Apresentação do PowerPoint

POLÍGONOS
Definição
Polígonos Convexos e não-Convexos
Professor: Jarbas
Existem dois tipos de linhas:
As linhas formadas por CURVAS:
As linhas formadas por segmentos de
RETAS:
Linha
Poligonal
Linhas Poligonais:
Com
cruzamento
Simples
Abertas
Fechadas
Formam duas
regiões: interna e
externa
Polígono
Definição de Polígono
Polígono é uma linha poligonal
fechada e simples com sua região
interna e externa.
Pode ser convexo e não-convexo.
Polígono Não- Convexo
Polígono Convexo
Nomes Especiais
Nome
Nº. lados
Nº. ângulos
Triângulo
Quadrilátero
3
4
3
4
Pentágono
5
5
Hexágono
Heptágono
Octógono
6
7
8
6
7
8
Eneágono
Decágono
9
10
9
10
...
...
...
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo
Qualquer
Combinando figuras geométricas, podemos criar mosaicos. Veja:
Com
as
abelhas,
por
exemplo, ele compreendeu que o
formato dos favos de mel é muito bom
para guardar objetos com grande
economia de espaço.
Imagem: Chris Severn / Creative Commons
Attribution-Share Alike 3.0 Unported
A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a
atenção do ser humano há muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas,
o homem tem aprendido muitas coisas.
Exemplos da aplicação do formato das colmeias são blocos de
calçamento e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas
alcoólicas em adegas.
Imagem: (a) KKK2352 / Rua / Public Domain; (b) Che / Adega / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 Generic.
Soma dos ângulos interno de um
polígono convexo
Todo polígono convexo pode ser decomposto em triângulos quando
traçamos as diagonais que partem de um único vértice:
4 lados
5 lados
6 lados
2 triângulos (4 – 2)
3 triângulos (5 – 2)
4 triângulos (6 – 2)
2 x 180º = 360º
3 x 180º = 540º
4 x 180º = 720º
• Então, a soma dos ângulos internos depende do
número de lados;
• A quantidade de triângulos será sempre o
números de lados menos 2;
• Portanto:
Si
n 2 180º
Ângulos de Polígonos Regulares
• Polígonos regulares tem todos os lados e ângulos
de mesma medidas;
• Então, a medida de seu ângulo interno é a soma
deles dividida pelo número de lados:
ai
S
n
ou
ai
n 2 180
n
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo
Qualquer
e3
i3
i2
e2
i1
e1
e4
i4
i1 + e1 = 180
i2 + e2 = 180
i3 + e3 = 180
i4 + e4 = 180
in + en = 180
A soma Se das
medidas dos
ângulos externos
de um polígono
qualquer é 360º.
Si + Se = 180 ∙ n
Se = 180 ∙ n – Si
Se = 180 ∙ n – 180 ∙ (n – 2)
Se = 180 ∙ n – 180 ∙ n + 360
Se = 360
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo
Qualquer
Num polígono regular, todos os ângulos externos ae são
congruentes entre si. Portanto, para encontrar a medida de cada ângulo
externo, basta dividir a soma das medidas dos ângulos externos Se pelo
número n de lados.
ae
ae = 360
n
E, ainda, sempre e em qualquer polígono convexo,
ai
ae 180º
Observe a figura:
Imagem: (a) Jackhmo / Hexágonos /
Public Domain
Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se
sobrepor ou deixar vãos.
Â
^
B
^
C
Imagem: (b) HB / 4 Hexágonos /
Public Domain
Todos os hexágonos são regulares, isto é,
possuem lados e ângulos de mesma medida, o que
significa que  = B̂ = Ĉ. Além disso, a soma desses
três ângulos é igual a 360 , ou seja, eles formam um
ângulo de uma volta completa: Â + B̂ + Ĉ = 360 .
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo
Qualquer
Já usando só pentágonos ...
36
180
180
180
A figura é formada por pentágonos regulares que se encaixam
sem se sobrepor, mas deixam um vão de 36 .
Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos
regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas
ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na
figura acima.
1. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as
combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma
superfície plana sem que haja falhas ou superposições de
ladrilhos, como ilustram as figuras:
Figura 1: Ladrilhos retangulares
pavimentando o plano.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há
falhas ou superposição).
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo
Qualquer
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as
respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
Octógono
Decágono
Figura
Ângulo
60°
90°
108°
120°
135°
144°
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos, entre os polígonos da tabela, sendo um
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:
a) Triângulo
x b) quadrado
c) Pentágono
d) Hexágono
e) eneágono
135º
135º
Diagonais de um
Polígono Convexo
• Diagonal de um polígono é um segmento de
reta que tem por extremidades dois vértices
não-consecutivos do polígono.
A
B
Número de Diagonais de um
Polígono Convexo
 Seja n o número de vértices;
 Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos
com seus adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices;
 Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações;
 Porém, estaremos contabilizando duas vezes a mesma ligação,
isto é, diagonal. Por exemplo: A diagonal de vai do vértice A até o C é
a mesma que vai do C até o A.
 Portanto:
d
n.(n 3)
2
C
A
Exemplos:
1) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20 . Então, o
número de diagonais desse polígono é:
a) 90
b)104
c)119
d)135
e)152
2) Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos
e um deles tem 9 diagonais a mais que o outro. Que polígonos são
esses?
Polígonos- Relações Importentes
Soma das medidas
dos ângulos internos:
Si 180º n 2
Soma das medidas
dos ângulos externos:
Se
360º
ai
Si
n
ae
Se
n
d
n n 3
2
Ângulos internos de
um polígono regular:
Ângulos externos de
um polígono regular:
Número de diagonais
de um polígono:
ou
ou
ai
ae
180º n 2
n
360º
n
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