (1) é a equação duma recta que tem:
- 16, por ordenada na origem. Exprime o número de unidades do bem Y que o consumidor pode
adquirir se gastar a totalidade do seu rendimento neste bem ou seja, é o rendimento real expresso
em termos do bem Y;
- (-2), por declive (px /py = -20/10). É igual, em valor absoluto, à razão entre os preços dos dois bens
e significa que, no mercado, 1 unidade do bem X vale 2 unidades do bem Y, dado que o preço do
bem X é duplo do do bem Y. Assim, por cada unidade adicional de X que pretenda adquirir, o
consumidor terá que desistir de 2 unidades de Y, mantendo constante a despesa total. Em termos
económicos, o declive mede o custo de oportunidade1 do bem X em termos do bem Y.
Para representar graficamente a restrição orçamental (R0 no Figura 2.1-a), basta considerar dois pontos:
se o consumidor gastar a totalidade do seu rendimento no bem Y, o cabaz de consumo é (X = 0; Y=16),
coordenadas da ordenada na origem; se gastar a totalidade do seu rendimento no bem X, o cabaz de
consumo é (X=8; Y = 0), coordenadas da abcissa na origem.
1
Trata-se de um custo de oportunidade objectivo, no sentido em que é determinado pelo mercado.
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1
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Figura 2.1-a) A restrição orçamental
Significado económico: a restrição orçamental indica todas as combinações de X e Y que o consumidor
pode adquirir, sendo dado o seu rendimento e os preços de ambos os bens. Representa as combinações
alternativas de ambos os bens que implicam o mesmo nível de despesa total, sendo esta igual ao
rendimento disponível do consumidor. Delimita as possibilidades de consumo que estão ao alcance do
poder de compra do consumidor.
Nota:
Em termos genéricos, a expressão analítica da restrição orçamental é: R = px X + py Y
onde R designa o rendimento, X e Y as quantidades adquiridas de cada um dos bens e px e py os
preços dos bens X e Y, respectivamente.
Resolvendo em ordem a Y, obtém-se:
Y=
p
p
R
R
− x X , sendo
a ordenada na origem e (- x ) o declive.
py py
px
py
b) Se o preço do bem X diminuiu em 20%, então o seu preço (px1 ) passa a ser de 16 u.m.:
Px1 = Px (1 − 0,2)
⇔
Px1 = 20 x 0,8
⇔
Px1 = 16 u.m.
A expressão analítica da restrição orçamental é:
160 = 16 X + 10 Y, ou seja, Y = 16 -1,6 X
A nova restrição orçamental (R1, na Figura 2.1-b) tem por ordenada na origem 16 e, por abcissa na
origem2, 10, sendo o seu declive de (-1,6). Verifica-se uma rotação da recta orçamental para a direita
em torno da ordenada na origem, uma vez que se mantém o montante máximo que o consumidor pode
adquirir do bem Y, se afectasse a totalidade do seu rendimento a esse bem. No entanto, o montante
máximo de X que pode adquirir, se nada gastar em Y, será agora de 10 unidades. O declive de R1 é, em
2
Este valor foi obtido dividindo R por Px.
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valor absoluto, inferior ao de R0, em resultado de o bem X se ter tornado relativamente mais barato do
que o bemY3.
Figura 2.1-b) Efeito da alteração do preço do bem X na restrição orçamental
c) O rendimento do consumidor sofreu um acréscimo de 80 u.m. (0,5 x 160), passando a ser de 240
u.m.. A expressão analítica da nova restrição orçamental é :
240 = 20 X + 10 Y, ou seja, Y = 24 -2 X
Relativamente à alinea a), a ordenada na origem passa para 24 unidades de Y (240/10) e a abcissa na
origem para 12 unidades de X (240/20) e mantém-se o declive dado que não houve alteração no preço
relativo dos bens. O rendimento real do consumidor aumentou e a recta orçamental desloca-se
paralelamente para a direita (comparar R1 com R0 na Figura 2.1-c). O consumidor pode adquirir mais
de X, mais de Y ou mais de ambos os bens. Se, pelo contrário, o rendimento diminuir, verificar-se-á
um deslocamento paralelo da recta orçamental para a esquerda (Figura 2.1-c).
3
Repare que o bem X passou a ser relativamente mais barato, embora o seu preço se mantenha mais
elevado em termos absolutos.
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Figura 2.1-c) Efeito da alteração do rendimento na restrição orçamental
d) Neste caso, a expressão analítica da restrição orçamental é: 240 = 30 X + 15 Y , isto é: Y = 16 - 2X
A equação da recta orçamental é igual à obtida na alínea a), dado que o rendimento e os preços
aumentaram na mesma proporção.
Exercício 2.2 Restrição orçamental não linear
A Joana pretende praticar natação num determinado clube. Existem duas modalidades
de pagamento: ou paga 5 € de cada vez que utilizar a piscina ou se inscreve como
sócia do clube, efectuando um pagamento inicial (a jóia) no valor de 30 € e pagando
por cada ida à piscina 2 €. Para a prática da natação e para a aquisição de outros bens,
a Joana dispõe de um rendimento de 80 € por mês, que gasta integralmente.
a) A partir de quantas idas à natação é que vale a pena à Joana tornar-se sócia do
clube? Justifique.
b) Qual é a expressão analítica da restrição orçamental? Justifique. Represente-a
graficamente.
Resolução
a) Considere-se que a natação representa o bem X e que Y é o bem compósito, pelo que o seu preço é
igual à unidade.
- Se a Joana não se inscrever como sócia, a despesa em X (representada por DXns ) será de:
DXns = 5 X
- Se ela se inscrever no clube, a despesa em X (notada DXs ) será de:
DXs = 30 + 2 X
Não vale a pena a Joana aderir ao clube, se a despesa realizada com a prática da natação for maior no
caso de se tornar sócia, isto é, se:
DXs > DXns , ou seja 30 + 2 X > 5 X ⇔ X<10
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Em conclusão, se a Joana for menos do que 10 vezes por mês à natação, não lhe compensa ser sócia e,
se for 10 vezes, tanto lhe faz. Logo, só para mais de 10 idas mensais à natação é que vale a pena à
Joana aderir ao clube.
b) A restrição orçamental será quebrada, sendo constituída por dois ramos definidos em função do
intervalo de valores de X correspondentes à não adesão ou de adesão ao clube.
Se não valer a pena aderir ao clube, a equação da restrição orçamental é:
80 = 5 X + Y⇔ Y = 80 – 5 X (equação de R1 da Figura 2.2)
No outro caso, será:
80 = (30+2 X)+Y ⇔ Y = 50 – 2 X (equação de R2 da Figura 2.2)
Deste modo a restrição orçamental é a linha quebrada ABC da Figura 2.2, cuja expressão analítica é
⎧Y = 80 − 5 X , para X ≤ 10
⎨
⎩Y = 50 − 2 X , para X > 10
Os dois ramos intersectam-se no ponto (X=10; Y=30).
Figura 2.2 Restrição orçamental da Joana
Exercício 2.3 Restrição orçamental no caso de racionamento
O Joaquim tem um rendimento mensal de 800 euros para gastar em gasolina e
outros bens (bem compósito). O preço de cada litro de gasolina é de 0,80 € e o dos
outros bens é de 1€. Suponha que o governo institui o racionamento de gasolina.
De acordo com o esquema de racionamento, é atribuido a cada consumidor um
cupão mensal intransmissível de 50 litros de gasolina.
a) Qual o efeito desta medida sobre o conjunto das possibilidades económicas de
consumo?
b) Admita agora que, recorrendo ao mercado negro, o Joaquim pode adquirir mais
do que 50 litros de gasolina por mês, embora ao preço de 2 € por litro. Mostre
qual o efeito da existência de mercado negro.
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Resolução
a) Se não houver racionamento, a restrição orçamental é dada por :
800 = 0,80 X + Y ⇔ Y = 800 – 0,80 X , equação de R0 da Figura 2.3-a) .
O montante máximo de litros de gasolina que pode adquirir mensalmente, se nada consumir de outros
bens, é de 1000 litros (abcissa na origem); se não consumir gasolina, o Joaquim gasta os 800 € no bem
compósito (ordenada na origem).
Com o racionamente, para montantes inferiores a 50 litros de gasolina, o Joaquim pode consumir
ambos os bens e substituir um pelo outro à taxa de 0,8 € de outros bens por cada litro de gasolina, pelo
que, neste intervalo, a sua restrição orçamental coincide com R0. No entanto, a partir de 50 litros de
gasolina ele não poderá situar-se ao longo da recta orçamental R0, dado que representa consumos de
gasolina que não pode legalmente realizar. O cabaz de bens economicamente acessíveis ao consumidor
é definido pela àrea OABC (Figura 2.3-a), sendo que qualquer ponto situado no segmento AB esgota o
rendimento do consumidor.
Figura 2.3 a) - Conjunto de possibilidades económicas de consumo
se existir racionamento de gasolina
b) Para adquirir mais do que 50 litros de gasolina por mês, o Joaquim vai ter que pagar cada litro a 2 €.
Mas, na aquisição dos 50 litros a que tem direito já gastou 40 €, ficando-lhe 760 € para gastar nos
outros bens e na aquisição de gasolina no mercado negro. Se aplicasse esses 760 € apenas em gasolina
podia adquirir 380 litros no mercado negro. Como já adquiriu legalmente 50 litros de gasolina, o
Joaquim pode, dado o seu rendimento, adquirir no máximo 430 litros (50 + 380), valor da abcissa na
origem da restrição orçamental (R1), no caso de existir mercado negro. Por sua vez o declive desta recta
orçamental é, em valor absoluto, igual a 2 (nova razão de preços). A restrição orçamental tem dois
ramos - até ao ponto B, coincide com R0 e, a partir do ponto B, coincide com R14 - sendo definida pela
linha quebrada ABC da Figura 2.3-b). Em termos analíticos:
4
Este ramo da restrição orçamental é dado pela equação da recta que passa pelos pontos de
coordenadas (x=50; y=760) e (x=430; y=0)
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
⎧Y = 800 − 0,8 X , para 0 ≤ X ≤ 50
⎨
⎩Y = 860 − 2 X , para50 < X ≤ 430
Figura 2.3-b) Restrição orçamental se existir mercado negro.
Exercício 2.4 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – caso
discreto
A Carolina ocupa parte do seu tempo livre a ir ao cinema e ao teatro. As suas
preferências em relação a estas duas actividades estão descritas no quadro 2.4, no qual
U1, U2 e U3 representam os níveis de satisfação e X e Y designam, respectivamente, o
número de idas ao cinema e ao teatro por mês.
a) Represente graficamente as três curvas de indiferença, explicando o seu
significado.
b) Considere a curva de indiferença U1.
b.1) Calcule a Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre os pontos A (X=1, Y=12) e
B (X=2, Y=8). Interprete o seu significado económico.
b.2) Analise o comportamento da TMS à medida que a Carolina substitui Y por X e
interprete o seu significado.
Quadro 2.4 Preferências da Carolina
U1
U2
X
Y
X
Y
1
12
3
14
2
8
4
10
3
5
5
7
4
3
6
5
5
2
7
4
6
1,5
8
3
U3
X
5
6
7
8
9
10
Y
16
12
9
7
6
5
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Resolução
a) Uma curva de indiferença mostra as várias combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro
por mês, que proporcionam à Carolina idêntico nível de satisfação. Deste modo, para a Carolina é
indiferente ir 1 vez ao cinema e 12 ao teatro (ponto A da curva de índice U1 da Figura 2.4) ou 2 vezes
ao cinema e 8 ao teatro (ponto B da mesma curva), por exemplo.
Comparando as combinações alternativas da curva de índice U2 com as da curva de índice U1, constatase que ou contêm mais de ambos os bens ou, pelo menos, mais de um dos bens (na Figura 2.4,
comparar os pontos B e H e os pontos C e J). Deste modo, a curva de indiferença de índice U2 situa-se
à direita da de índice U1, pelo que as combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro que nela se
situam representam um nível de bem-estar mais elevado do que o proporcionado pelas que se localizam
na curva de índice U1. O mesmo se passa com os pontos ao longo da curva de índice U3 relativamente
aos que estão nas curvas de índice U2 e U1. Em suma, quanto mais afastadas da origem e mais à direita
se situa uma curva de indiferença, maior é o nível de satisfação que lhe está associado5.
Figura 2.4 Curvas de indiferença da Carolina
b.1) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a relação de troca
subjectiva entre os dois bens: indica quanto o consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a
deixar de consumir de um bem para aumentar o consumo do outro, mantendo constante o seu nível de
satisfação. Como as curvas de indiferença têm declive negativo, a taxa marginal de substituição é
negativa. Adopta-se, contudo, a convenção usual de a determinar em valor absoluto – calculando-a em
módulo ou afectando-a do sinal menos – o que requer que, na interpretação do seu valor, se tenha em
conta esta convenção.
5
Tal como resulta da hipótese de não saciedade da Teoria do Consumidor.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Pode-se calcular a taxa marginal de substituição para examinar movimentos descendentes ao longo de
uma curva de indiferença, caso em que o consumidor substitui o bem Y pelo bem X (taxa marginal de
substituição de Y por X6) ou movimentos ascendentes ao longo de uma curva de indiferença, quando
substitui X por Y (taxa marginal de substituição de X por Y7). Os valores obtidos para uma são o
inverso dos da outra.
Neste caso, pretende-se calcular a taxa marginal de substituição de teatro (Y) por cinema (X).
Como
TMS Y , X =
y 2 − y1
x 2 − x1
A→ B
, tem - se que : TMS Y,X
=
8-12
A→ B
⇔ TMS Y,X
=4
2-1
Ao passar do ponto A para B, a Carolina está disposta a desistir de 4 idas ao teatro para ir mais uma vez
ao cinema por mês, mantendo-se o seu nível de satisfação.
b.2)
5−8
3−5
2−3
1,5 − 2
D
E
F
= 3, TMS YC,→
=
= 2, TMS YD,→
=
= 1, TMS YE,→
=
= 0,5
X
X
X
3− 2
4−3
5−4
6−5
Pode concluir-se que a taxa marginal de substituição de Y por X (TMSY,X) é, em valor absoluto,
decrescente. Significa que, à medida que substitui Y por X, a Carolina está cada vez menos disposta a
renunciar ao consumo de Y (bem que se vai tornando relativamente mais escasso) para aumentar o
consumo de X, mantendo constante o seu nível de satisfação. É este comportamento da TMS que
explica a convexidade das curvas de indiferença.
C
TMS YB,→
=
X
Exercício 2.5 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – caso
contínuo - e não unicidade da função índice de utilidade
Suponha que as preferências da família Gonçalves relativamente ao consumo de peixe
(bem X) e de carne (bem Y) podem ser descritas pela seguinte função: U=2X0,5 Y0,5, onde
U designa o nível de utilidade e X e Y são, respectivamente, as quantidades de peixe e de
carne consumidas mensalmente, expressas em quilogramas.
1-a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função
de utilidade ordinal.
b) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices de utilidade 10 e 20.
2- Considere a curva de indiferença de índice 10.
a) Determine, analítica e geometricamente, a taxa marginal de substituição associada
a uma deslocação do ponto A (X=2; Y=12,5) para o ponto B (X=5; Y=5). Explique
o seu significado económico.
b) Determine, analítica e geometricamente, o valor da taxa marginal de substituição
6
“Marginal rate of substitution of X for Y”, em inglês.
“Marginal rate of substitution of Y for X”, em inglês.
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9
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
no ponto B.
c) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X à medida que
X aumenta (TMSY,X). Explique o significado económico desse comportamento e
relacione-o com a curvatura da curva de indiferença.
3- Admita agora que as preferências desta família em relação a estes dois bens são antes
descritas pela função: V= XY, onde V designa o índice de utilidade e X e Y as
quantidades consumidas mensalmente de cada um dos bens, expressas em
quilogramas.
a) Será que houve alteração das preferências desta família em relação a estes bens?
Justifique a sua resposta.
b) Compare as expressões analíticas das utilidades marginais de cada bem (UMgX e
UMgY) fornecidas pelas funções U e V, bem como o seu valor no ponto C
(X=20;Y=5).
c) Determine o quociente entre a UMgX e a UMgY para cada uma das funções e calcule
o seu valor no ponto C. Que conclui?
Resolução
1-a) Uma curva de indiferença é, por definição, o lugar geométrico das combinações alternativas de
bens que proporcionam ao consumidor o mesmo nível de satisfação, pelo que, ao longo de uma curva
de indiferença, o valor do indíce de utilidade se mantém constante. Seja u uma constante positiva
qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão analítica:
2 X 0 , 5 Y 0 ,5 = u
(Y )
0,5 2
Y 0 ,5 =
⇔
⎛ u ⎞
=⎜
⎟
⎝ 2 X 0 ,5 ⎠
u
Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado :
2 X 0 ,5
2
⇔ (1) Y=
u2
4X
é a expressão analítica da curvas de indiferença de índice u.
1-b) Para proceder à representação gráfica, há que previamente estudar as características da curva de
indiferença:
dY
u2
=−
<0
dX
4X 2
e
d 2Y
dX 2
=
u2
lim Y =0 , Y=0 é assimptota vertical
X → +∞
>0
2X 3
e
lim Y+ = + ∞ , X=0 é assimptota horizontal
X →0
Conclui-se que as curvas de indiferença associadas a esta função se caracterizam por serem
continuamente decrescentes (1ª derivada negativa) e convexas em relação à origem (2ª derivada
positiva), tendo por assímptotas os próprios eixos coordenadas e, por isso, nunca os interceptando. Em
_______________________________________________________________________________ 10
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termos geométricos, a curva de indiferença é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no 1º
quadrante (X≥0 e Y≥0)
Substituindo em (1) u pelos valores pretendidos e calculando as coordenadas de alguns dos seus pontos,
pode-se efectuar o esboço das curvas de indiferença de índice 10 e 20 - Figura 2.5-a):
u=10 ⇒
u = 20 ⇒
10 2
4X
20 2
Y=
4X
Y=
25
;
X
100
⇔ (3) Y=
X
⇔
(2) Y=
27,5
25
22,5
20
u=10
X
1
2
5
10
25
Y
25
12,5
5
2,5
1
u=20
X
Y
4
25
5
20
10
10
20
5
25
4
17 , 5
u=10
15
u=20
12 , 5
10
7,5
5
2,5
0
0
2,5
5
7,5
10
12 , 5
15
17 , 5
20
22,
25
5
27,
5
P ei x e (K g/ mês)
Fig. 2.5-a) Curvas de indiferença da família Gonçalves
2- a)8
B
TMS YA,→
X =−
∆Y
∆X
B
⇔ TMS YA,→
X =−
5 − 12,5
5−2
B
⇔ TMS YA,→
X = 2,5
Geometricamente, a taxa marginal de substituição é dada pelo declive do segmento de recta que une os
pontos A e B - Figura 2.5-b):
B
A →B
TMSYA,→
=
X = tgα ⇔ TMS Y,X
AD
BD
A →B
⇔ TMSY,X
=
7 ,5
→B
⇔ TMS A
Y, X = 2,5
3
Significa que, quan-do a
família
Gonçal-ves
consome 12,5 Kg de
carne e 2 Kg de peixe
por mês, para aumentar
o seu com-sumo de
peixe para 5 Kg por
mês, ela está disposta
por
cada
quilograma
adicional de peixe a
renunciar, em média, ao
com-sumo de 2,5 Kg de
carne por mês, mantendo constante o seu
nível de satisfação.
Fig. 2.5-b) Determinação geométrica da TMSY, X (no arco AB e no ponto B)
8
Ver exercício 2.4, resolução da alínea b.1, para a definição e convenção adoptada no cálculo da TMS.
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2-b) Pretende-se agora calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de
indiferença (ponto B), estando-se a considerar variações infinitesimais nas quantidades consumidas na
vizinhança desse ponto.
Analíticamente :
B
TMS Y,X
= lim ∆X →0
∆Y
∆X
⇔
B
TMS Y,X
=
dY
.
dX
B
Geometricamente : TMS Y,X
= tg β
Usando a expressão analítica - equação (2) - da curva de indiferença de índice 10 tem-se que:
TMSY , X =
dY
dX
⇔ TMSY , X = −
25
X
⇔ (4) TMSY , X =
2
No ponto B ( X=5 ,Y=5 ), pelo que TMSYB, X =
25
2
25
X2
⇔ TMSYB, X = 1
5
Geometricamente, a taxa marginal de substituição é igual ao valor absoluto do declive da tangente a
esse ponto da curva de indiferença, medindo, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença
nesse ponto - Figura 2.5-b).
___
TMSYB, X
= tgβ
⇔ TMSYB, X
=
OE
____
___
=
DG
____
⇔ TMSYB, X = 1
OF DB
25
Examinando a expressão (4) da TMS Y , X =
pode-se constatar que, em valor absoluto, a taxa
X2
marginal de substituição de Y por X decresce à medida que X aumenta, dado que o numerador é
constante. Alternativamente, pode-se chegar a esta mesma conclusão, através do sinal da 1ª derivada da
TMSY,X em ordem a X:
TMSY , X = 25 X −2
Geometricamente,
Derivando em ordem a X :
(TMSY , X )' = −50 X − 3 < 0
o
decrescimento da TMSY,X
pode observar-se através
da marcação de sucessivas
tangentes a pontos desta
curva de indiferença Figura 2.5-c): os ângulos
formados vão sendo cada
vez mais pequenos, pelo
que o valor absoluto da
sua tangente trignométrica
vai sendo cada vez mais
pequeno:
tgλ > tgβ > tgδ > tgε .
Figura 2.5-c) Comportamento da TMSY,X ao longo da curva de
indiferença(“lei da taxa marginal de substituição decrescente”)
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
É este comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X, também conhecido por lei da taxa
marginal de substituição decrescente, que explica que a curva de indiferença seja (estritamente)
convexa em relação à origem dos eixos coordenados. Em termos económicos, evidencia uma relutância
cada vez maior, por parte do consumidor, para continuar a substituir o bem Y pelo bem X e manter o
mesmo nível de substituição.
3-a) Comparando as funções U e V pode verificar-se que:
U = 2 X 0 ,5 Y 0 ,5 ⇔
X 0 ,5 Y 0 ,5 =
U
2
Elevando ambos os membros ao quadrado:
2
U2
⎛U ⎞
XY = ⎜ ⎟ ⇔ XY =
4
⎝2⎠
Derivando V em ordem a U :
Como V = XY , substituindo tem - se que :
V=
U2
4
dV 2U
dV U
=
⇔
= >0
dU
4
dU 2
Deste modo, V(X,Y) é uma função estritamente crescente de U(X,Y), pelo que a função V é consistente
com a ordenação das preferências do consumidor descritas pela função U, ou seja, descreve as mesmas
preferências desta família em relação a estes dois bens, apenas atribuindo um número de ordem
diferente (índice de utilidade) às combinações alternativas destes bens9.
Exemplificando:
Sejam as combinações de bens A (X=2, Y=12,5), B (X=5, Y=5) e C (X=20, Y=5). Calculando o valor
dos índices de utilidade para cada uma das funções:
Pontos
A (X=2, Y=12,5)
B (X=5,Y=5)
C (X=20, Y=5)
U= 2 X0,5 Y0,5
U= 2 (2 . 12,5)0,5 ⇔ U1=10
U= 2 (5 . 5)0,5
⇔ U1=10
0,5
U= 2 (20 . 5)
⇔ U2=20
V=XY
V=2 . 12,5 ⇔ V1=25
V=5 . 5
⇔ V1=25
V=20 . 5
⇔ V2=100
Tem-se assim que, quer usando a função U quer usando a função V, o consumidor é indiferente entre as
combinação A e B (situam-se na mesma curva de indiferença) e considera que C é preferível a B e a A
(situa-se numa curva de indiferença à direita daquela em que se encontram estas duas últimas, pelo que:
U2 > U1 e V2 >V1).
9
Isto acontece porque a função índice de utilidade (abordagem ordinal da teoria do consumidor) não é única, ao contrário do que
ocorre com a função de utilidade cardinal. Na abordagem ordinal, a função utilidade descreve a ordenação das preferências do
consumidor, enquanto que, na abordagem cardinal, se quantifica a satisfação retirada do consumo de cada cabaz de bens.
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13
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Em suma, a ordenação das pre27,5
ferências do consumidor mantém-se,
25
apenas mudando o número de ordem
22,5
atribuído a cada combinação por cada
20
uma das funções - Figura 2.5-d). As
17,5
curvas de indiferença associadas a
15
cada uma das funções índice de
12,5
utilidade são idênticas, embora
valores
dos
índices
de
os
10
utilidade
7,5
2
difiram, sendo que v=u /4. Tomar uma
5
transformação crescente da função
2,5
utilidade, equivale a renumerar, em
0
conformidade,
as
curvas
u=20; v=100
u=10; v=25
0
2,5
5
7,5
10
de
indiferença.
12,5
15
17,5
20
22,5
25
27,5
Peixe (Kg/ mês)
Figura 2.5-d) Curvas de indiferença da família Gonçalves,
segundo as funções U(X,Y) e V(X,Y)
3-b) Utilizando a função U=2X0,5Y0,5
UMg X =
∂U
⇔ UMg X = X −0 ,5 Y 0 ,5 ⇔ UMg X = Y
X
∂X
UMg Y =
∂U
⇔ UMg Y = X 0 ,5 Y −0 ,5 ⇔ UMg Y = X
Y
∂Y
No ponto C ( X = 20 , Y = 5 ) : UMg CX = 5
20
⇔ UMg CX = 0 ,5
e
UMg YC = 20
5
⇔ UMg YC = 2
Utilizando a função V=XY
UMg X =
∂V
⇔ UMg X = Y
∂X
e
UMg Y =
UMg CX = 20
e
UMg YC = 5
No ponto C :
∂V
⇔ UMg Y = X
∂Y
3-c) Ao calcular o quociente da utilidade marginal de X e de Y, obtém-se a mesma expressão analítica
e o mesmo valor para este quociente no ponto C.
UMgX
UMgY
UMgX /UMgY
Função U
Expressão Analítica Valor no ponto C
X -0,5Y 0,5
0,5
X 0,5Y -0,5
2
Y/X
0,25
Função V
Expressão Analítica
Valor no ponto C
Y
5
X
20
Y/X
0,25
Este quociente é, por sua vez, igual à TMSY,X , o que confirma que as funções U(X,Y) e V(X,Y)
descrevem as mesmas preferências. Tem-se, assim, uma forma alternativa de calcular a TMSY,X . Com
efeito, considere-se a função U=U(X,Y) e proceda-se à sua diferenciação total:
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
dU =
∂U
∂U
dY ,
dX +
∂Y
∂X
sendo que
∂U
= UMg X
∂X
e
∂U
= UMg Y
∂Y
Por definição, ao longo de uma curva de indiferença o nível de satisfação não se altera, pelo que dU = 0 :
(5)
0 = UMg X dX + UMg Y dY ⇔ − UMg Y dY = UMg X dX ⇔
⇔−
UMg X
dY UMg X
=
⇔ TMSY ,X =
UMg Y
dX UMg Y
De notar que a expressão (5) exprime o facto de, para manter constante o seu nível de satisfação, a
diminuição de utilidade associada à redução do consumo de Y ter que ser igual ao aumento de utilidade
resultante do acréscimo do consumo de X.
Em suma, enquanto que a grandeza das utilidades marginais de X e de Y depende da função índice de
utilidade escolhida para descrever as preferências do consumidor – como resulta dos cálculos
realizados na alínea anterior – o mesmo não ocorre com a do quociente das utilidades marginais, o qual
é independente da forma particular de função índice de utilidade que se utiliza, desde que uma se possa
obter da outra através de uma transformação estritamente crescente.
Exercício 2.6 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição –
preferências (estritamente) convexas
Suponha que a ordenação das preferências da Mariana em relação à prática de natação
e de ginástica é descrita pela função utilidade U= xy, sendo que x≥0 e y≥0. Nesta
função, x e y designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica
que pratica por mês e U representa o nível de satisfação.
a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função
utilidade.
b) Represente graficamente as curvas de indiferença associadas aos índices de
utilidade 75, 150 e 225.
c) Considere a curva de indiferença de índice 75.
c.1) Calcule o valor da taxa marginal de substituição associada a uma deslocação
do ponto A (x=5,y=15) para o ponto B (x=10,y=7,5) e explique o seu
significado económico.
c.2) Determine valor da taxa marginal de substituição de ginástica por natação nos
pontos A, B e C (x=15, y=3).
c.3) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X à
medida que aumenta o consumo de X. Explique o significado económico desse
comportamento e relacione-o com a curvatura da curva de indiferença.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Resolução
a) As curvas de indiferença são definidas no espaço de bens (X,Y), sendo a sua expressão analítica do
tipo y=f(x) ou x=g(y). Para qualquer nível de utilidade u, onde u é uma constante positiva, a curva de
indiferença que lhe está associada tem por expressão:
u
⇔ (1) y=ux − 1
x
b) Estas curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem dos
xy = u ⇔ y =
eixos coordenados, uma vez que a 1ª derivada é positiva e a 2ª derivada negativa:
dy
= −ux − 2 < 0;
dx
1ª derivada :
d2 y
2ª derivada :
dx 2
= 2ux − 3 > 0
Por outro lado, como y = ux −1 ,
lim y =0 , y=0 é assimptota vertical
x → +∞
e
lim y = + ∞ , x=0 é assimptota horizontal
x →0 +
pelo que as curvas de indiferença admitem como assímptotas os próprios eixos coordenados e,
consequentemente, nunca os intersectam.
Para u = 75, tem-se, por substituição em (1), que a expressão desta curva de indiferença é igual a
y=75/x, ou seja, é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no 1º quadrante (x≥0 e y≥0).
Analogamente, as curvas de indiferença de índices 150 e 225 têm por expressão analítica y=150/x e
y=225/x, respectivamente. Para proceder à representação gráfica destas curvas de indiferença − Figura
2.6-a) − seleccionam-se alguns valores, tais como:
u=75
x
y
2,5
30
5
15
7,5
10
10
7,5
15
5
20 3,75
30
2,5
u=150
x
y
5
30
7,5
20
10
15
15
10
20
7,5
25
6
30
5
u=225
x
y
7,5
30
10
22,5
15
15
20 11,25
22,5
10
25
9
30
7,5
Figura 2.6-a) Curvas de indiferença da Mariana
c.1) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a taxa a que o
consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a substituir o bem Y pelo bem X; indica a
quantidade que está disposto a desistir de Y para aumentar o consumo de X de uma unidade adicional,
mantendo constante o seu nível de satisfação.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
TMSY , X =
∆Y
∆X
A →B
⇔ TMS Y,X
=
− 7 ,5
7 ,5 − 15
A →B
A →B
⇔ TMSY,X
=
⇔ TMSY,X
= 1,5
10 − 5
5
Significa que, neste intervalo, para
praticar mais 1 hora de natação por mês
a Mariana está disposta, em média, a
deixar de praticar 1 hora e meia de
ginástica, mantendo constante o seu
nível de satisfação.
Geometricamente, a taxa marginal de
substituição no arco AB é dada pelo
declive do segmento de recta que une os
pontos A e B, como se pode ver na
figura 2.6- b), ou seja:
B
A →B
TMSYA,→
=
X = tgα ⇔ TMS Y,X
A →B
⇔ TMSY,X
=
AD
⇔
BD
7 ,5
A →B
⇔ TMSY,X
= 1,5
5
Figura 2.6- b) Representação geométrica da taxa de
marginal de substituição
c.2) Neste caso, pretende-se calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de
indiferença, a qual mede o valor do declive da curva de indiferença nesse ponto. Geometricamente é
dada pelo valor absoluto do declive da recta tangente ao ponto considerado. Com efeito:
B
Analiticamente: TMSY,X
= lim ∆X →0
∆Y
∆X
⇔
B
TMSY,X
=
dY
dX
B
= tg β
Geometricamente: TMSY,X
Sendo y=75/x a expressão analítica desta curva de indiferença, a expressão analítica da TMSy,x que lhe
está associada é:
TMS y ,x = −
dy
75
⇔ TMS y ,x − 2
dx
x
⇔
(2) TMS y ,x =
75
x2
.
Como, no ponto A, x = 5 , substituindo em (2) obtem - se TMS yA,x=
B
=
no ponto B, x = 10 , substituindo em (2) obtem - se TMS Y,X
no ponto C, x = 15 , substituindo em (2) obtem - se TMS yC,x=
75
⇔
52
75
10
2
75
15
2
TMS yA,x = 3
⇔
B
TMS Y,X
= 0 ,75
⇔
TMS Cy ,x = 0 ,3( 3 )
c.3) Examinando a expressão (2), pode concluir-se que à medida que aumenta o consumo de X, em
valor absoluto, a TMSy,x decresce10, como aliás decorre dos cálculos realizados na alínea anterior.
É este decrescimento da taxa marginal de substituição que explica que a curva de indiferença seja
estritamente convexa em relação à origem, uma vez que, em valor absoluto, o declive vai sendo cada
10
A idêntica conclusão se chega, derivando a expressão da TMSy,x em ordem a X , uma vez que esta derivada é negativa.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
vez menor. Este comportamento exprime o facto de a Mariana estar cada vez menos disposta a reduzir
o número de horas que dedica à prática da ginástica para aumentar o tempo que afecta à natação, à
medida que vai aumentando o número de horas de prática de natação por mês, mantendo constante o
seu nível de satisfação.
Exercício 2.7 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição –
preferências côncavas
Admita que as preferências da Marta em relação à prática de natação e de ginástica
são descritas pela função S=2X2+Y2, com X≥0 e Y≥0 , onde X e Y designam,
respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e S
representa o índice de utilidade.
a) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices 600, 900 e 1800.
b) Considere a curva de indiferença de índice 600. Calcule a taxa marginal de
substituição de Y por X, para X=5, X=10 e X=15.
c) Examine o comportamento da TMSY,X à medida que X aumenta e relacione-o com
curvatura da curva de indiferença.
d) Compare as preferências da Marta com as da Mariana (ver exercício 2.6) em
relação à prática destas duas modalidades desportivas.
Resolução
a) Para proceder à representação gráfica, há que previamente examinar as características das curvas de
indiferença associadas a esta função. Seja s uma constante positiva qualquer :
2X 2 +Y 2 = s ⇔ Y 2 = s − 2X 2
1ª derivada :
2ª derivada :
⇔ (1 ) Y=+ s-2 X 2
dY
= −2 X(s − 2 X 2 ) −0 ,5 < 0
dX
d 2Y
dX
2
= −2(s − 2 X 2 ) −0 ,5 − 4 X 2 (s − 2 X 2 ) −1,5 < 0
As curvas de indiferença são continuamente decrescentes e côncavas em relação à origem. Intersectam
o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, respectivamente, nos pontos de coordenadas:
(X =
s ; Y = 0 ) e ( X = 0; Y = s )
2
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Substituindo em (1) os valores do índice de utilidade (600, 900 e 1800) obtêm-se as expressões
analíticas das curvas de indiferença representadas na figura 2.7, usadas para calcular as coordenadas de
alguns dos seus pontos.
Figura 2.7: Curvas de indiferença da Marta
b) Utilizando a função utilidade:
UMg X =
∂S
∂S
⇔ UMg X = 4 X e UMg Y =
= 2Y
∂X
∂Y
TMSY , X =
UMg X
4X
2X
⇔ TMSY,X =
⇔ (2) TMSY,X =
UMg Y
2Y
Y
Para calcular o valor da taxa marginal de substituição é preciso conhecer os valores de Y. Considerando
a expressão da curva de indiferença de índice 600 – obtida via substituição de s por 600 em
(1): Y = 600 − 2 X 2 – tem-se que, para X=5, X=10 e X=15, os valores correspondentes de Y são:
X=5 : Y= 600 -2 . 5 2 ⇔ Y ≅ 23 ,45 ;
X=10 : Y= 600 -2 . 10 2 ⇔ Y=20 ;
X = 15 : Y = 150
Substituindo estes valores de X e de Y na expressão (2) da TMSY,X:
No ponto (X=5 , Y ≅ 23 ,45 ) :
TMS Y,X ≅ 0 ,43
No ponto (X=10 , Y=20 ) :
TMS Y,X = 1
No ponto (X = 15 , Y ≅ 12 ,25 ) : TMS Y,X ≅ 2 ,45
c) Pode concluir-se que, à medida que X aumenta, Y vai diminuindo cada vez mais, pelo que, em valor
absoluto, a TMSY,X é crescente, o que explica a concavidade das curvas de indiferença. Significa que,
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
para aumentar o número de horas de natação, a Marta está disposta a renunciar a um cada vez maior
número de horas de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação, evidenciando o facto de ela
preferir praticar apenas uma única modalidade em vez de praticar as duas simultaneamente.
d) Tanto a Mariana como a Marta consideram a possibilidade de substituição de uma modalidade por
outra. No entanto, a convexidade das curvas de indiferença, representativas das preferências de
Mariana, exprime que este processo de substituição se torna cada vez mais difícil e, no limite,
impossível - em valor absoluto, a TMSY,X é decrescente – o que significa que ela prefere diversificar o
seu consumo, praticando ambas modalidades desportivas. A Marta, pelo contrário, prefere especializarse, praticando uma única modalidade desportiva, razão pela qual, em valor absoluto, a TMSY,X é
crescente.
Exercício 2.8 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – bens
substitutos perfeitos
Considere que as preferências da Margarida em relação à prática de natação e de ginástica
são descritas pela função utilidade V=X+Y, com X≥0 e Y≥0, na qual X e Y designam,
respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e V
representa o índice de utilidade.
a) Calcule a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função e
represente graficamente as de índice 10, 20 e 30.
b) Calcule a taxa marginal de substituição de ginástica por natação e explique o seu
significado económico.
Resolução
a)
v
Seja
uma
constante
positiva qualquer: v=X+Y, pelo que a
expressão
geral
das
curvas
de
indiferença é: Y = v - X.
Graficamente,
as
curvas
de
indiferença, associadas a esta função,
são representadas por linhas rectas
com declive igual a (-1) - Figura 2.8.
Substituindo os valores de v do
enunciado obtem-se a expressão de
cada uma das curvas de indiferença
pedidas :
Y=10-X ; Y=20-X e Y=30-X
Figura 2.8 Curvas de indiferença da Margarida
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
dY
⇔ TMS Y ,X = 1
dX
A taxa marginal de substituição é constante, o que significa que, para aumentar o tempo afecto à prática
b) TMS Y , X =
de natação em 1 hora por mês, a Margarida está disposta a desistir sempre do mesmo tempo dedicado à
prática de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação. Isto significa que, para a Margarida,
estas duas modalidades desportivas são perfeitamente substituíveis. Como a taxa marginal de
substituição é igual a um, significa ainda que ela atribui exactamente o mesmo valor a uma e a outra
modalidade.
Exercício 2.9 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – bens
complementares perfeitos
Suponha que, em relação à prática de natação e de ginástica, as preferências da Maria são
descritas pela função : T= min {2X ,Y}. com X≥0 e Y≥0, na qual X
e Y designam,
respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e T
representa o índice de utilidade.
a) Que relação existe entre estas duas modalidades desportivas para a Maria?
b) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices 5, 10 e 15.
c) Examine o comportamento da taxa marginal de substituição de ginástica por natação.
Resolução
a) Para a Maria estas duas modalidades desportivas são perfeitamente complementares. Para obter um
dado nível de satisfação ela tem que praticar simultaneamente as duas modalidades, mas numa
proporção fixa. Concretamente, o tempo dedicado à ginástica é sempre metade do que o que é afecto à
natação. As curvas de indiferença têm a forma de ângulos rectos, cujos vértices se expandem ao longo
da linha que define aquela proporção fixa : Y=0,5 X
b)
Figura 2.9: Curvas de indiferença da Maria
_______________________________________________________________________________
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21
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
c) Considere-se, por exemplo, a curva de indiferença de índice 5, cujo vértice tem como coordenadas
(X=10, Y=5). No seu ramo horizontal, a taxa marginal de substituição de ginástica por natação é zero,
porque se aumentar a prática desta modalidade para além de 10 horas por mês, a Maria não estará
disposta a desistir da prática de nenhuma hora de ginástica, mantendo constante o seu nível de
satisfação. No seu ramo vertical, o valor da TMSY,X é igual a infinito, pois para aumentar a prática da
ginástica para mais de 5 horas por mês, ela não está disposta a reduzir a prática de natação em menos
de 10 horas por mês, mantendo-se constante o seu nível de satisfação. No vértice, a TMSY,X é
indeterminada.
Exercício 2.10 Equilíbrio do Consumidor
Considere as preferências da família Gonçalves em relação ao consumo de peixe (bem
X) e de carne (bem Y) do exercício 2.5, descritas pela função: U=2x0,5y0,5
Suponha que o orçamento mensal que esta família dispõe para gastar integralmente na
aquisição destes dois bens é de 40 unidades monetárias (u.m.) e que os preços médios
de cada um deles são: Px = 4 u.m./kg e Py = 1 u.m./kg.
1-a) Determine a quantidade de cada bem que, em equilíbrio, esta família adquirirá
mensalmente.
b) Explique por que razão a combinação (x=8; y=8) não é de equilíbrio, bem como
o processo conducente ao equilíbrio. Ilustre a sua resposta graficamente.
2) Admita agora que as preferências da família Fonseca em relação a estes dois bens
são descritas pela função de utilidade ordinal: T = 2x + y, onde x designa a
quantidade de peixe, em kg/mês, e y a quantidade de carne, em kg/mês, e T é o
índice de utilidade. Esta família gasta, também, mensalmente 40 u.m. na aquisição
destes bens.
a) Calcule a TMS y,x e interprete o seu significado. Que conclui sobre a relação entre
estes dois bens para esta família?
b) Determine a situação de equilíbrio da família Fonseca e ilustre-a graficamente.
3) Examine o efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio de
cada uma destas famílias. Ilustre a sua resposta graficamente.
Resolução
1-a) O problema a resolver é:
MAX U = 2 x 0 ,5 y 0 ,5
x, y
sujeito a 40 = 4 x + y
O consumidor está em equilíbrio, maximizando o nível de satisfação que está ao alcance do seu poder
de compra, se não for induzido a redistribuir o seu rendimento entre a aquisição dos bens X e Y. Tal
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22
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
ocorre quando, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença for igual ao declive da recta de
orçamento. Isto significa que, em valor absoluto, a taxa a que o consumidor está disposto, segundo as
suas preferências, a substituir um bem pelo outro - a razão de troca subjectiva entre os dois bens
(TMSy,x) - é igual à taxa a que se podem substituir estes dois bens no mercado , ou seja, é igual à sua
razão de preços (Px /Py).
Deste modo, para haver equilíbrio é necessário que se verifiquem as seguintes condições:
⎧U = 2 x 0,5 y 0,5
⎪
P
⎪
(1) ⎨TMS y , x = x
P
y
⎪
⎪R = P x + P y
x
y
⎩
Estas condições são, também, condições suficientes para a maximização do nível de satisfação, quando
a solução de equilíbrio é interior (em equilíbrio o consumidor adquire ambos os bens), o que é o caso
presente dado que as curvas de indiferença são estritamente convexas e não intersectam os eixos
coordenados.
TMS y ,x =
UMg x
y
⇔ TMS y ,x =
UMg y
x
Substituindo os valores em (1) e resolvendo o sistema:
⎧U = 2 x 0 ,5 y 0 ,5
⎧U = 2 5 . 20 ⇔ U = 20
⎧ ___
⎪
⎪⎪
⎪
⎪y
⇔ ⎨ y = 20
⇔ ⎨y = 4x
⎨ =4
⎪
⎪
⎪x
⎪⎩ x = 5
⎩40 = 4 x + 4 x
⎪40 = 4 x + y
⎩
dy
U2
⇔ TMS y , x = 2
dx
4x
A solução de equilíbrio obtém-se através da resolução do sistema:
Alternativamente:
TMS y , x = −
⎧U = 2 x 0 ,5 y 0 ,5
⎧ ___
⎧4 x = 2 x 0 ,5 Y 0 ,5
⎧2 x 0 , 5 = y 0 , 5
⎪ 2
⎧4 x = y
⎧x = y / 4
⎧x = 5
⎪ 2
⎪
⎪
⎪U
⎪
⎪
⎪
2
⇔ ⎨U = 16 x ⇔ ⎨U = +4 x
⇔ ⎨ ___
⇔ ⎨ ___
⇔ ⎨U = 20
⎨ 2 =4
⎨ __
⎪4x
⎪ ___
⎪ ___
⎪ ___
⎪40 = y + y ⎪ y = 20
⎪ y = 20
⎩
⎩
⎩
⎩
⎩
⎩
⎪40 = 4 x + y
⎩
Em equilíbrio, a família Gonçalves consome mensalmente 5 kg de peixe e 20 kg de carne, situando-se
na curva de indiferença de índice 20.
1-b) Se esta família adquirir mensalmente 8 kg de peixe e 8 kg de carne, esgotará o rendimento que
utiliza para comprar estes dois bens, mas não alcança a máxima satisfação que está ao alcance do seu
poder de compra - ponto A da figura 2.10-a) - pelo que não estará em equilíbrio. Com efeito, nesta
combinação a TMSy,x é igual a 1 (TMSy,x = y/x), sendo inferior à razão de preços que é igual a 4. Deste
modo, para adquirir uma quantidade adicional de peixe (bem X), esta família está disposta a prescindir
de igual montante de carne (bem Y), mantendo constante o seu nível de satisfação, enquanto que no
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23
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
mercado terá de renunciar a uma quantidade de carne que é quádrupla daquela, mantendo constante a
sua despesa total.
Consequentemente,
no
mercado, o valor do bem X
em termos do bem Y é
superior ao que esta família
lhe atribui, pelo que ela pode
aumentar o seu nível de
satisfação
transferindo
dinheiro da compra do bem X
para a do bem Y. Por esta via,
e mantendo constante a sua
despesa, ela vai adquirindo
combinações de bens que se
situam
em
curvas
de
indiferença de nível mais
elevado, aumentando o seu
nível de satisfação - por ex:
ponto B, da figura 2.10-a).
Figura 2.10 - a) Equilíbrio da família Gonçalves
Este processo de redistribuição do rendimento da compra do bem Y para a compra do bem X cessa
quando ela se situar no ponto C da figura 2.10-a), onde a recta de orçamento tangencia a curva de
indiferença de índice 20. Neste ponto, a taxa a que esta família está disposta a substituir um bem pelo
outro é igual à taxa a que pode substituir um bem pelo outro no mercado, pelo que não poderá aumentar
o seu nível de satisfação através da redistribuição do seu rendimento entre a aquisição dos dois bens,
tendo alcançado a situação de equilíbrio.
2-a) Família Fonseca: T=2x+y
TMS y , x =
UMg x
⇔ TMS y , x = 2 pois
UMg y
UMg x =
∂T
∂T
⇔ UMg x = 2 e UMg y =
⇔ UMg y = 1
∂x
∂y
Significa que para aumentar o consumo de peixe em 1 kg por mês, esta família está disposta a
prescindir do consumo de 2 kg de carne, mantendo constante o seu nível de satisfação. Sendo a TMSy,x
constante, então para a família Fonseca estes dois bens são substitutos perfeitos.
2-b) Neste caso, o valor da TMSy,x é sempre inferior à razão de preços, pelo que o consumidor está em
equilíbrio quando gasta todo o seu rendimento na aquisição do bem Y (solução de canto), adquirindo 40
kg de carne por mês (y=R/Py) e nenhum quilograma de peixe (x=0), situando-se na curva de
indiferença de índice 40 - figura 2.10-b).
De facto, segundo as preferências desta
família, o bem X é duas vezes mais
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24
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
valioso do que o bem Y (TMSy,x=2), mas
custa quatro vezes mais no mercado
(Px/Py =4). Em consequência ela desiste
de comprar o bem X, pois atribui-lhe
relativamente menos valor do que ele
custa no mercado, e gasta todo o seu
rendimento no bem Y, maximizando o
seu nível de satisfação.
Figura 2.10-b) Equilíbrio da Família Fonseca
3) Família Gonçalves:
⎧U = 2 x 0 ,5 y 0 ,5
⎧−
⎧U ≅ 14,14
⎪
⎪y
⎪
⎪
⇔ ⎨ y = 2 x ⇔ ⎨ y = 10
⎨ =2
⎪x
⎪40 = 8 x
⎪x = 5
⎩
⎩
⎪40 = 4 x + 2 y
⎩
O aumento do preço da carne conduz à diminuição do nível de satisfação desta família, a qual
consumirá agora 5 kg de peixe e 10 kg de carne por mês, situando-se numa curva de indiferença que se
encontra mais próxima da origem dos eixos- ponto E1 em (i) da figura 2.10-c).
Família Fonseca: Se o preço da carne duplicar, a razão de preços entre os dois bens é igual a 2,
passando o declive da recta de orçamento a ser igual ao das curvas de indiferença. Deste modo, o valor
que esta família atribui ao peixe em termos da carne é igual à taxa a que se troca um pelo outro no
mercado. Em consequência, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada, no sentido em que,
qualquer combinação de bens que se situe na curva de indiferença de índice 20, que coincide com a
recta de orçamento, é de equilíbrio. Esta família poderá consumir só peixe (10 kg por mês), só carne
(20 kg por mês) ou qualquer combinação de carne e peixe que lhe seja economicamente acessível – ver
(ii) da figura 2.10-c) -, alcançando um nível de satisfação inferior ao que usufruía antes do aumento do
preço da carne.
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25
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
(i) Família Fonseca
(ii) Família Gonçalves
Figura 2.10-c) Efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio
2.11 Equilíbrio do consumidor
Suponha que o rendimento afecto mensalmente à prática de natação e de ginástica
pela Marta, Mariana, Margarida e Maria, cujas preferências foram examinadas nos
exercícios 2.6 a 2.9, é de 60 unidades monetárias:
a) Determine a situação de equilíbrio para cada uma delas, admitindo que o preço de
cada hora de natação e de ginástica é igual a 2 u.m.
b) Examine o efeito sobre a situação de equilíbrio resultante de o preço de 1 hora de
natação ter aumentado para 3 u.m. Ilustre graficamente a sua resposta.
Resolução
a.1) Mariana (exercício 2.6: U=XY)
UMg X = Y ; UMg Y = X
TMSY , X =
UMg X
Y
⇔ TMSY,X =
UMg Y
X
Em equilíbrio:
PX
⎧
⎪TMSY , X =
PY
⎨
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧Y
⎧Y = 15
⎧Y = X
⎪ =1
Substituin do : ⎨ X
⇔⎨
⇔⎨
⎩ X = 15
⎩60 = 4 X
⎪⎩60 = 2 X + 2Y
A Mariana praticará 15 horas de natação e de ginástica por mês, ponto que se situa na curva de
indiferença de índice 225 (U= 15 x 15), onde a recta de orçamento é tangente a essa curva – ver ponto
Eo da figura 2.11-a).
a.2) Marta (exercício 2.7 : S=2X2+Y2 e TMSy,x=2X/Y )
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26
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Neste caso, como se viu, as preferências são côncavas, pelo que a Marta prefere praticar uma das
modalidades desportivas a qualquer combinação das duas, a solução de equilíbrio sendo uma solução
de canto. Ela praticará apenas natação (X>0, Y=0) ou só ginástica (X=0, Y>0), escolhendo aquela que,
tendo em conta os preços, lhe permita obter a máxima satisfação11. Examinemos cada um dos casos:
−
Se praticar só natação, com o rendimento que possui, poderá praticar 30 horas desta
modalidade por mês (X= R/PX), alcançando a curva de indiferença de índice 1800
(S=2x302+0) - ver ponto Eo da figura 2.11-b) ;
−
Se praticar apenas ginástica, poderá praticar 30 horas por mês (Y=R/PY) e atingirá a curva de
indiferença de índice 900 (S=2x02+302) - ver ponto E1 da figura 2.11-b).
Consequentemente, em equilíbrio, a Marta praticará apenas natação (30 horas por mês), pois é essa a
situação em que maximiza o seu nível de satisfação - ponto Eo da figura 2.11-b).
Note-se que, a solução interior não é de equilíbrio - ver ponto A da figura 2.11-b)-, pois implica um
menor nível de satisfação:
⎧S = 2 X 2 + Y 2
⎪
⎪
PX
⎨TMS Y , X =
PY
⎪
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧ ___
⎧S = 2 . 10 2 + 20 2 ⇔ S = 600
⎧ ___
⎪
⎪⎪
⎪
⎪2X
=1
⇔ ⎨Y = 2 X ⇔ ⎨Y = 20
Substituindo : ⎨
⎪ Y
⎪
⎪
⎪⎩ X = 10
⎩60 = 6 X
⎪60 = 2 X + 2Y
⎩
a.3) Margarida (exercício 2.8: V=X+Y e TMSy,x=1)
Para a Margarida a TMSY,X é constante e igual à unidade. Como a razão de preços é igual a 1, então a
recta de orçamento coincide com a curva de indiferença de índice 30 (60=2X+2Y Ù 30=X+Y). Deste
modo, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada: praticar só natação ou só ginástica ou
qualquer combinação das duas modalidades ao alcance do seu poder de compra proporciona-lhe o
mesmo nível de satisfação, sendo qualquer uma dessas alternativas uma solução de equilíbrio - na
figura 2.11-c), qualquer um dos pontos situados no segmento AB.
a.4) Maria (exercício 2.9: T= min {2X ,Y})
Para a Maria as duas modalidades desportivas são estritamente complementares e praticadas na
proporção fixa: Y=0,5 X
⎧Y = 0,5 X
⎧−
⎧Y = 10
⇔⎨
⇔⎨
⎨
⎩60 = 2 X + 2Y
⎩60 = 2 X + 2(0,5 X )
⎩ X = 20
Consequentemente, em equilíbrio, ela praticará 20 horas de natação, gastando nessa modalidade 40
u.m., e 10 horas de ginástica, onde gasta 20 u.m., esgotando assim o seu rendimento (60 u.m.) - ver
ponto Eo da figura 2.11-d). A curva de indiferença mais elevada que alcança é a de índice 10:
T=min {2 x 10, 10} Ù T=10
11
Note-se que poderá existir, também, uma solução de equilíbrio múltiplo, caracterizada pelo facto de qualquer uma das
soluções (X=0, Y>0) e (X>0, Y=0) poder ser de equilíbrio. Isso acontecerá se a recta de orçamento intersectar a curva de
indiferença de nível mais elevado nos dois pontos em que esta curva intersecta os eixos coordenados.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
b) Para examinar o efeito do aumento do preço sobre a situação de equilíbrio tem que calcular-se a
nova situação de equilíbrio e compará-la com a calculada na alínea a).
b.1) Mariana (exercício 2.6)
Em equilíbrio:
⎧U = XY
⎪
PX
⎪
⎨TMS Y , X =
PY
⎪
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧ ___
⎧ ___
⎧U = 150
⎪
⎪
⎪
3
⎪Y
Substituin do : ⎨ =
⇔ ⎨Y = 1,5 X ⇔ ⎨Y = 15
⎪
⎪
⎪X 2
⎩60 = 6 X
⎩ X = 10
⎪60 = 3 X + 2Y
⎩
O aumento do preço da
natação teve por efeito que
a Marta reduzisse a prática
desta modalidade em 5
horas por mês, embora
continue
a
praticar
o
mesmo número de horas
de ginástica, reduzindo o
seu nível de bem-estar. O
ponto
de
equilíbrio
deslocou-se de Eo para
E1 na figura 2.11-a).
Figura 2.11-a) Equilíbrios da Mariana
b.2) Marta (exercício 2.7)
A solução é de canto:
- se só praticar natação: X=20, pois X=R/PX , e o nível de satisfação é: S= 2 x 202+0 Ù S= 800;
- se só praticar ginástica: Y=30, pois Y=R/PY , e o nível de satisfação é: S=2 x 0+302 Ù S=900.
Consequentemente, em equilíbrio, a Marta passará a praticar apenas ginástica (X=0, Y=30), ou seja, a
mudança do preço relativo dos bens provocou que ela alterasse totalmente o seu consumo, deixando de
praticar natação e passando a praticar só ginástica – comparar ponto E1 da Figura 2.11-b) com o ponto
Eo.
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28
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.1-b) Equilíbrios da Marta
b.3) Margarida (exercício 2.8)
Como a TMSY,X=1, en-quanto que a
razão de preços é igual a 1,5, em
equilíbrio,
a
Margarida
apenas
praticará ginástica, pois é uma
modalidade
relativamente
mais
barata que a natação e, para ela, a
ginástica e a natação são substitutos
perfeitos e têm o mesmo valor. Ela
gastará todo o seu ren-dimento nesta
modalidade e fará ginástica 30 horas
por mês, situando-se na curva de
indiferença de índice 30.
Figura 2.11-c) Equilíbrios da Margarida
Neste caso, a alteração dos preços relativos acabou por não afectar o nível de bem-estar, mas provocou
uma alteração radical do consumo de equilíbrio. Antes daquela alteração, qualquer ponto do segmento
AB da figura 2.11-c) era um ponto de equilíbrio e, após, apenas o ponto B é de equilíbrio.
b.4) Maria (exercício 2.9)
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
⎧Y = 0,5 X
⎧−
⎧Y = 7 ,5
⇔⎨
⇔⎨
⎨
⎩60 = 3 X + 2Y
⎩60 = 3 X + 2(0,5 X )
⎩ X = 15
O aumento do preço da
natação vai fazer com que
a Maria reduza o número
de horas que dedica a cada
modalidade, pois para ela
as duas modalidades são
estritamente complementares, diminuindo o seu
nível de bem-estar. A
solução
de
equilíbrio
passará a ser de 15 horas
de natação e de 7,5 horas
de ginástica e situa-se na
curva de indiferença de
índice 5 – ponto E1 da
figura 2.11-d).
Figura 2.11-d) Equilíbrios da Maria
Nota: Da resolução deste exercício pode concluir-se que a solução de equilíbrio nem sempre é única.
Exercício 2.12 Curva Consumo Rendimento, Curva de Engel, Curva Consumo
Preço e Curva da Procura
Considere que a ordenação das preferências de um consumidor é representada pela
função índice de utilidade: U=X1X2, onde X1 e X2 representam, respectivamente,
unidades dos bens X1 e X2 consumidas por período de tempo.
Os preços dos dois bens são: PX1 = 10 u.m. e PX2 = 4 u.m. e o rendimento gasto
integralmente pelo consumidor na sua aquisição é de 80 u.m.
a) Qual é a combinação de bens que este consumidor deverá, racionalmente,
adquirir?
b) Defina curva consumo-rendimento e curva de Engel, explicitando os
pressupostos subjacentes a estes conceitos?
b-1) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e comente o seu
significado económico. Represente-as graficamente.
b-2) Se, para um rendimento de 60 u.m., este consumidor adquirir 2 unidades do
bem X1, estará a ser racional?
c) Defina curva consumo-preço e curva da procura do bem X1, explicitando os
pressupostos subjacentes a estes conceitos?
c-1) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e represente-as
_______________________________________________________________________________
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30
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
graficamente.
c-2) Comente a configuração da curva consumo-preço.
d) Calcule as expressões analíticas das elasticidades preço directa e cruzada da
procura do bem X1, bem como a sua a elasticidade rendimento. Que conclui?
Resolução
a) Sendo a função utilidade de tipo Cobb-Douglas12, em equilíbrio o consumidor adquire ambos os
bens (solução interior). A combinação óptima de bens é obtida através da resolução do sistema (1), que
satisfaz as duas condições de equilíbrio do consumidor:
PX 1
⎧ X 2 PX 1
⎧
X
=
⎪⎪
⎪TMS X 12 =
PX 2
⇔ (1) ⎨ X 1 PX 2
⎨
⎪R = P X + P X
⎪R = X P + X P
X1 1
X2
2
1 X1
2 X2
⎩
⎩⎪
dado que UMg X 1 =
X
pois TMS X 2 =
1
UMg X 1
UMg X 2
X
⇔ TMS X 2 =
1
X2
,
X1
∂U
∂U
⇔ UMg X 1 = X 2 e UMg X 2 =
⇔ UMg X 2 = X 1
∂X 1
∂X 2
Substituindo os valores de R e dos preços em (1):
⎧ X 2 10
=
⎧ X = 2 ,5 X 1
⎧ X = 10
⎧−
⎪
4
⇔⎨ 2
⇔⎨
⇔⎨ 2
(2)⎨ X 1
⎩80 = 10 X 1 + 10 X 1
⎩80 = 10 X 1 + 4 . 2,5 X 1
⎩X 1 = 4
⎪80 = 10 X + 4 X
1
2
⎩
A combinação óptima de bens é constituída por 4 unidades do bem X1 e 10 unidades do bem X2 por
período de tempo.
b)
A curva consumo-rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando
varia o seu rendimento nominal, tudo o mais constante. É definida sob as hipóteses de que as
preferências do consumidor e os preços dos bens permanecem constantes, apenas variando o
rendimento nominal do consumidor.
A curva de Engel de um bem é derivada a partir da curva consumo-rendimento, pelo que assenta nos
mesmos pressupostos. Mostra a relação entre a quantidade consumida desse bem, no equilíbrio do
consumidor, e o rendimento nominal do consumidor, ceteris paribus.
b-1) A curva consumo-rendimento é definida no espaço (X1,X2), para R variável. A sua expressão
analítica relaciona X1 com X2 e é do tipo X2=f(X1) ou X1=g(X2). É obtida a partir da condição de
igualdade entre a taxa marginal de substituição e o preço relativo dos bens13:
12
Uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas é igual a U=X1αX2β, α > 0 e β > 0 (neste caso α =1 e β =1) . As curvas de
indiferença que lhe estão associadas são ramos de hipérboles (
X2 =
u
1
β
α
, onde u é uma constante positiva), cujas
X1β
assímptotas coincidem com os eixos coordenados. Daí que, a solução de equilíbrio seja sempre, neste caso, uma solução interior.
13
Se apenas variar o rendimento nominal do consumidor, a recta orçamental desloca-se paralelamente a si própria no espaço
dos bens (X1, X2). Os sucessivos pontos de equilíbrio são dados pelos pontos de tangência entre as curvas de indiferença e a recta
orçamental associada a cada nível de rendimento, satisfazendo portanto a condição de igualdade entre a taxa marginal de
substituição entre os bens e a sua razão de preços.
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31
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
TMS X 1 , X 2 =
PX 1
PX 2
⇔
X 2 10
=
⇔ X 2 = 2,5 X 1
X1
4
A curva consumo-rendimento é uma recta que passa pela origem dos eixos coordenados e tem declive
positivo, o que significa que os bens X1 e X2 são bens normais, dado que o rendimento nominal do
consumidor e o consumo de cada um destes bens variam no mesmo sentido, ceteris paribus.
A curva de Engel do bem X1 tem expressão analítica do tipo X1=f(R), enquanto que a da curva de
Engel do bem X2 é do tipo X2=g(R). Para as calcular, considera-se o sistema definido pelas equações
da curva consumo-rendimento e da recta orçamental, considerando-se R variável e PX1 e PX2 constantes
(10 u.m e 4 u.m, respectivamente).
⎧_
⎧⎪ X 2 = 2,5 X 1
⎧⎪−
⎧⎪−
⎪
⇔
⇔
⇔⎨
(3) ⎨
R
⎨
⎨
⎪⎩ R = 10 X 1 + 4 . 2,5 X 1 ⎪⎩ R = 20 X 1
⎪⎩ R = 10 X 1 + 4 X 2
⎪ X 1 = 20 Curva de Engel do bem X1
⎩
R
R
⎧
⎧
Curva de Engel do bem X 2
⎪X =
⎪ X = 2,5
⇔⎨ 2
20 ⇔ ⎨ 2 8
⎪_
⎪−
⎩
⎩
Confirma-se que ambos os bens são normais, uma vez que o declive das suas curvas de Engel é
positivo.
Figura 2-12 a) Curvas consumo-rendimento e de Engel
b-2) Utilizando a equação da curva de Engel do bem X1, acima claculada, conclui-se que, para R=60
u.m, X1=3. Consequentemente, se o consumidor adquirir 2 unidades deste bem por período de tempo,
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32
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
ele não estará em equilíbrio, pois não maximiza o seu nível de satisfação, não sendo o seu
comportamento racional.
c) A curva consumo-preço do bem X1 é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor
quando varia o preço do bem X1, ceteris paribus. Assume-se, portanto, que se mantêm constantes as
preferências do consumidor, o seu rendimento e o preço do outro bem.
A curva da procura individual do bem X1 é deduzida a partir da curva consumo-preço, pelo que assenta
nos mesmos pressupostos que a esta estão subjacentes. Descreve a relação entre o preço deste bem e a
quantidade procurada desse bem no equilíbrio do consumidor, ceteris paribus.
c-1) A curva consumo-preço é definida no espaço (X1,X2), para PX1 variável e a sua expressão é do tipo
X2=f(X1) ou X1=g(X2). Para a calcular considera-se o sistema (4), no qual PX1 é variável e PX2 e R são
constantes (4 u.m. e 80 u.m., respectivamente), e resolve-se de modo a encontrar a relação entre X1 e X2
que se pretende:
4X 2
⎧
PX 1
⎧
⎧ X 2 PX 1
(5)
⎪ PX 1 = X
=
⎪TMS X 2 , X 1 =
⎧−
⎪
⎪
1
PX 2
4
(4)⎨
⇔ ⎨ X1
⇔⎨
⇔
⇔⎨
⎩80 = 4 X 2 + 4 X 2
⎪R = P X + P X
⎪80 = P X + 4 X
⎪80 = 4 X 2 X + 4 X
1
2
X1 1
2
X1 1
X2
2
⎩
⎩
⎪⎩
X1
⎧−
⇔⎨
⎩ X 2 = 10 Curva consumo - preço do bem X 1
A curva da procura do bem X1 tem por expressão analítica do tipo: X1 = f(PX1) e obtém-se a partir da
resolução do sistema (4)14 , mas de modo a encontrar a relação entre X1 e PX1:
PX X 1
⎧
⎧ X 2 PX 1
X2 = 1
⎪
=
4
⎪
⎪
4
⇔⎨
⎨ X1
P X
⎪80 = P X + 4 X
⎪80 = PX X 1 + 4 X 1 1 ⇔ 80 = 2 PX X 1 ⇔ X 1 = 40 Curva da procura do bem X1
X
1
2
1
1
1
⎩
⎪
4
PX 1
⎩
A curva da procura é o ramo de uma hipérbole equilátera que tem por assímptotas os eixos
coordenados, pelo que se trata de uma curva da procura de elasticidade preço constante e igual à
unidade.
14
Note-se que a expressão da curva da procura podia ter sido obtido atrás, se se tivesse completado a resolução do sistema (4),
substituindo a expressão obtida para a curva consumo preço na equação (5) desse sistema.
_______________________________________________________________________________
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33
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.12b) Curva consumo-preço e curva da procura do bem X1
c-2) A curva consumo preço do bem X1 é uma recta com declive nulo (dX2 /dX1 = 0). Se se
convencionar representar graficamente o bem X1 no eixo dos abcissas (eixo dos XX) e o bem X2 no
eixo das ordenadas (eixo dos YY), obtém-se uma recta paralela ao eixo dos XX, com ordenada na
origem igual a 10. Daí decorre que o consumo do bem X2 permanece constante e igual a 10 unidades
por período de tempo, quando varia o preço do bem X1, ceteris paribus. Significa que os bens X1 e X2
são independentes no consumo.
Mas, se o consumo do bem X2 não se altera, com a variação do preço do bem X1, e uma vez que o preço
do bem X2 é por hipótese constante e igual a 4 u.m., então a despesa que o consumidor realiza com a
aquisição do bem X2 é sempre a mesma (40 u.m.). Em consequência, a despesa realizada pelo
consumidor na aquisição do bem X1 terá, também, de ser sempre a mesma (PX1 X1 = R – PX2 X2), ou
seja, de 40 u.m., qualquer que seja o preço do bem X1. Tal significa que a elasticidade preço-directa da
procura do bem X1 é constante e igual à unidade.
Em suma, quando a curva consumo preço do bem X1 tem declive nulo, a curva da procura do bem X1 é
isoelástica e de elasticidade unitária, sendo a elasticidade cruzada da procura do bem X2 em relação ao
preço do bem X1 nula15.
15
Note que se está perante um caso especial em que a função procura ordinária de cada bem depende apenas do preço do próprio
bem e do rendimento do consumidor, o qual resulta de as preferências deste consumidor serem do tipo Cobb-Douglas.
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34
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
d) Em primeiro lugar, tem que se calcular a expressão analítica da procura do bem X1 em função das
suas determinantes: X1 = f (PX1, PX2, R), que relaciona a quantidade procurada óptima de X1 com os
preços de cada bem e o rendimento nominal do consumidor.
PX 1 X 1
⎧
⎧ X 2 PX 1
⎪X 2 =
PX 2
=
⎧⎧⎪
⎪
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔
⎨ X 1 PX 2
R
P
X
P
X
=
+
PX 1 X 1
X1 1
X1 1
⎪R = P X + P X
⎪
⎩
⎩ R = 2 PX 1 X 1
X1 1
X2
2
⎩
⎪ R = PX 1 X 1 + PX 2 P
X2
⎩
⎧−
⎪
R
⇔⎨
X =
Função Procura do bem X 1
⎪ 1 2P
X1
⎩
Confirma-se que a função procura16 do bem X1 não depende do preço do bem X2. Utilizando esta
expressão da função procura, podem-se calcular as suas elasticidades:
•
Elasticidade Preço-directa da Procura (EX1, PX1)
E X 1 , PX 1 = −
•
E X 1 ,R =
2
⎞ PX
R 2 PX 1
1
⎟
⇔ E X 1 , PX 1 =
⇔ E X 1 , PX = 1
2
⎟ R
R
2
P
X
1
⎠ 2 PX
1
Elasticidade Preço-cruzada da Procura (EX1, PX2)
E X 1 , PY 2 =
•
⎛
∂X 1 PX 1
R
⇔ E X 1 , PX 1 = −⎜ −
⎜ 2P 2
∂PX 1 X 1
X1
⎝
∂X 1 PX 2
∂X 1
⇔ E X 1 , PY 2 = 0 , dado que
=0
PX 2 X 1
∂PX 2
Elasticidade Rendimento da Procura (EX1, R)
∂X 1 R
1
R
1 2 PX 1 R
⇔ E X 1 ,R =
⇔ E X 1 ,R =
⇔ E X 1 ,R = 1
2 PX 1 R
∂R X 1
2 PX 1
R
2 PX 1
Conclui-se que, ceteris paribus, a elasticidade da procura do bem X1 em relação ao seu próprio preço é
constante e igual à unidade, sendo por isso constante a despesa realizada por este consumidor com a
aquisição deste bem; por outro lado, é nula a elasticidade da procura de X1 em relação ao preço do
outro bem, pelo que os bens X1 e X2 são independentes no consumo; por fim, o bem X1 é um bem
normal para o qual a quantidade procurada e o rendimento variam na mesma proporção (elasticidade
rendimento unitária).
16
Se nesta função se considerar R constante e igual a 80 u.m., obtém-se a equação da curva da procura do bem X1.
Analogamente, mas para PX1 constante e igual a 4 u.m., obtém-se a equação da curva de Engel deste bem.
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35
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Exercício 2.13 Função Procura, Curvas Consumo-Preço e de Engel
Considere que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são
descritas pela função utilidade: U= X 3/4Y 1/4, onde U designa o índice de utilidade e X
e Y as quantidades consumidas dos bens X e Y, expressas em unidades por período de
tempo.
a) Deduza, em termos gerais, as funções procura individual de cada bem.
b) Apresente a expressão analítica da curva consumo preço correspondente à
possibilidade de variação do preço do bem Y.
c) Suponha que os preços dos bens X e Y são iguais a 2 unidades monetárias (u.m.) e
que o consumidor despende 10 u.m. por período de tempo na aquisição destes dois
bens.
c.1) Represente graficamente a curva consumo preço do bem Y e, a partir dela, a
curva da procura do bem Y. Caracterize-a em termos de elasticidade preço.
c.2) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel.
Resolução
a) As funções procura individual de cada um dos bens mostram a relação entre as quantidades óptimas
procuradas de cada bem e os vários níveis alternativos dos preços dos bens e do rendimento do
consumidor. São funções do tipo: X=f (PX,PY, R) e Y=g (PX,PY,R).
Para obter as suas expressões analíticas resolve-se em ordem a X e a Y o sistema com as condições de
equilíbrio do consumidor, começando por calcular a expressão da TMSY,X:
UMg X =
∂U
3
⇔ UMg X = X −1 / 4 Y 1 / 4
∂X
4
TMS Y , X =
UMg Y =
∂U
1
⇔ UMg Y = X 3 / 4 Y − 3 / 4
∂Y
4
⇔ TMS Y , X =
PX
⎧
⎪TMS Y , X =
PY ⇔ (1)
⎨
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
UMg X
⇔ TMS Y , X =
UMg Y
3Y 1 / 4 Y 3 / 4
3/4
1/ 4
3
4
1
4
X −1 / 4 Y 1 / 4
X 3 / 4 Y −3 / 4
⇔ TMS Y , X =
⇔
3Y
X
X
X
PX X
⎧
⎧ 3Y PX
⎧−
⎧−
⎪Y = 3 P
=
⎪
⎪
⎪
⎪
Y
PY
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
3R ⇔
4
⎨X
⎪R = P X + P Y
⎪ R = P X + P PX X
⎪ R = 3 PX X
⎪X = 4P
⎩
X
Y
X
⎩
X
Y
⎩
⎪⎩
3 PY
R
=
(2) Função procura do bem Y
4 PY
3R
⎧
⎧
PX
⎪
⎪Y
4
P
⎪Y =
⎪
X
⇔⎨
⇔⎨
3
P
Y
⎪
⎪ X = 3R
⎪⎩−
⎪⎩
4 PX
(3) Função procura do bem X
Repare-se que esta função utilidade é de tipo Cobb-Douglas, pelo que se obtiveram funções procura
ordinárias de cada um dos bens que não dependem do preço do outro bem, o que significa que os bens
X e Y são independentes no consumo, sendo nula a sua elasticidade preço cruzada da procura.
b) Trata-se de determinar a equação da curva consumo preço do bem Y, lugar geométrico dos pontos
de equilíbrio do consumidor quando varia o preço do bem Y e tudo o mais permanece constante. Para
esse efeito, considera-se o sistema (1) com as condições de equilíbrio do consumidor, mas onde PX e R
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36
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
__
__
são constantes, que surgem notadas como PX e R . Resolve-se esse sistema para obter a expressão
que relaciona X e Y, eliminando-se PY entre as suas duas equações:
__
⎧
__
⎧
⎧ ____
PX X
⎪
PY =
⎪ 3Y = PX
⎪
__
__
⎪
⎪⎪
⎪
3Y
PY
⇔⎨
⇔ ⎨__ 4 PX X
3R
⎨X
__
⇔ (4) X = __ Curva Consumo Preço do bem Y
⎪__ __
⎪ __ __
⎪R =
P X
3
⎪⎩ R = PX X + YPY
⎪ R = PX X + Y X
⎪⎩
4 PX
3Y
⎩⎪
c.1) Sendo R e PX constantes e iguais, respectivamente, a 10 u.m. e 2 u.m, obtém-se, por substituição
em (2), a equação da curva da procura do bem Y e, por substituição em (4) a equação da curva consumo
preço do bem Y:
De (2) Y =
R
10
2,5
, pelo que Y =
⇔Y =
Curva da Procura do bem Y
4 PY
4 PY
PY
__
De (4) X =
3R
__
4 PX
, pelo que X =
3 . 10
15
⇔X =
⇔ X = 3,75 Curva Consumo preço do bem Y
4
4.2
Para a ilustração gráfica, arbitraram-se os seguintes valores para PY : 1 u.m., 2 u.m., 3 u.m. e 4 u.m.
Figura 2.13 Curva Consumo-Preço e Curva da Procura do bem Y
A curva da procura do bem Y é o ramo de uma hipérbole equilátera, cujas assímptotas são os próprios
eixos coordenados. Caracteriza-se por ser uma curva de elasticidade preço constante e igual à unidade.
Deste modo, ceteris paribus, se o preço do bem Y variar a quantidade procurada deste bem varia na
mesma proporção, mas em sentido contrário, pelo que a despesa realizada com este bem (PY Y) é
constante. Com efeito, a partir da equação da curva da procura, pode-se verificar que: PY Y =2,5 u.m.
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37
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
c.2) Para obter as expressões das curvas de Engel, basta substituir nas equações (2) e (3) das funções
procura calculadas na alínea a), os valores assumidos pelos preços de cada bem (2 u.m):
Substituindo PY = 2 na equação (2) Y =
R
R
, obtém - se : Y =
4 PY
8
Curva de Engel do bem Y;
substituindo PX = 2 na equação (3) X =
3R
3R
, tem - se que : X =
8
4 PX
Curva de Engel do bem X.
Ambos os bens são bens normais, uma vez que as suas curvas de Engel têm declive positivo.
Exercício 2.14 Curva Consumo-Rendimento e Curvas de Engel - bem prioritário
e bem de luxo (solução de canto)
Suponha que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são
descritas pela função U=(2X+8)(Y+4), X≥0, Y≥0, na qual U designa o índice utilidade
e X e Y as quantidades de cada um dos bens, expressas em unidades por período de
tempo.
Os preços unitários destes bens são os seguintes: PX=200 u.m. e PY=100 u.m.
a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta
função utilidade e esboce algumas dessas curvas.
b) Determine a expressão analítica da curva consumo-rendimento e explicite o
significado desta curva. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa.
c) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel dos bens X e Y e
explique o significado destas curvas. Proceda a uma representação gráfica
ilustrativa.
d) Classifique estes dois bens, tendo em conta a relação entre o seu consumo e o
rendimento do consumidor.
e) Determine a quantidade consumida de ambos os bens em equilíbrio, quando o
rendimento integralmente despendido, por período de tempo, na aquisição
destes dois bens é de 4000 u.m..
Resolução
a) Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por equação:
u
u
(2 X + 8 )(Y + 4 ) = u ⇔ Y + 4 =
⇔ (1) Y =
−4
2(X + 4 )
2( X + 4 )
A partir do estudo de (1) pode concluir-se que:
- as curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem, uma
vez que a 1ª derivada é negativa e a 2ª derivada é positiva:
u
u
Y' = −
<0 e
Y '' =
>0
2
2( X + 4 )
( X + 4 )3
- as curvas de indiferença intersectam os dois eixos coordenados:
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38
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
u
u − 32
− 4 , sendo ( X = 0; Y =
) as coordenadas do ponto em que a curva de índice u
8
8
intersecta o eixo vertical ;
X =0⇒Y =
u
u − 32
− 4 , sendo ( X =
; Y = 0 ) as coordenadas do ponto em que a curva de índice u
8
8
intersecta o eixo horizontal ;
- as curvas de indiferença têm também assímptotas vertical (X=-4) e horizontal (Y=-4), as quais se
situam fora do 1º quadrante, onde a função utilidade não tem significado económico (X≥0; Y≥0).
Y =0⇒ X =
Figura 2.14-a Representação das curvas de indiferença de índices 48, 64,80 e 96
b) A curva consumo rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando
varia o seu rendimento e tudo o mais permanece constante (neste caso, as suas preferências e os preços
dos bens X e Y). É definida no espaço de bens (X,Y), sendo a sua expressão analítica do tipo Y=f(X) ou
X=g(Y).
Sendo a TMSY,X igual ao quociente das utilidades marginais de X e de Y, para a calcular haverá que
começar por derivar parcialmente em ordem a X e a Y a função utilidade:
∂U
∂U
⇔ UMg Y = 2( X + 4 )
⇔ UMg X = 2(Y + 4) e UMg Y =
∂X
∂Y
UMg X
2(Y + 4 )
Y +4
=
⇔ TMS Y , X =
⇔ (2) TMS Y,X =
UMg Y
2( X + 4 )
X +4
UMg X =
TMS Y , X
Por sua vez, a restrição orçamental do consumidor é: R=PXX+PYY ,ou seja, (3) R=200X+100Y, sendo
o seu declive igual a -2.
Como as curvas de indiferença intersectam os eixos coordenados, existe a possibilidade de haver
solução de canto, caso em que, em equilíbrio, o consumidor adquirirá apenas um dos bens. Surgem
assim três casos possíveis, estando ilustrados nas figuras 2.14-b),c),d),e),f) os casos relativos a solução
de canto. Analisemos cada um destes casos.
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39
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
1º caso: solução de canto no ponto A (X=0,Y>0), ou seja, no ponto em que a recta de orçamento
intersecta o eixo horizontal.
Neste caso, dada a restrição orçamental do consumidor, u1 é a curva de indiferença de nível mais
elevado que o consumidor pode alcançar, gastando todo o seu rendimento no bem Y. Esta situação
explica-se pelo facto de o preço do bem X ser demasiado elevado em relação ao preço do bem Y para
que o consumidor o deseje consumir.
No ponto A, o valor da TMSY,X será inferior (ou no máximo igual) ao da razão de preços (Figura 2.14-b)
e c).
(b)
Figura 2.14 Solução de canto no ponto A. Na parte (b): TMS Y ,X
(c)
PX
P
<
; na parte (c): TMS Y , X = X
PY
PY
O ponto A é um ponto de equilíbrio se se observarem as duas condições seguintes:
⎧ Y + 4 PX
≤
⎪
Como, no ponto A, X = 0 :
⎨ X + 4 PY
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧Y + 4
⎧Y ≤ 4
⎧ R
≤2
≤4
⎧ R ≤ 400
⎪
⎪
⎪
⇔⎨
⇔⎨
R ⇔ ⎨ 100
⎨ 4
⎩ ___
⎪ R = 100Y
⎪Y = 100
⎪ ___
⎩
⎩
⎩
Em conclusão, o ponto A é um ponto de equilíbrio para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 400
u.m. por período de tempo, caso em que o consumidor adquirirá uma quantidade do bem Y que será
inferior ou igual a 4 unidades.
Deste modo, para níveis de rendimento não superiores a 400 u.m.,a curva consumo rendimento
coincide com o eixo horizontal até ao ponto de coordenadas (X=0,Y=4). Em termos analíticos será:
(3)
X =0 e 0 ≤Y ≤4
se
0 ≤ R ≤ 400
2º caso: Solução de canto no ponto B (X>0, Y=0), onde a recta orçamental intersecta o eixo horizontal.
Em equilíbrio o consumidor gastará agora todo o seu rendimento no bem X , pelo que X=R/200.
Este ponto é de equilíbrio se nele o valor da TMSY,X for superior (ou no máximo igual) ao da razão de
preços (Figura 2.14-d),e).
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40
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
4
≥ 2 , o que é uma condição impossível pois
X +4
X>0. Em conclusão, para esta razão de preços, não existe solução de canto no ponto B, pois essa
solução é impossível.
Como, no ponto B, Y=0, então esta condição virá:
(d)
Figura 2.14 Solução de canto no ponto B: na parte (d) TMS Y , X
(e)
P
> X
PY
e na parte (e) TMS Y , X =
PX
PY
3º caso: solução interior (X>0,Y>0)
Em equilíbrio, o consumidor consumirá ambos os bens. Esta solução só ocorre para níveis de
rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo, como resulta do estudo do 1º caso..
Quando existe solução interior, no equilíbrio verifica-se a condição:
P
Y + 4 200
TMS Y , X = X
⇔
=
⇔ Y = 2X + 4
PY
X + 4 100
Deste modo, para R>400, a curva consumo-rendimento tem por equação: (4) Y=2X+4.
Reunindo (3) e (4), conclui-se que a expressão analítica da curva consumo-rendimento é:
⎧0 ≤ Y ≤ 4 e X = 0 se 0 ≤ R ≤ 400
(5) ⎨
se R > 400
⎩Y = 2 X + 4
Em conclusão, em equilíbrio, o consumidor só consumirá ambos os bens se o seu rendimento por
período de tempo for superior a 400 u.m.; para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 400 u.m.,
todo o rendimento será despendido no consumo do bem Y e, naturalmente, se o seu rendimento for
nulo, o consumo do bem Y também o será.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura2.14-e) Curva Consumo Rendimento
(ilustração para os casos em que R=400, R=1200, R=2000 e R=4000)
c) A curva de Engel de um bem mostra a relação entre a quantidade procurada desse bem, em
equilíbrio, e o rendimento do consumidor, mantendo-se constantes as suas preferências e o preço dos
bens. Obtém-se a partir da curva consumo-rendimento, relacionando a quantidade procurada do bem
com os níveis alternativos de rendimento do consumidor.
c.1) A curva de Engel do bem Y é uma função do tipo Y=f(R). É deduzida a partir da análise do
equilíbrio do consumidor, sob as hipóteses de que se mantêm as suas preferências e os preços dos bens
(PX=200 e PY=100).
1º Caso: Solução de canto no ponto A (0 ≤R ≤400)
Neste caso, o rendimento é integralmente gasto na aquisição do bem Y, pelo que, neste ramo, a
R
expressão analítica da curva de Engel do bem Y é: Y =
100
2º Caso: Solução interior (R>400)
Y −4
⎧
PX
⎧
⎧ Y + 4 200
⎪X = 2
=
⎧Y = 2 X + 4
⎪
⎪
⎪TMS Y , X =
PY ⇔ ⎨ X + 4 100
⇔
⇔ (6) ⎨
⇔⎨
⎨
⎩ R = 200 X + 100Y
⎪ R = 200⎛⎜ Y − 4 ⎞⎟ + 100Y
⎪ R = 200 X + 100Y
⎪R = P X + P Y
⎩
X
Y
⎩
⎪⎩
⎝ 2 ⎠
⎧−
⎧−
⎪
⇔⎨
⇔⎨
R + 400
⎩ R + 400 = 200Y
⎪Y = 200
⎩
Note-se que, uma vez que já se tinha calculado a expressão analítica da curva consumo-rendimento,
bastaria ter iniciado a resolução a partir do sistema (6).
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
R
⎧
⎪⎪Y = 100
Curva de Engel do bem Y: (7) ⎨
⎪Y = R + 400
⎪⎩
200
para 0 ≤ R ≤ 400
para R > 400
Figura 2.14-f) Curva de Engel do bem Y
(ilustração para os casos em que R=400, R=1200, R=2000 e R=4000)
c.2) A curva de Engel do bem X é uma função do tipo X=g (R), sendo calculada sob as hipóteses de que
permanecem constantes as preferências do consumidor e os preços de ambos os bens (PX=200 e
PY=100).
Como o bem X só é consumido para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo,
isto é, quando a solução de equilíbrio é uma solução interior, para obter a curva de Engel do bem X
basta considerar o sistema (6) e resolvê-lo de modo a obter a expressão pretendida, ou seja:
⎧−
⎧Y = 2 X + 4
⎧−
⎧−
⎪
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
R − 400
⎨
⎩ R = 200 X + 100Y
⎩ R = 200 X + 100(2 X + 4 )
⎩ R − 400 = 400 X
⎪ X = 400
⎩
Curva de Engel do bem X:
⎧X = 0
⎪
(8) ⎨
R − 400
⎪ X = 400
⎩
para
para
0 ≤ R ≤ 400
R > 400
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.14-g) Curva de Engel do bem X
(ilustração para os casos em que R=400, R=1200, R=2000 e R=4000)
d) Para calcular a elasticidade rendimento, pode-se utilizar as curvas de Engel de cada bem.
Quanto ao bem X, a elasticidade rendimento só é definida para níveis de rendimento superiores a 400
u.m. por período de tempo. Tendo em conta a expressão analítica definida em (8) para esse intervalo:
ε X ,R =
dX R
1
R
1 400 R
R
⇔ ε X ,R =
⇔ ε X ,R =
⇔ ε X ,R =
> 1 se R > 400
dR X
400 R − 400
400 R − 400
R − 400
400
Quanto ao bem Y, utilizando (7):
ε Y ,R
1
R
⎧
⎪ε Y , R = 100 R / 100 se 0 ≤ R ≤ 400
se 0 ≤ R ≤ 400
⎧ε Y , R = 1
⎪
dY R
⎪
=
⇔⎨
⇔⎨
1
R
R
dR Y
< 1 se R > 400
⎪ε Y , R = 200 R + 400 se R > 400
⎪ε Y , R =
R + 400
⎩
⎪
200
⎩
Pode concluir-se que, ambos os bens são bens normais pois, quando definida, a elasticidade rendimento
é positiva. No entanto, enquanto que o bem X é um bem de luxo, pois a elasticidade rendimento é
superior à unidade, sendo adquirido apenas para R>400, o bem Y é um bem de primeira necessidade.
De facto, o consumidor consagra a totalidade do rendimento à aquisição deste bem, para níveis baixos
de rendimento (R≤400), sendo nesse caso a sua elasticidade rendimento unitária, e para níveis de
rendimento mais elevados (R>400), a procura deste bem é inelástica em relação ao rendimento
(elasticidade rendimento é inferior à unidade).
e) Para determinar a combinação óptima destes dois bens, basta substituir nas expressões (7) e (8) atrás
calculadas das curvas de Engel, R por 4.000, obtendo-se Y=22 e X=9, respectivamente.
Substituindo estes dois valores na expressão da função utilidade:
U=(2x9+8)(22+4) Ù U=676
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44
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Em equilíbrio, este consumidor adquirirá, por período de tempo, 9 unidades do bem X e 22 unidades do
bem Y, situando-se na curva de indiferença de índice 676 (Figura 2.14-h)).
Fig 2.14-h) Solução interior
Exercício 2.15 Curvas de Engel -bem normal e bem inferior (solução de canto)
Suponha que as preferências da família Pereira em relação à carne de frango são
definidas pela função U=(X+6) (X+Y), com X≥0 e Y≥0, onde U designa o índice de
utilidade e X e Y representam a quantidade de carne de frango do campo e de aviário,
respectivamente, expressas em quilogramas por mês. O preço de um quilograma de
carne de frango de aviário é de € 2,50, sendo o outro tipo de carne 80% mais caro.
a) Represente graficamente uma curva de indiferença.
b) Determine a quantidade consumida de cada tipo de carne em função do
rendimento que esta família afecta mensalmente ao consumo de carne de frango
e represente graficamente essas funções.
c) Caracterize estes dois bens.
Resolução
a) A curva de indiferença correspondente a um nível de utilidade u>0, tem por equação:
u
u
( X + 6 )( X + Y ) = u ⇔ X + Y =
⇔ (1) Y =
−X
X +6
X +6
As curvas de indiferença são decrescentes e convexas em relação à origem, uma vez que:
u
2u
Y' =−
− 1 < 0 e Y '' =
>0
2
( X + 6)
( X + 6)3
As curvas de indiferença intersectam:
- o eixo vertical no ponto (X=0,Y=u/6)
-o eixo horizontal no ponto ( X = −3 + 9 + u ,Y = 0 )
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45
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.15-a) Curva de indiferença de índice u>0
b) Como as curvas de indiferença intersectam os eixos coordenados, três situações de equilíbrio são
possíveis17. Examinemo-las.
Antes porém calculemos:
UMg X
2X +Y +6
TMS Y , X =
⇔
(2) TMS Y , X =
UMg Y
X +6
∂U
∂U
⇔ UMg X = 2 X + Y + 6 e UMg Y =
⇔ UMg Y = X + 6
∂X
∂Y
Restrição orçamental: (3) R=4,5X+2,5Y pois PX=(1+0,8)PY
UMg X =
1º Caso: Solução de canto no ponto em que a recta orçamental intersecta o eixo horizontal: (X=0, Y>0)
Este ponto será a escolha óptima se nele se verificarem as duas condições seguintes:
PX
⎧
⎧Y ≤ 4 ,8
⎧ R
⎧Y + 6
≤ 4 ,8 ⇔ R ≤ 12
≤ 1,8
⎪TMS Y ,X ≤
⎪
⎪
⎪
P
X
=
0
−
⇔
⇔
Usando
(2)
e
como
tem
se
:
R
⎨
⎨ 6
⎨
⎨ 2 ,5
Y
Y
=
⎪R = P X + P Y
⎪ R = 2 ,5Y
⎪
⎪ ____
2 ,5
⎩
⎩
⎩
X
Y
⎩
Para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 12 €, esta família só consome carne de frango de
aviário (bem Y)
2º Caso: Solução de canto no ponto em que a recta orçamental intersecta o eixo horizontal: (X>0, Y=0)
Este ponto será o ponto de equilíbrio se:
PX
⎧
⎧ X ≥ 24
⎧ R
⎧ 2X + 6
≥ 24 ⇔ R ≥ 108
≥ 1,8
⎪TMSY , X ≥
⎪
⎪
⎪
PY Usando (2) e como Y = 0 tem − se : ⎨ X + 6
⇔⎨
R ⇔ ⎨ 4 ,5
⎨
⎪R = P X + P Y
⎪ R = 4 ,5 X
⎪ X = 4 ,5
⎪ ____
⎩
⎩
⎩
X
Y
⎩
Para níveis de rendimento superiores ou iguais a 108 €, só consome carne de frango do campo (bem Y).
17
Ver no exercício 2.14, as figuras 2.14-b),c),d),e).
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46
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
3º Caso: Solução interior: (X>0,Y>0)18
Esta solução ocorre para 12<R<108 e é definida pelas seguintes condições:
PX
⎧
⎪TMSY , X =
PY Usando (2) e (3) tem − se : (4)
⎨
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧ 2X + Y + 6
= 1,8
⎪
⎨ X+6
⎪ R = 4,5 X + 2,5Y
⎩
Resolvendo a 1ª equação em ordem a Y e substituindo na restrição orçamental :
⎧ __
⎪
⇔⎨
(Curva de Engel do bem X)
R-12
R
⎪ X = 4 ⇔ (5) X = 4 − 3
⎩
Resolvendo a 1ª equação de (4) em ordem a X e substituindo na restrição orçamental :
⎧Y = −0,2 X + 4,8
⎨
⎩ R = 4,5 X + 2,5(−0,2 X + 4,8 )
⎧ __
⎧ X = 24 − 5Y
⎪
R − 108
⎨
⎨
=
,
(
−
)
+
,
R
4
5
24
5
X
2
5
Y
⎩
⎪Y = − 20 ⇔ (6) Y = −0,05 R + 5,4 (Curva de Engel do bem Y)
⎩
Reunindo os 3 casos, as expressões analíticas das curvas de Engel são:
Curva de Engel do bem X :
⎧
⎪X = 0
se 0 ≤ R ≤ 12
⎪
R
⎪
⎨ X = − 3 se 12 < R < 108
4
⎪
R
⎪
se R ≥ 108
⎪ X = 4 ,5
⎩
Curva de Engel do bem Y :
R
⎧
se 0 ≤ R ≤ 12
⎪Y = 2,5
⎪⎪
⎨Y = −0,05 R + 5,4 se 12 < R < 108
⎪Y = 0
se R ≥ 108
⎪
⎪⎩
18
Note-se que, quando a solução de equilíbrio é interior, os pontos em que a recta de orçamento intersecta os eixos não são
pontos de equilíbrio, uma vez que não satisfazem as condições requeridas para tal. De facto, tem-se, então, que
- no ponto de intersecção com o eixo horizontal (X=0,Y>0), a TMSY,X é superior à razão de preços, ou seja, R>12:
PX
⎧
⎪TMS Y , X >
PY
⎨
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧Y > 4,8
⎧ R
⎧Y + 6
> 4,8 ⇔ R > 12
> 1,8
⎪
⎪
⎪
Substituin do obtém - se : ⎨ 6
⇔⎨
R ⇔ ⎨ 2,5
⎪Y = 2,5
⎪ ______
⎪ R = 2,5Y
⎩
⎩
⎩
- no ponto de intersecção com o eixo vertical (X>0, Y=0), a TMSY,X é inferior á razão de preços, isto é, R<108:
PX
⎧
⎪TMS Y , X <
PY
⎨
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
⎧ X < 24
⎧ R
⎧2X + 6
< 4,8 ⇔ R < 108
< 1,8
⎪
⎪
⎪
⇔⎨
Substituin do obtém - se : ⎨ X + 6
R ⇔ ⎨ 4 ,5
⎪ R = 4,5 X
⎪ X = 4,5
⎪ ______
⎩
⎩
⎩
O que confirma que, quando 12<R<108, a solução é interior.
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47
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.15-b) Curvas de Engel do bem X e do bem Y
NOTA: A curva consumo-rendimento (não se pede) é:
⎧ X = 0 e 0 ≤ Y ≤ 4 ,8
⎪
⎨Y = -0 ,2 X + 4 ,8
⎪ X ≥ 24 e Y = 0
⎩
se 0 ≤ R ≤ 12
se 12 < R < 108
se
R ≥ 108
c) A carne de frango do campo (bem X) só é consumida para níveis de rendimento superiores a 12 € é
um bem normal, pois a sua curva de Engel tem declive positivo, pelo que o consumo aumenta com o
aumento do rendimento mensal afecto ao consumo destes dois bens19.
Esta família só consome frango de aviário (bem Y), para níveis de rendimento muito baixos (R≤12) e,
nesse intervalo, este bem é um bem normal. Mas depois, à medida que o rendimento aumenta, ela vai
progressivamente substituindo o frango de aviário pelo frango do campo. Daí que, quando o
rendimento gasto mensalmente em carne de frango está compreendido entre 12 e 108 euros, esta
família diminua o consumo de frango de aviário e a curva de Engel do bem Y tenha declive negativo,
ou seja, o frango de aviário passou a ser considerado um bem inferior. Finalmente, para níveis de
rendimento superiores a 108 euros mensais, esta família deixa de consumir frango de aviário e passa a
consumir apenas frango do campo.
19
Note-se que, no entanto, a elasticidade-rendimento da procura do bem X não é sempre a mesma.
Assim, para R є [12, 108], a procura deste bem é inelástica em relação ao rendimento, enquanto que,
para R>108, a elasticidade rendimento é unitária.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Exercício 2.16 Curva Consumo-Preço e Curva da Procura
As preferências do Tiago em relação aos bens X e Y são descritas pela seguinte
função: U =
XY
, X ≥ O, Y ≥ 0 ,
2X + Y
onde U designa o índice de utilidade e X e Y as
quantidades consumidas de cada um dos bens, expressas em unidades por período de
tempo. Admita que este consumidor gasta integralmente na aquisição destes bens 90
unidades monetárias, por período de tempo, e que o preço do bem X é de 2 unidades
monetárias, enquanto que o preço do bem Y é de 4 unidades monetárias.
1) Represente graficamente a curva de indiferença associada ao índice de utilidade
u>0.
2- a) Determine a expressão analítica da curva consumo-preço do bem Y, explicitando
o seu significado económico.
b) Calcule a expressão analítica da curva da procura do bem Y.
c) Utilizando a representação gráfica, ilustre como se deduz a curva da procura do
bem Y, a partir da sua curva consumo-preço.
3- a) Determine a expressão analítica da curva consumo-preço do bem X e representea graficamente.
b) Calcule a expressão analítica da curva da procura do bem X.
c) Utilizando a representação gráfica, ilustre a dedução da curva da procura do bem
X, a partir da sua curva consumo-preço.
4) Calcule as quantidades óptimas de cada bem que o Tiago deve adquirir, bem como
o nível de satisfação proporcionado por esse consumo. Ilustre graficamente a
situação de equilíbrio.
Resolução:
1) Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão
analítica:
XY
2 Xu
u=
⇔ 2 Xu + Yu = XY ⇔ Y ( x − u ) = 2 Xu ⇔ Y =
, X > u, Y > 2u
2X + Y
X −u
Esta curva é continuamente decrescente e convexa em relação à origem, uma vez que a 1ª derivada é
negativa e a 2ª derivada é positiva:
2u ( X − u ) − 2 Xu
2u 2
'
Y' =
⇔
Y
=
−
<0
( X − u) 2
( X − u) 2
Y '' =
0 − (−2u 2 )2( X − u )
⇔ Y '' =
4u 2
>0
( X − u) 4
( X − u) 3
Admite uma assímptota vertical em X=u e uma assímptota horizontal em Y=2u:
lim Y = +∞ ,
X →u
+
X = u é assímptota vertical e
lim Y = 2u ,
Y = 2u é assímptota horizontal.
X → +∞
Note que, como as curvas de indiferença nunca intersectam os eixos coordenados, sendo definidas
apenas para valores de X>u e de Y>2u, a solução de equilíbrio é interior, ou seja, em equilíbrio, o
Tiago consome sempre ambos os bens.
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49
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Nº de unidades do bem Y por período de tempo
Figura 2.16-a) Curva de Indiferença de índice u
u
X=u
Y=2u
Nº de unidades do bem X por período de tempo
2-a) A curva consumo-preço do bem Y (CCPY) é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do
consumidor quando varia o preço do bem Y e se mantêm constantes o preço do bem X (2 u.m.), o
rendimento nominal disponível (R=90 u.m.) e os gostos e preferências do consumidor.
É, portanto, definida no plano XY, sendo a sua expressão do tipo: Y=f(X) ou X=g(Y).
Como no caso desta função utilidade a solução é interior, em equilíbrio verifica-se a dupla condição:
PX
⎧
⎪TMS Y , X =
PY
(1)⎨
⎪R = P X + P Y
X
Y
⎩
TMSY , X =
UMg X =
UMgY =
UMg X
UMgY
Y2
⇔
TMSY , X =
2X
(2 X + Y ) 2
⇔
2
(2 X + Y )
2
(2) TMSY , X =
Y2
2X 2
Y (2 X + Y ) − 2 XY
Y2
∂U
UMg
⇔ UMg X =
⇔
=
X
∂X
(2 X + Y ) 2
(2 X + Y ) 2
X (2 X + Y ) − XY
∂U
2X 2
⇔ UMgY =
UMg
⇔
=
Y
∂Y
(2 X + Y ) 2
(2 X + Y ) 2
Como PX=2 e R=90, substituindo estes valores em (1), bem como o valor calculado em (2), obtém-se
o sistema (3), que se resolve de modo a achar a relação entre X e Y que define a curva consumo-preço
do bem Y:
⎧
4X 2
⎧ Y2
⎧−
2
⎪ PY = 2
⎧⎪−
⎧⎪−
=
⎪
⎪
⎪
Y
2
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔
( 3) ⎨ 2 X
PY
4X 2 ⇔ ⎨
2
2
⎪⎩90Y = 2 XY + 4 X
⎪⎩45Y − XY = 2 X 2
⎪90 = 2 X + P Y
⎪90 = 2 X + 4 X Y
⎪ 90 = 2 X +
Y
⎩
Y
⎩
⎪⎩
Y2
⎧−
⎧⎪−
⎪
⇔⎨
⇔⎨
2X 2
2
⎪⎩Y (45 − X ) = 2 X
, X ≠ 45
⎪Y =
45 − X
⎩
A curva consumo-preço do bem Y é definida apenas para valores de X inferiores a 45, uma vez que, em
equilíbrio, a quantidade consumida do bem X tem que ser inferior a R/PX, o que resulta da restrição
orçamental e do facto de a solução ser interior (em equilíbrio, o Tiago consome sempre ambos os bens,
dado não haver solução de canto). A expressão analítica desta curva é então:
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50
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
2X 2
, 0 < X < 45
45 − X
Para representar graficamente a curva consumo-preço do bem Y, tem-se que estudar as características
desta função.
(4 ) Y =
Zeros: X=0
1ªDerivada:
4 X (45 − X ) − (−1)2 X 2
180 X − 2 X 2
'
Y' =
⇔
Y
=
(45 − X ) 2
(45 − X ) 2
Y ' = 0 ⇔ 180 X − 2 X 2 = 0 ∧ X ≠ 45
X =0 ∨
'
Y >0
X = 90 pois X < 45
para 0 < X < 45
2ª Derivada:
(180 − 4 X )(45 − X ) 2 − 2(45 − X )(−1)(180 X − 2 X 2 )
4(45 − X ) 3 + 4 X (45 − X )(90 − X )
Y '' =
⇔ Y '' =
⇔
4
(45 − X )
(45 − X ) 4
⇔ Y '' =
[
(45 − X ) 4 (45 − X ) 2 + 4 X (90 − X )
(45 − X )
4
]⇔Y
''
=
4 (2025 − 90 X + X 2 ) + 360 X − 4 X 2
(45 − X )
3
⇔ Y '' =
8100
(45 − X ) 3
Y '' > 0, para X < 45
Assímptotas:
lim Y = + ∞ ,
X → 45
X = 45 (assímptota vertical)
e
−
lim Y
= − ∞ (não tem assímptota horizontal)
X → +∞
Acurva consumo-preço do bem Y é crescente e convexa, parte da origem dos eixos e tem uma
assímptota vertical em X=45.
2-c) A curva da procura do bem Y é deduzida sob os mesmos pressupostos que a curva consumo-preço
do bem Y. Mostra a relação entre a quantidade procurada do bem Y e o seu preço, no equilíbrio do
consumidor, ceteris paribus. A sua expressão é do tipo Y=f(PY). Para obter a sua expressão analítica,
resolve-se o sistema (3), mas agora de modo a obter a relação pretendida entre Y e PY :
⎧
⎧ Y2
Y PY
⎧ 2 Y 2 PY
2
⎧⎪−
⎧⎪4 X 2 = Y 2 PY
=
⎪X = +
⎪
⎪
X
=
2
⇔
⇔
⇔
⇔⎨
P
2
⎨2X
⎨
⎨
⎨
4
Y
⎪⎩ _____
⎪90 = 2 X + P Y
⎪ ______
⎪
⎩⎪90 = Y ( PY + PY )
⎩
Y
⎩
⎩90 = Y PY + PY Y
90
(5 ) Y =
, PY > 0 (expressão analítica da curva da procura do bem Y)
PY + PY
A curva da procura do bem Y é decrescente e convexa:
− (45 PY−1 / 2 + 90)
dY
=
<0
dPY
( PY + PY ) 2
e
d 2Y
dPY2
=
22,5 PY−3 / 2 ( PY + PY ) + 45( PY−1 / 2 + 2) 2
( PY + PY ) 3
>0
2-c) Para proceder à ilustração gráfica, arbitraram-se os valores de 1, 2, 4 e 9 unidades monetárias para
o preço do bem Y:
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51
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.16-b) Curva Consumo-Preço do bem Y e Curva da Procura do bem Y
3-a) A curva consumo-preço do bem X (CCPX) é definida no plano XY, considerando Px variável e
assumindo que se mantêm constantes os gostos e o rendimento nominal (R=90 u.m.) do consumidor,
bem como o preço do bem Y (PY=4 u.m.). Aplicando as condições de equilíbrio do consumidor,
resolve-se o sistema de modo a obter a relação procurada entre X e Y:
⎧
2Y 2
⎧ Y2
PX
⎪ PX = 2
⎧⎪−
=
⎪
⎪
X
⇔⎨ 2
⇔⎨
(6 ) ⎨ 2 X 2
4
⎪⎩Y + 2 XY − 45 X = 0
2Y 2
⎪
⎪90 = P X + 4Y
X
⎩
⎪⎩90 = X + 4Y
Y=
− 2 X ± 4 X 2 + 180 X
− 2 X ± 2 X 2 + 45 X
⇔Y =
⇔ Y = − X + X 2 + 45 X ∨ Y = − X − X 2 + 45 X , pois Y > 0
2
2
Estudo da CCPX: (7) Y = − X + X 2 + 45 X , X > 0 :
1ª Derivada:
Y ' = −1 +
X + 22,5
X 2 + 45 X
2ª Derivada :
Y '' = −
506 ,25
( X 2 + 45 X ) 3 / 2
> 0 , para X > 0
<0
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52
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Assímptotas:
lim Y = 0 (não admite assímptota vertical)
X→0
+
e
lim Y = 22,5 , Y = 22,5 (assímptota horizontal)
X → +∞
A curva consumo-preço do bem X parte da origem dos eixos coordenados, é crescente e côncava e tem
uma assímptota horizontal em Y=22,5, sendo que 22,5=R/PY.
3-b) Para calcular a expressão da curva da procura do bem X, resolve-se o sistema (5) de modo a obter
a relação entre X e PX:
⎧
X 2 PX
⎧ Y2
⎧ 2 X 2 PX
⎪Y = +
PX
=
⎪
⎪Y =
⎪
2
⇔⎨
4
⎨2X 2
2 ⇔⎨
90
⎪90 = P X + 4Y
⎪ ____
⎪90 = PX X + 2 X 2 PX ⇔ (8) X =
⎩
X
⎩
⎪
PX + 2 2 PX
⎩
A curva da procura é decrescente (1ª derivada negativa) e convexa (2ª derivada positiva)
3-c) Para a ilustração, arbitraram-se os valores de 0,75, 1, 2, 4 e 8 unidades monetárias para o preço do
bem X:
Figura 2.16-c) Curva Consumo-Preço do bem X e Curva da Procura do bem X
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53
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
4) Para achar a combinação óptima de X e Y, quando R=90 u.m. e PX=2 u.m. e PY=4 u.m., basta
substituir os valores dos preços nas funções procura de cada bem (expressões 5 e 8). Em equilíbrio, o
Tiago consome 15 unidades de cada bem por período de tempo e situa-se na curva de indiferença de
índice 520.
Figura 2.16-d) Equilíbrio do Consumidor (X=15, Y=15, u=5)
75
70
Nº de unidades do bem Y por período de tempo
65
60
55
50
u=5
45
40
Y=22,5-0,5X
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
Nº de unidades do bem X por período de tempo
Exercício 2.17 Configuração da Curva Consumo-Preço e Elasticidade da
Procura
Considere o enunciado do exercício 2.16
1) A partir do comportamento da curva consumo-preço do bem X, conclua sobre o
grau de elasticidade-preço da procura deste bem.
2) Confirme a conclusão que retirou na alínea anterior através do cálculo das
elasticidades preço da procura desse bem.
3) A partir da relação entre elasticidade-preço da procura do bem X e despesa no bem
X, pronuncie-se sobre o valor da elasticidade preço-cruzada entre os bens X e Y.
4) Confirme a conclusão que acabou de retirar, recorrendo ao cálculo da elasticidade
preço-cruzada da procura do bem Y em relação ao preço do bem X.
5) Que conclui acerca da relação económica entre os bens X e Y? Justifique a sua
resposta.
20
Valor obtido através da substituição dos valores de X e de Y na função utilidade.
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54
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
1) Como se viu na resolução de 3-a) do exercício 2.16, a curva consumo-preço do bem X tem declive
positivo, pois a sua primeira derivada é positiva. Isto significa que, à medida que o preço do bem X
diminui21, se regista um aumento do consumo de ambos os bens. Como, por hipótese, o rendimento
nominal do Tiago e o preço do bem Y permanecem constantes, o aumento da despesa no bem Y só é
possível devido à diminuição da despesa no bem X. Consequentemente, a curva da procura do bem X é
inelástica, uma vez que o preço do bem X e a despesa efectuada na sua aquisição variam no mesmo
sentido.
2) Para calcular a elasticidade-preço da procura do bem X, precisa-se da expressão da curva da procura
deste bem, a qual foi obtida na resolução da questão 3-a) do exercício 2.16 (expressão 8):
90
. Deste modo:
X =
PX + 2 2 PX
E X , PX = −
[
]
90 1 + 2(2 PX ) −1 / 2
dX PX
⇔ E X , PX =
x
2
90
dPX X
PX + 2 2 PX
⇔ E X , PX =
(
PX + 2 PX
PX + 2 2 PX
)
PX
(P
X
+ 2 2 PX
)
⇔
<1
A curva da procura do bem X é inelástica, uma vez que a elasticidade-preço da procura do bem X é, em
valor absoluto, inferior à unidade. Comprova-se, assim, a análise realizada na alínea anterior sobre o
significado do comportamento ascendente da curva consumo-preço.
3) Sendo a procura do bem X inelástica em relação ao seu próprio preço, se o preço do bem X diminuir
(aumentar), a despesa realizada na aquisição deste bem também diminui (aumenta), ceteris paribus,
pelo que a despesa no bem Y aumenta (diminui). Consequentemente, a elasticidade cruzada da procura
do bem Y em relação ao preço do bem X é negativa, uma vez que a quantidade procurada do bem Y e
PX variam em sentido contrário.
4) Para calcular a elasticidade cruzada da procura do bem Y, é necessário determinar a expressão
analítica da procura do bem Y em função das suas determinantes (PX, PY e R). Retomando as
condições de equilíbrio do consumidor , calculadas na resolução da alínea 2-a) do exercício 2.16:
⎧
X 2 PX
⎪Y = +
⎧ 2 2 X 2 PX
⎧ Y2
PX
⎪⎪
⎧⎪−
PY
=
⎪Y =
⎪
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔
PY
PY
⎨2X 2
⎪⎩ R PY = PX PY X + PY 2 PX X
X 2 PX
⎪R = P X + P Y
⎪−
⎪
X
Y
⎩
⎩
⎪ R = PX X + PY
PY
⎪⎩
⎧⎪−
⎨
⎪⎩ R PY = ( PX
PY + PY
⎧
R 2 PX
⎪Y =
⎪⎪
PX PY + PY 2 PX
⇔⎨
2 PX ) X
R PY
⎪
⎪X =
PX PY + PY 2 PX
⎪⎩
A elasticidade cruzada da procura do bem Yé 22:
21
22
EY , PX =
(função procura do bem Y )
(função procura do bem X )
∂Y PX
∂PX Y
O que, graficamente, equivale a rodar a recta de orçamento para a direita em torno do ponto (X=0, Y=22,5).
Alternativamente, e como PY=4 e R=90, podia-se ter calculado a procura do bem Y em função
apenas do preço do bem X, através da substituição daqueles valores na função procura do bem Y,
_______________________________________________________________________________ 55
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
R(2 PX
∂Y
=
∂PX
)−1 / 2 ( PX
R (2 PX )
⇔
1/ 2
[(2 P
X
(P
(( P
R (2 PX )
⇔
[2
]⇔
PY + PY 2 PX − PY − (2 PX ) −1 / 2 PY
]⇔
PY + PY 2 PX
X
)
−1
X
( PX
1/ 2
PY + (2 PX ) −1 / 2 PY
PY + PY 2 PX ) − R (2 PX ) 1 / 2
−1
)
[
2
)
PY + PY 2 PX ) 2
PY + (2 PX )
−1 / 2
PY − PY − (2 PX )
−1 / 2
PY + PY 2 PX ) 2
( PX
⎞
⎛ P
R 2 PX ⎜⎜ Y
− PY ⎟⎟
2
PY )
⎠
⎝
⇔
2
( PX PY + PY 2 PX )
]
− R 2 PX PY
∂Y
=
<0
∂PX
2( PX PY + PY 2 PX ) 2
EY , PX =
(
− R 2 PX
2 PX
PY
PY + PY 2 PX
)
2
PX
R 2 PX
(P
X
EY , PX =
− PX
2( PX
PY
PY + PY 2 PX )
PY + PY 2 PX
⇔
)
− R 2 PX
(
2 PX
(
PY PX PX
PY + PY 2 PX
PY + PY 2 PX
)R
2
2 PX
<0
5) Sendo a elasticidade preço-cruzada da procura negativa, isso significa que os bens X e Y são bens
complementares. No entanto, e como se pode observar da forma das curvas de indiferença do Tiago em
relação aos bens X e Y, existe substituibilidade entre eles, uma vez que aquelas são decrescentes e
convexas em relação à origem, sendo a taxa marginal de substituição de Y por X, em valor absoluto,
decrescente23.
Esta aparente contradição na relação entre os dois bens pode explicar-se do seguinte modo:
- como a elasticidade-preço cruzada exprime a variação relativa do consumo de um bem
induzida pela variação relativa do preço do outro bem, isso significa que ela contempla o efeito total da
variação do preço;
- quando se classificam dois bens a partir da forma das curvas de indiferença, a análise é
realizada ao longo da mesma curva de indiferença, o que significa que o nível de utilidade permanece
constante. Em termos de decomposição do efeito total da variação do preço de um dos bens, significa
que se neutralizou o efeito-rendimento, através de uma variação compensatória do rendimento, que
permita manter constante o nível de utilidade do consumidor e isolar o efeito substituição.
Deste modo, pode haver situações em que a classificação da relação entre dois bens não seja a mesma,
consoante seja baseada no cálculo da elasticidade-preço cruzada da procura - que tem em conta o efeito
total da variação do preço do outro bem - ou assente apenas no efeito substituição. Daí que, na
literatura, a classificação da relação económica entre dois bens, a partir do sinal da elasticidade-preço
cruzada, surja com a designação adicional de “bruto”24, para acentuar o facto de se basear no efeito
total da variação do preço. O termo “líquido” é usado quando se classificam os dois bens, tendo em
conta apenas o efeito substituição, isto é, após a remoção do efeito rendimento25.
determinando a partir daí a expressão relativa à elasticidade-preço cruzada do bem Y. Obter-se-ia:
− PX
EY , PX =
<0
2 PX + 4 2 PX
23
De notar que o grau de complementaridade ou de substituibilidade entre os dois bens não é total, pois
não se está perante bens complementares perfeitos ou bens substitutos perfeitos.
24
Os bens são classificados como substitutos brutos (“gross substitutes”), quando a elasticidade
cruzada é positiva, como complementares brutos (“gross complements”), quando a elasticidade cruzada
é negativa, e como independentes, quando a elasticidade cruzada é nula. O cálculo desta elasticidade é
realizado com base na função procura ordinária ou Marshalliana, obtida na resolução deste exercício.
25
Os bens são classificados como substitutos líquidos (“net substitutes”) e complementares líquidos
(“net complements”) e a sua classificação é realizada a partir do cálculo da função procura compensada
ou Hicksiana.
_______________________________________________________________________________ 56
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)
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
De notar, finalmente, que os bens X e Y são bens normais26 e daí que o efeito rendimento seja
para ambos positivo, isto é, a variação do consumo desses bens vai no mesmo sentido que a variação do
rendimento real do consumidor. Assim, por exemplo, se diminuir o preço do bem X, o aumento do
consumo deste bem é explicado, simultaneamente, pelo efeito substituição e pelo efeito rendimento,
este último reforçando o primeiro.
No entanto o efeito total da variação do preço do bem X sobre o outro bem (bem Y) não é a priori
determinado, uma vez que o efeito substituição e o efeito rendimento actuam em sentidos contrários:
enquanto que o efeito substituição conduz à diminuição do consumo do bem Y, pois este bem tornou-se
relativamente mais caro, o efeito rendimento leva ao aumento do seu consumo, devido ao aumento do
rendimento real do consumidor. Neste exercício, o efeito total sobre o bem Y da diminuição do preço
do bem X resultou no aumento do consumo do bem Y, o que significa que o efeito rendimento foi mais
forte que o efeito substituição.
Em suma, para a situação da diminuição do preço do bem X:
Efeito Substituição
Bem X
Aumento do consumo
Bem Y
Diminuição do consumo
Aumento do consumo
Aumento do consumo
Aumento do consumo
Aumento do consumo
(Medido ao longo da
curva de indiferença)
Efeito Rendimento
Efeito Total
Relação entre os bens
Substitutos
(“net substitutes”)
Complementares
(“gross complements”)
Exercício 2.18 Decomposição do Efeito Preço em Efeito Substituição e Efeito
Rendimento
Considere que as preferências de um consumidor representativo são descritas pela
função U=XY, onde U designa o índice de utilidade, X a quantidade de bem X
consumida por período de tempo, expressa em unidades, e Y representa os outros bens
(bem compósito). O consumidor dispõe de um rendimento de 40 u.m. por período de
tempo que gasta integralmente nestes bens. O preço do bem X é de 1 u.m. e o do bem
compósito é de 1 u.m..Suponha que o preço do bem X duplicou.
Determine o efeito preço e decomponha-o, analítica e graficamente, nas suas
componentes de efeito rendimento e de efeito substituição segundo as abordagens
seguintes:
1. Variação compensatória do rendimento
a) Método de Hicks
b) Método de Slutsky
2. Variação equivalente do rendimento.
Resolução
Para determinar o efeito total da variação do preço do bem X sobre o consumo deste bem e dos outros
bens, tem-se que calcular a situação de equilíbrio inicial (PX=PY=1u.m.) e a situação de equilíbrio final
(PX=2 u.m. e PY=1u.m.):
Situação de equilíbrio inicial:
26
Como se pode concluir a partir da análise das suas funções procura, que apresentam derivadas
parciais positivas em relação ao rendimento.
_______________________________________________________________________________ 57
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
⎧U = XY
⎧ ___
⎪
⎧ ___
⎧U = 400
⎪
0
⎪⎪UMg X
⎪
⎪
Px
⎪Y
⇔ ⎨Y = X ⇔ ⎨Y = 20
⇔ ⎨ =1
=
⎨
PY
⎪
⎪
⎪X
⎪ UMg Y
⎩40 = 2 X
⎩ X = 20
⎪40 = X + Y
⎪
0
⎩
⎪⎩ R = PX X + PY Y
Em equilíbrio, o consumidor adquire 20 unidades do bem X por período de tempo e dispõe de 20 u.m.
para gastar na aquisição dos outros bens (bem Y), situando-se na curva de indiferença de índice 400.
Situação de equilíbrio final:
⎧U = XY
⎧ ___
⎪
⎧U = 200
⎧ ___
⎪
1
⎪
⎪
PX
⎪Y
⎪⎪UMg X
⇔ ⎨Y = 2 X ⇔ ⎨Y = 20
⇔⎨ =2
=
⎨
PY
⎪
⎪
⎪X
⎪ UMg Y
⎩ X = 10
⎩40 = 4 X
⎪40 = 2 X + Y
⎪
1
⎩
⎩⎪ R = PX X + PY Y
Após a alteração dos preços relativos, o consumidor passa a adquirir apenas 10 unidades do bem X por
período de tempo e dispõe de 20 u.m. para gastar na aquisição dos outros bens (bem Y), situando-se na
curva de indiferença de índice 200.
Pode-se concluir que o efeito total resultante do aumento do preço do bem X (efeito-preço) foi:
- sobre o bem X: ∆X= 10-20 ⇔ ∆X= -10 unidades por período de tempo;
- sobre o bem Y: ∆Y= 20-20 ⇔ ∆Y= 0
1. Para se decompor o efeito preço em efeito substituição e em efeito rendimento, tem que se
determinar uma situação de equilíbrio, que corresponde às escolhas que o consumidor realizaria se,
dado o novo sistema de preços, auferisse de uma variação hipotética do rendimento (“variação
compensatória do rendimento”) que o compensasse da perda de rendimento real provocada pela
duplicação do preço do bem X. Essa variação compensatória do rendimento é definida como sendo
aquela que permitiria ao consumidor manter o seu poder de compra, sendo este entendido:
- na abordagem de Hicks, como aquele que permite que o consumidor continue a usufruir
do mesmo nível de satisfação inicial (U=400);
- na abordagem de Slutstky, como aquele que permite que o consumidor continue a poder
adquirir o cabaz de bens inicial (X=20; Y=20).
Através desta variação hipotética do rendimento neutraliza-se, em termos analíticos, a diminuição do
rendimento real do consumidor, que é provocada pelo aumento do preço do bem X. Deste modo, a
passagem da situação de equilíbrio inicial para esta situação de equilíbrio hipotética permite isolar o
efeito-substituição - variação no consumo de X e de Y que se explica pela alteração dos preços
relativos dos bens. A passagem da situação de equilíbrio hipotética para a situação de equilíbrio final (e
que corresponde à reposição de facto do rendimento real do consumidor) permite isolar o efeito
rendimento, ou seja, a alteração no consumo de X e de Y que se explica pela diminuição do rendimento
real do consumidor resultante do aumento do preço do bem X.
1-a) A determinação da situação de equilíbrio hipotética passa pela resolução do seguinte problema:
qual é o rendimento mínimo de que o consumidor necessitaria (RH) para que, dados os novos preços,
mantivesse constante o seu nível de utilidade? Formalizando:
Min RH =2X+Y
sujeito a U=400
A solução deste problema é dada pela resolução do sistema:
⎧400 = XY
⎧400 = XY
⎧ X = + 200 ≅ 14,14
⎧400 = 2 X 2
⎪
1
⎪Y
⎪⎪
⎪
PX
⎪
⎪
⇔ ⎨Y = 2 200 ≅ 28,18
⇔ ⎨Y = 2 X
⇔⎨ =2
⎨TMS Y , X =
PY
⎪R = 4 X
⎪
⎪X
⎪
R = 4 200 ≅ 56,57
⎩ H
⎪⎩ R H = 2 X + Y
⎪R = P1 X + P Y
⎩⎪ H
X
Y
⎩ H
_______________________________________________________________________________
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58
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Se o consumidor auferisse de uma variação compensatória do rendimento de cerca de 16,57 u.m. então,
aos novos preços relativos dos bens, ele consumiria em equilíbrio cerca de 14,14 unidades do bem X
por período de tempo e disporia de cerca de 28,18 u.m. para adquirir os outros bens.
Segundo a abordagem de Hicks, a decomposição do efeito-preço é:
Efeito Substituição
Efeito Rendimento
Efeito Total (Efeito Preço)
Bem X
14,14 – 20 ≈ - 5,86
10 – 14,14 ≈ - 4,14
∆ X = - 10
Bem Y
28,28 – 20 ≈ + 8,28
20 – 28,28 ≈ -8,28
∆Y=0
Figura 2.18-a) Decomposição do efeito-preço segundo Hicks
1-b) O rendimento que o consumidor necessitaria de possuir para, aos novos preços, poder continuar a
adquirir o cabaz de bens inicial (X=20; Y=20) é igual a: RS = 2 x 20 + 20 Ù RS= 60 u.m.
De notar que, neste caso, a variação compensatória de rendimento (20 u.m.) equivale à diferença de
custo de aquisição de 20 unidades do bem X (20=∆PXX, sendo ∆PX=2-1 e X=20) e daí que esta
abordagem surja, também, designada por técnica da diferença de custo.
No entanto, com este rendimento e para a nova razão de preços, o consumidor não está em equilíbrio,
porque a recta orçamental intersepta a curva de indiferença de índice 400 no ponto A ( figura 2.18-b).
A situação de equilíbrio correspondente a este nível de rendimento hipotético é obtida através da
resolução do sistema:
⎧U = XY
⎧U = XY
⎪
⎧−
⎧−
⎧U = 450
1
⎪Y
PX
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨Y = 2 X
⇔ ⎨−
⇔ ⎨Y = 30
⇔⎨ =2
⎨TMS Y , X =
PY
⎪X
⎪60 = 2 X + 2 X
⎪ X = 15
⎪ X = 15
⎪
⎩
⎩
⎩
⎪⎩60 = 2 X + Y
⎪R = P1 X + P Y
X
Y
⎩ S
Neste caso, o consumidor atingiria um maior nível de bem-estar (U=450), consumindo, em equilíbrio,
15 unidades do bem X por período de tempo e dispondo de 30 u.m. para adquirir os outros bens.
_______________________________________________________________________________
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
A decomposição do efeito-preço segundo a abordagem de Slutsky é:
Efeito Substituição
Efeito Rendimento
Efeito Total (Efeito Preço)
Bem X
15 – 20 = - 5
10 – 15 = - 5
∆ X = - 10
Bem Y
30 – 20 = + 10
20 – 30 = - 10
∆Y=0
Figura 2.18-b) Decomposição do efeito-preço segundo Slutsky
2. Na abordagem da variação equivalente, isola-se, em primeiro lugar, o efeito rendimento e, depois, o
efeito substituição.
Como se viu, o aumento do preço do bem X provoca uma diminuição do nível de bem estar do
consumidor (passou da curva de indiferença de índice 400 para a de índice 200). Mas esta mesma
redução do nível de bem-estar podia ter sido, alternativamente, provocada por uma redução hipotética
do rendimento nominal do consumidor, mantendo-se constantes os preços relativos iniciais. Esta
variação hipotética do rendimento é designada por variação equivalente, no sentido em que tem o
mesmo efeito sobre o bem-estar do consumidor que a alteração do preço do bem X.
Para se decompor o efeito preço, tem que se calcular a situação de equilíbrio que se observaria se,
dados os preços iniciais (P0X=PY=1), se tivesse observado, por hipótese, uma variação do rendimento
(nominal) do consumidor que conduzisse a que o seu nível de bem-estar fosse igual ao que usufrui na
Min R E = PX0 X + PY Y
, sendo a sua
situação de equilíbrio final (U=200). O problema a resolver é:
Sujeito a U = 200
solução obtida através da resolução do sistema:
⎧U = XY
⎧200 = XY
⎧ X = + 200 ≅ 14,14
⎧200 = X 2
⎪
0
⎪Y
⎪⎪
⎪
P
⎪
⎪
X
⇔ ⎨Y = X
⇔ ⎨ =1
⇔ ⎨Y = 200 ≅ 14,14
⎨TMS Y , X =
PY
⎪X
⎪
⎪
⎪R = 2 X
⎪⎩ R E = 2 200 ≅ 28,28
⎩ E
⎪⎩ R E = X + Y
⎪R = P 0 X + P Y
X
Y
⎩ E
_______________________________________________________________________________
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60
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
A diminuição do rendimento, necessário para que o consumidor atinja o nível de bem-estar equivalente
ao alcançado com o aumento do preço do bem X, é de cerca de 11,72 u.m. (∆R ≈ 28,28 – 40). Se o
rendimento nominal do consumidor diminuísse nesse montante, em equilíbrio, e dados os preços
iniciais dos bens, ele consumiria cerca de 14,14 unidades de bem X por período de tempo, dispondo de
cerca de 14,14 u.m. para adquirir os outros bens.
A passagem da situação de equilíbrio inicial (ponto A) para esta situação de equilíbrio hipotética (ponto
B) permite isolar o efeito rendimento (Figura 2.18-c). Mas, embora a variação equivalente do
rendimento tenha o mesmo efeito sobre o bem-estar que o aumento do preço do bem X, o efeito deste
aumento sobre o consumo é diferente, pois a alteração dos preços relativos conduz a que substitua o
bem X pelo bem Y, até que se iguale a TMSY,X à nova razão de preços. Deste modo, o movimento de B
para C, ao longo da curva de indiferença de índice 200, corresponde à variação na quantidade
procurada associada, ao efeito substituição (Figura 2.18-c).
Segundo a abordagem da variação equivalente, a decomposição do efeito-preço é a seguinte:
Bem X
Bem Y
Efeito Rendimento
14,14 – 20 ≈- 5,86
14,14 – 20 ≈ -5,86
Efeito Substituição
10 – 14,14 ≈ - 4,14 20 – 14,14 ≈ + 5,86
Efeito Total (Efeito Preço)
∆ X = - 10
∆Y=0
Figura 2.18-c) Decomposição do efeito-preço segundo a abordagem da variação equivalente
_______________________________________________________________________________
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61
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Exercício 2.19 Aplicação da decomposição do efeito preço
1. Considere o exercício 2.18, mas admita agora que a duplicação do preço do bem X
resultou do lançamento de um imposto específico sobre este bem.
a) Mostre que, para um mesmo nível de receita fiscal, um imposto de montante
fixo que incidisse directamente sobre o rendimento do consumidor seria
preferível em termos de bem-estar. Ilustre graficamente a sua resposta e
explicite as suas principais limitações.
b) Mostre que, para um mesmo nível de redução do bem-estar do consumidor, o
governo poderia ter arrecadado uma maior receita fiscal se tivesse optado por
um imposto sobre o rendimento, em vez de por um imposto sobre o consumo.
Ilustre graficamente a sua resposta.
2. Admita agora que o único objectivo do governo, ao lançar o imposto específico
sobre o preço do bem X, é o de reduzir o consumo deste bem.
No entanto, para compensar os efeitos negativos sobre o bem-estar resultantes deste
imposto, o governo está a considerar a hipótese de accionar, em simultâneo, um
mecanismo administrativo com vista à devolução da receita obtida com aquele
imposto aos consumidores deste bem. Argumenta a oposição que essa devolução
anulará os efeitos pretendidos com o lançamento do imposto. Examine os
argumentos em debate.
Resolução
1- a) Como se viu na resolução do exercício 2.18, quando o preço do bem X é igual a 2 u.m. - sendo
que agora 1 u.m. corresponde ao valor imposto específico sobre o bem X (t=1 u.m.) - o consumidor
adquire 10 unidades de bem X por período de tempo, pelo que a receita fiscal (RF) arrecadada pelo
governo é igual a 10 u.m. (RF= tX). Deste modo o montante do imposto fixo sobre o rendimento do
consumidor que permite arrecadar uma receita fiscal equivalente à do imposto indirecto é de 10 u.m.
(T=10 u.m.).
Neste caso, o rendimento disponível do consumidor para gastar no bem X e nos outros bens seria de 30
u.m. (R1= 40-T) e a situação de equilíbrio seria a que resulta da resolução do seguinte sistema:
⎧U = XY
⎧U = XY
⎪
⎧−
⎧U = 225
0
⎪Y
PX
⎪
⎪
⎪
⎪
TMS
Y
X
⇔
=
⇔
⇔
=
1
=
⎨Y = 15
⎨
⎨
⎨
Y,X
P
X
Y
⎪
⎪30 = 2 X
⎪ X = 15
⎪
⎩
⎩
⎪30 = X + Y
⎪R = P 0 X + P Y
⎩
X
Y
⎩
Pode-se concluir que se o governo tivesse optado antes por lançar um imposto directo no montante de
10 u.m., o consumidor adquiriria, em equilíbrio, 15 unidades do bem X por período de tempo, ficando
com 15 u.m. para o consumo dos outros bens. Este tipo de imposto permitiria ao Estado arrecadar a
mesma receita fiscal que a obtida com o imposto indirecto e seria preferível, do ponto de vista do
consumidor, uma vez que o seu impacto sobre o seu bem-estar é menor. Como se pode observar na
Figura 2.19-a), com o lançamento do imposto indirecto o consumidor situa-se na curva de indiferença
de índice 200 (ponto C), enquanto que, se fosse usado um imposto directo, ele situar-se-ia na curva de
indiferença de índice225 (pontoD), sendo a receita fiscal arrecadada pelo governo a mesma em ambas
as situações (CC’=FG).
Deste modo, embora tanto o imposto específico sobre o preço do bem (imposto indirecto) como o
imposto sobre o rendimento (imposto directo) impliquem uma diminuição do nível de bem-estar do
consumidor, essa diminuição é menos acentuada no caso do lançamento do imposto directo, uma vez
que a redução do consumo é apenas determinada pela redução do rendimento nominal do consumidor,
_______________________________________________________________________________ 62
Maria Clementina Santos, Helder Valente e Isabel Godinho
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
ou seja, este tipo de imposto só desencadeia o efeito rendimento. Pelo contrário, o lançamento de um
imposto específico sobre o preço do bem provoca, também, alteração no preço relativo do bem,
aumentando o seu custo de oportunidade em termos dos outros bens e, em consequência, conduz a uma
maior redução do consumo, diminuindo mais o nível de bem-estar do consumidor, pois desencadeia,
para além do efeito rendimento, o efeito substituição.
Esta análise apresenta como principais limitações:
- não se pode generalizar e concluir que um imposto directo é necessariamente preferível para
todos os consumidores (pense-se no caso de quem não consome o bem X);
- o rendimento é exogenamente determinado, não se considerando os efeitos da política fiscal
sobre as escolhas do consumidor entre lazer e trabalho. Ora, o lançamento de um imposto directo pode
desincentivar alguns consumidores de trabalhar mais para aumentarem o seu rendimento, levando-os a
optar por mais tempo de lazer e menos tempo de trabalho;
- respeita apenas ao lado da procura, negligenciando os efeitos do lado da oferta.
Figura 2.19-a) Imposto indirecto versus imposto directo equivalente em termos de receita fiscal
1 - b) Para uma mesma redução do nível de bem-estar (isto é, de U0=400 para U1=200), o governo
poderia arrecadar uma maior receita fiscal se tivesse optado antes por um imposto sobre o rendimento
do consumidor. Com efeito, a variação do rendimento equivalente à perda de bem-estar associada ao
aumento do preço do bem X é, como se viu na resolução da alínea 2 do exercício 2.18, de cerca de
11,72 u.m.27, enquanto que a receita fiscal arrecadada com o imposto específico sobre o preço do bem
X é de apenas 10 u.m.. Com o imposto indirecto, o ponto de equilíbrio é o ponto C, sendo a receita
fiscal igual a CC’, enquanto que com um imposto directo, equivalente ao imposto indirecto em termos
de redução de bem-estar, o ponto de equilíbrio é B, sendo a receita fiscal igual a EG (Figura 2.19-b).
Em conclusão:
- um imposto sobre o rendimento conduz a uma menor perda de bem estar do que um imposto
indirecto que proporciona o mesmo nível de receita fiscal (para o consumidor, o ponto D é preferível ao
ponto C);
- para uma mesma redução de bem-estar, o governo pode arrecadar maior receita através do
lançamento de um imposto directo (comparar os pontos B e C)
27
Diferença entre o rendimento inicial – 40 u.m. – e o valor de RE, calculado na alínea 2 do exercício .2.18
_______________________________________________________________________________
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63
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Figura 2.19-b) Imposto indirecto versus imposto directo equivalente
em termos de redução do bem-estar
2. Com o lançamento de um imposto específico de 1 u.m. sobre o preço do bem X, as escolhas óptimas
do consumidor são (X=10, Y=20) e situam-se na curva de indiferença de índice 200 (ponto C), pelo
que o consumo do bem X diminuiu em 10 unidades por período de tempo (Figura 2.19-c).
Neste caso, o governo pretende devolver o montante arrecadado com o imposto (10 u.m.) ao
consumidor, pelo que se tem de calcular qual será o ponto de equilíbrio (ponto D da Figura 2.19-c) para
um rendimento de 50 u.m. (rendimento nominal do consumidor mais a devolução da receita fiscal),
mantendo-se os preços relativos resultantes do lançamento do imposto:
⎧U = XY
⎧ ___
⎧U = 312,5
⎪
⎪
⎪
⎪Y
⇔ ⎨Y = 2 X ⇔ ⎨Y = 25
⎨ =2
⎪X
⎪
⎪
⎩50 = 4 X
⎩ X = 12,5
⎪50 = 2 X + Y
⎩
Pode-se concluir que a oposição não tem razão, uma vez que a devolução da receita fiscal, embora
reduza o efeito sobre a diminuição do consumo do bem X – que passará a ser de 12,5, em vez de 10,
unidades por período de tempo – não anula esse efeito, dado que o lançamento do imposto sobre o
preço do bem X, ao aumentar o custo de oportunidade deste bem em termos dos outros bens, conduz a
que o consumidor substitua o bem X pelo bem Y28.
Por sua vez, a devolução do montante arrecadado com o imposto contribui para melhorar o nível de
bem-estar do consumidor, relativamente à situação de inexistência de devolução, embora haja perda de
bem-estar relativamente à situação inicial – o consumidor situar-se-á na curva de indiferença de índice
312,5, em vez de na curva de índice 400. Isto resulta do facto de o montante devolvido ao consumidor
ser inferior ao que seria necessário para o compensar da diminuição do seu poder de compra provocada
pelo aumento do preço do bem X.
28
Note-se que o movimento do ponto A para o ponto D é uma medida aproximada do efeito substituição. O cálculo rigoroso do
efeito substituição requereria que se tivesse devolvido dinheiro suficiente para manter constante o poder de compra do
consumidor.
_______________________________________________________________________________
Maria Clementina Santos, Helder Valente e Isabel Godinho
64
Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Como se viu na resolução de 1-a) do exercício 2.18, o montante da variação compensatória do
rendimento que permitiria, aos novos preços, manter constante o nível de bem-estar do consumidor é
de cerca de 16,57 u.m. (R – RH), enquanto que a devolução do valor do imposto é de 10 u.m., ou seja,
inferior ao montante da variação compensatória do rendimento (na figura 2.19-c), comparar ponto B
com o ponto D e EG com EF).
Em suma, a devolução do imposto, ao induzir o consumidor a comprar uma maior quantidade do bem
X, pois é um bem normal (efeito rendimento), contribui para minorar a perda de bem-estar resultante
do lançamento do imposto sobre o seu consumo.
Figura 2.19-c)
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Exercício 2.20 Exercício globalizador
O Álvaro e a Rosa residem em Aveiro. Tendo entrado no ensino superior, vieram
estudar para o Porto. Daí que os pais lhes subissem a mesada de 1 para 4 unidades
monetárias (u.m.).
As preferências do Álvaro e da Rosa são descritas pela seguinte função índice de
utilidade:
U = (x-1) y , x ≥ 1 e y ≥ 0 ,
onde U designa o índice de utilidade, x a quantidade de bens alimentares que consome
mensalmente quando se encontra no Porto, expressa em unidades, e y representa os
outros bens (bem compósito).
1) O Álvaro consome 2,5 unidades de bens alimentares por mês, ficando apenas com
1,5 u.m. para despender nos outros bens, pelo que nem sempre pode acompanhar a
Rosa a espectáculos culturais. A Rosa acha que ele não está a ser racional; o
Álvaro, pelo contrário, considera que a Rosa não anda a alimentar-se em
condições e que o seu nível de bem-estar é inferior ao dele.
Sabendo que o preço médio dos bens alimentares é de 1 u.m. e que o preço do
bem compósito é de 1 u.m., explique quem tem razão. Ilustre graficamente a sua
resposta.
2) Calcule a expressão analítica da curva de procura do bem X, interpretando o seu
significado económico.
3) Admita agora que o preço médio dos bens alimentares aumentou em 25%, pelo
que o Álvaro passou, em equilíbrio, a adquirir mensalmente 2,1 unidades de bens
alimentares, ficando com 1,375 u.m. para adquirir os outros bens.
a) "Perante a diminuição na quantidade procurada de bens alimentares em 16%,
devido ao aumento verificado no preço médio desses bens em 25%, o Álvaro
conclui que a procura deste tipo de bens, neste intervalo de preços, é inelástica.
a.1) Explique, sem efectuar cálculos, como é que o Álvaro chegou a essa
conclusão e discuta como se comporta a despesa total em bens
alimentares.
a.2) Determine analiticamente a curva consumo-preço do bem X e examine o
seu comportamento.
b) Devido ao aumento do preço médio dos bens alimentares, o Álvaro vai pedir
aos pais para lhe aumentarem a mesada para 4,625 u.m., argumentando que só
assim poderá continuar a consumir o mesmo que antes e que, em particular,
não terá de reduzir o consumo de bens alimentares.
A Rosa acha que, para manter o seu nível de bem-estar, o Álvaro não necessita
de um aumento tão grande da mesada e que não é verdade que, em equilíbrio,
vá continuar a adquirir a quantidade inicialmente consumida de bens
alimentares.
b.1) A partir do cálculo da situação de equilíbrio para o caso que o Álvaro está
a considerar, fundamente a argumentação da Rosa. Ilustre graficamente a
sua resposta
b.2) Decomponha o efeito preço, explicitando o significado dos seus
componentes e ilustrando-os graficamente. Explique agora porque é que,
mesmo após o aumento da mesada para o valor pretendido, o Álvaro
reduziria o consumo mensal de bens alimentares.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
Resolução
1) O consumidor racional escolhe (x,y) de modo a maximizar o seu nível de satisfação, tendo em conta
as suas preferências e o seu poder de compra (R, px e py). Como as curvas de indiferença associadas a
esta função índice de utilidade são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem e não
intersectam os eixos [y = u/(x-1), sendo u uma constante positiva] então, em equilíbrio:
⎧
⎪U = x ( y − 1)
⎧ ___
⎧ ___
⎧U = 2,25
⎪
⎪
px
⎪
⎪
⎪
⎪ y
= 1 ⎨y = x − 1
⎨TMS y, x =
⎨
⎨ y = 1,5
py
⎪
⎪x −1
⎪
⎪
⎪
⎪4 = x + y ⎩4 = x + x − 1 ⎩ x = 2,5
⎪R = x p x + y p y ⎩
⎩
UMg x
y
⇔ TMS y,x =
TMS y, x =
UMg y
x −1
pois sendo U=xy-y tem - se que :
UMg x =
∂U
∂U
⇔ UMg x = y e UMg y =
⇔ UMg y = x − 1
∂x
∂y
A Rosa não tem razão, pois a combinação de bens (x = 2,5; y =1,5) é aquela que, dadas as preferências,
o rendimento e os preços dos bens - que são iguais para o Álvaro e para a Rosa - permite alcançar o
máximo nível de satisfação (ponto A na figura 2.20-a). Como a Rosa consome uma menor quantidade
de bens alimentares (bem X), dispondo por isso de mais rendimento para afectar à aquisição de todos
os outros bens (bem Y), ela encontra-se num ponto da restrição orçamental situado entre A e C ( no
ponto B, por exemplo), situando-se numa curva de indiferença de índice inferior ao daquela em que se
encontra o Álvaro (UÁlvaro= 2,25). Quem não está a ter um comportamento racional é a Rosa, dado que
não atinge o máximo nível de nível de bem-estar que, dadas as suas preferências, está ao alcance do
seu poder de compra (URosa < 2,25).
Figura 2.20.a) Ilustração das situações
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
NOTA:
Alternativamente, bastava verificar que o valor da TMS y,x é igual a um29, para a combinação de bens
que o Álvaro adquire, igualando a razão de preços. Adicionalmente, aquela combinação esgota o
rendimento de que ele dispõe (4=2,5+1,5), ou seja, é a combinação óptima.
A Rosa, pelo contrário, situa-se num ponto em que a TMSy,x> px/py , isto é, UMg p > UMg
p ,
x
x
y
y
pelo que não está em equilíbrio, podendo melhorar o seu nível de satisfação se deslocar algum
rendimento que está a afectar aos outros bens para o consumo de bens alimentares (diminuindo o
consumo de Y e aumentando o consumo de X), encontrando-se em equilíbrio quando consumir a
mesma combinação de bens que o Álvaro (ponto A).
2) A curva da procura individual do bem X exprime a relação entre a quantidade procurada do bem X,
no equilíbrio do consumidor, e os vários preços alternativos deste bem, tudo o mais permanecendo
constante, ou seja, neste caso: o rendimento, o preço do outro bem e as preferências do consumidor. É
uma função do tipo: x = f(px). O cálculo da sua expressão analítica, parte das condições de equilíbrio do
consumidor, onde px surge como variável e R e py como constantes (R = 4 e py = 1). Deste modo:
p
⎧ y
= x
⎪
1
⎨x −1
⎪4 = xp + y
x
⎩
⎧⎪ y = ( x − 1) p x
⎨
⎪⎩4 = xp x + ( x − 1) p x
⎧−
⎪
⎧⎪−
⎪
⎨
⎨
4 + px
⎪⎩4 = 2 xp x − p x ⎪ x =
2 px
⎪
⎩
expressao analitica
⎧−
da curva da procura
⎪
2
⎨
⎪ x = p + 0,5 ← de bens alimentares
x
⎩
3-a.1) Para chegar a essa conclusão, recorreu ao conceito de elasticidade preço da procura de bens
alimentares (bem X). Esta exprime como varia, em termos relativos ou percentuais, a quantidade
procurada de bens alimentares em resposta a uma variação relativa (ou percentual) no seu preço, tudo o
mais constante. Como a quantidade procurada de bens alimentares registou uma variação menos que
proporcional à alteração do preço médio destes bens (16% é menor do que 25%) então, em valor
absoluto, a elasticidade preço da procura do bem X é inferior a um, pelo que a procura deste bem é
inelástica, para este intervalo de preços.
Em consequência, perante um aumento do preço médio dos bens alimentares, regista-se uma
diminuição menos do que proporcional na quantidade procurada, aumentando a despesa total realizada
neste tipo de bens30.
3-a.2) para resolver
3-b.1) Cálculo da situação de equilíbrio para R = 4,625 u.m., px =1,25 e py =1 (situação que o Álvaro
está a considerar):
⎧U = ( x − 1) y
⎧ ___
⎧ __
⎧U = 2,278125
⎪
⎪
⎪
⎪
1,25
⎪ y
=
⎨
⎨ y = 1,25 x − 1,25
⎨ __
⎨ y = 1,6875
1
⎪x −1
⎪
⎪
⎪
⎪4,625 = 1,25 x + y ⎩4,625 = 1,25 x + 1,25 x − 1,25 ⎩2,5 x = 5,875 ⎩ x = 2,35
⎩
Com a mesada que está a pensar pedir aos pais o Álvaro consumiria, em equílibrio, uma menor
quantidade de bens alimentares (x = 2,35 < x = 2,5) e aumentaria o consumo dos outros bens,
passando a auferir de um nível de bem-estar superior ao que auferia antes do aumento do preço médio
dos bens alimentares (U=2,278125 > U=2,25).
A Rosa está correcta quando argumenta:
- que o acréscimo de rendimento nominal que o Álvaro está a considerar (0,625 u.m. por mês)
ultrapassa a variação do rendimento necessária para o compensar da perda de bem-estar associada
ao aumento de preço do bem X. De facto, a restrição orçamental associada à manutenção do nível
29
30
Substituindo x = 2,5 e y = 1,5 na expressão da TMS y,x , tem-se que no ponto A:
TMS y,x = 1,5 /(2,5 -1)Ù TMS y,x=1
Este comportamento permite, também, afirmar que, neste intervalo de preços, a curva consumo preço do bem X tem declive
positivo.
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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)
-
de satisfação inicial (R2) situa-se à esquerda da que permite a aquisição da combinação de bens
inicial (R1) – Figura 2.20-b);
e que, com uma mesada de 4,625 u.m., em equilíbrio, o Álvaro reduzirá o consumo mensal de bens
alimentares. Com efeito, embora o acréscimo de rendimento que o Álvaro está a considerar
permita que continue a consumir o mesmo que antes (a restrição orçamental R1 passa pelo ponto
A, da figura 2.20-b), tal cabaz de consumo não é agora um cabaz de equilíbrio: no ponto A, a
TMSy,x é igual a 1, sendo inferior à razão de preços actual (1,25), pelo que o Álvaro tenderá a
deslocar rendimento do bem X para o bem Y, o que lhe permitirá alcançar níveis mais elevados de
satisfação, até atingir o ponto B da figura 2.20-b), que é o ponto de equilíbrio para este nível de
rendimento.
Figura 2.20-b) Decomposição do efeito-preço
Nota: as coordenadas do ponto D (X=2,1; Y=1,375) - situação de equilíbrio subsequente ao
aumento do preço médio dos bens alimentares – são dadas no enunciado da questão 3.
3-b.2) O aumento do preço médio dos bens alimentares (bem X) conduz:
- a uma alteração nos preços relativos dos bens, o que levará o consumidor a substituir o bem
que se tornou relativamente mais caro pelo que passou a ser relativamente mais barato,
reduzindo o consumo de X e aumentando o consumo de Y: efeito substituição;
- a uma diminuição do rendimento real do consumidor, o que vai provocar uma diminuição da
quantidade consumida de ambos os bens, na medida em que ambos são bens normais: efeito
rendimento.
Efeito Substituição (ES)
Efeito Rendimento (ER)
Efeito Preço (ES + ER)
Bem X
∆X = 2,35 - 2,5 = - 0,15
∆X = 2,1 - 2,35 = - 0,25
∆X= 2,1- 2,35 = - 0,4
Bem Y
∆Y= 1,6875 - 1,5 = + 0,1875
∆Y= 1,375 - 1,6875 = - 0,3125
∆Y= 1,375 - 1,5 = - 0,125
Nota: como resulta do quadro, cada um dos efeitos exprime a variação na quantidade procurada de cada bem.
Se o Álvaro conseguir que a sua mesada passe a ser de 4,625 u.m., o efeito rendimento será anulado,
mas o efeito substituição continuará a registar-se. Deste modo, o Álvaro irá reduzir o consumo de bens
alimentares, dado que este tipo de bens passou a ser relativamente mais caro, e aumentará o consumo
dos outros bens, sendo esta alteração explicada pelo efeito substituição.
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