números de fermat

NÚMEROS DE FERMAT
(Pedro H. O. Pantoja, Universidade de Lisboa, Portugal)
Intrudução:
•
O matemático francês Pierre de fermat (1601-1665) é famoso pelo seu
extensivo trabalho em teoria dos números. Suas principais contribuições são o
pequeno teorema de Fermat, o último teorema de fermat (demonstrado por A.
Wiles), números de fermat, entre outros. Nesse trabalho vamos explorar
algumas propriedades elementares dos números de Fermat.
Para aprofundar os conceitos aqui introduzidos, recomendamos a excelente
obra Um número de Fermat é um número da forma
Para Fermat conjecturou que esses números eram todos primos, de fato, para
dão realmente números primos
3, 5, 17, 257, 65537. Entretanto Euler mostrou que é divisível por 641. O
argumento usado abaixo é devido a Kraïtchik.
Note que daí !"
Logo 641 divide Atualmente os únicos números primos de Fermat
conhecidos, são aqueles apresentados pelo próprio Fermat.
Proposição: A fórmula # $ % #&% é verdadeira para
todo ' e ( Prova:
Por indução, temos que % $ que é verdadeiro.
*+,
Suponhamos que a expressão é válida para m, daí #)% *
*
*
- .- . # - . $ #&% # $ # Corolário: /01# , para 2 Prova:
Suponhamos que # 3 tenham um fator primo p, então pela proposição
anterior, # $ % #&% Como p divide ambos # 3 p deverá dividir 2, ou seja, p é igual a 1 ou 2.
Não pode ser 2, pois # 3 são ímpares.
Em particular, esse corolário mostra que existem infinitos números primos(
vide [2] ). Pode-se também provar que /01# para m maior ou
igual a 1.
É muito conhecido que 4 para 4 5 é composto (devido a Sophie
Germain). De fato, 4 4 4 4 4 Fazendo
*67
4 para
' , encontramos 4 #&% 4 # e portanto
# #&% #& #&% #& Exemplo 1: Para ' o dígito das unidades de é 7.
Solução:
Para ' é múltiplo de 4 então existe k inteiro tal que 8 daí
9 !" e como !" o
dígito das unidades é 2 ou 7, não pode ser 2 pois não pode ser par.
Em particular, esse exemplo mostra que nenhum número de Fermat pode ser
quadrado perfeito. Com efeito, é bem conhecido que o dígito das unidades de
um quadrado perfeito é 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, e como $ % e para ' é 7, uma contradição. Mais geralmente é fácil provar que nenhum número
de fermat é uma potência perfeita. O caso de cubo perfeito foi proposto na
Baltic Way.
Exemplo 2: (Baltic Way) Prove que nenhum dos números
Para :!cubo de um inteiro.
Solução:
Assuma que exista um inteiro K tal que 8 , k ímpar e
8 8 8 8 daí 8 ; e 8 8 < para
alguns s,r inteiros positivos com soma igual a . Agora, = ; 8,
contradição pois o lado esquerdo é par e o direito ímpar.
Exemplo 3: Cada número de Fermat maior do que 3 é da forma Solução:
É suficiente provar que 6 divide # para ' com efeito,
# $ #&% % #&% E o número entre parênteses é par.
Exemplo 4: Resolva a equação diofantina
*
> Solução:
*
*6,
Temos que > > -
*6,
? . fazendo
e portanto
? ? ?? ? *6,
- &% .
Como o último fator é sempre inteiro, concluímos que é par, absurdo.
Assim a equação proposta não possui solução em inteiros.
Exemplo 5: Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que não
é primo.
Solução:
Vamos mostrar que 9)% : @ABCDA!"3E F!B3?G3
% E H, são múltiplos de 7. Agora para !"E
"4ID4J4I D4J !"E
Os números de Fermat podem ser generalizados. Define-se
*+,
4L
KL# 4 L*
4 Onde p é primo, 4 ' 3 ' o qual generaliza tanto os números de Fermat
# K# M! ! os números de Mersenne /L KL$ L Vamos
estudar alguns casos como, por exemplo,
*
*
K# 3K# E E Exemplo 6: Prove que para todos os inteiros positivos n, o número é
produto de pelo menos (não necessariamente distintos) primos.
Solução:
Por indução, o caso é evidentemente verdadeiro. Como
+,
- .- .
Então é suficiente provar que é composto , já que por hipótese
de indução tem fatores primos. Claramente,
-
. )% N O
N
!que completa a prova por indução.
)%
O N
)%
O
Exemplo 7: (USAMO-2007) Prove que para todos os inteiros não-negativos n, o
número E é produto de pelo menos (não necessariamente
distintos) primos.
Solução:
P
Por indução, o caso é trivial pois E ComoE é ímpar,
+,
E para algum inteiro m, agora E -E . Q onde Q E#&% Portanto é suficiente provar que
Q Q
É composto, pois consequentemente Q terá pelo menos dois fatores
primos a mais do que Q Assim
R S )%
R)%
R)%S &TR)%S &-RS )%.U
R)%
Q V R-R )R W )R X )R 7 )R)%.
R)%
V
# Q Q V EQQ Q Q Q Q E
-Q E# Q Q .-Q E# Q Q ..
O primeiro fator é maior do que 1. Para o segundo,
Q Q E# Q Q Q YEQ Q Q ' Q QQ Q Q Q ' 5 D!CZ YEQ [ Q
a prova está completa.
Exercícios:
1) Prove que para qualquer [ # divide \* 2) (USAMO-1991) Mostre que, para qualquer inteiro fixo ' a sequência
7
77
!" é eventualmente constante.
3) (Iran-2009) Seja 4 um número natural fixo. Prove que o conjunto dos
divisores primos de 4 , para é infinito.
4) (China-2010) Suponhamos que
D
*
38 são inteiros não-negativos, e
é um número primo. Prove que:
*+, L]
a) !"D9)% ^
b) #)% D9 é o menor inteiro positivo n que satisfaz a equação de
congruência !"D9)% REFERÊNCIAS
[1] MICHAL K. , F. LUCA, L. SOMER, 17 LECTURES ON FERMAT
NUMBERS, CANADIAN MATHEMATICAL SOCIETY.
[2] RIBENBOIM, P. THE BOOK OF PRIME NUMBERS RECORDS,
SPRINGER, 1991.
[3] DUBRER, H. GENERALIZED FERMAT PRIMES, J. RECREATIONAL
MATH. 1985.