Conjunto das partes

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Conjuntos
Conjunto é algo que aparece o tempo todo em nosso cotidiano e representa uma coleção
de objetos, por exemplo, podemos formar a coleção dos tipos de cédulas de Real.
Este é o conjunto das cédulas de Real que atualmente circulam no Brasil. Mas também
podemos pensar em conjuntos formados apenas por números, como por exemplo todos
números pares positivos menores que 10. É fácil imaginar, porém precisa-se organizá-los,
e para isto existe diferentes formas, o que chamamos de notação de conjuntos, vejamos
elas para este conjunto, o qual vamos chamar de conjunto A.
 Enumerando todos os elementos do conjunto, desta forma o conjunto A será:
.
A  {0, 2, 4, 6, 8}
 Destaca-se a propriedade que caracteriza todos os elementos do conjunto, assim
teremos para A:
A  { x / x é número par positivo menor que 10}

Através do diagrama de Venn-Euler- Euler, que consiste
em representar o conjunto através de um círculo de tal
forma que todos seus elementos, e somente eles, estejam no
círculo. Observe como fica o conjunto A:
De onde surgiu a Teoria de Conjuntos?
A teoria dos conjuntos surgiu da necessidade de se comprender melhor o infinito. Uma
vez que o conceito de infinito, por muito tempo, a igreja o tinha como um dogma
incontestável. De acordo com os Teólogos, o infinito era encontrado apenas na natureza
de Deus. Tal definição é um problema bastante antigo, já discutido no paradoxo de Zenão
de Eléia, um filósofo grego que viveu por volta de 450 a.C.
Paradoxo de Zenão :“Aquiles aposta corrida com uma tartaruga, que sai com
uma pequena vantagem. Por mais que corra, o jovem jamais alcançará a tartaruga,
pois quando cehgar à posicção de onde partiu o animal, este já terá percorrido
certa distância, e quando Aquiles cobrir esta distância, a tartaruga terá avançado
mais um pouco, melhor dizendo, Aquiles não pode alcançar a tartaruga, pois deve,
em primeiro lugar, chegar ao ponto do qual a tartaruga acabou de sair, e, portanto,
a tartaruga estará sempre à frente. E o processo continua infinitamente,
concluindo-se, então, que o poderoso guerreiro jamais alcançará a lenta tartaruga”.
Fonte: Os Domadores do Infinito
http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Textos/domadoresinfinito.htm
Somente na década de 1870 Georg Cantor (1845-1918),
junto com seu colega Richard Dedekind (1831-1916),
define e classifica diferentes tipos infinitos, utilizandose da Teoria de Conjuntos criada por ele mesmo em
1872. É preciso lembrar que Augustus Morgan (18061871) e George Boole (1815-1864) dão origem aos
estudos envolvendo teoria de conjuntos, porém não
desenvolveram o conceito de conjuntos.
Exercícios:
1) Descubra no dicionário o significado de conjunto. Dê exemplos de conjuntos que
você conhece:
2) Tente descobrir com seus professores o motivo pelo qual intensificaram-se as
pesquisas em matemática no século XVIII e XIX, principalmente na Europa:
3) Procure descobrir por que o nome do diagrama chama-se Diagrama de VennEuler-Euller:
4) Procure a diferença entre os termos finito e infinito:
5) Reescreva os conjuntos, que você trouxe como exemplo anteriormente, nas três
denotações vistas:
Tipos de Conjuntos
Conjunto Vazio
Um conjunto sem elementos é chamado conjunto Vazio.
Ex: Sabe-se que não existe estado Brasileiro que tenha seu nome começado com a
letra Z, assim o conjunto E dos estados Brasileiros começados com a letra Z é vazio.
Notação
E =  , onde é o conjunto definido acima.
Conjunto Unitário
O conjunto que possui apenas um elemento é chamado conjunto unitário.
Ex:
O conjunto P é o conjunto de todos os números primos pares:
P={2}
Conjunto Universo
O conjunto de onde vêm todas as soluções para uma situação problema.
Conjunto Finito
Conjunto com um número limitado de elementos, ou seja, se quisermos contar o
número de elementos deste conjunto chega-se ao fim desta contagem.
Ex:
S  {x / x é dia da semana} A  { 0 , 2, 4, 6} B  {p / p é planeta do sistema solar}
Conjunto Infinito
É um conjunto com um número ilimitado de elementos, ou seja, se quisermos contar
o número de elementos deste conjunto não chegaremos ao fim desta contagem.
EX:
A  {x / x é número positivo}
Relacionando Elementos e Conjuntos:
Podemos fazer relações entre elementos e conjuntos e entre conjuntos. Vejamos:
a) Relação de Pertinência ( ,  )
È uma relação feita entre elemento e conjunto, informando se o elemento em
questão pertence ou não ao conjunto indicado.
Ex: Seja S  { m / m é município do estado de Santa Catarina} então:
Ituporanga  S
Porto Alegre  S
b) Relação de Inclusão:
Relação feita entre dois conjuntos. Se todos os elementos de um conjunto A são
também elementos de um conjunto B, diz-se que A está contido em B, ou ainda,
que B contem A.
A  B, ou B  A
Contido
Contem
OBS: Quando cortamos os símbolos, por exemplo  , isto significa a sua
negação, neste caso não está contido. Então preencha o quadro abaixo com o
símbolo que significa não contem:
Conjunto das partes
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A dado, é chamado
conjunto das partes de A.
P(A) = {S/S  A} , ou seja, caso S  P(A)  S  A .
Ex: Seja A = {2, 3, 6}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {6}, {2,3}, {2,6}, {3,6}, {2,3,6}, e o
conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {6}, {2,3}, {2,6}, {3,6}, {2,3,6}, Ø }
Exercício:
1) Estivemos comentando sobre números primos, você sabe o que é número primo.
2) Pesquise e discuta com seus professores de Geografia, Física e Matemática se o
conjunto E  { x / x é uma estrela do universo} é um conjunto finito ou infinito:
3) Para você entender melhor imagine uma garrafa de refrigerante cheia e assinale a
alternativa que contem as palavras na ordem que completam a sentença e a torna
verdadeira:
a) O líquido (refrigerante) ________________(está contido, contém) na(a) garrafa
de refrigerante. Assim como podemos dizer que a garrafa de
refrigerante_____________(está contida, contém) no(o) refrigerante.
i) está contido, está contida ii) está contido, contém
iv) contém, está contida.
iii) contém, está contida
Assinalada a alternativa, construa a relação possível de continência entre o
refrigerante R (líquido) e a garrafa de refrigerante G:
1) Utilizando os símbolos  ou  relacione os conjuntos A = { x / x é um estado
físico da matéria}, B = { x / estado físico da água nas condições ambientes de
temperatura e pressão} e C = {Sólido e Líquido}
a) A __ B
b) B__A c)C___A d)C___B
2) Observando os conjuntos representados abaixo, julgue como verdadeiro (V) ou
falso (F) cada uma das afirmações:
-7
A
2
( ) 6A e 6 B
( ) {5, 6, 8}  B
( ) 8  A ou 8  B
( ){8, 6, 5}  A
( ) 5A e 5B
( )  A
( )
( )A  {6, 8, - 13}
( ) 5  A ou 5  B
( ) - 13  A
( ){6,8}  A
3) Pense: O conjunto A dos números pares menor que 10 é igual ao conjunto
B = {0, 2, 4, 6, 8}, podemos dizer afirmar que A=B? Para você, quando que dois
conjuntos poderão ser ditos iguais?
4) Dados os conjuntos A = { 2, 4, 3x } e B = {4, 12, 2}, determine o valor de x para
que A = B:
5) Vamos dividir a turma em grupos, cada grupo será responsável em estar
construindo um cartaz com a relação de todos subconjuntos que é possível formar
a partir de um dos conjuntos abaixo:
A = {-1, 1}, B = {0, 2}, C = {0, 3, 5}
D = {0, 7 , 4}, E = {1, 5, -4}, F = {10, 1 , 6}
3
G = {-7, 0, 4, 7}, H = {0, 1,  , -32}, I = {-12, 5, 7, 9}
J = {-1, 15, 9, 12} K = {-1, 3, 6, 10}
OBS: - O conjunto  (vazio) é um subconjunto de qualquer conjunto.
- O conjunto A é sempre subconjunto dele mesmo.
6) Discuta com a turma e responda as perguntas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Se um conjunto A possui 2 elementos, o P(A) possuirá quantos elementos?
Se um conjunto B possui 3 elementos, o P(B) possuirá quantos elementos?
Se um conjunto C possui 4 elementos, o P(C) possuirá quantos elementos?
Se um conjunto D possui 5 elementos, o P(D) possuirá quantos elementos?
Se um conjunto E possui 6 elementos, o P(E) possuirá quantos elementos?
Se um conjunto F possui 10 elementos, o P(F) possuirá quantos elementos?
Se um conjunto G possui K elementos, o P(G) possuirá quantos elementos?
7) Dados os conjuntos abaixo determine quantos subconjuntos possuem cada um
deles:
a. C = {-3, 5, 7}
b. 
c. S = {x / x é múltiplo positivo de 3 menor que 20}
11) Se um conjunto possuir 2048 subconjuntos, isto significa que ele possui:
a)
b)
c)
d)
e)
2048 elementos
O conjunto vazio não está incluso nestes 2048 subconjuntos
1024 elementos
11 elementos
n.d.a
Operações Entre Conjuntos
União  
O conjunto formado pela união dos conjuntos A e B ( A  B ) é formado por
todos elementos que pertence ao conjunto A ou B.
A  { - 2, 0, 2, 4, 5, 13} e B  { - 4, 0, 4, 8 }
EX:
A  B  {-4, - 2, 0, 2, 4, 5, 8, 13}
Intersecção  
O conjunto formado pela intersecção de dois conjuntos A e B ( A  B ) é
formado por todos elementos que pertence ao conjunto A e B.
EX:
A  { - 2, 0, 2, 4, 5, 13} e B  { - 4, 0, 4, 8 }
A  B  { 0, 4}
Diferença  A - B
O conjunto formado pela diferença A - B é formado pelos elementos que
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Complementar
C AB
Sejam dois conjuntos A e B, onde A  B , o conjunto complementar de B em
relação a A é denotado por C AB . Observe agora o significado de complementar de acordo
com o dicionário:
complementar
IMPRIMIR
Acepções
■ verbo
transitivo direto e pronominal
dar complemento a ou receber complemento; completar(-se), concluir(-se)
Ex.: <faltavam duas aulas para c. o curso> <o quadro clínico
complementou-se com aqueles exames>
Dicionário Houaiss, extraído do endereço eletrônico
http://houaiss.uol.com.br/busca.jhtm?verbete=complementar&stype=k
Desta forma podemos concluir que C AB , o conjunto complementar de A em B, é o
conjunto que “completa” o conjunto A em relação ao conjunto B. Melhor pensando,
poderíamos dizer que este conjunto é formado pelos elementos que faltam (complete) ao
conjunto A para que ele se torne igual ao B, ou seja os elementos que pertence ao B e não
pertence ao A, assim pode-se definir o conjunto complementar através da diferença entre
conjuntos:
C AB = B – A  Os elementos
que pertence ao B e não pertence ao A
Exercícios
1) Dado A = { 2, 3, 7}, liste todos os subconjuntos de A:
2) Seja um conjunto B = {9, 6, -3, 13, -}, classifique as alternativas como
verdadeiro (V) ou falso (F):
(
(
(
) O conjunto vazio é um subconjunto de B
) O conjunto B possui 10 subconjuntos
) O conjunto B possui 32 subconjuntos
3) Sejam os conjuntos A = {4, 5, 8, 9}, B ={ x / x é múltiplo de 4 e 2  x  18 },
C = {4, 8, 12} e D = {x / 2x 2  18x  40  0 }, efetue as operações:
a) A  B
d)C  B
g) (A  B)  D
b) B - C
e) C - B
h) A - A
c) C CA
f) C DA
i) C CAB
4) Pinte nos conjuntos abaixo com as operações indicadas no interior de cada
quadro:
COLOCAR OS NOVE QUADROS DA PÁGINA 3 SEM
ESTAR PINTADOS PARA QUE OS ALUNOS MESMOS
CONSTRUAM AS RESPOSTAS A PARTIR DAS
DEFINIÇÕES TRAZIDAS ANTERIORMENTE.
5) O Brasil é dividido em cinco regiões, conforme mostra o mapa a seguir:
INSERIR FIGURA DO MAPA DO BRASIL detalhando
Estados e regiões
Considerando os conjuntos
A  {x / x é estado da Região Sul ou da Região Nordeste do Brasil}
B  {y / y é estado da Região Nordeste ou da Região Sudeste do Brasil}
Determine:
a) Os estados que pertence ao conjunto A
b) Os estado que pertence ao conjunto B
c) Represente no mapa os estados que formam o conjunto A-B e B-A. Desta forma
podemos afirmar que A-B é igual a B-A?
INSERIR FIGURA DO MAPA DO BRASIL detalhando estados em preto e branco
6) (ACAFE-SC) A região hachurada, na figura abaixo, reapresenta o conjunto:
a) B - (A  C)
b)(A  B  C)  B
c)(A  C) - (A  B)
d)(A  B) - A
GABARITO: A
Problemas com Conjuntos
Neste momento vamos buscar métodos que discutam a resolução de problemas que
envolvam quantidade de elementos pertencentes a um conjunto qualquer. Por exemplo,
uma pesquisa sobre a preferência pelas marcas Alimentar (A) e Bom Gosto (B) de leite,
os resultados estão presentes na tabela abaixo.
Marca que Consome
A
B
AeB
Consumidores
300
350
100
Pergunta-se, quantas pessoas foram pesquisadas? Algumas pessoas respondem sem
pensar muito 750 pessoas, porém em problemas que envolvem conjuntos A e B, alguns
dos casos há elementos que pertencem aos dois conjuntos, ou seja pertence a interseção
A  B, no nosso caso as pessoas que consomem as marcas A e B. Desta forma existe a
seguinte relação:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
Onde n(A) e n(B) representam o número de elementos dos conjuntos A e B
respectivamente e n(A  B) e n(A  B) o número de elementos da união A  B e da
intersecção A  B.
Assim na nossa problematização:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
n(A  B) =300+350-100
n(A  B) =550
Ou seja foram pesquisadas 550 pessoas.
Você pode verificar isto através do diagrama de Venn abaixo.
Percebe-se que há 550 pessoas na pesquisa como calculado anteriormente, 200 pessoas
consomem apenas a marca A e 250 consomem apenas a marca B.
Para melhor entender esta relação faça a pesquisa proposta no exercício.
Exercício
1) Pesquise na sala o número de pessoas que praticam as seguintes atividades
com uma certa freqüência:
a) Assistir TV ou jogar videogame
b) Praticar Esportes
c) Ler livros, revistas, jornais ou outros
Faça a tabulação dos dados e observando que uma pessoa pode praticar mais de uma
destas atividades, verifique quantas pessoas responderam preenchendo a tabela
abaixo:
Respostas Dadas
Somente A
Somente B
Somente C
aeb
aec
Número de Respostas
bec
A, b e c
Tendo a tabela preenchida, preencha os seguintes diagramas com o número de
respostas obtidas:
Observando o diagrama de Venn-Euler construído acima responda:
a)
b)
c)
d)
Quantas pessoas assistem TV ou jogam videogame freqüentemente?
Quantas pessoas possuem o hábito da leitura?
Quantas pessoas praticam esportes?
Quantas pessoas foram pesquisadas? Some os três valores anteriores, é o mesmo
que o número de pessoas pesquisadas? Por que?
e) Com os dados obtidos, que conclusões, em relação às atividades, podem ser
tomadas?
f) Transforme os dados obtidos para porcentagem e preencha novamente o diagrama
de Venn-Euler com as porcentagens obitdas. Responda as mesmas perguntas
feitas anteriormente, porém utilizando os dados em porcentagem.
GABARITO: RESPOSTA PESSOAL
2) (SAEM) O departamento de seleção de pessoal de uma empresa,
analisando os currículos de 50 candidatos inscritos, observou que 35
possuem curso de computação, 30 possuem curso completo de inglês 8
não possuem nenhum dos dois cursos. A alternativa correta é:
d. Quinze candidatos possuem apenas o curso de computação.
e. Quinze candidatos possuem apenas o curso de inglês.
f. Vinte e três candidatos possuem apenas um dos cursos.
g. Dezenove candidatos possuem apenas inglês.
h. Doze candidatos possuem apenas o curso de computação.
3) (FGV-SP) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao SUS
mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas
particulares de assistência médica, A e B, conforme o quadro:
Convenio A Convenio B
430
160
Filiado Somente ao SUS
60
O número de filiados simultaneamente às empresas A e B é:
a) 30
b) 90
c) 40 d) 25
e) 50
4) (ACAFE) Dos 540 alunos inscritos em uma academia, 200 fazem
musculação, 250 natação e o restante, de 240, fazem outras modalidades
de esportes. Assinale a alternativa correta.
A)
B)
C)
D)
E)
O número de alunos que fazem apenas musculação é 100.
O número de alunos que fazem apenas natação é 50.
450 alunos fazem natação ou musculação.
50 alunos fazem natação e musculação.
300 fazem apenas uma modalidade de esporte.
5) (UFPR) Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três
produtos designados por A, B e C. Todas as pessoas consultadas
responderam à pesquisa e os resultados estão publicados no quadro a
seguir:
Produto
A
B
C
AeB
AeC
BeC
A, B e C
Nenhum dos produtos
Número de Consumidores
25
36
20
6
4
5
0
5
Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor
de cada um destes dois produtos. Com base nestes dados, calcule o número total de
pessoas consultadas.
Conjuntos Numéricos:
Os elementos dos conjuntos numéricos são números, ou seja um conjunto
numérico é uma coleção de números. É importante lembrar a diferença entre
número, numeral e algarismo, onde número é o que utilizamos para quantificar
“coisas” (ex: alunos). Já os numerais são os símbolos que representam estes
números. Para construção destes numerais nosso sistema numérico utiliza dez
algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0).
Exercício


1) Organize a sala em grupos e cada grupo ficará responsável pela pesquisa dos
seguintes assuntos:
a) O que é o conjunto dos números naturais, como e por que eles
surgiram? Qual o símbolo que o representa? Traga exemplos destes
números:
Gabarito: Resposta Pessoal
b) O que é o conjunto dos números inteiros, como e por que eles
surgiram? Qual o símbolo que o representa? Traga exemplos destes
números:
Gabarito Resposta Pessoal
c) O que são números Racionais? Qual o símbolo que os representa?
Traga exemplos do cotidiano onde eles são encontrados:
Gabarito resposta pessoal
d)Encene o diálogo entre Sócrates e o escravo Ménone sobre a
duplicação da área de um quadrado dado. Qual a medida do lado do
quadrado que possui o dobro da área? A qual conjunto numérico ele
pertence? Estes números podem ser chamados de incomensuráveis?
Encontre outros exemplos destes números. O que Sócrates queria que
o escravo Ménone percebesse com isto?
Gabarito: Estamos pois na presença, não de uma, mas de duas
demonstrações simultâneas:
Por um lado, Sócrates demonstra a Ménone que os homens têm em si
conhecimentos que desconhecem. Para que esta demonstração atinja os seus
propósitos, requer-se que o interlocutor de Sócrates saiba Grego mas que não
tenha (ou pense não ter) conhecimentos de geometria. Para cumprir esses
requisitos é escolhido um escravo.
Por outro lado, Sócrates leva o escravo a descobrir a demonstração da duplicação
da área do quadrado
e) O que são dízimas periódicas? Procure exemplos e os diferentes tipos.
Podem ser consideradas pertencentes ao conjuntos dos números
Racionais? Porque?
Gabarito: Resposta pessoal, pois podem ser escritos em forma de fração.
Refletindo sobre os Conjuntos Numéricos:
Feitas as pesquisas anteriores, vamos refletir um pouco.
1) Será que o conjunto dos números Naturais N está contido no Conjunto
dos Números Inteiros Z? Vejamos, sabemos que N={0, 1, 3, 4, 5, 6,...} e
que Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }. Se pensarmos em um número natural
qualquer, ele sempre poderá ser considerado um número inteiro, desta
forma podemos concluir que o Conjunto dos Naturais estão contidos no
Conjunto dos Números Inteiros. Podemos Representar esta situação
utilizando o Diagrama de Venn-Euler
2) Sabemos que o conjunto dos Números Racionais Q é formado por todos
os números que podem ser escritos em forma de fração. Agora será que o
número –3 pode ser escrito na forma de fração? E o número 19? Todo
número inteiro pode ser escrito em forma de fração onde o númerador e o
a
denominador desta são números inteiros ( , onde a, b  Z )? Sim todos
b
3 19
estes podem ser escritos em forma de frações,  ,
e suas frações
1 1
equivalentes, desta forma podemos concluir que qualquer número inteiro
pode ser escrito em forma de fração, ou seja o conjunto dos Números
Inteiros está contido no conjunto dos Números Racionais. Representando
esta situação utilizando o Diagrama de Venn-Euler
3) Pensando agora em relação aos números irracionais, podemos afirmar que
o Conjunto dos Irracionais IR contém o Conjunto dos Racionais Q?
Lembrando o conjunto dos conjuntos irracionais são formados por dízimas
não periódicas, ou seja que não podem ser representados através de
a
frações do tipo , com a, b  Z , assim estes conjuntos são ditos disjuntos
b
e podem ser representados através do Diagrama de Venn-Euler.
4) Vamos agora definir o conjunto dos Números Reais. Os números
Racionais Q e os Irracionais IR são considerados todos números Reais
R. De uma outra maneira, o conjunto dos Números Reais é formado pela
união do Conjunto dos Números Irracionais e do Conjunto dos Números
Racionais.
  Q  IR
OBS:




R * : indica o conjunto dos números Reais diferente de zero (0).
Z : Indica o conjunto dos números Inteiros não Negativos.
Z ={ 0, 1, 2, 3, 4,...}
Z : Indica o conjunto dos Números Reais Não Positivos
Z ={..., -4, -3, -2, -1, 0}
Este tipo de anotação pode ser utilizada para outros conjuntos numéricos
Exercícios:
01) Pense e responda:
a)
Qual o significado de Z*- e Z* ?
b)
Qual o menor número de Q  ?
c)
Qual o maior número de Q  ?
Gabarito:
a)
Inteiros Não Positivos e Diferentes de Zero {..., -4, -3, -2, -1} e Inteiros
Não Negativos e Diferentes de Zero {1, 2, 3, 4, 5, ...}
b)
0
c)
0
02) Encontre a soma das alternativas corretas:
01. Z  N
02. 0  N
04. 517  Q
08. Q  N  Z
2
16.  Q
3
32. - 16  Z*
64.  2,141414...  QGabarito: 75
03) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, {2,3}, 4} e B = {0, 2, 3, 6} Classifique as
sentenças a seguir como Verdadeira (V) ou Falsa (F):
(
) 2A
Gabarito V
(
) 0  R*
(
) {2}  A
V
(
(
) { 2, 3} A
V
(
) 3 Q
1
) -  R
7
(
(
) {2}  A
)B  N
F
V
(
)A  B  Z
F
Gabarito F
V
F
Intervalos Reais Eixo dos Números Reais
Eixo dos Números Reais
O conjunto dos números Reais pode ser representado através da reta, sendo que;
 Cada ponto da reta é associado a um único número real
 Cada número real é associado a um único ponto da reta
OBS: Por este motivo o conjunto dos números Reais é dito denso.
Ex:
Pense e Responda:
1) O conjunto dos Números Naturais N pode ser dito denso?
2) E os números inteiros Z podem não ser dito denso?
3) E os racionais Q? E os Irracionais IR?
Gabarito: Resposta Pessoal
Intervalos Reais
Os intervalos são subconjuntos dos números reais, na representação geométrica eles
são representados com “pedaços” da reta (Segmentos de Retas ou Semi-Retas).
Intervalos Limitados:
i.
Intervalo fechado: É o subconjunto de todos os números Reais
entre a e b, sendo que estes extremos pertencem ao intervalo.
Ex:
Denotação:
I = [ 3, 5] = {x  R /  3  x  5}
OBS:
ii.
Na representação geométrica o extremo de um intervalo fechado é
representado com uma “bolinha” pintada
iii.
Na representação com colchetes, os colchetes devem ficar virados
para dentro
iv.
Na representação com desigualdades, o símbolo  é sempre
utilizado para representar intervalo fechado
Intervalos Ilimitados
Os intervalos ilimitados possuem apenas um extremo, ao contrário dos limitados
que possuíam dois extremos (início e fim).
Ex: I1 = [ 5, +[ = [ 5, +)= {x  R/ x  5} =
I2 = ]-, 3[ = (-,3)= {x  R/ x  3}
=
Exercícios:
01) Pense e Responda
a)
b)
c)
d)
O termo limitado tem o mesmo significado de finito?
Quantos números existem no intervalo [0, 5]
Onde há mais números? No intervalo [0, 2] ou no [0, 10]?
Observando a definição de Intervalo Fechado Anterior, responda:
- Se os extremos pertencem ao intervalo fechado, no intervalo aberto eles
pertencem também?
- Como seria a representação geométrica do intervalo aberto? Não esqueça
dos extremos. Dê um exemplo
- Utilizando o exemplo anterior, como você pode denota-lo utilizando
colchetes e desigualdades?
e) O que seria um intervalo semi-aberto ou semifechado? Exemplifique e faça as
denotações deles utilizando colchetes e desigualdades:
Gabarito: 1) resposta pessoal 2) Infinitos 3) Há a mesma quantidade, pois ambos tem
infinitos 4) Resposta Pessoal 5) Resposta Pessoal
2) Represente os intervalos abaixo geometricamente:
a)
b)
c)
d)
[-3, 2[
[-4, 3[
{x  R/  6  x  4}
{x  R/ x  5}
3) Considerando os intervalos A = [ 1, 7 ], B = {x  R / 5  x  14} , C=]0, 4] e
D = {x  R / x  7} :
a) A  B
b) A  B
c) A - D
d) D - A
e) C CD
4) Zé, Igor e Carla estão combinando de ir juntos ao cinema. Os horários
disponíveis de cada um são os seguintes: Zé das 17h às 23h, Igor das 18h às
22h e Carla 19h às 23h e 30min. Represente os horários livres de cada um
através de intervalos e o horário em que os três poderão assistir ao filme
juntos.
5) Considere os intervalos D = [-3, 4[ , E = (-1, 2] F = {x  R/  2  x  3} .
Efetue:
a) D – F
b) (D  F)  E
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