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Assunto: Números Complexos
1) Resolva em C as equações:
a) x2-4x+13=0 resp: {2-3i ; 2+3i} b) 2x2+50=0 resp: {-5i ; 5i}
c) x2+2x+3=0 resp: {-1- 2 i ; -1+ 2 i} d) x4+10x2-24=0 resp: {- 2 ; 2 ;-2 3 i; 2 3 I}
2) Divida 6 em duas partes tais que o produto seja 10. resp: { 3-i ; 3+i}
3) Determine m de modo que Z= (m2-100) + (m+10)i seja :
a) Um nº real; resp: m=-10
b) Um nº imaginário puro. resp: m=10
4) Determine Z, de modo que 3Z+ Z = 12-4i. resp: Z = 3-2i
5) Calcule x e y de modo que (x+y) + (3x-y)i =9+19i resp: x=7 e y=2
6)Calcule:
a) 4i-(1-3i) – (-2+i) resp: 1+6i
b) − 3i + 4.(2-i) – ( − 3 − 2i ) resp: 11-3i
c) (-4+i).(3-2i)+(2+i) resp: -8+12i
d)
3 − 2i
4−i
resp:
7) Dado Z =
8) Calcule
14 − 5i
17
5−i
19 + 9i
, determine o conjugado de Z . resp:
4+i
17
2−i 2+i
− 22 + 3i
resp:
5 + 3i 1 + i
17
9) Determine o nº real a, de modo que o complexo Z =
10) Calcule: a) i25 + i39 – i108 + i.i50 resp: -1 – i b)
6 + 2ai
seja imaginário puro. resp: -4
4 + 3i
i 43 + i158
resp: -1 + i
i 21
11) (Ufsc) Determine o valor de x para que o produto (12 - 2i)[18 + (x - 2)i] seja um número
real. resp: 5
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12) (Fatec) O conjugado do número complexo z = (1 - i-1)-1 é igual a
a) 1 + i b) 1 - i c) (1/2) (1 - i) d) (1/2) (1 + i) e) i resp: d
13) (Fei) Escrevendo o número complexo z = 1/(1 - i) + 1/(1 + i) na forma algébrica obtemos:
a) 1 - i b) i - 1 c) 1 + i d) i e) 1 resp: e
14. (Fei) O módulo do número complexo (1 + i)-3 é:
a)
2 b) 1 c) -3 d)
2 )/4 e) 0 resp: d
15) (Fuvest) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo
(2 + i)/(α + 2i) é zero, então α é:
a) - 4 b) - 2 c) 1 d) 2 e) 4 resp: e
16) (Uel) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 3i)/(2 - i) é:
a) 1/2 - 3i b) 5/3 + (7i/3) c) -1/5 + (7i/5) d) -1/5 + 7i e) 3/5 + (4i/5) resp: c
17) (Uel) Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y Є IR. Se z . (1 - i) = (1 + i)2, então:
a) x = y b) x - y = 2 c) x . y = 1 d) x + y = 0 e) y = 2x
resp: d
18) (Unitau) O módulo de z = 1/i36 é:
a) 3 b) 1 c) 2 d) 1/36 e) 36 resp: b
19) (Unitau) Determine o valor de k, de modo que z = [(1/2)k - (1/2)] + i seja imaginário puro:
a) -1/2
b) -1
c) 0
d) 1/2 e) 1 resp: e
20) (Unitau) A expressão i13+i15 é igual a:
a) 0 b) i c) - i d) - 2i
e) 3i resp: a
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Assunto: Números Complexos Na Forma Trigonométrica
1) Escreva na forma trigonométrica:
a) Z = 3+3i resp: Z= 3 2 . ( cos 45º + i sen 45º) b) Z= - 3 +i resp: Z= 2 ( cos
c) Z=
5 i resp: Z=
5π
5π
+ i sen
)
6
6
5 (cos 90º+i sen 90º) d) Z= 3 resp: Z= 3 (cos 0º + i sen 0º)
e) Z= 2 - 2 3 i resp: Z = 4 (cos
5π
5π
+ i sen
)
3
3
f) Z= -3 3 - 3i resp: Z = 6 (cos
7π
7π
+ i sen
)
6
6
2) Passe para a forma algébrica:
a) Z= 4 (cos
2π
2π
+ i sen
) resp: Z = -2+ 2 3 i
3
3
b) Z= 2 ( cos 45º + i sen 45º) resp: Z =
2+
2i
c) Z= 6 ( cos 540º + i sen 540º) resp: Z = -6
d) Z= 2 ( cos 630º + i sen 630º) resp: Z = -2i
3) Sendo Z= -1+i , escreva na forma trigonométrica:
a) Z2 resp: Z = 2 ( cos 270º + i sen 270º) b)
4) Calcule o módulo de Z =
Z
resp: Z = cos 90º + i sen 90º
Z
5 − 3i
resp: 17
1+ i
5) Calcule o valor de a de modo que o complexo Z=2a+3i tenha módulo igual a 3 2 . resp: ±
3/2
6) Dados Z1= 2 ( cos
π
4
+ i sen
π
4
), Z2= 3 ( cos
π
2
+ i sen
π
2
), calcule e dê a resposta na forma
trigonométrica:
a) Z1.Z2 resp: 6 ( cos
3π
3π
+ i sen
)
4
4
b)
Z2
π
π
3
resp: ( cos
+ i sen )
Z1
2
4
4
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7) Dados Z1 = 4 (cos 30º +i sen 30º), Z2= 12 (cos 90º+isen 90º) e Z3= cos 60º+ i sen 60º. Calcule e
dê a resposta na forma algébrica:
a) Z1.Z2.Z3 resp: -48
b)
Z1.Z 2
resp: 24+24 3 i
Z3
8) Calcule e dê a resposta na forma algébrica:
a) (1-i)10 resp: -32i
32i
b) (1+ 3 i)9 resp: -512
c) ( 2 + 2 i)7 resp: 64 2 -64
2 i d) ( -
3 8
1
3
1
+
i) resp: - −
i
2
2 2
2
9) (Fatec) Relativamente ao número complexo z = cos 1 + i . sen 1, é verdade que:
a) z2 = 1 + i . sen 2
b) no plano de Argand-Gauss,
Gauss, os afixos de z10 são pontos de uma circunferência de centro na
origem e raio π /2.
c) no plano de Argand-Gauss,
Gauss, os afixos de z, z2 e z3 pertencem, respectivamente, ao primeiro,
segundo e terceiro quadrantes.
d) no plano de Argand-Gauss,
Gauss, o afixo de z100 pertence ao quarto quadrante.
e) o argumento de z está compreendido entre 30° e 55°. resp: d
10) (Fgv) A figura indica a representação dos números Z1 e Z no plano complexo.
Se Z1 . Z2 = a + bi, então a + b é igual a:
a) 4 (1 -
3 ) b) 2 [( 3 ) - 1] c) 2 (1 + 3 ) d) 8 [( 3 ) - 1] e) 4 [( 3 ) + 1] resp: a
11) (Ufc) Ao dividir 1 -
3 i por -1 + i, obtém-se
se um complexo de argumento igual a:
a) π /4 b) 5 π /12 c) 7 π /12 d) 3 π /4 e) 11 π /12 resp: e
12) (Ufsm) (Modificado) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de
um relógio analógico, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de
de comprimento, estará, às
16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo: resp: a
a) - 2 3 + 2i b) 2 3 - 2i c) - 2 3 - 2i d) - 2 + 2 3 i e) 2 - 2 3 i
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13) Calcule as raízes cúbicas de Z= -i. resp: {i; -
3 1
3 1
− i;+ i}
2 2
2 2
1
2
14) Calcule as raízes quartas de Z= -1- 3 i. resp: { 4 2 ( ±
15) Calcule as raízes sextas de Z=729. resp: {-3; 3;
3 4
1
3
i ); 2 (− ±
i}
2
2 2
3 3 3 3 3 3
i; - ±
±
i}
2
2
2
2
16) (PUCC-SP) Qual dos números complexos seguintes é uma das raízes cúbicas de 8?
a) 2(cos
π
3
+ i sen
π
3
) b) 2( cos
π
6
+ i sen
π
6
) c)2( cos
2π
2π
) d) 8(cos π + isen π)
+ i sen
3
3
resp: c
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