Alberto Levi

2a. Semana de Teoria dos Conjuntos e Topologia Geral –
2nd. Set Theory and General Topology Week – STW 2012.
In honor of Prof. Frank Tall, in the occasion of his retirement.
2012 Summer Programme - Instituto de Matemática.
UFBA - Universidade Federal da Bahia.
Salvador, Bahia, Brazil.
February 27 – March 02, 2012.
Reflexão de funções cardinais
Alberto M. E. Levi
Apresentaremos um tópico bastante atual de pesquisa em Topologia Geral e Teoria dos Conjuntos, chamado
"Re‡exão de funções cardinais".
De forma geral, o conceito de re‡exão expressa a situação onde um espaço topológico possui uma determinada propriedade, se todos os seus subespaços "pequenos" também possuírem esta mesma propriedade. Podemos
considerar vários conceitos possíveis de subespaço "pequeno": limitados em termos de cardinalidade; subespaços
"raros" ou "magros"; fechos de subespaços discretos; entre outros.
Aqui iremos considerar a seguinte de…nição de re‡exão (Hodel [2]): dizemos que uma função cardinal re‡ete
um cardinal in…nito numa classe S de espaços topológicos, quando: se X 2 S e (X)
, então existe Y
X
com jY j
tal que (Y )
. Esta de…nição pode ser reformulada deste modo: se X 2 S, e (Y ) < para todo
Y
X com jY j
, então (X) < . Neste caso, estamos portanto considerando que a "propriedade" re‡etida é
( ) < , e os subespaços "pequenos" são aqueles de cardinalidade
. Um exemplo: a função cardinal w (peso)
re‡ete ! 1 na classe de todos os espaços topológicos, o que signi…ca que um espaço topológico tem base enumerável
se todos os seus subespaços de cardinalidade ! 1 também o tiverem.
Existem funções cardinais, como o peso, que re‡etem todos os cardinais in…nitos, em todos os espaços topológicos;
mas há outras funções cardinais que re‡etem apenas alguns cardinais in…nitos, e por vezes apenas em uma classe
mais delimitada de espaços topológicos, como os espaços compactos. Há ainda muitos casos onde ainda não se sabe
se a re‡exão ocorre ou não.
Iremos discutir alguns problemas em aberto relacionados à re‡exão de funções cardinais importantes, como
(caráter), (pseudocaráter) e L (grau de Lindelöf). Iremos também abordar o uso de algumas ferramentas importantes neste tópico de pesquisa, como os submodelos elementares (Junqueira [5]), e apresentar alguns resultados
novos, como o seguinte:
Teorema 0.1. L re‡ete todos os cardinais fortemente inacessíveis (na classe de todos os espaços topológicos).
Referências
[1] Hodel, R. E. - Cardinal functions I, Handbook of set-theoretic topology, North-Holland, Amsterdam, 1984,
1-61.
[2] Hodel, R. E. e Vaughan, J. E. - Re‡ection theorems for cardinal functions, Topology and its Applications
100 (2000), 47-66.
[3] Juhász, I. - Cardinal functions and re‡ection, Topology Atlas Preprint no 445, 2000.
[4] Juhász, I. e Weiss W. A. R. - On the convergence and character spectra of compact spaces, Fundamenta
Mathematicae 207 (2010), 179-196.
[5] Junqueira L. R. - Upwards preservation by elementary submodels, Topology Proceedings 25 (2000), 225-249.
Doutorando no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, IME-USP, SP, Brasil, [email protected]