Lógica Proposicional Parte 3

Lógica e Raciocínio
Universidade da Madeira
http://dme.uma.pt/edu/LeR/
Raciocínio Dedutivo
1
ÎO presente powerpoint foi inspirado na
aula do Professor Fernando Martínez
Manrique da Universidade de Granada,
Espanha.
)(agradecemos o consentimento do professor de
disponibilizar este material).
“Como todas as outras artes, a ciência da dedução e
análise só pode ser adquirida por meio de um
demorado e paciente estudo, e a vida não é tão longa
que permita a um mortal aperfeiçoar-se ao máximo
nesse campo. “
Sherlock Holmes
Em Estudio em Vermelho (A. Conan Doyle)
2
O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica
ÎFoi roubado uma importante quantia de dinheiro.
O criminoso (ou criminosos) fugiu/fugiram num
carro. Scotland Yard decide interrogar aos três
suspeitos, Andy, Bill e Carl, e consegue
determinar os factos seguintes:
Î(i) No roubo no está implicada nenhuma outra
pessoa salvo A, B o C.
Î(ii) C nunca trabalha sem levar a A (e
eventualmente a outros) como cúmplice.
Î(iii) B no sabe conduzir.
¿O Andy é culpado ou Inocente?
(PENSEM NOS PROXIMOS 10 minutos)
O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica
ÎNos jogos como este nos é pedido que
deduzamos a informação pedida a partir da
informação dada.
ÎNeste caso a informação pedida é
determinar se A é culpado.
ÎVamos ver um par de formas de razoar para
tentar resolver o jogo:
3
O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica
1) “Suponhamos que A é inocente”
2) Dado que C nunca trabalha sem A, se A é inocente,
então C também deve ser inocente
3) Dado que o criminoso fugiu de carro e B não sabe
dirigir, então B não pôde cometer o roubo sozinho:
teve que ir ou com A ou com C. Então se A e C são
inocentes, B é também inocente.
4) Então, se A é inocente, então concluímos que B e C
são também inocentes. Mas sabemos que um deles é
culpado.
5)
Portanto, não pode ser que A seja inocente
O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica
1)
Temos 3 possibilidades: A, B o C.
2)
3)
Se foi A, A é culpado.
Se foi C, ele fê-lo com A, então A também será
culpado neste caso.
4) Se foi B, ele fê-lo com A ou com C:
-se foi com A, A é culpado.
-si foi com C, então (por 3) fê-lo com A, então
A também será culpado neste caso.
5)
Por tanto, A é culpado em qualquer caso
4
O que é uma dedução?
ÎNuma dedução progredimos a partir da informação
conhecida até atingir certa informação desconhecida
que interessa-nos obter.
ÎA informação conhecida actua como as premissas
dum argumento, e as desconhecidas como a
conclusão.
ÎO que caracteriza que uma dedução esteja bem feita é
que cada passo que demos seja seguro: isto é cada
nova informação deve seguir-se das anteriores.
O que é uma dedução?: Regras
ÎÉ possível capturar por meio de regras os
passos mas típicos que efectuamos quando
levamos a cabo uma dedução.
ÎSe uma regra está bem escolhida, vã-nos
conduzir desde um certo enunciado E a outro
E´ que é consequência lógica de E.
ÎO processo pelo qual passamos de E a E’ é
uma inferência lógica e a regra utilizada é uma
regra de inferência.
5
O que é uma dedução?: Regras
ÎHá regras que tentam capturar a “forma
natural” de proceder quando raciocinamos.
Para isto vamos tomar um conjunto de regras
da chamada “dedução Natural”.
ÎA ideia é recolher e sistematizar as regras
informais que aplicamos em raciocínios (por
exemplo, em raciocínios como o do exemplo)
O que é uma dedução?: Regras
ÎVamos ver um conjunto de regras de
inferência básicas o primitivas para a dedução
natural.
ÎDado que temos 5 conectivos, vamos definir
duas regras relacionadas com cada uma delas,
uma de introdução e uma de eliminação da
conectiva.
ÎVamos apresenta-las de modo informal para
depois formalizar.
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Introdução do ∧ (E)
ÎPremissas
)O assassino é canhoto.
)O assassino usa uma Colt 45.
ÎConclusão
)O assassino é canhoto e usa uma Colt 45.
Introdução do ∧ (E)
p
q
_______
p∧q
7
Eliminação do ∧ (E)
ÎPremissa
)O assassino é loiro e mede mais de 1,80m.
ÎConclusões
)O assassino é loiro.
)O assassino mede mais de 1,80m.
Eliminação do ∧ (E)
p∧q
_______
p
q
8
Eliminação do ~ (não)
ÎPremissa
)Não é o caso que o assassino não seja
estrangeiro.
ÎConclusão
)O assassino é estrangeiro
Dupla Negação ~
~~p
_______
p
9
Introdução do ∨ (Ou)
ÎPremissa
) O assassino mede 1,80m
ÎConclusões
) O assassino mede 1,80m ou passa feiras no
Porto Santo
)O assassino passa feiras no Porto Santo ou
mede 1,80m
Introdução do ∨ (Ou)
p
_______
p∨q
p
_______
q∨p
10
Eliminação do ∨ (Ou)
ÎPremissas
) O assassino fugiu de comboio ou de
autocarro.
) Se fugiu de comboio, então foi a Espanha
)Se fugiu de autocarro, então foi a Espanha
ÎConclusão
) O assassino foi a Espanha
Eliminação do ∨ (Ou)
p∨q
p→s
q→s
_______
s
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Eliminação do →
(Então /Condicional)
ÎPremissas
)Se João é o assassino, Matias é o cúmplice.
)João é o assassino
ÎConclusão
)Matias é o cúmplice.
Eliminação do →
(Então /Condicional)
p→q
p
_______
q
Chamado Modus Ponens
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Introdução do ↔ (Bicondicional)
ÎPremissas
) Se a vitima foi decapitada, então a cabeça não
ficou ligada ao corpo.
) Se a cabeça não ficou ligada ao corpo, então a
vitima foi decapitada.
ÎConclusão
) A vitima foi decapitada se e somente se a
cabeça não ficou ligada ao corpo.
Introdução do ↔ (Bicondicional)
p→q
q→p
_______
p↔q
13
Eliminação do ↔ (Bicondicional)
ÎPremissa
)O corpo esta a feder se e somente se a
vitima leva vários dias morta.
ÎConclusões
)Se o corpo esta a feder então a vitima
leva vários dias morta.
)Se a vitima leva vários dias morta então
o corpo esta a feder.
Eliminação do ↔ (Bicondicional)
p↔q
_______
p→q
q→p
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Premissas e Suposições
Î As premissas correspondem á informação que
foi-nos dada inicialmente (os dados do problema
ou formulas iniciais).
ÎPor vezes temos que introduzir informação
hipotética para começar um raciocínio: é isto que
chamamos suposição.
ÎEquivale as ocasiones nas que raciocinamos
começando assim: “Suponhamos que...”
ÎHá 2 regras de inferência baseadas no uso de
suposições:
Premissas e Suposições
Î Cuidado!
)As inferências feitas dentro da suposição são
valem assumindo as suposições.
)Exemplo:
• Todo peixe respira na agua.
• Suponhamos que sou um peixe.
• Então posso respirar na agua.
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Introdução do →
(Então /Condicional)
Î(suposição)
) ⎢ Assumamos que chovia na noite do crime.
) ⎢ ….. (inferimos a partir do suposto) …
) ⎢ As pisadas do assassino desapareceram
ÎConclusão
)Se chovia na noite do crime, então as pisadas
do assassino desapareceram
Introdução do →
(Então /Condicional)
p
…
…
q
_______
p→q
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Introdução do ~
Î(suposição)
) ⎢ Assumamos que o assassino matou-me.
• ⎢ Os mortos não falam, então não estou a falar.
• ⎢ Ao contar este exemplo estou a falar.
) ⎢ Ou seja, estou a falar e não estou a falar
ÎConclusão
)O assassino não matou-me.
Introdução do ~
p
…
…
q ∧ ~ q (contradição!)
_______
~p
chamada redução ao absurdo
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Regras derivadas
Î As regras de inferência primitivas são
suficientes para fazer todas as derivações que
queremos.
Î Porém, existem sequencias de passos que se
repetem muito frequentemente e podem ser
abreviados em forma de regra.
Î Estas regras derivam-se das primitivas, mas
facilitam as demonstrações.
Regras de simetria
p↔q
_______
q↔p
p∨q
_______
q∨p
p∧q
_______
q∧p
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Modus Tollens
ÎPremissas
) Se o assassino entrou pela janela, então a
janela estava aberta.
) A janela não estava aberta
ÎConclusão
) O assassino não entrou pela janela
Modus Tollens
p→q
~q
_______
~p
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Silogismo Disyuntivo o Tollendo Ponens
Î Premissa
) O assassino é português ou inglês.
) O assassino não é português.
ÎConclusão
) O assassino é inglês.
Silogismo Disyuntivo o Tollendo Ponens
p∨q
~p
_______
q
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Silogismo Hipotético
Î Premissa
) Se o assassino fugiu, então foi de carro
)Se o assassino foi de carro, então viajou a Paris
ÎConclusão
)Se o assassino fugiu, então viajou a Paris
Silogismo Hipotético
p→q
q→r
_______
p→r
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Equivalências vistas anteriormente
p ∧ (q ∨ r)
p ∨ (q ∧ r)
~ (p ∧ q)
~ (p ∨ q)
p→q
etc…
≈
≈
≈
≈
≈
(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
~p∨~q
~p∧~q
~p∨ q
distributividade
distributividade
Lei de De Morgan
Lei de De Morgan
disjunção material
Derivação e Dedução
ÎNormalmente interessa-nos saber se una fórmula q
pode obter-se a partir de outras p1, p2,...,pn
ÎNeste caso o que temos que construir é uma
derivação desde p1, p2,...,pn até q de forma tal que
a cada passo aplicamos uma regra de inferência.
ÎSe conseguimos obter q, diremos que temos
deduzido q a partir de p1, p2,...,pn.
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Procedimento de dedução
1. Determina-se quais são as premissas e escrevese cada premissa numa linha numerada
começando pelo 1.
2. Determina-se qual é a conclusão. Isto é o que
queremos demonstrar.
3. Aplicam-se as regras de inferência nas
premissas, obtendo novas fórmulas que vamos
numerando.
4. A dedução acaba quando chegamos a uma linha
“fora de toda barra de hipóteses” que contém o
que queremos demonstrar.
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