1 WF dl = ∙ FFF = F dl FF dl F dl F dl ∙ = + ∙ = ∙ +

Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
Trabalho de uma força
 Introdução:
Considere um corpo que se desloca a uma
distância s ao longo de uma curva. Em cada instante

o
F atuando sobre

corpo de massa m. Definimos o trabalho da força F ao
longo da curva C pela integral de linha:
 
W   F  dl
deste deslocamento há uma força
1 cal = 4.186J
1 erg = 10-7J
1 ft.lb = 1.356 J
1 Btu = 1055 J
1eV = 1.6.10-19J
1 kWh = 3.6.106J
 Casos:
C

Aqui dl aponta no sentido da orientação da
curva, tem direção tangente à ela e representa um
deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.

F como
 a soma de
uma componente paralela ao vetor dl : F e outra

componente perpendicular: F :
 

F  F  F
É possível escrever a força
Assim:
    
 


F  dl  F  F  dl  F  dl  F  dl
   
F  dl  F  dl  F dl


Para uma força constante atuando no corpo,
podemos escrever:
W  F  d  cos
Aqui, θ é o ângulo entre a força

deslocamento d .
 Unidade: Joule: 1J = 1N.1m
Outras unidades:

F e o vetor
1
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Exemplos:
(b) Analisar o trabalho de cada força em cada
situação dada.
1. José deseja impressionar Elaine com seu
novo carro, porém o carro morre no meio de um
cruzamento e ele paga o maior mico. Enquanto Elaine
gira o volante, José empurra o carro 19 m para
desimpedir o cruzamento. Sabendo que ele empurra o
carro com uma força constante de 210 N na mesma
direção e sentido do deslocamento, qual o trabalho
realizado por esta força sobre o carro?
2
(a) Solução:
Trabalho da força:
 Solução:
xf
W
 Fdx  W  F  x
xi
W  210 19
W  4.0 103 J
2. Encontre o trabalho de cada força nos sistemas
mostrados:
(a) Um fazendeiro amarra seu trator a um trenó
carregado de madeira e o puxa até uma distância de 20
m na horizontal. O peso do trenó carregado é 14700N.
O trator exerce uma força constante de 5000N
formando um ângulo de 36.9° acima da horizontal.
Existe uma força de atrito de 3500 N que se opõe ao
movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza
sobre o trenó e o trabalho total por todas as forças.
Encontre a força resultante e determine o trabalho da
força resultante.
 
WFT  F  dl  W  FT  l  cos 
W  5000  20  cos36.9  80kJ
Trabalho da força de atrito:
 
WFa  Fa  dl  W  Fa  l  cos180
WFa  3500  20  1
WFa  70kJ
Trabalho total:
W  WFa  WFT  WP  WN
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 Trabalho de força curvilínea:
 Gráfico (x, F(x)
3
 Trabalho da força elástica:
W
xf
xf
xi
xi
 Fdx  W   kxdx
W
1
1
k  x 2f  k  xi2
2
2
 Energia cinética
K  Ec 
m  v2
2
A energia cinética de uma partícula é igual ao
trabalho total realizado para acelerá-la a partir do
repouso até sua velocidade presente.
Teorema Trabalho-Energia:
O trabalho realizado pela força resultante sobre
a partícula fornece a variação da energia cinética da
partícula.
m  v 2f
m  vi2
WFR  Ec  WFR 

2
2
dv dv dx
dv

v
Demonstração: a 
dt dx dt
dx
O trabalho total realizado pela força resultante
é dado por:
xf
WFR 
 Fdx
xi
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
xf
WFR 
 m  adx
xi
xf
WFR 
dv
 m  v dxdx
xi
vf
WFR   m  vdv
vi
v v f
v2 
WFR  m  
2  v v
i
WFR 
m  v 2f
2

m  vi2
2
O cavalo-vapor, de símbolo cv, é uma unidade
de potência que equivale a 75 kgf·m·s-1. Um kgf.m por
sua vez corresponde ao trabalho gasto para se elevar
uma massa de um quilograma a um metro de altura ao
nível do mar.[ Pouco utilizada no meio científico devido
à existência de uma unidade específica para isso no
Sistema Internacional de Unidades — o Watt. Porém, a
sua utilização persiste, nomeadamente no meio da
indústria automobilística, para classificar a potência
máxima dos motores de combustão interna.
Nos países anglo-saxónicos, utiliza-se o horse
power, de símbolo hp, que é uma unidade de mesma
escala de grandeza, mas com valores diferentes. O
horse power define-se como sendo a potência
necessária para elevar verticalmente a uma velocidade
de 1 pé/min uma massa de 33000 libras.
 Energia potencial elástica:
Ep 
k  x2
2
 Exemplos:
3. Um cavaleiro de 0.1 kg de massa está ligado à
extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola
constante de 20 N/m. Inicialmente, a mola não está
esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a
1.5 m/s para a direita. Ache a máxima distância d que o
cavaleiro pode se mover para a direita:
(a) supondo que o ar esteja passando pelo trilho e
o atrito seja desprezível.
(b) supondo que o ar não esteja fluindo e o
coeficiente de atrito cinético seja µC = 0.47.
 Energia potencial gravitacional:
Ep  U  m  g  y
Potência:
 Potência Média:
Pmed 
W
t
 Potência Instantânea:
W
dW
P
t 0 t
dt
 
P  F v
P  lim
 Unidade: Watt
1W = 1J/1s
 Outras unidades:
1 hp = 745.6987 W = 550 ft.lb/s
1 Btu/h = 0.293 W
1 cv = 735.49875 W
1 cv = 0.9863 hp
1 hp = 1.0139 cv
 Solução:
Usando o teorema do trabalho-energia:
(a)
WFR  Ec  WFR 
kx
WFe   kxdx  
2
0
d
m  v 2f
2
2 x d
x 0
m  vi2

2
k d2

2
4
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
k  d 2 m  02 m  vi2


2
2
2
m
0.1
d  vi 
 d  1.5 
k
20
d  0.106m  10.6cm

 Solução:
N
N  P  m g
Fa  C  N  Fa  C  m  g
WFR  Ec  WFR 
mv
mv
2

 0  F  T  sen  0
F
 0  T  cos   w  0
i 1
N
(b) Quando o ar não circula, devemos também
incluir o trabalho realizado pelo atrito cinético. A força
normal é igual ao peso. Assim:
2
f
F
i 1
x
y
F  w  tg
 
W   F  dl  W   F  cos  ds
Como:
mv
2
2
i
m  vi2
WFa  WFe 

2
2
m  v 2f m  vi2
1
f a  d  cos180  k  x 2 

2
2
2
2
m

v
m  vi2
1
f
m  g  C  d  k  x 2 

2
2
2
2
1
0.1 0 0.11.52
0.1 9.8  0.47  d  20  d 2 

2
2
2
2
1
0.1 0 0.11.52
0.1 9.8  0.47  d  20  d 2 

2
2
2
d  0.086m
2
f
s  R   ds  R  d
0
W    w  tg   cos    R  d 
0
0
W  w  R   sen d
0
W  w  R    cos   00
 
W  w  R  1  cos 0 
5. Cada um dos motores a jato de um Boeing 767
desenvolve uma propulsão de 197000N. Quando o
avião está voando a 900 km/h, qual a potência
instantânea que cada motor desenvolve?
4.
Em um piquenique familiar, você foi
designado a empurrar seu primo chato João em um
balanço. Seu peso é w; o comprimento da corrente é R e
você empurra o dunha até que as correntes façam um
ângulo θ0 que começa em 0 e cresce gradualmente até
atingir um valor suficiente para que João e o balanço se
movam lentamente e permaneçam aproximadamente
em equilíbrio. Qual o trabalho total realizado por todas
as forças sobre João? Qual o trabalho realizado pela
tensão T nas correntes. Qual o trabalho que você realiza
ao exercer a força variável
correntes e do assento.

F ? Despreze o peso das
 Solução:
P  F  v  P  1.97 105  250
P  4.93 107 W
6. O papel do motor de um automóvel é
fornecer continuamente uma determinada potência para
superar a resistência ao seu movimento. Duas forças se
opõe ao movimento do automóvel: o atrito de rolamento
e a resistência do ar. Um valor comum para o
coeficiente de atrito de rolamento é µ = 0.015 para um
pneu rolando com pressão apropriada em um pavimento
5
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
duro. Um Porshe Carrera 911 possui massa 1251 kg,
peso 12260N e a força de atrito de rolamento é dada
por:
Frol    N  Frol  0.015 12260
Frol  180 N
Essa força é aproximadamente independente
da velocidade do automóvel.
A força de resistência do ar Far é
aproximadamente proporcional ao quadrado da
velocidade do automóvel e expressa por:
1
Far  C  A    v 2
2
Onde:
C: Constante adimensional denominada de
coeficiente de arraste. Valores comuns: 0.35 a 0.5.
: densidade do ar: 1.2 kg/m3.
A: área da seção reta do carro.
Para o Porshe Carrera:
1
Far  0.38 1.77 1.2  v 2
2
Far  0.4  v 2
A potência é dada por:
P  Fimp  v  P   Frol  Far   v
v(m/s)
10
15
30
40
Frol(N)
180
180
180
Far(N)
40
90
360
Fimp(N)
220
270
540
P(kW)
2,2
4,1
17
A queima de 1L de gasolina libera uma energia
de aproximadamente 3.5.107J. Uma parte dessa energia
é convertida em trabalho útil. Em um motor de
automóvel típico, 65% do calor liberado pela queima de
combustível é dispersado no sistema de resfriamento e
exaustão e cerca de 20% dessa energia é convertida em
trabalho que não contribui para a propulsão do carro,
como o trabalho realizado pelo atrito no eixo do motor e
o trabalho necessário para mover acessórios como o
sistema de ar-condicionado e o sistema de direção do
volante até as rodas do carro. Sobram do total, 15% de
energia para superar o atrito de rolamento e resistência
do ar. Assim, a energia disponível por litro de gasolina
é:
0.15  3.5 107  J L   5.3 106  J L 
Para examinar o consumo de gasolina em 15
m/s a potência necessária seria de 4.1 kW = 4.1.103J/s.
Em uma hora a energia necessária seria:
W  P  t  W  4.1103  3600
W  1.5 107 J
Durante essa hora, o carro percorreria a
distância de:
d  v  t  d  15  3600  d  54km
Assim, o consumo de gasolina em uma hora,
percorrendo uma distância de 54 km com velocidade de
15 m/s seria:
1.5 107 J
 2.8L
5.3 106 J L
Essa quantidade de gasolina faz o carro mover
54 km. Assim:
54km
km
 19
2.8L
L
Obtenha a potência instantânea para a
velocidade de 40 m/s. Faça o cálculo do consumo
também.
6
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
Trabalho realizado pela força gravitacional
Durante o deslocamento de y1 a y2:
 Solução: Adotando y1=0:
EM1  EM 2  K1  U1  K2  U 2
Wgrav  U1  U 2   U 2  U1   U
K1  U 2
mv
v12
 m  g  y2  y2 
 y1  20.4m
2
2g
2
1
8. Suponha que sua mão desloque 0.5m para
cima quando você arremessa a bola deixando sua mão a
20 m/s de velocidade inicial. Despreze a resistência do
ar. (a) Supondo que sua mão exerce uma força
constante sobre a bola, ache o módulo desta força. (b)
Ache a velocidade da bola quando ela está a uma altura
de 15 m acima da altura do ponto inicial onde ela deixa
a sua mão.
7
Energia Mecânica
EM  K  U
Consevação da Energia Mecânica
(Somente forças gravitacionais)
Teorema trabalho-energia cinética:
Wtotal  K  K2  K1
Se tivermos a gravidade atuando como uma
única força sobre o corpo:
Wtotal  Wgrav   U 2  U1 
EM1  EM 2  K1  U1  K2  U 2
Efeito de outra força:
WF  Wg  K2  K1  WF  U1  U 2  K2  K1
WF  K2  U 2   K1  U1   WF  Em2  Em1
7. Você arremessa uma bola de beisebol de
0.145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendolhe uma velocidade de módulo 20 m/s. Usando a
conservação da energia, calcule a máxima altura que ela
atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.
 Solução:
K1  0
U1  m  g  h1  0.145  9.81  0.5  0.71J
1
1
m  v22  K 2  0.145  202  29 J
2
2
WF  EM 2  EM1  WF  K2  U 2   K1  U1 
K2 
WF  29  0   0  0.71
WF  29  0   0  0.71
WF  29.71J
8. Um jogador bate duas bolas idênticas com a
mesma velocidade escalar, mas formando dois ângulos
iniciais diferentes. Prove que para uma dada altura h as
duas bolas possuem a mesma velocidade escalar
supondo que a resistência do ar seja desprezível.
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Solução:
10. Um carinha pratica skate se deslocando
para baixo de uma rampa circular em um playground.
Considerando que ele é juntamente com sua prancha de
skate uma partícula, seu centro se move ao longo de um
quarto de círculo de raio R. A massa total vale 25 kg.
Ele parte do repouso e não existe atrito.
(a) Calcule sua velocidade na parte inferior da
rampa.
(b) Calcule a força normal que atua sobre ele
na parte inferior da curva.
8
9. A expressão para a altura máxima h atingida
por um projétil lançado com velocidade escalar v0 e
para um ângulo α0 é:
v02  sen 2 0
2 g
h
Deduza essa
conservação da energia.
expressão
considerando
a
 Solução: Adotando y1=0:
EM1  EM 2  K1  U1  K2  U 2




1
1
m v12x  v12y  0  m v22x  v22y  mgh
2
2
2
2
2
2
v1x  v1y  v2x  v2 y  2 gh  v1x  v2x  v2 y  0
v  2 gh
2
1y
 v0  sen0 
2
 2 gh
 Solução:
EM1  EM 2  K1  U1  K2  U 2
1
m  v22  0
2
v2  2  g  R
0  m g  R 
v02  sen 2 0
h
2 g
acp 
v22
2g  R
 acp 
 acp  2 g
R
R
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
N
F
i 1
y
 N  P  m  acp
N  P  m  acp  N  m  g  m  2g
N  3m  g
11. Suponha que a pista tenha atrito e que a
velocidade na base da pista seja 6 m/s. Qual o trabalho
realizado pela força de atrito sobre ele?
 Solução:
WF1,3
WF  EM 2  EM1  WF  K2  U 2   K1  U1 
1

WF  12  9.81 0.80   12  52 
2

WF  94  150   f  s  94  150
94  150
f 
 f  35 N
1.6
 EM3  EM1  WF1,3  K3  U 3   K1  U1 
WF1,3  K3  0  150  0   2 f  s
WF1,3  K3  0  150  0   2  35 1.6
K3  150  112
1
WF  m  v22  0   0  m  g  R 
2
1
WF  25  62   25  9.81 3
2
WF  285J
12. Uma caixa de 12 kg está em repouso sobre
o solo. Deseja-se levá-la até um caminhão, usando um
plano inclinado de 30° fazendo-a deslizar sobre uma
rampa de 2.5m. Um trabalhador, ignorando o atrito,
calculou que ele poderia fazer a caixa chegar ao topo da
rampa lançando-a com uma velocidade inicial de 5 m/s
na base da rampa. Porém o atrito não é desprezível e a
caixa desliza 1.6m subindo a rampa, pára e desliza
retornando para baixo.
(a) Supondo que a força de atrito seja
constante, calcule seu módulo.
(b) Qual a velocidade da caixa quando ela
atinge a base da rampa?
K3  38 J  v3 
v3 
2  K3
m
2  38
m
 v3  2.5
12
s
13. Movimento com energia potencial
elástica. A figura mostra um cavaleiro de m = 0.2 kg
em repouso sobre um trilho de ar sem atrito ligado a
uma mola de k = 500 N/m. O cavaleiro é puxado
fazendo a mola se alongar 0.1 m e a seguir é liberado
sem velocidade inicial. O cavaleiro começa a se mover
retornando para sua posição inicial em x = 0m.
Qual é a sua velocidade em x = 0.8m?
 Solução:
 Solução:
WF1,2  EM 2  EM1  WF1,2  K2  U 2   K1  U1 
WF  0  U 2   K1  0 
1
1
m  v12  K1  0.2  02  K1  0 J
2
2
1
1
U1  k  x12  U1  5  0.12  U1  0.025 J
2
2
1
K 2  m  v22
2
K1 
9
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
U2 
1
1
k  x22  U 2  5  0.082  U 2  0.016 J
2
2
K1  U1  K2  U 2
0  0.025  K2  0.016
K2  0.009 J
v2 
v2 
2  K2
m
2  0.009
m
 v2  0.3
0.2
s
14. No sistema anterior, suponha que o sistema
esteja em repouso na posição inicial x = 0 quando a
mola ainda não está deformada. Aplicamos então sobre

o cavaleiro uma força F constante no sentido +x com
módulo igual a 0.61N. Qual é a velocidade do cavaleiro
no ponto x = 0.1m?
 Solução:
K1  0 J
U1  0 J
1
K 2  m  v22
2
1
1
U 2  k  x22  U 2  5  0.12  U 2  0.025J
2
2
K1  U1  K2  U 2
0  0.025  K2  0.016
 Solução:
K3  0 J
U 2  0.025 J
K2  0.036 J
U3  K2  U 2  K3  U3  0.036  0.025  0
U3  0.061J
U3 
2 U 3
1
2  0.61
k  xm2  xm 
 xm 
2
k
5
xm  0.156m
16. Movimento com forças gravitacional,
elástica e atrito. Em um projeto com um cenário para
calcular o ―pior caso‖, um elevador de 2000 kg com o
cabo quebrado cai a 25 m/s sobre a mola de
amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada
para fazer o elevador parar quando ela sofre uma
compressão de 3.0 m. Durante o movimento, uma
braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma
força de atrito constante de 17000N. Como consultor do
projeto, calcule a constante elástica da mola.
WF  EM 2  EM1  WF  K2  U 2   K1  U1 
WF  F  d  0.61 0.1  0.061J
0.061  K2  0.025   0  0 
K2  0.036 J
v2 
2  K2
2  0.036
 v2 
m
0.2
m
v2  0.6
s
15. No exemplo anterior, suponha que a força
 Solução:

F seja removida no momento que o cavaleiro atinja o
Ponto 1: Ponto onde o elevador toca a parte
superior da mola:
ponto x = 0.1 m. Calcule a distância percorrida pelo
cavaleiro até ele parar.
K1 
1
1
m  v12  K1  2000  252  K1  625000 J
2
2
Ponto 2: Elevador para.
10
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
U2 
1
k  x22  m  g  y2
2
1
k  x22  2000  9.8   3
2
1
U 2  k  x22  58800
2
K2  0 J
U2 
WF  EM 2  EM1  WF  K2  U 2el  U 2   K1  U1 
WF  51000 J
1
WF  0  m  g  y2  k  y22   K1  0 
2
2  K1  WF  m  g  y2 
k
y22
k
2  625000  51000  58800 
 3
2
k  1.41105
N
m
17. O trabalho realizado pela força de atrito
depende da trajetória. Você deseja mudar a arrumação
de seus móveis e desloca um sofá de 40.0 kg por uma
distância ed 2.50 m através da sala. Contudo, a
trajetória retilínea é bloqueada por uma mesa que você
não deseja deslocar. Em vez disso, você desloca o sofá
ao longo de uma trajetória de dois trechos ortogonais,
um trecho com comprimento 2 m e outro com 1.5 m de
comprimento. Em comparação com o trabalho que seria
realizado em trajetória retilínea, qual é o trabalho
excedente que você deve realizar para deslocar o sofá
ao longo da trajetória com os dois trechos ortogonais?
O coeficiente de atrito cinético é 0.2.
 Solução:
O sofá está em repouso nos pontos (1) e (2):
K1 
1
m  v12  K1  K 2  0
2
A energia potencial gravitacional não varia
pois o sofá se move horizontalmente.
WF  K2  U 2   K1  U1 
WF  0
fc  c  m  g
11
Trabalho realizado pela força que você faz:
W  WFatrito  W  c  m  g  1  s
W  0.2  40  9.8  2.5
W  196 J
(Trajetória retilínea)
W  0.2  40  9.8   2.0  1.5
W  274 J
(Trajetória ortogonal)
18. Conservativa ou não conservativa? Em
uma certa região do espaço, a força que atua sobre um
elétron é:

F  C  x  ˆj
C é uma constante positiva. O elétron percorre
uma trajetória quadrada no plano xy em um sentido
anti-horário.

Calcule o trabalho realizado pela força F
sobre o elétron no percurso fechado ao longo do
quadrado. Esta força é ou não conservativa?
 Solução:
P2
 
W   F  dl
P1
W  W1  W2  W3  W4
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 L, L

W  0
 Solução:
 
F  dl  0  0
yL
W
 C  Ldy
y 0
W  C  L2
O ponto inicial coincide com o ponto final da
trajetória, porém o trabalho de

força F não é conservativa.

F não é zero. Logo a
19. Trabalho realizado pelo atrito. Considere
o skatista do exemplo 10. Ele começa com energia
cinética 0 e energia potencial 735J e na base ele possui
450 J de energia cinética e energia potencial 0. Logo:
K  450 J e U  735J . O trabalho de sua
força é dado por:
W  Watrito realizado pelas forças não
conservativas é -285J e a variação de energia interna é
dada por Uint erna  285J . As rodas, os manais e a
rampa tornam-se ligeiramente mais quentes quando
ocorre a descida na rampa. A soma dessas variações da
energia é igual a 0:
K  U  Uint erna  450  735  285J  0
20. Força elétrica e energia potencial. Uma
partícula com carga elétrica é mantida em repouso no
ponto x = 0, enquanto uma segunda partícula com
mesma carga pode-se mover livremente ao longo do
eixo positivo Ox. A energia potencial do sistema é:
U  x 
C
x
onde C é uma constante positiva que depende do
módulo das cargas. Deduza uma função para a
componente x da força que atua sobre a carga que se
move.
 Solução:
Fx  x   
dU  x 
dx
 Fx  x  
C
x2
21. Força e energia potencial em 2
dimensões. Um disco de hóquei desliza sobre uma
mesa de ar sem atrito. As coordenadas do disco são x e
y. Sobre ele atua uma força conservativa oriunda de
uma energia potencial dada por:

1
U  x, y   k x 2  y 2
2
U
 k  x
x
U
Fy  
 k  y
y

F  Fx  iˆ  Fy  ˆj

F  k  x  iˆ  y  ˆj


F  k  r

r  x  iˆ  y  ˆj
Fx  
 L ,0 

Deduza a expressão da força que atua no disco.

(Vetor posição)

F  Fx2  Fy2
F  k  x2  y 2
F  kr
Diagramas de energia

12
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
13
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
Exemplos – Tipler
Capítulo 6 – Trabalho e Energia
(b) a velocidade final do trenó após ele mover
5 m.
1. Um caminhão de 3000 kg está sendo puxado
para cima por um guindste que exerce uma força de 31
kN na direção do movimento de deslocamento 2m.
(a) Determine o trabalho realizado pela tração
no fio.
(b) Determine o trabalho feito pelo peso do
caminhão.
(c) Encontre a velocidade após 2 m de
percurso.
 Solução
(a) Trabalho da força aplicada:
WF  Fap  d  cos 0  W  31k  2 1  W  62kJ
WF  Fap  d  cos 20  W  180  5  cos 20
W  846 J
(b) O trabalho total será:
(b) Trabalho do peso:
WP  
P  d  cos180  WP  3000  9.81 2   1
WT  WN  WP  WF 
  
m g
WP  59kJ
(c) Teorema trabalho energia:
WT  WF  WP  EC
m  v 2f
m  v02
 Kf 0
2
2
 62  59 103  K f
WT  WF  WP 
vf 
2 K f
m
 vf 
14
 Solução
(a) Trabalho da força aplicada:
0
vf 
0
846
m  v 2f
2

m  v02
2
2 WF
2  846
m
 vf 
 v f  4.6
m
80
s

2  3 103
m
 v f  1.4
3
3 10
s
2. Em um tubo de TV RTC, um elétron é
acelerado a partir do repouso até adquirir uma energia
cinética final de 2.5 keV sobre uma distância de 80 cm.
A força sobre o elétron é a força causada pelo campo
elétrico do tubo. Calcule a força sobre o elétron,
assumindo ser constante e na direção do movimento no
tubo.
 Solução
Trabalho da força aplicada:
4. Uma força varia conforme o deslocamento
de acordo com o gráfico abaixo:
WF  F  x  K  K f  Ki
F
F
K f  Ki
WF
F
x
x
2.5 3
10 1.6 1019  F  5 1016 N
0.8
3. Um professor puxa um trenó de 80 kg com
uma força de 180N fazendo um ângulo de 20° com a
direção de deslocamento horizontal de 5m. Encontre,
supondo ausência de atrito:
(a) o trabalho que ele faz;
Encontre o trabalho feito pela força quando a
partícula se move entre x = 0 e x = 6m.
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(b) Aplicando o Teorema trabalho-energia
 Solução
Trabalho da força aplicada:
cinética:
 
W 
 F  dr  W  A1  A2
W  m
W  25J
5. Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa
horizontal sem atrito e preso a uma mola horizontal sem
atrito e preso a uma mola horizontal que exerce uma
v2 

2 W
2  0.5
m
 v2 
 v2  0.5
m
4
s
6.
força dada pela Lei de Hooke F  k  x  iˆ com k =
400N/m e x em metros medido a partir da posição de
equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está
comprimida com o corpo em x1 = -5 cm. Calcular:
(a) o trabalho feito pela mola sobre o corpo no
deslocamento de x1 = -5 cm até a posição de equilíbrio
x2 = 0 cm e
(b) a velocidade do corpo em x2 = 0 cm.
v22
v2
v2
 k  1  W  m 2
2
2
2
(a) Calcular o ângulo entre os vetores

A   3m   iˆ   2m   ˆj e

B   4m   iˆ  3  ˆj


(b) Achar a componente de A na direção de B .
 Solução:
(a)
 
 
A  B  A  B cos   A  B  Ax  Bx  Ay  By
 
 
A  B  3  4  2   3  A  B  6
A  Ax2  Ay2  A  22  32  A  13m
B  Bx2  By2  A  42   3  B  5m
 
A B
6
cos  
 cos  
 cos   0.33
A B
13  5
  70.6
  
 B A B 6
  1.2m
(b) AB  A  
B
B
5
2
 Solução:
(a)
x2
x2
x1
x1
W   Fx dx  W   k  xdx
x2
W  k 
2
2
x  x2
 k 
x  x1
2
1
x22 
x2 
  k  1 
2 
2
2
1
x
x
0
k  W  k 
2
2
2
2
 0.05  W  0.500 J
W  400 
2
W  k 
7. O deslocamento de uma partícula é dado

por: s   2m   iˆ   5m   ˆj sobre uma reta. Durante o
deslocamento,
uma

F   3N   iˆ   4 N   ˆj atua
força
sobre
constante
a
partícula.
Calcular (a) o trabalho da força e (b) a componente da
força na direção do deslocamento.
 Solução:
15
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
2
2
t2 v2 f  v2i
t2 1122  802



t1 v12f  v12i
t1
962  02
t2
 0.667  t2  0.667 t1  t2  4.33s

t1
6.5
9. Um esquiador desce por uma rampa, com os
esquis parafinados, de modo que o atrito é praticamente
nulo. (a) Qual é o trabalho feito pelo esquisador ao
percorrer uma distância s sobre a encosta? (b) Qual é a
velocidade do esquiador ao chegar ao pé da encosta?
Admita que a distância percorrida seja s, que o ângulo
de inclinação seja  e que a massa do esquiador seja m.
A altura de descida é, então, h = s.sen.
(a) Trabalho:
 
W  F  s  W  Fx  x  Fy  y  Fz  z
W  3  2  4   5  W  14 J
(b)
W  F  s  cos   F  cos  
W
s
s  x 2  y 2  z 2  s  22   5  02
2
 Solução:
(a) O trabalho feito pela força da gravidade
quando o esquiador desce a encosta é:
s  29m
W
14
F  cos  
 F  cos  
N
s
29
F  cos   2.60 N
8. Um modelo novo de Cadillac, pode acelerar de 0
a 96 km/h em 6.5 s. Em que intervalo de tempo o carro
acelera de 80 km/h a 112 km/h?
 Solução:
1. Intervalo de tempo no qual a energia cinética
varia:
P
K
W
 t1  1
t1
P
2. Se t2 for o intervalo de tempo necessário para
a variação da energia cinética K2:
t2 
K2
P
3. Fazendo a razão:
1
1
m  v22 f  m  v22i
t2 K 2
t
2

 2 2
t1 K1
t1 1 m  v 2  1 m  v 2
1f
1i
2
2
 
W  m  g  s  W  m  g  s  cos 
h
sen   W  m  g  h
s
(b)
1
W  K  m  g  h  m  v 2 0  v  2 g  h
2
10. Um pequeno motor é usado para operar um
elevador de carga que movimenta um lote de tijolos, de
800 N, até uma altura de 10 m, em 20 s. Qual a potência
mínima do motor?
 Solução:
 
P  F v  P  F v  m a v
P
a
mv
dv d  1
 dK
P  m  a  v  m  v    m  v2  
dt dt  2
 dt
P  dt  K
(Potência constante)
11. Um caminhão de massa m, em repouso no
instante t = 0, é acelerado, com potência P constante,
numa estrada horizontal. (a) Encontre a velocidade do
caminhão em função do tempo.
16
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(b) Mostrar que se x = 0, a função posição x(t)
8P
t
9m
é dada por: x 
3
2
 Solução:
a
P
mv
dv
P
P

 v  dv  dt
dt m  v
m
2
P
v
P
 v  dv   m dt  2  m t
2P 12
v
t
m
dx
2 P 12
2 P 12

t  x  
 t dt
dt
m
m
8P 32
x
t
9m
12. Uma garrafa de 0.350 kg cai do repouso de
uma prateleira que está a 1.75 m do solo. Determinar a
energia potencial inicial do sistema garrafa-Terra em
relação ao solo e a energia cinética da garrafa ao colidir
com o solo.
1
U  m  g  y  k  s2
2
1
U  110
9.81
 2  7200  0.152  U  2239 J

2 
2158


81
14. A força entre dois átomos numa molécula
pode ser representada aproximadamente pela função
energia potencial:
6
 a 12
a 
U  U 0     2    
 x  
 x 
 Solução:
6
 a 12
a
a 
(a) U 0     2      0  x 
6
2
 x  
 x 

(b) F   dU  F  12U 0   a    a 
x
x
   
dx
a  x   x 
(c) x = a
(d) Umin = U0
13
 Solução:
U  m  g  y  U  0.350  9.811.75  U  6.01J
O trabalho feito é igual a variação da energia
cinética, que é o trabalho feito pela Terra.
K  Wtotal  m  g  y
K  6.01J
13. Achar a energia potencial total do jogador
de basquete pendurado no aro da cesta. Admitir que o
jogador seja descrito como uma partícula de 110 kg a 2
m do soloe que a constante de força do aro seja de 7.2
kN/m. O deslocamento do aro é de 15 cm.
17
Onde U0 e a são constantes. (a) Em que valor
de x a energia potencial é nula? (b) Determinar a força
Fx. (c) Em que valor de x a energia potencial é mínima?
Mostrar que Umin = U0.
6



Exemplos – Tipler
Capítulo 7 – Conservação da Energia
1. Na beira de um terraço, a 12 m do solo, uma bola
é chutada sob ângulo de 60° com o plano horizontal e
adquire uma velocidade inicial vi = 16 m/s.
Desprezando os efeitos da resistência do ar, calcular:
(a) a altura que a bola atinge em relação ao terraço
e (b) a velocidade no instante que colide com o solo.
 Solução:
U  U g  Ue
 Solução:
(a) Conservação da energia mecânica:
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1
1
2
m  vtopo
 m  g  h  m  vi2
2
2
2
2
v  vtopo
h i
 vtopo  vi  cos 
2g
m
vtopo  16  cos 60  vtopo  8
s
2
2
16  8
h
 h  9.79m
2  9.81
v  2  g  L 1  cos0 
Etopo  Ei 
(b) Se vf for a velocidade com que a bola atinge
o solo, a conservação da energia dará:
E f  Ei 
1
1
m  v 2f  m  g  y  m  vi2
2
2
v f  vi2  2  g  y
v f  162  2  9.81  12   v f  22.2 m s
2. Um pêndulo é constituído por um corpo de
massa m pendurado por um cordel de comprimento L. O
corpo é desviado da vertical de modo que o cordel faz
um ângulo 0 com a verticale depois é solto, sem
velocidade inicial. Determinar as expressões (a) da
velocidade v no ponto mais baixo de oscilação e (b) da
tensão no cordel, neste mesmo ponto.
(b) As forças que atuam no pêndulo são o peso
e a tensão. No ponto mais baixo, a resultante será a
força centrípeta:
v2
FR  T  P  m   T  m  g
L
m
2  g  L 1  cos0 
2
 T  m g
L
2  g  L 1  cos0 
m
 T  m g
L
T  mg  3  2  cos0 
3. Um corpo de 2 kg está comprimindo de 20
cm uma mola cuja constante elástica é 500 N/m. O
corpo é libertado e a mola o projeta sobre uma
superfície horizontal sem atrito e sobre um plano
inclinado de 45°, também sem atrito, como está no
esquema. Até que altura do plano inclinado o corpo
sobe e fica momentaneamente em repouso, antes de
retornar plano abaixo ?
 Solução:
1
k  x2
2
Ef  m g  h
Ei 
 Solução:
(a) Conservação da energia mecânica:
E f  Ei  Ki  Ui  K f  U f
1
m  v2  0  m  g  h
2
v  2 g h
h  L  L  cos0  h  L 1  cos0 
E f  Ei  m  g  h 
1
k  x2
2
1 k  x2
 h  0.51m
2 m g
s  h  sen  s  0.721m
h
4. A constante de força de mola elástica
pendurada na vertical é k. Um corpo de massa m é preso
à ponta da mola, na posição de equilíbrio, e cai
verticalmente. Determinar a expressão da distância
18
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
máxima da queda do corpo antes de o movimento ter o
sentido ascendente.
 m  m1 
v  2 2
 g h
m

m
 2
1 
6. Uma bola plástica, com a massa m, cai do
repouso de uma altura h até o solo. Discutir a
conservação da energia (a) do sistema constituído pela
bola e (b) do sistema constituído pela Terra e pela bola.
 Solução:
(a) O teorema da conservação trabalho-energia é:
Wext  Esist  Emec  ETer
 Solução:
Wext  mgh
E  K  U g  Ue  E 
mv
ky
 m g  y 
2
2
2
2
Aplicando a conservação da energia:
m  v2
k  y2
 m g  y 
0
2
2
m  02
k  y2
 m g  y 
0
2
2
2mg
yd 
k
E  Ei  E 
5. Dois corpos de massas m1 e m2 estão
pendurados por um fio muito leve a uma roldana com
massa e atrito desprezíveis. Os dois corpos estão
inicialmente em repouso. Calcular a velocidade do mais
pesado quando tiver caido a uma distância vertical h.
As duas forças externas são a da gravidade e
aforça do solo sobre a bola . O solo não se movimenta e
não efetua trabalho.
Como a bola é o nosso sistema, a sua energia
mecânica é cinética apenas e né nula no início e no
final:
Emec  0
Wext  mgh
(b) Agora não há forças externas atuando no
sistema ( a força da gravidade e a força do solo sobre a
bola são forças internas). Assim, não há trabalho
externo:
Wext  0
Wext  0  Eter  Emec
Ei  mgh  E f  0
Emec  E f  Ei  0  mgh  mgh
Eter  Emec  Eter  mgh
 Solução:
K
1
1
m1  v 2  m2  v 2
2
2
Energia potencial quando m1 tiver
subido altura h e m2 descido a
mesma altura:
U  m1 gh  m2 gh
Com a conservação da energia:
E  Ei  0  K  U  0
1
1
m1  v 2  m2  v 2  m1 gh  m2 gh  0
2
2
7. Uma força horizontal de 25 N é aplicada a
um bloco de 4 kg que está inicialmente em repouso
sobre uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito
cinético µk entre o bloco e e o tampo da mesa é 0.35.
Calcular (a) o trabalho externo feito dobre o sistema
bloco-mesa, (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a
energia cinética do bloco depois de ser empurrado 3 m
sobre a mesa, (d) a velocidade do bloco depois de ser
empurrado 3 m sobre a mesa.
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Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Solução:
Trabalho da força externa:
Wext  Fext  x  Wext  25  3  Wext  75J
Energia dissipada pelo atrito:
Eth  f  x  Eth  k  m  g  x
Eth  0.35  4  9.81 3  Eth  41.2 J
Aplicano o teorema trabalho-energia:
Wres  Ec  Wext  W f  K f  Ki
Wext  f  x  cos180  K f  0
75  41.2  K f  K f  33.8J
2K f
1
K f  m  v 2f  v f 
 v f  4.11m s
2
m
8. A velocidade inicial de deslocamento de
um tobogã de 5 kg é 4 m/s. O coeficiente de atrito entre
o tobogã e o solo é 0.14. Que distância o tobogã
percorre até parar?
 Solução:
Wres  Ec  Wext  W f  K f  Ki
Wext  W f


0
f x cos180
1
 K f  m  v2
 2
0
1
1
 f  x   m  v 2  k  m  g  x  m  v 2
2
2
2
1
v
x   m  v 2  x 
 x  5.82m
2
2  k  g
h
sen30
4
W f  0.2  40  9.81 cos 30
sen30
W f  543.73J
W f   k  m  g  cos 30
Wext  m  g  h  WP  40  9.81 4  Wext  156.96 J
1
Wext  W f  m  v 2  0
2
h
1
20
m  g  h  k  m  g  cos30
 m  v2
sen30 2
1
g  h 1  k  cotg30    v 2
2
v  2 g  h 1  k  cotg30 


v  2  9.81 4 1  0.2  cotg30




1.73


m
v  7.16
s
10. Um corpo de 4 kg está pendurado por um
cordel bastante leve que passa por uma polia de massa e
atrito desprezíveis. A outra ponta do cordel está preza a
um bloco de massa 6 kg pousado sobre uma superfície
áspera horizontal. O coeficiente de atrito cinético é µk =
0.2. O bloco de 6 kg comprime uma mola elástica à
qual não está preso. A constante de força da mola é 180
N/m e sua compressão é de 30 cm. Calcular a
velocidade depois de a mola se distender e de o corpo
de 4 kg cair a altura de 40 cm.
9. Uma criança de 40 kg desce por um
escorregador inclinado de 30°. O coeficiente de atrito
cinético é µk = 0.2. Se a criança principia a escorregar
do repouso, no topo do escorregador, a 4 m de altura,
qual a sua velocidade ao atingir o solo?
 Solução:
Wres  EM  Wext  E f  Ei
Ef  K f U f
 Solução:
Wres  Ec  Wext  W f  K f  Ki
W f  f  s  cos180  W f  k  N  s
1
 m1  m2   v2  m2  g  s
2
Wext  f  s  cos180  Wext  k  m1  g  s
Ef 
Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1
k  x2
2
Wext  E f  Ei
Ei  U i  Ei 
k  m1  g  s 
v
1
 m1  m2   v 2  m2
2
P
dt
A variação da energia química pode
ser calculada pelo teorema da conservação trabalho1
2
 g  s  k  xenergia:
2
k  x  2m2  g  s  2k  m1  g  s
m1  m2
2
v  1.95
dEqui
m
s
11. Uma pessoa de massa m sobe, com
velocidade constante, um lance de escada que tem a
altura h. Discutir a aplicação da conservação da energia
ao sistema constituído exclusivamente pela pessoa.
 Solução:
O teorema da conservação trabalho-energia
nos dá: (Considerando as energias térmicas e químicas)
Wext  ESistema  Emec  Eter  Equi
O único trabalho efetuado pela pessoa é o da
gravidade. O trabalho é negativo, pois a força tem
sentido oposto ao deslocamento:
Wext  mgh
Como a pessoa é o sistema, a sua energia
mecânica é a cinética, que é nula no início e no final da
subida:
Emec  0
Assim:
mgh  Eter  Equi
12. Um carro de 1200 kg trafega à velocidade
constante de 100 km/h = 28 m/s subindo uma rampa de
10 %. (Uma rampa de 10 % de inclinação é aquela que
se eleva de 1 m para cada 10 m de distância percorrida
na horizontal. Ou seja, o ângulo  de inclinação da
rampa é dado por tg = 0.1). Qual a potência mínima
proporcionada pelo motor do carro? (Desprezar o atrito
de rolamento e a resistência do ar.)
 Solução:
A potência despendida pelo motor é igual a
taxa de diminuição da energia química:
Wext  Emec  Eter  Equi  0
Equi  Emec  Eter
P
dEqui
dt

dEmec dEter

dt
dt
Como a velocidade é:
v
ds
dt
é constante, a taxa de variação da energia
mecânica é a taxa da variação da energia potencial:
dEmec dU d  mgh 
dh


 mg
dt
dt
dt
dt
h  s  sen  s  tg  0.1
dEmec
dh
ds
 mg
 0.1mg  0.1mgv
dt
dt
dt
dEter
P  0.1mgv 
dt
dE
P  27.5kW  ter
dt
dE
Pmin  27.5kW  ter  0
dt
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