PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR– 2008 – 2a Fase

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2008 – 2a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 01.
Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma
pesquisa durante 15 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias
em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte:
 na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
 na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de
bactérias existentes ao final da primeira semana;
 a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão
aritmética de razão 12;
 no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao
inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da
pesquisa.
RESOLUÇÃO:
a
Os números que formam a progressão aritmética são os correspondentes aos finais da 2 à 15
semana, logo esta progressão aritmética tem 14 termos e o primeiro termo é 0,88x e a razão é
12.
o
N inicial de
bactérias
x
a
1
0,8x
a
2
0,88x
a
3
0,88x + 12
FIM DA ....SEMANA
a
4
...........
0,88x +
...........
24
a
a
15
0,88x + 12(14 – 1) = x
0,88x +156 = x  0,12x = 156  x = 1300.
RESPOSTA: O número de bactérias existentes no início da pesquisa era 1300.
1
QUESTÃO 02
Considere os conjuntos A  {(x, y)  R 2 ; x2  y 2  16 e y  x 2  4} e D  {x  R 2 ; (x, 0)  A}
  π x
, se x  0
cos 
Sendo f: D R a função tal que, f ( x)    4 
, determine a imagem da
x 2  5x, se x  0

função f.
RESOLUÇÃO:
Na figura ao lado, a região pintada de azul representa os
infinitos pontos da interseção das regiões determinadas
pelas inequações x 2  y 2  16 e y  x 2  4 , então como o
conjunto D é formado pelas abscissas dos pontos da intercessão
do conjunto A com o eixo Ox,
D = {4,  3,  2, 2, 3, 4} .
  π x
, se x  0
cos 
,
Sendo f: {4,  3,  2, 2, 3, 4} R a função tal que, f ( x)    4 
x 2  5x, se x  0

Estudando as duas condições:
 x  4  f (4)  cos     1
  π x

 I m1  [1,0]
I) f ( x)  cos
, se x  0  
 π
  4 
 x  2  f (2)  cos  2   0




 x  2  f (2)  4  10  6

 25

2
II) f ( x)  x  5x, se x  0   x  4  f (4)  16  20  4
 I m 2   ,4
4



5
25 25
25
 xV   yV 


2
4
2
4

Representando graficamente as duas condições tem-se o
gráfico ao lado.
 25 
,4   [ 1 , 0 ]
RESPOSTA: A imagem de f(x) é Im  
 4

2
QUESTÃO 03
Sendo A(x) e B(x) polinômios com coeficientes reais tais que
3
2
2
• A(x) x 2x a2x a3 é divisível por x x 1;
5
4
3
2
• B(x) x b1x b2x b3x b4x b5 tem uma raiz em comum com A(x);
• B(i) 0;
• B(1 + i) 0,
calcule A(0) B(1).
RESOLUÇÃO:
Se A(x) x 2x a2x a3 é divisível por x x 1, então as raízes deste polinômio são
raízes de A(x).
 1  1  4  1  3i
2

x x 1 = 0  x =
(São também raízes de A(x).
2
2
A soma das raízes de A(x) = 2:
3
2
2
 1  3i  1  3i

 x'  2  x'  2  1  1 .
2
2
 1  3i  1  3i  1  3

1  3i 
1  3i 


Logo, A(X) = x  1 x 
 A(0) = 
x
1



 2 
2
2
2
4






Sendo B(i) 0 e B(1 + i) 0,então, B(i) 0 e B(1  i) 0, assim, i, i, 1 + i e 1  i são raízes
de B(x) e a sua quinta raiz é um número real, logo esta raiz é 2 (raiz comum com A(x)).
B(x)  x  1x  i x  i x  1  i x  1  i   B(1) = 2(1 + i)(1 – i)( – i)(i) = 2(1 + 1)(1) = 4.
RESPOSTA: A(0) B(1) = 5.
QUESTÃO 04
x y
1 1
 de elementos reais não negativos, B  
 e
Considere as matrizes A  
z
w


 0 0
16 7 
 .
C  
 0 9
–1
Sabendo que A comuta com B e que A C, calcule o determinante da matriz X 12A
2
A .
t
RESOLUÇÃO:
x y

Se A comuta com B, então, 
 z w
x  x  z
x y y  w

 = 
 x  y  w  A = 
 z w  0
z  0

y  w y
2

Como A C  
w 
 0
 x x  x  z
1 1 1 1  x y 

 = 
 
  
  
z
w
0
0
0
0

z z  0

 

y  w

0 
y

w 
y  w y

=
w 
 0
 ( y  w) 2
16 7 

  

0
 0 9

y ( y  w)  yw 
=
w2

16 7 

 
 0 9
3
( y  w) 2  16

y  w  4 y  4  3  1
 4 1
  A1 

 A  
 y ( y  w)  yw  7  
w

3
w

3
0
3




 2
w  9
–1
Fazendo as devidas substituições em X 12A
1

X  12. 4
0



 3  1  1

 
0 4    4
12
0



1

12 
1 

3 
A , tem-se:
t
1

12    4 0   X   3  1   4 0   X   7  1  det X  49  1  50.
 0 4   1 3
1 7 
1   1 3 

 




3 
RESPOSTA: O determinante de X é igual a 50.
QUESTÃO 05
Na figura ao lado, tem-se
BÂC  45
BD̂C  60
AD  5u.c.
DC  10u.c.
Com base nesses dados, calcule BC .
RESOLUÇÃO:
O triângulo ABE é retângulo isósceles, então AE = BE = 15 – x.
No triângulo retângulo BDE:
15  x
15  x
tg 60 
 3
 10 3  x 3  15  x 
10  x
10  x
x  x 3  15  10 3  x 
x
15  10 3
1 3
x
15  10 3 1  3  
1  3 1  3 
 15  5 3
15  5 3
x
.
1 3
2
No triângulo retângulo BEC:
2
2

15  5 3   15  5 3 
y  (15  x)  x  y  15 

y

 

2
2

 

2
y
2
2
 15  5 3  300  150 3

 



2
4


300  150 3 300  150 3
600

y
 y  150  y  5 6 .
4
4
4
RESPOSTA: BC = 5 6u.c.
4
QUESTÃO 06
Considere os pontos A(–1, 2), B(1, 4) e C(–2, 5) do plano cartesiano.
Sendo D o ponto simétrico de C em relação à reta que passa por A e é perpendicular
ao segmento AB, determine a área do quadrilátero ABCD.
RESOLUÇÃO:
A área de um triângulo ABC, dadas as coordenadas dos seus vértices, é igual à metade do
módulo do determinante formado da seguinte forma:
xA yA 1
D = xB
xC
yB 1 .
yC 1
A área do quadrilátero ABCD é a soma das áreas dos
triângulos ABC e ACD.
1 2 1
1
1
1
SABC =
1 4 1   4  5  4  8  5  2  8  4.
2
2
2
2 5 1
1 2 1
1
1
1
 2 5 1   5  6  8  20  3  4   8  4 .
SACD =
2
2
2
4 3 1
RESPOSTA: A área do quadrilátero ABCD é 8u.a.
5