xxxii olimpíada brasileira de matemática

PROBLEMAS DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
1. (OBM 2012) Sendo a, b, c reais tais que ab(a + b + c) = 1001, bc(a + b + c) = 2002 e ca(a + b + c) = 3003, encontre
abc.
2. (OBM 2012) Uma tira retangular de papel ABCD é dobrada ao longo das linhas EF e HG de forma tal que os vértices
A e B são levados para um mesmo ponto A’ da mediatriz do segmento AB e o ângulo ∠HA’E é reto. Obtém-se assim o
pentágono A’EFGH.
B’
A’ = B’
D’
C’
C’
A
M
E
B
A
H
E
M
D
C
D
F
G
F
Sabe-se que as bordas inferiores da tira (segmentos FC’ e GD’ na figura) se cortam no ponto médio M do lado AB. O
lado menor da tira mede 1 e a medida do lado maior mede a  b , com a e b inteiros positivos. Quanto é a + b?
3. (OBM 2011) Uma sequência de letras, com ou sem sentido, é dita alternada quando é formada alternadamente por
consoantes e vogais. Por exemplo, EZEQAF, MATEMÁTICA, LEGAL e ANIMADA são palavras alternadas, mas
DSOIUF, DINHEIRO e ORDINÁRIO não são. Quantos anagramas da palavra FELICIDADE (incluindo a palavra
FELICIDADE) são sequências alternadas?
4. (OBM 2011) O ângulo interno do vértice A de um triângulo acutângulo ABC mede 75 graus. A altura relativa ao
vértice A toca o lado BC no ponto D. As distâncias de D ao vértice B e ao ortocentro do triângulo são ambas iguais a
10 cm. Qual é a área do triângulo ABC, aproximada para o inteiro mais próximo? Se necessário, use 3  1,732 .
5. (OBM 2010) Sejam r e s números inteiros. Sabe-se que a equação do segundo grau
x2 – (r + s)x + rs + 2010 = 0
tem as duas soluções inteiras. Quantos são os possíveis valores de |r – s|?
6. (OBM 2010) Na figura a seguir, as três circunferências em traço contínuo são
tangentes às retas r e s e a circunferência tracejada passa pelos pontos A, B, C e
D. Além disso, a circunferência menor é tangente também a AD e a
circunferência maior é também tangente a BC. Se os raios das circunferências
externas ao quadrilátero ABCD são 8 e 18, calcule o raio R da circunferência
inscrita em ABCD.
r
B
18
A
8
R
D
C
s
7. (OBM 2010) As bissetrizes internas dos ângulos  e Ĉ do triângulo ABC
cortam-se no ponto I. Sabe-se que AI = BC e que m( ICˆ A)  2m( IAˆ C ) . Determine a medida do ângulo ABˆ C .
8. (OBM 2012) Considere a equação ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são reais e a > 0. Suponha que esta equação
tenha duas raízes reais r e s tais que 0 < r < 1 e 0 < s < 1. Mostre que b + c < 0.
9. (OBM 2012) Sejam ABCD um quadrado, E o ponto médio do lado BC, F o ponto médio do lado CD. Constroem-se
os triângulos equiláteros ABG e BEH de forma que G está no interior do quadrado, e H no seu exterior. Determine o
ângulo agudo entre as retas BF e GH.
10. (OBM 2011) No triângulo ABC, o ângulo BÂC mede 45º. O círculo de diâmetro BC corta os lados AB e AC em D
e E, respectivamente. Dado que DE = 10, encontre a distância do ponto médio M de BC à reta DE.
Olimpíada Brasileira de Matemática – Segunda Fase – Nível 3
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