Lógica de Predicados

Lógica de Predicados
Conteúdo
Correção Exercícios
Operações Lógicas sobre Predicados
Condicional
Quantificador de Unicidade (Rosen – 37)
Quantificadores com Restrição (Rosen – 38)
Tradução Português-Lógica (Rosen – 42)
N2
AED 1:
Valor 1.0
AED 2:
Valor 1.0
AED 3:
Valor 1.0
Participação
Valor 1.0
AI:
Valor 1.0
5.0 + Prova 3 = 10.0
Cronograma
20/11 Lógica de Predicados
24/11 Lógica de Predicados
27/11 Lógica de Predicados
01/12 Regras de Inferência
04/12 Regras de Inferência
08/12 Regras de Inferência
11/12 Revisão
15/12 Prova 3
18/12 Correção e Entrega da prova 3
Exercícios
Determinar o conjunto verdade em N dos
predicados.
P(x) = “2x = 6”
P(x) = “x – 1 < 4”
P(x) = “5x + 6 = 0”
P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
Determinar o conjunto verdade em N dos
predicados.
P(x) = “2x = 6”
CV={3}
P(x) = “x – 1 < 4”
P(x) = “5x + 6 = 0”
P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
Determinar o conjunto verdade em N dos
predicados.
P(x) = “2x = 6”
CV={3}
P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}
P(x) = “5x + 6 = 0”
P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
Determinar o conjunto verdade em N dos
predicados.
P(x) = “2x = 6”
CV={3}
P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}
P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }
P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
Determinar o conjunto verdade em N dos
predicados.
P(x) = “2x = 6”
P(x) = “x – 1 < 4”
P(x) = “5x + 6 = 0”
P(x) =“x2-x-2”
CV={3}
CV={0,1,2,3,4}
CV={ }
CV={2}
Exercícios
Dados os conjuntos
A={ -2,0,1,2}
B={-1,0,3}
Determinar o conjunto verdade de
P(x,y)=“x+y < 1” x A e y B
Exercícios
Dados os conjuntos
A={ -2,0,1,2}
B={-1,0,3}
Determinar o conjunto verdade de
P(x,y)=“x+y < 1” x A e y B
CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}
Exercícios Rosen – pg 46
1) Considere P(x) como o predicado “x
Quais são os valores verdade das
proposições abaixo?
a) P(0)
b) P(4)
c) P(6)
4”.
Exercícios Rosen – pg 46
1) Considere P(x) como o predicado “x
Quais são os valores verdade das
proposições abaixo?
a) P(0) é Verdade
b) P(4) é Verdade
c) P(6) é Falso
4”.
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere P(x) como o predicado “a palavra
x contém a letra a”. Quais são os valores
verdade das proposições abaixo?
a) P(orange)
b) P(lemon)
c) P(true)
d) P(false)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere P(x) como o predicado “a palavra
x contém a letra a”. Quais são os valores
verdade das proposições abaixo?
a) P(orange) é Verdade
b) P(lemon) é Falso
c) P(true) é Falso
d) P(false) é Verdade
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a
capital de y”. Quais são os valores verdade
das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a
capital de y”. Quais são os valores verdade
das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdade
b) Q(Detroir, Michigan)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a
capital de y”. Quais são os valores verdade
das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdade
b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing
c) Q(Massachusetts, Boston)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a
capital de y”. Quais são os valores verdade
das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdade
b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing
c) Q(Massachusetts, Boston) é Verdade
d) Q(Nova York, Nova York)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a
capital de y”. Quais são os valores verdade
das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdade
b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing
c) Q(Massachusetts, Boston) é Verdade
d) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany
Exercícios Rosen – pg 46
4) Constate o valor de x depois que o comando
if P(x) then x:=1 for executada, em que P(x) é
a proposição “x>1”, se o valor de x, quando
essa proposição for alcançada, for
a) x=0; Resp. 0
b) x=1; Resp. 1
c) x=2; Resp 1
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0)
{...,-2,-1,0,1,2,...}
b) P(1)
c) P(2)
d)P(-1)
e) x P(x)
f) x P(x)
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0) = “0 =02” é Verdade
b) P(1)
c) P(2)
d)P(-1)
e) x P(x)
f) x P(x)
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0) = “0 =02” é Verdade
b) P(1) = “1 =12” é Verdade
c) P(2)
d)P(-1)
e) x P(x)
f) x P(x)
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0) = “0 =02” é Verdade
b) P(1) = “1 =12” é Verdade
c) P(2) = “2 =22” é Falso
d)P(-1)
e) x P(x)
f) x P(x)
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0) = “0 =02” é Verdade
b) P(1) = “1 =12” é Verdade
c) P(2) = “2 =22” é Falso
d)P(-1) = “-1 =-12” é Falso
e) x P(x)
f) x P(x)
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0) = “0 =02” é Verdade
b) P(1) = “1 =12” é Verdade
c) P(2) = “2 =22” é Falso
d)P(-1) = “-1 =-12” é Falso
e) x P(x) a,b mostram que é Verdade
f) x P(x)
Exercícios – Rosen(47)
11) Considere P(x) como o predicado “x =x2”.
Se o domínio forem os números inteiros,
quais serão os valores-verdade?
a) P(0) = “0 =02” é Verdade
b) P(1) = “1 =12” é Verdade
c) P(2) = “2 =22” é Falso
d)P(-1) = “-1 =-12” é Falso
e) x P(x) a,b mostram que é Verdade
f) x P(x) c,d são contra exemplos,Falso
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0)
b) Q(-1)
c) Q(2)
d) x Q(x)
e) x Q(x)
f) x ~Q(x)
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1)
c) Q(2)
d) x Q(x)
e) x Q(x)
f) x ~Q(x)
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdade
c) Q(2)
d) x Q(x)
e) x Q(x)
f) x ~Q(x)
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdade
c) Q(2) = “2+1>2x2” é Falso
d) x Q(x)
e) x Q(x)
f) x ~Q(x)
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdade
c) Q(2) = “2+1>2x2” é Falso
d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade
e) x Q(x)
f) x ~Q(x)
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdade
c) Q(2) = “2+1>2x2” é Falso
d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade
e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso
f) x ~Q(x)
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado
“x+1>2x”. Se o domínio forem os números
inteiros, quais serão os valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdade
c) Q(2) = “2+1>2x2” é Falso
d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade
e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso
f) x ~Q(x) c mostra que é Verdade
g) x ~Q(x)
Exercícios – Rosen(47)
12) Considere Q(x) como o predicado “x+1>2x”. Se o
domínio forem os números inteiros, quais serão os
valores-verdade?
a) Q(0) = “0 +1>2x0” é Verdade
b) Q(-1) = “-1+1>2x-1” é Verdade
c) Q(2) = “2+1>2x2” é Falso
d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade
e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso
f) x ~Q(x) c mostra que é Verdade
g) x ~Q(x) a,b são contra exemplos, Falso
Exercícios – Rosen(47)
13) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números inteiros.
a) n (n+1>n)
b) n (2n = 3n)
c) n (n = -n)
d) n (n2 n)
Exercícios – Rosen(47)
13) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números inteiros.
a) n (n+1>n) é Verdade
b) n (2n = 3n)
c) n (n = -n)
d) n (n2 n)
Exercícios – Rosen(47)
13) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números inteiros.
a) n (n+1>n) é Verdade
b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?)
c) n (n = -n)
d) n (n2 n)
Exercícios – Rosen(47)
13) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números inteiros.
a) n (n+1>n) é Verdade
b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?)
c) n (n = -n) ????
d) n (n2 n)
Exercícios – Rosen(47)
13) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números inteiros.
a) n (n+1>n) é Verdade
b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?)
c) n (n = -n) ????
d) n (n2 n) é Verdade
Exercícios – Rosen(47)
14) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números reais.
a) x (x3 = -1)
b) x (x4 < x2)
c) x ((-x)2 = x2)
d) x (2x > x)
Exercícios – Rosen(47)
14) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números reais.
a) x (x3 = -1) é Verdade. Qual?
b) x (x4 < x2)
c) x ((-x)2 = x2)
d) x (2x > x)
Exercícios – Rosen(47)
14) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números reais.
a) x (x3 = -1) é Verdade. Qual?
b) x (x4 < x2) é Verdade.
c) x ((-x)2 = x2)
d) x (2x > x)
Exercícios – Rosen(47)
14) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números reais.
a) x (x3 = -1) é Verdade. Qual?
b) x (x4 < x2) é Verdade
c) x ((-x)2 = x2) é Verdade
d) x (2x > x)
Exercícios – Rosen(47)
14) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números reais.
a) x (x3 = -1) é Verdade. Qual?
b) x (x4 < x2) é Verdade
c) x ((-x)2 = x2) é Verdade
d) x (2x > x) é Falso. Qual o contra exemplo?
Exercícios – Rosen(47)
14) Determine o valor verdade de cada uma
destas proposições, se o domínio forem
todos os números reais.
a) x (x3 = -1) é Verdade.
b) x (x4 < x2) é Verdade
c) x ((-x)2 = x2) é Verdade
d) x (2x > x) é Falso.
No Futuro!!!!
Para provar c) usaremos a
contradição (negação).
Voltando às Operações
Condicional
Temos:
P(x) = “x2 – 5x + 6 = 0”
Q(x) = “x2 – 9 = 0”
P(x)
Q(x) Lê se: Se “x2 – 5x + 6 = 0”
então “x2 – 9 = 0”
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” “12 é divisível por x”
Quais são os valores verdades de P(x)?
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” “12 é divisível por x”
Quais são os valores verdades de P(x)?
12/1 = 12
12/2 = 6
12/3 = 4
12/4 = 3
12/6 = 2
12/12 = 1
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” “45 é divisível por x”
Quais são os valores verdades de Q(x)?
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” “45 é divisível por x”
Quais são os valores verdades de Q(x)?
45/1 = 45
45/3 = 15
45/5 = 9
45/9 = 5
45/15 = 3
45/45 = 1
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(1)
Q(1)?
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(1)
P(1) = V
Q(1) = V
Q(1)?
P(1) Q(1) = V
P(1) Q(1) = V
V
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(5)
Q(5)?
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(5)
P(5) = F
Q(5) = V
Q(5)?
P(5) Q(5) = F
P(5) Q(5) = V
V
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(7)
Q(7)?
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(7)
P(7) = F
Q(7) = F
Q(7)?
P(7) Q(7) = F
P(7) Q(7) = V
F
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(2)
Q(2)?
Condicional
Seja: P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual valor verdade de P(2)
P(2) = V
Q(2) = F
Q(2)?
P(2) Q(2) = V
P(2) Q(2) = F
F
Propriedade da Condicional
Sabemos que:
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Q(x) em N?
Propriedade da Condicional
Sabemos que:
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Dica: P(x)
Q(x)
~P(x) v Q(x)
Q(x) em N?
Condicional
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Q(x) em N?
~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do
Conjunto Verdade de P(x)
Condicional
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Q(x) em N?
~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do
Conjunto Verdade de P(x)
~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}
Condicional
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Q(x) em N?
~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}
Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45}
P(x)
Q(x)
~P(x) v Q(x)
O que podemos concluir?
Condicional
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Q(x) em N?
~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}
Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45}
P(x)
Q(x)
~P(x) v Q(x)
CV = N – {1,2,3,4,6,12} {1,3,5,9,15,45}
Resumindo ...
Condicional
P(x) = “x|12” CV = {1,2,3,4,6,12}
Q(x) = “x|45” CV = {1,3,5,9,15,45}
Qual o conjunto verdade de P(x)
Q(x) em N?
~P(x) CV= N – {1,2,3,4,6,12}
Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45}
P(x)
Q(x)
~P(x) v Q(x)
CV = N – {1,2,3,4,6,12} {1,3,5,9,15,45}
CV = N – {2,4, 6,12}
Perguntas ????
Continuando...
Já aprendemos dois quantificadores.
Quais?
Continuando...
Já aprendemos dois quantificadores.
Quais?
Quantificadores
Porém existe um número não limitado de
quantificadores que podemos definir tais
como:
“existem exatamente dois”
“existem não mais de três”
“existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”
Quantificadores
Existe um número não limitado de
quantificadores que podemos definir tais
como
“existem exatamente dois”
“existem não mais de três”
“existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”
Quantificador de Unicidade
Quantificadores
Existe um número não limitado de
quantificadores que podemos definir tais
como
“existem exatamente dois”
“existem não mais de três”
“existe um único x tal que P(x) é verdadeiro”
Quantificador de Unicidade
x P(x) ou x
1P(x)
Quantificadores com Restrição
Uma notação abreviada é freqüentemente
usada para restringir o domínio de um
quantificador.
Nessa notação, incluímos depois do
quantificador uma condição que a variável
deve satisfazer.
Quantificadores com Restrição
Exemplo:
x<0 (x2 > 0)
Propriedade: o quadrado de todo
número negativo é positivo.
Quantificadores com Restrição
Exemplo:
y 0(y3 0)
Propriedade: o cubo de um numero não
nulo é também não nulo
Quantificadores com Restrição
Exemplo:
z>0 (z2 = z)
Qual???
Quantificadores com Restrição
Restrições reescritas de outra forma
x<0 (x2 > 0)
x (x<0
x2 > 0)
y 0(y3
y(y 0
(z2
0)
y3
z>0
= z)
z(z>0 ^z2 = z)
Quantificador Universal
equivale a Universal de
Proposição Condicional
0)
Quantificador Existencial
equivale a Existencial de
um Conjunção
Dúvidas!!!!!
Perguntas antes de
continuarmos?
Tradução Português - Lógica
Na aula passada:
Todo estudante desta classe estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
Domínio = {estudantes desta classe}
x C(x)
Tradução Português - Lógica
Todo estudante desta classe estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
Vamos mudar nosso domínio para:
Domínio = {todas as pessoas}
Tradução Português - Lógica
Todo estudante desta classe estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
Domínio = {todas as pessoas}
Novo predicado:
E(x) = “x é estudante desta classe”
Podemos expressar a sentença .......
Tradução Português - Lógica
Todo estudante desta classe estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
E(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio = {todas as pessoas}
Podemos expressar a sentença .......
“Para cada pessoa x, se x é um estudante
desta classe então x estudou lógica”
Tradução Português - Lógica
Todo estudante desta classe estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
E(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio = {todas as pessoas}
Podemos expressar a sentença
x(E(x) C(x))
“Para cada pessoa x, se x é um estudante
desta classe então x estudou lógica”
Tradução Português - Lógica
Todo estudante desta classe estudou lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
E(x) = “x é estudante desta classe”
Domínio = {todas as pessoas}
Não podemos expressar a sentença
x(E(x)^C(x)) ERRADO!!!
“Todas as pessoas são estudantes desta
classe e já estudaram lógica”
Prioridade dos
Quantificadores
Os quantificadores e têm prioridade
maior que todos os operadores lógicos do
cálculo proposicional.
x P(x) v Q(x)
x P(x) v Q(x)
( x P(x)) v Q(x)
x (P(x) v Q(x))
Prioridade dos
Quantificadores
Os quantificadores e têm prioridade
maior que todos os operadores lógicos do
cálculo proposicional.
x P(x) v Q(x)
x P(x) v Q(x)
( x P(x)) v Q(x)
x (P(x) v Q(x))
Isso nos mostra o conceito de variável ligada
Prioridade dos
Quantificadores
Os quantificadores e têm prioridade
maior que todos os operadores lógicos do
cálculo proposicional.
x P(x) v Q(x)
x P(x) v Q(x)
( x P(x)) v Q(x)
x (P(x) v Q(x))
E o conceito de escopo de uma variável
Variável Ligada
x (x+y = 1)
x é ligada
Quando um quantificador é usado na variável
x, dizemos que essa ocorrência da variável é
ligada.
Variável Livre
x (x+y = 1)
x é ligada
Uma ocorrência de uma variável que não é
ligada por um quantificador ou não
representa um conjunto de valores
particulares é chamada de variável livre (y).
Variável Livre
x (x+y = 1)
x é ligada
Não é uma
proposição, pois y
é variável livre
Todas as variáveis que ocorrem em um
função proposicional devem ser ligadas ou
devem representar um conjunto de valores
particulares para ser uma proposição.
Escopo
x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x)
Escopo
Escopo não se sobrepõe.
Escopo
É a parte da expressão lógica à qual um
quantificador é aplicado.
Escopo
x (P(x) ^ Q(x)) v y R(y)
Escopo
Escopo
Escopo não se sobrepõe.
Pode ser y ao invés de x.
É a parte da expressão lógica à qual um
quantificador é aplicado.
Uma variável é livre se não está sob o
escopo de algum quantificador.
Dúvidas!!!
Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada
e Escopo????
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
C(x) = “x estudou lógica”
S(x) = “x é estudante desta classe”
Agora vamos definir uma novo predicado !!!
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
x Q(x,lógica)
Predicados com duas
variáveis
Para cada estudante desta classe, x estudou
lógica.
Q(x,y) = “estudante x estudou matéria y”
Domínio 1: {estudantes desta classe}
x Q(x,lógica)
Domínio 2: {todas as pessoas}
x (S(x)
Q(x, lógica))
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {estudantes da classe}
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {estudantes da classe}
M(x) = “x visitou o México”
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {estudantes da classe}
M(x) = “x visitou o México”
x M(x)
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {todas as pessoas}
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {todas as pessoas}
M(x) = “x visitou o México”
E(x) = “x é estudante da classe”
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {todas as pessoas}
M(x) = “x visitou o México”
E(x) = “x é estudante da classe”
Existe uma pessoa x que é estudante da
classe e que visitou o México.
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {todas as pessoas}
M(x) = “x visitou o México”
E(x) = “x é estudante da classe”
Existe uma pessoa x que é estudante da
classe e que visitou o México.
x(E(x) ^ M(x))
Exercício
Algum estudante da classe visitou o México
Domínio: {todas as pessoas}
M(x) = “x visitou o México”
E(x) = “x é estudante da classe”
Existe uma pessoa x que é estudante da
classe e que visitou o México.
x(E(x)
M(x)) ERRADO!!!
Porque é verdadeira para qualquer pessoa
que não esteja na classe.
Exercício
Todo estudante da classe visitou Canadá ou
México.
Domínio={estudantes da classe}
C(x) = “x visitou o Canadá”
M(x) = “x visitou o México”
?????
Exercício
Todo estudante da classe visitou Canadá ou
México.
Domínio={estudantes da classe}
C(x) = “x visitou o Canadá”
M(x) = “x visitou o México”
x(C(x) v M(x))
Exercício
Todo estudante da classe visitou Canadá ou
México.
Domínio={todas as pessoas}
C(x) = “x visitou o Canadá”
M(x) = “x visitou o México”
E(x) = “x é estudante da classe”
??????
Exercício
Todo estudante da classe visitou Canadá ou
México.
Domínio={todas as pessoas}
C(x) = “x visitou o Canadá”
M(x) = “x visitou o México”
E(x) = “x é estudante da classe”
x(E(x)
(C(x)v(M(x))
Predicados com duas
variáveis
Algum estudante da classe visitou Canadá ou
México.
V(x,y) = “x visitou o país y”
x (V(x,México) v V(x,Canadá))
Equivalências (S
T)
Sentenças que envolvem predicados e
quantificadores são logicamente equivalentes
se e somente se elas têm o mesmo valor
verdade quaisquer que sejam os predicados
substituídos nessas sentenças e qualquer
que seja o domínio para as variáveis nessas
funções proposicionais.
Equivalências
x(P(x) ^ Q(x))
x(P(x) v Q(x))
x P(x) ^ x Q(x)
x P(x) v x Q(x)
Equivalências
x(P(x) ^ Q(x))
x(P(x) v Q(x))
x P(x) ^ x Q(x)
x P(x) v x Q(x)
CUIDADO!!!!
x(P(x) v Q(x))
x(P(x) ^ Q(x))
x P(x) v x Q(x)
x P(x) ^ x Q(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ x P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ x P(x)
Podemos reformular a frase para:
Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de todos os estudantes desta
classe terem feito aulas de lógica.
~ x P(x)
Existe um estudante desta classe que não
teve aula de lógica.
x ~P(x)
Ilustramos que:
~ x P(x)
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Existe um estudante na classe que teve
aulas de calculo.
x P(x)
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ x P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ x P(x)
Podemos reformular a frase para:
Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
Não é o caso de existir um estudante na
classe que teve aulas de calculo.
~ x P(x)
Todo os estudantes nesta classe não tiveram
aulas de calculo.
x ~P(x)
Ilustramos que:
~ x P(x)
x ~P(x)
Negando Expressões
Quantificadas
As regras para negações de quantificadores
são chamadas de Leis de De Morgan para
quantificadores.
~ x P(x)
~ x P(x)
x ~P(x)
x ~P(x)
Exercício para a mente.
Mostre que:
~ x (P(x) Q(x))
Rosen pg 47
x (P(x) ^ ~Q(x))
Exercícios 6c, 6d, 6e, 6f, 8 e 9.
Rosen pg 48
Exercício 34