Felipe Azevedo Gomes Categoria bolsa

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DINÂMICA QUÂNTICA PARA PARTÍCULA COM SPIN EM PRESENÇA DE
DEFEITO TOPOLÓGICO
Felipe Azevedo Gomes¹; Carlos Alberto de Lima Ribeiro²
1.
2.
Bolsista PIBIC/FAPESB, Graduando em Física, Universidade Estadual de Feira de Santana, e-mail:
[email protected]
Orientador, Departamento de Física, Universidade Estadual de Feira de Santana, e-mail: [email protected]
PALAVRAS-CHAVE: Defeito Topológico, Momento de Dipolo Induzido, Spin.
INTRODUÇÃO
Uma área que vem sendo bastante estudada nas últimas décadas na matéria
condensada são os efeitos da topologia em diversos fenômenos, especialmente depois de
1959, quando Y. Aharonov e D. Bohm descobriram o efeito que leva os seus nomes. Esse
efeito é caracterizado por uma fase geométrica que surge na interferência de dois feixes de
elétrons que percorrem caminhos distintos, embora estejam em uma região na ausência de
campos, esses feixes sentem a presença do campo magnético, o que pode ser evidenciado em
sua fase no final do percurso [01]. A fase no efeito Aharonov-Bohm pode ser associada a
defeitos no material. Teremos fases semelhantes à obtida nesse efeito em sistemas com
defeitos topológicos.
O estudo dos efeitos da topologia em sistemas quânticos vem sendo aplicados também
aos recentes estudos em novos materiais como o grafeno e os isolantes topológicos. O grafeno
é uma folha bidimensional de carbono num arranjo hexagonal, se imaginarmos uma folha
desse tipo em um espaço com defeito topológico do tipo desclinação positiva teremos um
cone de grafeno, esses tipos de cones são uteis para diversas aplicações tecnológicas.
Nos últimos planos de trabalho, analisamos a dinâmica de uma partícula livre em um
meio com desclinação, bem como a mudança da fase quântica em um meio com defeito
topológico. Nesse trabalho, ampliamos o tratamento da dinâmica de uma partícula em meio
com defeito. Avaliamos agora, uma partícula com spin ½ e momento de dipolo induzido por
uma configuração de campo elétrico radial e campo magnético azimutal, e em presença de
defeito topológico do tipo desclinação [02]. Mostramos como se dá a incorporação do spin
pela inclusão da conexão spinorial, e analisamos a dinâmica quântica encontrando os níveis
de energia de estado ligado.
METODOLOGIA
Iniciamos o nosso trabalho estudando alguns artigos retirados de periódicos
internacionais e da bibliografia sugerida. Foi feita uma busca em portais de periódicos
internacionais, cruzando os temas de nosso interesse. Com isso pudemos ter uma visão do que
tem sido feito atualmente, e assim, situar melhor nossa proposta nesse contexto.
Começamos nosso estudo analisando a dinâmica quântica de uma partícula neutra com
momento de dipolo induzido. Para tal finalidade, encontramos o Lagrangeano, e, a partir
deste, o Hamiltoniano para esse sistema.
O passo seguinte foi o estudo de como se dá a inclusão do spin, essa inclusão é feita
acrescentando o termo de conexão spinorialao termo de momento no Hamiltoniano. Com isso,
determinamos os termos não nulosdessa conexão para spin ½. Posteriormente, passamos para
a descrição quântica do sistema pela resolução da equação de Schrödinger com o
Hamiltoniano encontrado anteriormente, consideramos um campo elétrico radial e campo
magnético azimutal e encontramosos níveis de energia do sistema.
A inclusão do defeito topológico do tipo desclinação, foi o próximo passo,
encontramos os níveis de energia para esse caso e analisamos como a presença do defeito
afeta a dinâmica do sistema.
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RESULTADOS
Estudamos a dinâmica quântica de uma partícula com spin ½ interagindo com uma
configuração de campo elétrico radial e campo magnético azimutal externos. Analisamos
também, a influência de uma desclinação na dinâmica desse meio.
A presença do campo induz um momento de dipolo elétrico em uma partícula neutra.
Uma partícula de massa µ movendo-se com velocidade v será polarizada [02,04]. O
Hamiltoniano de uma partícula nessas condições é dado por
(01)
onde é a polarizabilidade dielétrica.Sem perda de generalidade, podemos considerar
, de forma que podemos desprezar o termo
no denominador do primeiro termo
.
do Hamiltoniano. Para simplificação dos nossos cálculos, consideramos também
Para trabalhar com o spin é conveniente mudar a derivada parcial no operador
momento no Hamiltoniano,fazendo
(02)
onde o termo
é a conexão spinorial e constitui a derivada covariante
do spinor.
é a conexão de spin, e os termos
são as matrizes de Dirac.Utilizando o
formalismo das tétrades [03], encontramos que o único termo não nulo da conexão
spinorialserá
(03)
Com esses resultados, partimos para o estudo da dinâmica quântica. Para o tratamento
da dinâmica do sistema com spin, precisamos fazer uma mudança de base para uma base
local. No nosso sistema consideramos que os campos externos são do mesmo tipo que os
campos gerados por um fio infinito. No referêncial local esses campos serão dados por:
(04)
onde
,
é a densidade de carga no fio, e
.
A equação de Schrödinger será escrita na forma:
(05)
Para resolvermos essa equação, utilizamos o método dos limites assintóticos. Esse
método consiste em analisar a solução da equação para
e para
, e com isso
propor uma solução, que converta à essas funções, nesses limites. Utilizando esse método,
chegamos a uma expressão do tipo:
(06)
onde definimos
(07)
A equação (06) é conhecida como Hipergeométrica confluente. Assim os níveis de
energia para estados ligados de uma partícula com momento de dipolo induzido podem ser
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encontrados, impondo a condição que o parâmetro
seja um número inteiro
positivo n
(08)
Esses são os níveis de energia para estados ligados de uma partícula neutra, com spin
½, portadora de momento de dipolo induzido. Até aqui estamos considerando um espaço
plano. No entanto, é interessante analisar como os níveis de energia são afetados pela
presença de um defeito no meio, mais especificamente analisamos como um defeito do tipo
desclinação afeta a dinâmica da partícula.
Um campo eletromagnético é afetado por espaço com defeitos [05], no nosso caso, a
configuração de campo agora será dada por
(09)
Com essa configuração de campo e com a métrica que descreve uma desclinação.
Chegamos até a equação de Schrödinger na forma
(10)
Acompanhamos os mesmos passos desenvolvidos para o espaço plano, e chegamos
novamente a uma equação hipergeométrica confluente,
(11)
que nos dá os níveis de energia na forma:
(12)
Essa equação nos dá então os níveis de energia para estados ligados para uma partícula
neutra com momento de dipolo elétrico induzido interagindo com um campo eletromagnético,
e em presença de um defeito topológico do tipo desclinação. Percebemos a influência do
defeito nos níveis de energia pelo aparecimento no termo na expressão (12). Perceba que no
limite que tende a 1 (espaço sem defeito), recaímos na expressão (08) para o espaço plano.
A partícula está polarizada devido aos campos, o primeiro termos da equação acima é a
influência desses campos para os níveis de energia, quando fazemos
, anulamos o
primeiro termo, e ficamos com a energia de uma partícula livre.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vimos o comportamento de uma partícula neutra, com spin ½, portadora de dipolo
induzido através da aplicação de campos externos a um meio inicialmente sem defeito. Para a
determinação da solução da equação de Schrödinger que descreve o sistema, encontramos
inicialmente o Lagrangeano da partícula, e a partir desse, o seu Hamiltoniano.
Decidimos incluir o spin para a melhor descrição da dinâmica do sistema. Essa
inclusão se deu pela adição da conexão spinorialà derivado parcial no Hamiltoniano.
Percebemos que essa modificação afeta o operador Laplace-Beltrame, pois o operador
derivada é modificado. Calculamos então os termos não nulos da conexão spinorial para uma
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partícula com spin ½ e em um espaço plano, apenas um termo proporcional a terceira matriz
de Pauli sobrevive a esse processo.
Para encontrarmos os níveis de energia do sistema solucionamos a equação de
Schrödinger com a modificação obtida na inclusão do spin. Nesse passo chegamos a uma
equação diferencial resolvida pelo método da análise dos limites assintóticos. Esse método
consiste de analisarmos o comportamento da função nos limites em que o parâmetro tende a
zero e a infinito, através dessa analise propomos uma solução condizente com esses limites.
Utilizando esse método, chegamos a uma equação conhecida como hipergeométrica
confluente (06).
Com a presença de um defeito topológico a forma dos campos é alterada, pois o
espaço não é mais euclidiano. Com essas modificações, seguimos os mesmos
procedimentos do caso anterior e chegamos aos níveis de energia especificados na
equação (12). Percebemos claramente como a desclinação afeta a dinâmica da partícula,
se olharmos para a equação (12) veremos que a influencia do defeito é especificada pela
presença do termo α, relacionado ao ângulo de desclinação. Quando α tende a 1,
recaímos na equação (08), como era de se esperar.
Ter o defeito uma influência direta nos níveis de energia pode acarretar uma série de
consequências físicas, como efeitos na propagação e absorção de onda no meio. Como
perspectivas futuras, esperamos avaliar novas configurações de campos, avaliarmos estados
de espalhamento e analisarmos algumas consequências físicas da presença do defeito no
sistema.
REFERÊNCIAS
[01] AHARONOV, Y.; BOHM, D. Physical Review. v.115, p.485, (1959).
[02] BAKKE, K. Journal of Mathematical Physics. v.51, p.093516 (2010).
[03] VOZMEDIANO, M.A.H, et al. Physics Reports. v.496, p.109 (2010).
[04] WEI, H.; HAN, R.; WEI, X. Physical Review Letters. v.75, p.2071 (1995).
[05] MORAES, F.; DIAS, L. Brazilian Journal of Physics. v.35, p.636 (2005).
[06] KITTEL, C. Introduction to Solid State Physics, 7° ed., New York: John Wiley and
Sons,(1996).
[07] ASHCROFT, N.W.; MERMIN, N. David.Solid State Physics.Fort Worth: Saunders
College, (1976).
[08] CHAIKIN, P.M.; LUBENSKY, T.C. Principles of Condensed Matter Physics.
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[09] REZENDE, S.M. Materiais e Dispositivos Semicondutores, 2° ed., Livraria
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[10] GRIFFITHS, D. Introdutionto Quantum Mechanics, 2° ed., Pearson
Prentice Hall, Upper Saddle River, (2005).
[11] JACKSON, J.D. Classical Electrodynamics. 3° ed., New York: John Wiley, (1999).
[12] RIBEIRO, C.A. de L. Tese de Doutorado, Departamento de Física-UFPE-Recife Pernambuco (2001).
[13] NERI, E.S. Monografia, Departamento de Física-UEFS- Feira de Santana-Bahia
(2011).