Lista 08

LISTA DE EXERCÍCIOS
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
GMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
08
Ordem, intervalos e resolução de inequações
[01] Resolva os exercı́cios 19, 20 e 21 da Lista 2 de Matemática Básica da Professora Marlene que
está disponı́vel na página WEB do nosso curso.
[02] Seguindo o modelo apresentado em sala de aula, resolva as inequações abaixo indicando explicitamente qual axioma ou propriedade você usou em cada etapa.
(a) 2 · x − 5 ≤ 1.
(b) (1 − x) · (5 − 6 · x) < 0.
(c) (2 · x − 1)/(x − 2) < 1.
(d) x + 1 < x + 2.
(e) x + 1 > x + 2.
( f ) x2 ≤ 16.
(g) 2 · x ≤ x2 .
(h) x − 1 > 2/x.
( i ) 0 ≤ −x2 + 4 · x ≤ 3.
[03] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstração caso
ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(a) Se a ∈ R e a > 1, então 1/a > 1.
(b) Se a, b ∈ R e a ≥ b − 3, então a3 ≥ a2 · b − 3 · a2 .
(c) Se a, b ∈ R e 2 · a < b2 , então 2 · a3 < a2 · b2 .
(d) Se a, b ∈ R e a · b ≤ a, então b ≤ 1.
[04] Represente em uma reta numérica os conjuntos indicados abaixo (cada conjunto deve ser representado em uma reta numérica diferente).
(a) [1, 2] ∪ [3, 17/2].
(b) (−1, 1) ∪ [1, +∞).
(c) [−2, 3] ∩ (3, 6).
(d) [−3, −1) ∩ [−2, +∞).
[05] Represente em uma reta numérica os conjuntos indicados abaixo (cada conjunto deve ser representado em uma reta numérica diferente).
(a) {x ∈ R | 0 ≤ x < 3 ou 2 ≤ x ≤ 5}.
(b) {x ∈ R | − 1 < x < 7 ou − 1 ≤ x ≤ 7}.
1
(c) {x ∈ R | x < 2 ou x > 2}.
(d) {x ∈ R | x < 2 e x ≥ −1}.
(e) {x ∈ R | 3 x + 6 > 0 ou 8 − 4 x < 0}.
( f ) {x ∈ R | 2 x − 6 < 0 e 4 x + 6 ≤ 0}.
(g) {x ∈ R | x − 1 > 0 e x − 4 ≤ 0}.
(h) {x ∈ R | 6 x − 1 = 0 e 6 x − 1 > 0}.
[06] Todo intervalo não-degenerado contém uma quantidade infinita de números racionais e irracionais.
(a) Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais que pertençam ao intervalo [1, 2].
√ √
(b) Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais que pertençam ao intervalo [ 2, 3].
[07] O intervalo (0, 1) possui um maior elemento? Isto é, existe um número p ∈ (0, 1) tal que x ≤ p
para todo x ∈ (0, 1)? E o intervalo (0, 1] Ele possui um maior elemento? Justifique sua resposta!
[08] Usando o método esquemático do estudo de sinais, resolva as inequações abaixo.
2x+1
< 1.
3x− 1
3x+1
< 2.
(b)
x−1
(a)
[09] Sejam A = [−5, −3] ∪ [2, 8], B = (−4, 3) e C = (−8, −1) ∪ (1, 5). Determine A ∪ B, A ∩ B, A − B,
B − A, A ∪ C, A ∩ C, A − C e C − A.
[10] Qual é a negação de “x > 3”? E a negação de “x ≥ 3”? E a negação de “x ≤ 3”?
[11] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstração caso
ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(a) Se I e J são intervalos da reta, então I ∪ J também é um intervalo da reta.
(b) Se I e J são intervalos da reta, então I ∩ J também é um intervalo da reta.
(c) Se I e J são intervalos da reta, então I − J também é um intervalo da reta.
[12] Verdadeiro ou falso? Se x ∈ R, x > 5 e x > 1, então x ≥ 6. Justifique sua resposta: apresente
uma demonstração caso a sentença seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
[13] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstração caso
ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(a) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a < b < c e r < s < t, então a + r < b + s < c + t.
(b) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a < b < c e r < s < t, então a − r < b − s < c − t.
(c) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a < b < c e r < s < t, então a − t < b − s < c − r.
(d) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a < b < c e r < s < t, então a · r < b · s < c · t.
(e) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a, b, c, r, s, t > 0, a < b < c e r < s < t, então a · r < b · s < c · t.
( f ) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a, b, c, r, s, t > 0, a < b < c e r < s < t, então a/r < b/s < c/t.
(g) Se a, b, c, r, s, t ∈ R, a, b, c, r, s, t > 0, a < b < c e r < s < t, então a/t < b/s < c/r.
[14] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstração caso
ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
2
(a) Se u, q ∈ R, 1.4587 < u < 1.4588 e 0.1134 < q < 0.1135, então 1.5721 < u + q < 1.5723.
(b) Se u, q ∈ R, 1.4587 < u < 1.4588 e 0.1134 < q < 0.1135, então 1.3452 < u − q < 1.3454.
(c) Se u, q ∈ R, 1.4587 < u < 1.4588 e 0.1134 < q < 0.1135, então
0.16541658 < u · q < 0.16557380.
(d) Se u, q ∈ R, 1.4587 < u < 1.4588 e 0.1134 < q < 0.1135, então
12.85198237 < u/q < 12.86419754.
[15] Mostre que se a, b ∈ R, com a ≤ b, então
m=
a+b
2
é tal que a ≤ m ≤ b.
[16] (Vizinhanças) Uma vizinhança de um número real x é um intervalo aberto I = (a, b) tal
que x ∈ I = (a, b) (e, portanto, a < x < b).
(a) Determine uma vizinhança do número x = 1. Quantas vizinhanças o número x = 1 possui?
O número x = 1 possui uma vizinhança I cujo comprimento é menor do que ou igual
a 0.00000000001?
(b) Considere o conjunto A = [0, 2]. Note que o número x = 1 pertence ao conjunto A. Existe
uma vizinhança I de x = 1 que esteja contida em A? Existe uma vizinhança I de x = 1 que
não esteja contida em A?
(c) Considere o conjunto A = [0, 2]. Note que o número x = 1.99999999 pertence ao conjunto A.
Existe uma vizinhança I de x = 1.99999999 que esteja contida em A?
(d) Considere o conjunto A = [0, 2]. Note que o número x = 2 pertence ao conjunto A. Existe
uma vizinhança I de x = 2 que esteja contida em A? Existe uma vizinhança I de x = 2 que
não esteja contida em A?
(e) Considere o conjunto B = (0, 2). Note que o número x = 2 não pertence ao conjunto B.
Existe uma vizinhança I de x = 2 que esteja contida em B? Existe uma vizinhança I de x = 2
que não esteja contida em B?
[17] Sejam a, b, c e d números reais positivos tais que a/b < c/d. O número (a + c)/(b + d) é
denominado mediante de a/b e c/d. Mostre que
a, b, c, d > 0 e
c
a
a+c
c
a
<
⇒
<
< ,
b
d
b
b+d
d
isto é, o mediante de a/b e c/d sempre está entre a/b e c/d.
3
Respostas dos Exercı́cios
Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las!
[02] (a) S = (−∞, 3]. (b) S = (5/6, 1). (c) S = (−1, 2). (d) S = R. (e) S = ∅. ( f ) S = [−4, 4].
(g) S = (−∞, 0] ∪ [2, +∞). (h) S = (−1, 0) ∪ (2, +∞). ( i ) S = [0, 1] ∪ [3, 4].
[03] (a) Falsa. a = 2 é um contraexemplo (verifique!).
(b) Verdadeira. Demonstração: se a = 0, então a3 = 0 e a2 · b − 3 · a2 = 0. Portanto, neste caso,
a3 = 0 = a2 · b − 3 · a2 (vale a igualdade = em ≤). Se a = 0, por [PO16], temos que a2 > 0.
Usando agora [PO09],
a2 > 0 e b − 3 ≤ a ⇒ a2 · (b − 3) ≤ a2 · a ⇒ a2 · b − 3 · a2 ≤ a3 ⇒ a3 ≥ a2 · b − 3 · a2 .
(c) Falsa. a = 0 e b = 1 formam um contraexemplo (verifique!).
(d) Falsa. a = −1 e b = 2 formam um contraexemplo (verifique!).
0
1
2
3
17/2
−1
0
1
2
3
17/2
−1
0
1
−2
−1
0
−2
−1
0
1
5
−1
0
1
5
−1
0
1
2
−1
0
1
2
−1
0
1
2
−2−3/2
0
1
−3/2
0
1
4
0
1
4
[04] (a)
(b)
(c)
(d)
[05] (a)
7
(b)
(c)
7
(d)
−2
(e)
(f)
(g)
−1
(h)
−1
[07] O intervalo (0, 1) não possui um maior elemento pois, para todo p ∈ (0, 1), o número real
q = (p + 1)/2 pertence ao intervalo (0, 1) e ele é maior do que p. O intervalo (0, 1] possui um
maior elemento: p = 1.
[08] (a) S = (−∞, 1/3) ∪ (2, +∞). (b) S = (−3, 1).
[09] A ∪ B = [−5, 8], A ∩ B = (−4, −3) ∪ [2, 3), A − B = [−5, −4] ∪ [3, 8], B − A = (−3, 2),
A ∪ C = (−8, −1) ∪ (1, 8], A ∩ C = [−5, −3] ∪ [2, 5), A − C = [5, 8] e C − A = (1, 2).
4
[10] A negação de “x > 3” é “x ≤ 3”. A negação de “x ≥ 3” é “x < 3”. A negação de “x ≤ 3” é
“x > 3”.
[11] (a) Falsa. (b) Verdadeira. (c) Falsa.
[12] Falsa.
[13] (a) A sentença é verdadeira. De fato: por [PO07], a < b ⇒ a + r < b + r. Também por [PO07],
r < s ⇒ b + r < b + s. Assim, a + r < b + r < b + s. Um argumento análogo mostra que
b + s < c + t.
(b) A sentença é falsa. De fato: a = 1, b = 2, c = 3, r = 1, s = 2 e t = 3 constituem um
contraexemplo (verifique!).
(c) A sentença é verdadeira. De fato: por [PO10], se r < s < t, então −t < −s < −r. Usando
o item (a), temos que a + (−t) < b + (−s) < c + (−r), isto é, a − t < b − s < c − r.
(d) A sentença é falsa. De fato: a = 1, b = 2, c = 3, r = −3, s = −2 e t = −1 constituem um
contraexemplo (verifique!).
(e) A sentença é verdadeira. De fato: por [PO09], a < b ⇒ a · r < b · r. Também por [PO09],
r < s ⇒ b · r < b · s. Assim, a · r < b · r < b · s. Um argumento análogo mostra que b · s < c · t.
( f ) A sentença é falsa. De fato: a = 1, b = 2, c = 3, r = 1, s = 2 e t = 3 constituem um
contraexemplo (verifique!).
(g) A sentença é verdadeira. De fato: por [PO08], se r, s, t > 0, então 1/r, 1/s, 1/t > 0. Por
[PO09], r < s ⇒ r · (1/r) < s · (1/r) ⇒ 1 < s · (1/r) ⇒ (1/s) · 1 < (1/s) · s · (1/r) ⇒ 1/s < 1/r.
Um mesmo argumento mostra que 1/t < 1/s. Assim, 1/t < 1/s < 1/r e 1/t, 1/s, 1/r > 0.
Usando o item (d), segue-se a · (1/t) < b · (1/s) < c · (1/r), isto é, a/t < b/s < c/r.
[14] (a) A sentença é verdadeira. De fato: basta usar o item (a) do exercı́cio anterior com a = 1.4587,
b = u, c = 1.4588, r = 0.1134, s = q e t = 0.1135.
(b) A sentença é verdadeira. De fato: basta usar o item (c) do exercı́cio anterior com a = 1.4587,
b = u, c = 1.4588, r = 0.1134, s = q e t = 0.1135.
(c) A sentença é verdadeira. De fato: basta usar o item (e) do exercı́cio anterior com a = 1.4587,
b = u, c = 1.4588, r = 0.1134, s = q e t = 0.1135.
(d) A sentença é verdadeira. De fato: basta usar o item (g) do exercı́cio anterior com a = 1.4587,
b = u, c = 1.4588, r = 0.1134, s = q e t = 0.1135. Note que 12.85198237 < a/t =
12.85198237885462 . . . e c/r = 12.86419753086419 . . . < 12.86419754.
[15] Usando [PO07], temos que a ≤ b ⇒ a + a ≤ a + b ⇒ 2 a ≤ a + b. Usando agora [PO09], temos
que 2 a ≤ a + b ⇒ (1/2)(2 a) ≤ (1/2) (a + b), isto é, a ≤ (a + b)/2. Um argumento análogo mostra
que (a + b)/2 ≤ b.
[16] (a) O intervalo I = (0, 2) é uma vizinhança do número x = 1. Existem infinitas vizinhanças para
o número x = 1. Por exemplo, para cada n ∈ N, In = (1 − 1/n, 1 + 1/n) é uma vizinhança
de x = 1. O intervalo
I = (1 − 0.000000000005, 1 + 0.000000000005) = (0.999999999995, 1.000000000005)
é uma vizinhança de x = 1 cujo comprimento é igual a 0.00000000001. Ou ainda: para todo
n ∈ N com n ≥ 200000000000, o intervalo In = (1 − 1/n, 1 + 1/n) é uma vizinhança de x = 1
cujo comprimento é menor do que ou igual a 0.00000000001.
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(b) O intervalo I = (0.9, 1.1) é uma vizinhança do número x = 1 que está contida em A = [0, 2].
O intervalo J = (−1, 3) é uma vizinhança do número x = 1 que não está contida em A = [0, 2].
(c) O intervalo I = (1.999999980, 1.999999999) é uma vizinhança do número x = 1.99999999
que está contida em A = [0, 2].
(d) Não existe vizinhança I = (a, b) do número x = 2 que esteja contida em A = [0, 2]! De fato:
se I = (a, b) é uma vizinhança de x = 2, então a < 2 < b. O número m = (2 + b)/2 pertence
a I mas não pertence a A.
(e) Não existe vizinhança I = (a, b) do número x = 2 que esteja contida em B = (0, 2)! De fato:
se I = (a, b) é uma vizinhança de x = 2, então a < 2 < b. O número 2 pertence a I mas não
pertence a B.
[17] Temos que
a
a+c
c [PO09]
c
[PO07]
[PO09]
=⇒ a · d < b · c =⇒ (a + c) · d = a · d + c · d < (b + d) · c =⇒
<
< .
b
d
b+d
d
Um argumento análogo mostra que a/b < (a + c)/(b + d).
Também é possı́vel dar uma demonstração geométrica: as razões a/b, c/d e (a + c)/(b + d) podem
ser interpretadas como tangentes de ângulos dos triângulos retângulos na figura abaixo.
c
d
a
b
a
d
Texto composto em LATEX2e, HJB, 01/06/2012.
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