Teoria de Circuitos Elétricos Vers˜ao 0.2

Teoria de Circuitos Elétricos
Versão 0.2
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
DRAFT
Prof. Paulo Sérgio da Motta Pires
Laboratório de Engenharia de Computação e Automação
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Natal-RN, Setembro de 2000
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
i
Resumo
Apresentamos uma versão preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no curso
de ELE431 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de graduação em
Engenharia de Computação.
A versão mais recente deste documento está disponı́vel, no formato pdf, em http:\\www.
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Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
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em ambiente Linux Slackware 7.11
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Evolução :
1. Setembro de 2000 - inı́cio, com a Versão 0.1
1
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ii
Sumário
1
2
3
Conceitos
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funções Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Função Degrau Unitário . . . . . . . . . . .
1.3.2 Função Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Função Rampa Unitária . . . . . . . . . . .
1.3.4 Função Impulso Unitário . . . . . . . . . .
1.3.5 Propriedades da Função δ(t) . . . . . . . .
1.4 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace
1.5 Transformada de Laplace de Funções Periódicas .
1.6 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . .
1.7 Expansão em Frações Parciais . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Raı́zes Reais Distintas . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Raı́zes Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Raı́zes Complexas Simples . . . . . . . . .
1.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Diagrama de Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . .
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16
16
Métodos para Análise de Circuitos
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Componentes de Circuitos Elétricos
2.3 Método das Malhas . . . . . . . . . .
2.4 Método dos Nós . . . . . . . . . . . .
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da Freqüência
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Análise de Circuitos Transformados
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Circuitos de Primeira Ordem . . .
3.3 Circuitos em Regime Permanente
3.4 Circuitos Transformados . . . . . .
3.5 Elementos de Circuito no Domı́nio
iii
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Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
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6
Série de Fourier em Análise de Circuitos
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 A Série Trigonométrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Translação de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
58
61
7
Quadripolos
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Parâmetros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Parâmetros Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
64
64
66
5
Função de Transferência
4.1 Introdução . . . . . . .
4.2 A Função H(s) . . . . .
4.3 Resposta ao Impulso .
4.4 Resposta ao Degrau . .
4.5 Resposta à Rampa . . .
4.6 Integral de Convolução
iv
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Resposta em Freqüência
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Curvas de Bode . . . . . . . . . . .
5.2.1 H(s) com termo constante .
5.2.2 H(s) com termo s . . . . . .
5.2.3 H(s) com termo 1 + τ s . . .
5.2.4 H(s) com termo s2 + as + b .
5.2.5 Freqüência de Ressonância
A Transformadas de Laplace - Resumo
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67
Lista de Figuras
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
Representação de um circuito elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caracterı́sticas de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função degrau unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função degrau unitário deslocada de a > 0 . . . . . . . . . . . . . . .
Escalonamento da função degrau e da função degrau deslocada . . . .
A função pulso quadrado construı́da a partir da combinação de funções
degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função rampa unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função rampa unitária deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplo para deslocamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
5
6
6
7
11
17
18
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Componentes de circuitos elétricos . . . . . . . . . . .
Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Um circuito elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obtenção das equações de malha . . . . . . . . . . . .
Obtenção das equações de malha . . . . . . . . . . . .
Obtenção das correntes de malha . . . . . . . . . . . .
Obtenção da corrente sobre o resistor de 10Ω . . . . .
Análise pelo método dos nós . . . . . . . . . . . . . . .
Análise pelo método dos nós . . . . . . . . . . . . . . .
Obtenção do valor da corrente i . . . . . . . . . . . . .
Obtenção dos valores das tensões v1 , v2 e v3 . . . . . .
Obtenção dos valores das tensões - fonte controlada
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30
30
32
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Respostas no domı́nio do tempo . . . . . . . .
Regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . .
Capacitor em aberto e indutor em curto . . .
Circuito após a chave ter sido aberta . . . . .
Análise de circuitos no domı́nio da freqüência
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3
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Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
vi
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Representação do resistor no domı́nio da freqüência .
Representações do indutor no domı́nio da freqüência .
Representações do capacitor no domı́nio da freqüência
Tensão v(t) sobre o indutor . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrente i(t) sobre o capacitor . . . . . . . . . . . . . .
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41
41
42
4.1
4.2
4.3
4.4
Função de transferência
Função de transferência
Resposta ao impulso . .
Resposta ao degrau . .
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45
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5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Sistema linear invariante no tempo . . . . . .
Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resposta em freqüência para H(jω) = k . . .
Resposta em freqüência para H(jω) = jω . .
1
Resposta em freqüência para H(jω) = jω
. . .
Resposta em freqüência para H(jω) = 1 + jωτ
1
Resposta em freqüência para H(jω) = 1+jωτ
.
Resposta em freqüência para H(jω) = . . . .
Resposta em freqüência para H(jω) = . . . .
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52
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55
55
6.1
6.2
6.3
6.4
Decomposição de um sinal por Fourier . . .
Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onda quadrada deslocada em relação à onda
Obter a tensão v0 (t) . . . . . . . . . . . . . . .
. .
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do
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. . . . . . . . . . .
Exemplo anterior
. . . . . . . . . . .
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58
60
61
62
7.1
7.2
7.3
Quadripolo com grandezas associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadripolo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadripolo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
65
66
H(s)
H(s)
. . . .
. . . .
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Capı́tulo 1
Conceitos
1.1
Introdução
Apresentamos algumas definições e a fundamentação matemática necessária para
analisar circuitos elétricos no domı́nio da freqüência.
Neste capı́tulo, os circuitos elétricos são tratados pelo termo mais abrangente de
sistemas e são representados sem a preocupação de caracterizar seus componentes.
Na Figura 1.1, é mostrado, então, um circuito elétrico.
SISTEMA
e(t)
E(s)
(Circuito Elétrico)
r(t)
R(s)
Figura 1.1: Representação de um circuito elétrico
A excitação, ou entrada, de um circuito pode ser feita através de uma fonte de
corrente ou de uma fonte de tensão e a resposta, ou saı́da, pode ser apresentada em
termos do comportamento da corrente ou da tensão em um ou mais elementos do
circuito. No domı́nio do tempo, a excitação e a resposta são representados, respectivamente, por e(t) e r(t). No domı́nio da freqüência, a excitação é representada
por E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um domı́nio
para outro é possı́vel através da utilização da transformada de Laplace.
Por convenção, iremos adotar letras minúsculas para denotar grandezas no
domı́nio do tempo e letras maiúsculas para denotar grandezas no domı́nio da freqüência.
Em análise de circuitos, são conhecidas a excitação e o circuito. O objetivo
é encontrar a resposta. Em sı́ntese de circuitos, são conhecidas a excitação e a
resposta. O objetivo, neste caso, é obter o circuito.
1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
1.2
2
Sistemas
Algumas definições para sistemas :
• Sistemas Lineares - São sistemas para os quais vale o princı́pio da superposição.
Segundo este princı́pio, se e1 (t), r1 (t) e e2 (t), r2 (t) são dois pares diferentes de
excitação/resposta para um determinado sistema, a excitação deste sistema
por e(t) = e1 (t) + e2 (t) deve dar como resposta r(t) = r1 (t) + r2 (t), como mostrado
na Figura 1.2. Para estes sistemas, vale, também, o princı́pio da proporcionalidade. Neste caso, se C1 e(t) for a excitação, com C1 constante, a resposta
será C1 r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de proporcionalidade. Outra caracterı́stica dos sistemas lineares : a excitação e a
correspondente resposta estão relacionadas por uma equação diferencial linear.
C e (t)
1 1
C e (t)
2 2
C e (t) + C e (t)
1 1
2 2
SISTEMA
SISTEMA
SISTEMA
C r (t)
1 1
C r (t)
2 2
C r (t) + C r (t)
1 1
2 2
Figura 1.2: Caracterı́sticas de sistemas lineares
• Sistemas Passivos - São sistemas compostos por elementos que não introduzem
energia.
• Sistemas Recı́procos - São sistemas para os quais o relacionamento entre a
excitação e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida são
trocados.
• Sistemas Causais - São sistemas para os quais a resposta é não-antecipatória,
isto é, são sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T então r(t) = 0 para t < T .
Só existirá resposta se uma excitação for aplicada.
• Sistemas Invariantes no Tempo - São sistemas para os quais se a excitação e(t)
dá como resposta r(t), uma excitação deslocada, e(t ± T ) dará uma resposta
deslocada r(t ± T ).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
1.3
3
Funções Singulares
Funções singulares são funções que apresentam algum tipo de descontinuidade.
Iremos analisar as funções singulares de maior interesse para a área de circuitos
elétricos.
1.3.1
Função Degrau Unitário
A função degrau unitário, u(t), é definida através da relação :
1, se t ≥ 0
u(t) =
0, se t < 0
O gráfico é mostrado na Figura 1.3
u(t)
1
t
Figura 1.3: A função degrau unitário
A função degrau unitário deslocada é mostrada na Figura 1.4.
u(t − a)
1
t
a
Figura 1.4: A função degrau unitário deslocada de a > 0
Observar que :
u(t − a) =
1, se t ≥ a
0, se t < 0
A altura da função degrau unitário pode ser modificada multiplicando-se a
função por uma constante. Na Figura 1.5 mostramos o resultado da multiplicação
(escalonamento) dos dois gráficos anteriores por uma constante A > 0.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
f(t) = A u(t)
4
f(t) = A u(t − a)
A
A
t
a
t
Figura 1.5: Escalonamento da função degrau e da função degrau deslocada
Utilizando as propriedades de deslocamento e escalonamento mostradas anteriormente, podemos construir outras formas de onda.
Exemplo - a função pulso quadrado pode ser construı́da usando uma combinação de funções degrau. Assim, considerando a função f (t),
f (t) = 4u(t − 1) − 4u(t − 2)
temos os gráficos mostrados na Figura 1.6
4 u (t − 1)
4
2
t
1
−4
−4 u(t − 2)
f(t) = 4 u(t − 1) − 4 u(t − 2)
4
1
t
2
Figura 1.6: A função pulso quadrado construı́da a partir da combinação de funções degrau
Exemplo - na Figura 1.7, apresentamos a função
f (t) = u(sent)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
5
f(t) = sen t
1
...
t
−1
u(sen t)
1
...
t
Figura 1.7: Onda quadrada
1.3.2
Função Sinal
Alguns autores definem a função sinal, sgn(t), através da expressão :

se t > 0
 1,
0,
se t = 0
sgn(t) =

−1, se t < 0
enquanto outros autores representam a função sinal através da expressão :
1,
se t > 0
sgn(t) =
−1, se t < 0
Usando a segunda representação, podemos escrever sgn(t) = 2 u(t) − 1. O gráfico
da função sinal é mostrado na Figura 1.8
sgn(t)
1
t
−1
Figura 1.8: A função sinal
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
1.3.3
6
Função Rampa Unitária
A função rampa unitária, ρ(t), é definida através da relação :
ρ(t) = t u(t)
O gráfico da função rampa unitária é mostrado na Figura 1.9
ρ (t)
1
1
t
Figura 1.9: A função rampa unitária
Na Figura 1.10, mostramos a função rampa unitária deslocada.
ρ (t − a)
1
a
a+1
t
Figura 1.10: A função rampa unitária deslocada
No caso da função rampa, o escalonamento mudará a tangente do ângulo formado
com o eixo t.
1.3.4
Função Impulso Unitário
A função impulso unitário, ou função delta, é definida através das expressões :
R∞
−∞ δ(t)dt = 1
se t 6= 0
δ(t) = 0
1.3.5
Propriedades da Função δ(t)
Z
∞
−∞
δ(t)dt =
Z
0+
0−
δ(t)dt = 1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
7
Decorre, da propriedade acima, que :
0−
Z
δ(t)dt =
Z
∞
δ(t)dt = 0
0+
−∞
Uma outra propriedade importante,
Z ∞
f (t)δ(t)dt = f (0)
−∞
e, por extensão,
Z
∞
f (t)δ(t − T )dt = f (T )
−∞
0
É conveniente ressaltar que δ(t) = u (t). O gráfico da função δ(t) é mostrado na
Figura 1.11
δ
t
Figura 1.11: A função delta
1.4
Transformadas de Laplace
A transformada de Laplace permite passar do domı́nio do tempo para o domı́nio
da freqüência. Ela é definida através da equação :
Z ∞
L [f (t)] = F (s) =
f (t)e−st dt
0−
√
onde s é a variável do domı́nio complexo, s = σ + jω, e j = −1.
Exemplo - podemos utilizar a definição para obter a transformada de Laplace
da função f (t) = u(t). Temos,
L [u(t)] =
Z
∞
−
Z0 ∞
u(t)e−st dt
e−st dt
0
e−st ∞
= −
s 0
1
=
s
=
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
8
Também usando a definição, podemos obter a transformada de Laplace de f (t) =
Temos,
Z ∞
L [eat u(t)] =
eat u(t)e−st dt
−
Z0 ∞
=
eat e−st dt
0
e−(s−a)t ∞
= −
s − a 0
1
=
s−a
eat u(t).
Geralmente, as integrais que precisam ser calculadas para se obter a transformada de Laplace não são tão simples quanto as apresentadas anteriormente ou podem
levar um tempo muito grande para serem obtidas. Estas complicações são evitadas,
na maioria dos casos, através da utilização de propriedades das transformadas de
Laplace.
1.4.1
Propriedades da Transformada de Laplace
Proporcionalidade
A transformada de Laplace de uma constante (independente do tempo) vezes
uma função, é a constante vezes a transformada de Laplace da função. Assim,
considerando k uma constante,independente de t,
L [kf (t)] = kL [f (t)]
Linearidade
A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Laplace de
uma soma de funções é a soma das transformadas de Laplace de cada uma das
funções. Então,
X
X
L[
fi (t)] =
L [fi (t)]
i
i
Podemos usar esta propriedada para obter a transformada de Laplace da função
f (t) = senωt. Utilizando a identidade de Euler,
ejωt = cosωt + jsenωt
temos,
f (t) = senωt =
1 jωt
e − e−jωt
2j
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
9
Daı́, como o uso da propriedade da linearidade,
L [f (t)] = L [senωt]
1 =
L [ejωt ] − L [e−jωt ]
2j
1
1
1
=
−
2j s − jω s + jω
ω
= 2
s + ω2
Diferenciação
Se F (s) é a transformada de Laplace da função f (t), L [f (t)] = F (s), então
df (t)
L
= sF (s) − f (0− )
dt
onde f (0− ) é o valor de f (t) em t = 0− . Por extensão,
n
d f (t)
0
= sn F (s) − sn−1 f (0− ) − sn−2 f (0− ) − ... − f n−1 (0− )
L
dtn
onde os superescritos em f (t) indicam derivada em relação a t.
Exemplo - utilizar a propriedade da diferenciação para obter a transformada
0
de Laplace da função δ(t). Sabendo que δ(t) = u (t), temos :
L [δ(t)] = L
= s
du(t)
dt
1
s
= 1
já que u(0− ) = 0.
Integração
Se F (s) é a transformada de Laplace da função f (t), L [f (t)] = F (s), então
Z τ
F (s)
L
f (t)dt =
s
0−
Exemplo - utilizar a propriedade da integração para obter a transformada de
0
Laplace da função ρ(t). Sabendo que ρ(t) = u (t), temos :
L [ρ(t)] = L
=
=
Z
11
ss
1
s2
t
0−
u(t)dt
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10
Multiplicação por t
A propriedade da diferenciação no domı́nio s é definida através da equação :
L [tf (t)] = −
dF (s)
ds
ou, generalizando,
L [tn f (t)] = (−1)n
dn F (s)
dsn
Exemplo - obter a transformada de Laplace da função f (t) = te−at . Temos,
−at
L [te
d
1
] = −
ds s + a
1
=
(s + a)2
Por extensão, temos :
L [tn e−at ] =
n!
(s + a)n+1
e
L [tn ] =
n!
sn+1
onde n é inteiro positivo.
Deslocamento Complexo
Se F (s) é a transformada de Laplace da função f (t), L [f (t)] = F (s), então
L [eat f (t)] = F (s − a)
Exemplo - obter a transformada de Laplace da função f (t) = e−at sen(ωt). Como
L [sen(ωt)] =
temos,
L [e−at sen(ωt)] =
s2
ω
+ ω2
ω
(s + a)2 + ω 2
Considerando f (t) = e−at cos(ωt), temos
L [e−at cos(ωt)] =
s+a
(s + a)2 + ω 2
já que
s
+ ω2
Devemos salientar que, neste caso, a utilização de uma propriedade eliminou
a necessidade da obtenção da transformada de Laplace através da resolução de
integrações complicadas ou trabalhosas.
L [cos(ωt)] =
s2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
11
Deslocamento Real
Se F (s) é a transformada de Laplace da função f (t), L [f (t)] = F (s), então
L [f (t − a)u(t − a)] = e−as F (s − a)
Exemplo - obter a transformada de Laplace para a função mostrada na Figura
1.12
f(t)
2
t
a
Figura 1.12: Exemplo para deslocamento real
Podemos observar que a função f (t) pode ser escrita como a combinação de duas
funções degrau. Temos, portanto,
f (t) = 2u(t) − 2u(t − a)
Daı́,
L [f (t)] = 2L [u(t)] − 2L [u(t − a)]
Então,
F (s) =
1.5
2 2e−as
−
s
s
Transformada de Laplace de Funções Periódicas
Se f (t) é uma função periódica de perı́odo T , isto é,
f (t) = f (t ± T )
T é o perı́odo
a transformada de Laplace de f (t) pode ser obtida utilizando a equação :
1
L [f (t)] =
1 − e−sT
1.6
Z
T
f (t)e−st dt
0−
Transformada Inversa de Laplace
Se F (s) é a transformada de Laplace da função f (t), define-se a transformada
inversa de Laplace através da expresão :
L −1 [F (s)] = f (t)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
12
Assim, se
F (s) =
1
s
a transformada inversa será
1
L −1 [F (s)] = L −1 [ ]
s
= u(t)
1.7
Expansão em Frações Parciais
Uma função no domı́nio da freqüência, F (s), pode sempre ser escrita na forma :
F (s) =
N (s)
D(s)
onde N (s) representa seu numerador e D(s) representa o seu denominador.
As técnicas de expansão em frações parciais auxiliam na obtenção das transformadas inversas de Laplace. Vamos considerar casos em que o denominador da
função F (s) apresente raı́zes reais distintas, raı́zes múltiplas e raı́zes complexas
simples.
1.7.1
Raı́zes Reais Distintas
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N (s)
(s − s0 )(s − s1 )(s − s2 )
onde s0 , s1 e s2 são raı́zes reais e distintas e o grau do numerador, N (s), é menor
do que 3. Expandindo F (s), temos :
F (s) =
k1
k2
k0
+
+
s − s0 s − s1 s − s2
Para obter a constante k0 , fazemos :
(s − s0 )F (s) = k0 +
k1 (s − s0 ) k2 (s − s0 )
+
s − s1
s − s2
Considerando s = s0 , temos :
k0 = (s − s0 )F (s)
s=s0
Esta notação indica que, para obter o valor de k0 , elimina-se do denominador
da função F (s) o termo que depende de s0 , (s − s0 ), substituindo-se o valor de s, nos
termos restantes, pelo valor de s0 . De modo semelhante, temos
k1 = (s − s1 )F (s)
s=s1
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13
Generalizado, temos
ki = (s − si )F (s)
s=si
Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a função
F (s) =
s2 + 2s − 2
s(s + 2)(s − 3)
Observar que o denominador já encontra-se fatorado. Temos,
F (s) =
s2 + 2s − 2
k0
k1
k2
=
+
+
s(s + 2)(s − 3)
s
s+2 s−3
Daı́,
s2 + 2s − 2 1
=
=3
(s
+
2)(s
−
3)
s=0
s=0
2
1
s + 2s − 2 =−
k1 = (s + 2)F (s)
=
s(s − 3) s=−2
5
s=−2
s2 + 2s − 2 13
k2 = (s − 3)F (s) =
=
s(s + 2) s=3 15
s=3
k0 = sF (s)
Temos, então,
F (s) =
1
3
s
−
1
5
s+2
+
13
15
s−3
Daı́,
L −1 [F (s)] = f (t) = L −1
" #
1
3
s
− L −1
"
1
5
s+2
#
+ L −1
"
13
15
s−3
#
Assim,
1
1
13
f (t) = u(t) − e−2t u(t) + e3t u(t)
3
5
15
1.7.2
Raı́zes Múltiplas
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N (s)
(s − s0 )n D1 (s)
Observamos que F (s) possui polos múltiplos em s0 . Expandindo F (s), temos :
F (s) =
k0
k1
k2
kn−1
N1 (s)
+
+
+ ... +
+
n
n−1
n−2
(s − s0 )
(s − s1 )
(s − s2 )
s − s0 D1 (s)
Seja
F1 (s) = (s − s0 )n F (s)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
14
Pela expressão anterior, estamos eliminando da função F (s) o fator (s − s0 )n .
Assim,
F1 (s) = k0 + k1 (s − s0 ) + k2 (s − s2 ) + ... + kn−1 (s − s0 )n−1 + R(s)(s − s0 )n
Daı́,
k0 = F1 (s)
s=s0
Derivando F1 (s) em relação a s, temos :
dF1 (s)
= k1 + 2k2 (s − s0 ) + .. + kn−1 (n − 1)(s − s0 )n−2 + ...
ds
então,
Derivando novamente, temos :
dF1 (s) k1 =
ds s=s0
k2 =
Generalizando,
km
1 dF1 (s) 2 ds s=s0
1 dm F1 (s) =
m! dsm s=s0
m = 0, 1, 2, ..., n-1
Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a função :
F (s) =
s−2
s(s + 1)3
Observar que o denominador possui polos reais simples, devido ao fator s, e polos
reais múltiplos, devido ao fator (s + 1)3 . Cada fator deve ser tratado de maneira
diferente.
Expandindo F (s), temos
F (s) =
A
k0
k1
k2
+
+
+
s
(s + 1)3 (s + 1)2 s + 1
O coeficiente A é obtida pelo método das raı́zes reais distintas enquanto que os
coeficientes k0 , k1 e k2 são obtidos pelo método das raı́zes múltiplas. Então :
s − 2 A = sF (s) =
= −2
(s + 1)3 s=0
s=0
Para o caso das raı́zes múltiplas,
F1 (s) = (s + 1)3 F (s) =
e, então,
s−2
s
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
Então,
15
1 d0 s − 2 k0 =
= 3
0! ds0 s s=−1
1 d s − 2 k1 =
= 2
1! ds s s=−1
1 d2 s − 2 k2 =
= 2
2! ds2 s s=−1
2
3
2
2
F (s) = − +
+
+
s (s + 1)3 (s + 1)2 s + 1
A transformada inversa é obtida através de :
2
3
2
2
−1
−1
L −1 [F (s)] = L −1 − + L −1
+
L
+
L
s
(s + 1)3
(s + 1)2
s+1
Assim,
3
f (t) = L −1 [F (s)] = t2 e−t u(t) + te−t u(t) + 2e−t u(t)
2
1.7.3
Raı́zes Complexas Simples
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N (s)
(s − α − jβ)(s − α + jβ)D1 (s)
Pode-se mostrar que a transformada inversa de Laplace, devido à presença dos
termos complexos, (s − α − jβ) e (s − α + jβ) é dada por
f1 (t) = M eαt sen(βt + φ)
onde M e φ são obtidos através da expressão
jφ
Me
N (s) =
βD1 (s) s=α+jβ
Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace da função :
F (s) =
s2 + 3
(s + 2)(s2 + 2s + 5)
O denominador possui um termo não fatorado. Realizando a fatoração, obtemos
:
s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 − j2)
Assim, F (s) pode ser reescrita na forma :
F (s) =
s2 + 3
(s + 2)(s + 1 + j2)(s + 1 − j2)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
16
Observamos que o demoninador de F (s) possui um polo real simples, representado pelo termo s + 2, e polos complexos simples, representados pelos termos s + 1 + j2
e s + 1 + j2. Os dois casos devem ser tratados de maneira diferente.
Para a raiz real simples,
2+3
s
7
k0 = (s + 2)F (s)
= 2
=
s
+
2s
+
5
5
s=−2
s=−2
A transformada inversa referente a apenas este termo é
"
#
7
7
−1
5
L
= e−2t
s+2
5
Para as raı́zes complexas, temos α = −1 e β = 2. Os valores de M e φ são
calculados, então, usando :
s2 + 3 2
−1 1
jφ
Me =
= √ e−jtg 2 +π
2(s + 2) s=−1+j2
5
Logo, M =
√2
5
e φ = tg −1 12 + π e, então,
2
1
f1 (t) = √ e−t sen(2t + tg −1 + π)
2
5
e, assim,
7
2
1
f (t) = e−2t + √ e−t sen(2t + tg −1 + π)
5
2
5
1.8
Teorema do Valor Inicial
O teorema do valor inicial estabelece que :
f (0+ ) = lim = lim sF (s)
s→∞
t→0+
1.9
Teorema do Valor Final
O teorema do valor final estabelece que :
f (∞) = lim = lim sF (s)
t→∞
1.10
s→0
Diagrama de Polos e Zeros
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N (s)
D(s)
Define-se os polos de F (s) como sendo as raı́zes do seu denominador e os zeros
de F (s) como sendo as raı́zes do seu numerador. O diagrama de polos e zeros é
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
17
uma maneira de representar graficamente, no plano complexo, os polos e os zeros
de uma função F (s).
Exemplo - obter o diagrama de polos e zeros para a função :
F (s) =
s(s − 1 + j1)(s − 1 − j1)
(s + 1)2 (s + j2)(s − j2)
Temos,

 s = −1 (duplo)
s = −j2
polos =

s = j2
e

 s=0
s = 1 − j1
zeros =

s = 1 + j1
Seu diagrama de polos e zeros é apresentado na Figura 1.13
jω
Plano s
j2
1
σ
−1
−j2
Figura 1.13: Diagrama de polos e zeros
Exemplo - Obter o diagrama de polos e zeros para a função :
F (s) =
teremos
e
2(s − 1)2 s2
(s + 1 + j2)2 (s + 1 − j2)2 (s + 1)2

 s = −1 − j2 (duplo)
s = −1 + j2 (duplo)
polos =

s = −1
(duplo)
zeros =
s = 0 (duplo)
s = 1 (duplo)
O diagrama de polos e zeros é mostrado na Figura 1.14. Observar que a constante
é explicitada no diagrama através de K = 2.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
jω
18
Plano s
j2
K=2
σ
−1
1
−j2
Figura 1.14: Diagrama de polos e zeros
Capı́tulo 2
Métodos para Análise de Circuitos
2.1
Introdução
Em análise de circuitos, a excitação e o circuito são conhecidos. A resposta é a
tensão ou a corrente em um ou em vários elementos do circuito. Apresentaremos
algumas técnicas que possibilitam a análise de circuitos elétricos.
2.2
Componentes de Circuitos Elétricos
Neste curso, consideraremos circuitos elétricos compostos por resistores, indutores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tensão. Estas fontes
podem ser fontes independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos estão
mostrados na Figura 2.1.
R
Resistor
+
+
v
+
v(t)
v(t)
−
C
Fonte de Tensão
(constante)
Fonte de Tensão
(variável)
Fonte de Tensão
Controlada
Capacitor
L
Indutor
i(t)
i
Fonte de Corrente
(constante)
Fonte de Corrente
(variável)
Figura 2.1: Componentes de circuitos elétricos
19
i(t)
Fonte de Corrente
Controlada
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
20
Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2.2. A corrente elétrica entra no dispositivo (R, L, ou C) em seu polo positivo e sai de uma fonte pelo
seu polo positivo.
i
+
elemento
+
Fonte
Figura 2.2: Polaridades
2.3
Método das Malhas
Vamos considerar o circuito elétrico mostrado na Figura 2.3. Este circuito é
composto por três resistores, R1 , R2 e R3 e é alimentado por duas fontes de tensão,
v1 e v2 . Fazendo um paralelo entre esta representação e a representação utilizada
no capı́tulo 1, v1 e v2 são a excitação, ou a entrada, do circuito, R1 , R2 e R3 são os
elementos dentro da caixa denominada sistema e a resposta, ou saı́da, pode ser a
tensão ou a corrente em qualquer parte do circuito. Por exemplo, a resposta pode
ser a tensão1 , ou a corrente, sobre o resistor R1 ou sobre o resistor R2 ou sobre o
resistor R3
R1
R2
+
v
1 −
+
R3
−
v
2
Figura 2.3: Um circuito elétrico
Este circuito possui duas malhas. Para cada malha, estabelecemos uma corrente
cujo sentido, arbitrado, é o sentido horário, conforme mostrado na Figura 2.4
1
Lembrar que a tensão, em Volts (sı́mbolo V), entre os terminais de um resistor de resistência R, em Ohms
(sı́mbolo Ω), é dada pela equação v = Ri onde i é a corrente sobre o resistor, em Amperes (sı́mbolo A).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
R1
21
R2
+
v
+
i1
1 −
R3
i2
v
−
MALHA 1
2
MALHA 2
Figura 2.4: Correntes de malha
Para cada malha, há uma equação de malha correspondente. As equações de
malha são obtidas usando-se os seguintes procedimentos :
• Com relação à primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, i1 , é a soma
dos valores das resistências que pertencem à sua malha. Então, a corrente i1
será multiplicada por (R1 + R3 ) já que são estes os valores das resistências que
pertencem à sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha
é o negativo da soma dos valores das resistências comuns à primeira e a malha
considerada. Assim, a corrente da outra malha, i2 , será multiplicada por −R3
pois R3 é o valor da resistência comum às duas malhas. O lado direito da
equação é formado pela soma algébrica das fontes de tensão que pertencem à
malha. Desta forma, para esta malha, temos a equação :
(R1 + R3 )i1 − R3 i2 = v1
• Com relação à segunda malha : O coeficiente da segunda corrente, i2 , é a soma
dos valores das resistências que pertencem à sua malha. Então, a corrente i2
será multiplicada por (R2 + R3 ) já que são estes os valores das resistências que
pertencem à sua malha.O coeficiente das correntes de qualquer outra malha é
o negativo da soma dos valores das resistências comuns à segunda e a malha
considerada. Assim, a corrente da outra malha, i1 , será multiplicada por −R3
pois R3 é o valor da resistência comum às duas malhas. O lado direito da
equação é formado pela soma algébrica das fontes de tensão que pertencem à
malha. Assim, para esta malha, temos a equação :
−R3 i1 + (R2 + R3 )i2 = −v2
Caso existam outras malhas e, consequentemente, outras correntes de malha,
repete-se estes procedimentos para cada uma delas.
Para o circuito apresentado, o sistema de equações é, então :
(R1 + R3 )i1 − R3 i2 = v1
−R3 i1 + (R2 + R3 )i2 = −v2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
22
ou, na forma matricial,
R1 + R3
−R3
i1
v
= 1
−R3
R2 + R3 i2
v2
Exemplo - Utilizando as equações de malha obtidas para o circuito mostrado
na Figura 2.4, e considerando R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, R3 = 4Ω, v1 = 2V e v2 = 6V , calcular
os valores de i1 e i2 .
(2 + 4)i1 − 4i2 = 2
−4i1 + (1 + 4)i2 = −6
ou
6 −4
−4 5
i1
2
=
i2
−6
Daı́, obtemos :
i1
−1
=
i2
−2
Apesar de ser simples, o sistema acima pode ser resolvido através da função
linsolve do Scilab. Esta função considera que o sistema linear esta escrito na
forma:
Ax + b = 0
onde A é a matriz dos coeficientes, b é o vetor dos termos independentes e x é o
vetor das incógnitas. O vetor x, no nosso caso, é o vetor das correntes.
i
x= 1
i2
Temos, então, os seguintes procedimentos :
===========
S c i l a b
===========
scilab-2.5
Copyright (C) 1989-99 INRIA
Startup execution:
loading initial environment
-->// Entrada da matriz A :
-->A = [ 6 -4; -4 5]
A =
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
!
6.
! - 4.
23
- 4. !
5. !
--> // Entrada do vetor b (observar a troca dos sinais) :
-->b = [ - 2; 6]
b =
! - 2. !
!
6. !
-->// Chamada da funcao linsolve :
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! - 1. !
! - 2. !
-->
Exemplo - Obter as equações de malha para o circuito mostrado na Figura 2.5
R
1
R
i
1
−
R
R
v2
5
i
3
3
Figura 2.5: Obtenção das equações de malha
Temos,
(R1 + R2 + R3 )i1 − R2 i2 − R3 i3 = v1
−R2 i1 + (R2 + R4 + R5 )i2 − R5 i3 = −v2
−R3 i1 − R5 i2 + (R3 + R5 + R6 )i3 = v2
ou, na forma matricial,
4
2
+
+
1
i
−
v
R
2
R
6
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
24

  

R1 + R2 + R3
−R2
−R3
i1
v1

 i2  = −v2 
−R2
R2 + R4 + R5
−R5
−R3
−R5
R3 + R4 + R6
i3
v2
Exemplo - Obter, usando as equações de malha, as correntes i1 e i2 mostradas
no circuito da Figura 2.6
R
R
1
i1
v
2
i
+
+
1 −
−
v
2
2
Figura 2.6: Obtenção das equações de malha
Temos,
(R1 + R2 )i1 − R2 i2 = v1 − v2
−R2 i1 + (R2 + R3 )i2 = −v2
R1 + R2
−R2
i1
v1 − v2
=
−R2
R2 + R3 i2
−v2
Então,
7 −6 i1
−5
=
−6 8
i2
−10
Obtemos, resolvendo a equação anterior,
i1
= −5 − 5
i2
Usando o Scilab, temos :
-->A = [ 7 -6; -6 8]
A =
!
7.
- 6. !
R
3
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
! - 6.
25
8. !
-->b = [ 5; 10]
b =
!
!
5. !
10. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! - 5. !
! - 5. !
-->
Exemplo - Obter, usando as equações de malha, as correntes i1 e i2 mostradas
no circuito da Figura 2.7
+
R
−
1
i
3
i2
1
+
−
v1
R
v2
v
R2
−
3
+
Figura 2.7: Obtenção das correntes de malha
Temos as sequintes equações de malha :
(R1 + R2 )i1 − R2 i2 = −v1 − v2
−R2 i1 + (R2 + R3 )i2 = v2 − v3
Daı́, considerando R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, v1 = 6V , v2 = 4V e v3 = 3V , temos :
R1 + R2
−R2
i1
−v1 − v2
=
−R2
R2 + R3 i2
v2 − v3
Então,
6 −4 i1
−10
=
−4 10 i2
1
Resolvendo pelo Scilab,
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
26
-->A = [6 -4; -4 10]
A =
!
6.
! - 4.
- 4. !
10. !
-->b = [10; -1]
b =
!
10. !
! - 1. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! - 2.1818182 !
! - 0.7727273 !
-->
Exemplo - Obter, usando as equações de malha, o valor da corrente que passa
no resistor de 10Ω mostrado no circuito da Figura 2.8
10 Ω
8 Ω
+
15 V
−
i1
i3
5 Ω
3Ω
i2
2 Ω
Figura 2.8: Obtenção da corrente sobre o resistor de 10Ω
Obtemos as sequintes equações de malha :
(8 + 3)i1 − 3i2 − 8i3 = 15
−3i1 + (5 + 2 + 3)i2 − 5i3 = 0
−8i1 − 5i2 + (8 + 10 + 5)i3 = 0
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
27
ou
11i1 − 3i2 − 8i3 = 15
−3i1 + 10i2 − 5i3 = 0
−8i1 − 5i2 + 23i3 = 0
Usando o Scilab, obtemos :
-->A = [11 -3 -8; -3 10 -5; -8 -5 23]
A =
!
11.
! - 3.
! - 8.
- 3.
10.
- 5.
- 8. !
- 5. !
23. !
-->b = [-15; 0; 0]
b =
! - 15. !
!
0. !
!
0. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
!
!
!
2.6327055 !
1.3998288 !
1.2200342 !
-->
Portanto, a corrente sobre o resistor de 10Ω é i3 = 1.2200342A.
2.4
Método dos Nós
Um nó, por definição, é um ponto de interconexão de elementos. Assim, o
circuito mostrado na Figura 2.9 possui três nós, como indicado.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
Nó 1
28
Nó 2
R2
i
R1
1
R3
i
2
Nó de referência
Figura 2.9: Análise pelo método dos nós
O procedimento para análise de circuitos pelo método dos nós :
1. Determinar o número de nós do circuito. O número de equações será igual ao
número de nós menos um. No caso, temos três nós e, portanto, duas equações.
2. Eleger um nó como o nó de referência. Geralmente, este nó é o que possui
o maior número de elementos conectados. No circuito mostrado, o nó de
referência está destacado. Ao nó de referência é atribuı́do sinal negativo e aos
outros, sinal positivo.
3. As equações de nós são escritas considerando condutâncias2 . No caso, temos
três condutâncias:
G1 = 1/R1 , G2 = 1/R2 eG3 = 1/R3
4. Cada nó tem uma tensão em relação ao nó de referência. Daı́, a tensão no nó
1 é v1 e a tensão no nó 2 é v2 .
A lei dos nós estabelece o seguinte procedimento : o coeficiente da tensão no
nó 1, v1 , é a soma das condutâncias conectadas à ele. Os coeficientes das outras
tensões de nó são o negativo das somas das condutâncias entre esses nós e o nó 1.
O lado direito da equação é a soma algébrica das correntes qure entram no nó 1
devido a presença das fontes de corrente. Para os outros nós, o procedimento é
semelhante.
Exemplo - Obter, para o circuito da Figura 2.9, as equações dos nós. Temos,
(1/R1 + 1/R2 )v1 − 1/R2 v2 = i1
−1/R2 v1 + (1/R2 + 1/R3 )v2 = −i2
2
A unidade de condutância é Siemens, sı́mbolo S
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
29
ou
(G1 + G2 )v1 − G2 i2 = i1
−G2 v1 + (G2 + G3 )v2 = −i2
Estas equações podem ser escritas na forma matricial :
G1 + G2
−G2
v1
i1
=
−G2
G2 + G3 v2
−i2
Exemplo - Utilizando a lei dos nós, obter os valores de v1 , v2 e i para o circuito
mostrado na Figura 2.10.
7A
i
v1
v
8Ω
4Ω
4A
2
12 Ω
Nó de Referência
Figura 2.10: Análise pelo método dos nós
Temos,
(1/4 + 1/8)v1 − 1/8i2 = 4 − 7
−1/8v1 + (1/12 + 1/8)v2 = 7
ou :
−24
3 −1 v1
=
−3 5
v2
168
Usando o Scilab, temos :
-->A = [3 -1; -3 5]
A =
!
3.
! - 3.
- 1. !
5. !
-->b = [24; -168]
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
b
30
=
!
24. !
! - 168. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
!
!
4. !
36. !
-->
Entao, v1 = 4V e v2 = 36V . Utilizando o diagrama mostrado na Figura 2.11,
obtemos i = 4A
7A
i
v1
3A
Figura 2.11: Obtenção do valor da corrente i
Exemplo - Utilizando a lei dos nós, obter os valores de v1 , v2 e v3 para o circuito
mostrado na Figura 2.12.
5A
v1
v2
1S
7A
3S
v3
2S
4S
1S
4S
Nó de Referência
Figura 2.12: Obtenção dos valores das tensões v1 , v2 e v3
Temos :
17 A
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
31
(3 + 1)v1 − v2 + 0v3 = 7 − 5
−v1 + (3 + 1 + 2)v2 − 3v3 = 5
−0v1 − 2v2 + (2 + 1 + 4)v3 = 17
ou, na forma matricial,

   
4 −1 0
2
v1
−1 6 −3 v2  =  5 
v3
0 −2 7
17
Usando o Scilab, temos :
-->A = [4 -1 0; -1 6 -3; 0 -2 7]
A =
!
4.
! - 1.
!
0.
- 1.
6.
- 2.
0. !
- 3. !
7. !
-->b = [-2 ; -5; - 17]
b =
! - 2. !
! - 5. !
! - 17. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
!
!
!
1.1532847 !
2.6131387 !
3.1751825 !
-->
Então, v1 = 1.1532847V , v2 = 2.6131387V e v3 = 3.1751825V .
Exemplo - Utilizando a lei dos nós, obter os valores de v1 e v2 para o circuito
mostrado na Figura 2.13. Observar que este circuito possui uma fonte controlada
de corrente.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
32
5i
v1
+ v −
v2
1/2 Ω
5A
i
1Ω
1Ω
2Ω
2v
Figura 2.13: Obtenção dos valores das tensões - fonte controlada
Neste caso, usamos os seguintes procedimentos :
1. Obter as equações de nós como se as fontes fossem independentes. Temos :
(1 + 1 + 2)v1 − 2v2 = 5 − 5i
−2v1 + (1/2 + 2)v2 = 5i + 2v
2. Expressar as variáveis controladoras, i e v, em termos das tensões dos nós.
Temos :
i = v1
v = v1 − v2
Portanto,
9
−2
−9 −4.5
e
-->A = [9 -2; -9 4.5]
A =
!
9.
! - 9.
- 2. !
4.5 !
-->b = [-5 ; 0]
v1
5
=
v2
0
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
b
=
! - 5. !
!
0. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
!
!
1. !
2. !
-->
Assim, v1 = 1V e v2 = 2V .
33
Capı́tulo 3
Análise de Circuitos Transformados
3.1
Introdução
Circuitos elétricos podem ser analisados no domı́nio do tempo ou no domı́nio
da freqüência. Como veremos, a análise no domı́nio do tempo resulta em uma
equação diferencial que deve ser resolvida. No domı́nio da freqüencia, a equação a
ser resolvida é uma equação polinomial.
Utilizaremos a teoria apresentada nos dois capı́tulos anteriores para analisar circuitos elétricos. Inicialmente, mostraremos a análise no domı́nio do tempo. Depois,
no domı́nio da freqüência.
3.2
Circuitos de Primeira Ordem
Vamos considerar o circuito RC mostrado na Figura 3.1, formado por um capacitor e um resitor. A equação para a corrente no capacitor é dada por :
i(t)
+
v(t)
C
R
Figura 3.1: Circuito RC
dv
dt
onde C é a capacitância do capacitor. A corrente no resitor é dada por :
i(t) = C
i(t) =
34
v
R
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
35
onde R é a resistência do resistor. Em ambas as equações, a tensão v é uma função
do tempo,
v = v(t)
Usando a lei dos nós, podemos escrever :
dv
v
+ =0
dt
R
A equação resultante é, portanto, uma equação diferencial de primeira ordem.
Daı́ o nome dado a esse tipo de circuito.
Esta equação diferencial pode ser resolvida por separação de variáveis. Temos,
C
dv
1
=−
dt
v
RC
Então,
Z
dv
1
=−
v
RC
Z
dt
Temos,
t
+k
RC
onde k é a constante de integração. Considerando v(0) = V0 , temos :
lnv = −
t
v(t) = V0 e− RC
Para fixar conceitos, vamos considerar o circuito LC da Figura 3.2. Este circuito
é formado por um indutor e um resistor. A equação para a tensão no indutor é
dada por :
i(t)
L
R
Figura 3.2: Circuito RL
di
dt
onde L é a indutância do indutor. A tensão no resitor é dada por :
v(t) = L
v(t) = Ri(t)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
36
onde R é a resistência do resistor. Em ambas as equações, a corrente i é uma função
do tempo,
i = i(t)
Utilizando a lei das malhas, obtemos
di
+ Ri = 0
dt
que, também, pode ser resolvida por separação de variáveis. Temos, então,
L
R
i(t) = I0 e− L t
Na Figura 3.7, mostramos os gráficos dessas respostas.
v(t)
V0
V0/e
τ = RC
t
i(t)
I
0
I0 /e
τ = L/R
t
Figura 3.3: Respostas no domı́nio do tempo
Na Figura 3.7, o parâmetro τ é a constante de tempo do circuito. É o tempo
necessário para que a resposta caia por um fator 1/e1 .
3.3
Circuitos em Regime Permanente
Em regime permanente, todas as tensões e correntes stabilizam-se em valores
constantes. Como a corrente no capacitor é dada por :
i(t) = C
dv
dt
e, como
v(t) = cte
temos i(t) = 0. Daı́, em regime permanente o capacitor comporta-se como um
circuito aberto.
No caso do indutor, temos
di
v(t) = L
dt
1
e = 2.718281... é a base do logarı́tmo neperiano
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
37
e, como
i(t) = cte
temos v(t) = 0. Então, em regime permanente o indutor comporta-se como um
curto circuito.
Exemplo - Para fixar os conceitos, vamos considerar o circuito mostrado na
Figura 3.4. Vamos supor que o circuito está em regime permanente imediatamente
antes da abertura da chave, em t = 0.
t=0
2H
2Ω
+
10 V
−
1/4 F
3Ω
Figura 3.4: Regime permanente
Imediatamente antes da abertura da chave, e por estar em regime permanente,
o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor funciona como curto
circuito como mostrado na Figura 3.5.
i
2Ω
+
10 V
−
1/4 F
+
v
3Ω
Figura 3.5: Capacitor em aberto e indutor em curto
Nestas condições,
i(0− ) = 2A
e
v(0− ) = 6V
Após a chave ser aberta, o circuito passa a ser o mostrado na Figura 3.6.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
38
2H
2Ω
i(0 − ) = 2A
+
10 V
v(0 − ) = 6V
1/4 F
−
3Ω
Figura 3.6: Circuito após a chave ter sido aberta
3.4
Circuitos Transformados
Nem sempre as equações diferenciais são tão simples e podem ser resolvidas de
maneira tão fácil como as mostradas nos parágrafos precedentes. Na maioria dos
casos, a opção é pelo método das transformadas com os procedimentos apresentados
na Figura ??. Inicialmente, o circuito dado no domı́nio do tempo é transformado em
um circuito no domı́nio da freqüência.Utilizamos, neste processo, a transformada
de Laplace. Este circuito é, então, analisado usando-se as leis das malhas ou dos
nós apresentados no Capı́tulo 2. O resultado obtido pode ser levado para o dominio
do tempo através da transformada inversa de Laplace.
Circuito no domínio
do tempo
Laplace
Circuito no domínio
da freqüência
Análise por
Malhas ou
Nós
Inversa de Laplace
r(t)
R(s)
Figura 3.7: Análise de circuitos no domı́nio da freqüência
Para transformar o circuito do domı́nio do tempo para o domı́nio da freqüência,
precisamos conhecer as transformadas de Laplace das tensões e correntes de seus
elementos.
3.5
Elementos de Circuito no Domı́nio da Freqüência
No domı́nio do tempo, a relação entre a tensão e a corrente em um resistor é
dada por :
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
39
v(t) = Ri(t)
Aplicando a transformada de Laplace na equação anterior, temos :
V (s) = RI(s)
No domı́nio da freqüência o resistor é, então, representado pelo diagrama mostrado na Figura 3.8.
I(s)
+
R
V(s)
Figura 3.8: Representação do resistor no domı́nio da freqüência
Para o indutor, as relações entre a corrente e a tensão no domı́nio do tempo
podem ser representadas pelas equações
v(t) = L
di
dt
cuja transformada de Laplace é :
V (s) = sLI(s) − Li(0− )
ou
1
i(t) =
L
Z
t
v(τ )dτ + i(0− )
0−
com transformada de Laplace dada por :
1
i(0− )
V (s) +
sL
s
−
−
onde i(0 ) é o valor da corrente em t = 0 . A primeira equação transformada
representa a tensão sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(a) enquanto que
a segunda equação transformada representa a corrente sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(b).
I(s) =
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
40
I(s)
I(s)
+
+
sL
1
sL
V(s)
i(0 − )
V(s)
s
L i(0 − )
+
(a)
(b)
Figura 3.9: Representações do indutor no domı́nio da freqüência
Para o capacitor, as relações entre a corrente e a tensão no domı́nio do tempo
podem ser representadas pelas equações
Z
1 t
v(t) =
i(τ )dτ + v(0− )
C 0−
com transformada de Laplace dada por :
I(s) =
1
i(0− )
V (s) +
sL
s
ou
i(t) = C
dv
dt
cuja transformada de Laplace é :
I(s) = sCV (s) − Cv(0− )
onde v(0− ) é o valor da tensão em t = 0− . A primeira equação transformada
representa a tensão sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(a) enquanto que a segunda equação transformada representa a corrente sobre os elementos
apresentados na Figura 3.10(b).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
I(s)
41
I(s)
+
+
1
sC
sC
V(s)
+
Cv(0 − )
V(s)
v(0 − )
s
(a)
(b)
Figura 3.10: Representações do capacitor no domı́nio da freqüência
Exemplo - Utilizando o método das transformadas, obter a tensão v(t) mostrada
no circuito da Figura 3.11.Considerar que, com a chave na posição mostrada, o
circuito está em regime permanente.
i
2H
v(t)
t=0
+
−
3V
1V
2Ω
Figura 3.11: Tensão v(t) sobre o indutor
Imediatamente antes da chave mudar de posição em t = 0, temos o circuito
mostrado na Figura ??(a). Nesta configuração, obtemos :
1
i(0− ) = − A
3
Após a chave mudar de posição, o circuito transformado é, então, o mostrado
na Figura ??(b). Para este circuito,
I(s) =
9 − 2s
3s(2s + 3)
e, como
V (s) = sLI(s) − Li(0− )
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3
42
temos,
V (s) =
4
s+
3
2
e, então,
3
v(t) = L −1 [V (s)] = 4e− 2 t
Exemplo - Utilizando o método das transformadas, obter a corrente i(t) mostrada no circuito da Figura 3.12.Considerar que, com a chave na posição mostrada, o
circuito está em regime permanente.
2F
i(t)
t=0
+
−
3V
1V
3Ω
Figura 3.12: Corrente i(t) sobre o capacitor
Imediatamente antes da chave mudar de posição em t = 0, temos o circuito
mostrado na Figura ??(a). Nesta configuração, obtemos :
v(0− ) = −1V
Após a chave mudar de posição, o circuito transformado é, então, o mostrado
na Figura ??(b). Para este circuito,
I(s) = −
4
3(s + 16 )
e, então,
4 1
i(t) = L −1 [I(s)] = − e− 6 t
3
Capı́tulo 4
Função de Transferência
4.1
Introdução
Em um sistema linear, a excitação, e(t), e a resposta, r(t), estão relacionadas
através de uma equação diferencial. Aplicando a transformada de Laplace, a relação
entre a excitação E(s) e a resposta R(s) passa a ser algébrica. Usaremos a função
de transferência para analisar a resposta em freqüência de circuitos.
4.2
A Função H(s)
Considerando condições iniciais nulas, a relação entre a excitação E(s) e a resposta R(s) no domı́nio da freqüência é dada pela equação
R(s) = H(s)E(s)
onde H(s) é chamada de função de transferência ou função de sistema.
Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.1
+
R
V(s)
I(s)
1
sC
sL
Figura 4.1: Função de transferência H(s)
A entrada, ou excitação, do circuito é E(s) = I(s).
R(s) = V (s). Então, encontrando a relação
V (s)
R(s)
=
I(s)
E(s)
43
A saı́da, ou resposta, é
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.4
44
encontraremos a função de transferência H(s). Temos, então, usando a lei das
malhas,
#
"
1
( sC
)sL
V (s) = R +
I(s)
1
sL + sC
Então,
H(s) =
( 1 )sL
V (s)
= R + sC 1
I(s)
sL + sC
Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.2
sL
I
1
Io
1
sC
I
i
R
Figura 4.2: Função de transferência H(s)
Neste caso, a entrada, ou excitação, do circuito é E(s) = Ii (s). A saı́da, ou
resposta, é R(s) = Io (s). Usando a lei dos nós, temos :
Ii (s) = I1 (s) + Io (s)
Daı́,
"
Ii (s) = 1 +
R + sL
1
sC
#
e, então,
H(s) =
Io (s)
R + sL
=1+
1
Ii (s)
sC
Pelo exposto nos exemplos anteriores, podemos verificar que a função de transferência depende apenas dos elementos de circuito (R, L, C) e é obtida pela aplicação das leis das malhas ou dos nós.
4.3
Resposta ao Impulso
Analisando a relação
R(s) = H(s)E(s)
é óbvio que podemos encontrar R(s) sendo conhecidos o circuito,caracterizado por
H(s), e a excitação, E(s). Considerando que a entrada é um impulso unitário,
E(s) = L [δ(t)] = 1
temos
R(s) = H(s)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.4
45
e. desta relação,
r(t) = h(t)
onde a função h(t) é chamada de resposta ao impulso1 .
Exemplo - Obter a resposta ao impulso para o circuito mostrado na Figura 4.3
1
sC
C
+
+
δ( t)
R
1
R
(a)
(b)
Figura 4.3: Resposta ao impulso
O primeiro passo é transformar o circuito para o domı́nio da freqüência, como
mostrado na Figura 4.3(b). Depois, encontramos a função de transferência,
#
"
1
s
1
RC
H(s) =
=
1−
1
1
R
R(s + RC
)
s + RC
A resposta ao impulso será, então,
ht = L
4.4
−1
1
1 − t
RC
δ(t) −
e
[H(s)] =
R
RC
Resposta ao Degrau
No caso da entrada degrau, temos
E(s) = L [u(t)] =
1
s
A resposta no domı́nio do tempo será, então,
−1 H(s)
r(t) = α(t) = L
s
Exemplo - Obter a resposta ao degrau para o circuito mostrado na Figura 4.4
L
u(t)
sL
+
R
(a)
1
s
+
R
(b)
Figura 4.4: Resposta ao degrau
1
É importante observar que, no domı́nio do tempo, NÃO se define função de transferência
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.4
46
O primeiro passo é transformar o circuito para o domı́nio da freqüência, como
mostrado na Figura 4.4(b). Depois, encontramos a função de transferência,
H(s) =
I(s)
1
=
V (s)
R + sL
Então,
α(t) = L
−1
"
1
R
1
1
−
s s+
R
L
!#
daı́,
α(t) =
4.5
i
R
1 h
1 − e−t L u(t)
R
Resposta à Rampa
Para uma entrada rampa unitária,
E(s) = L [ρ(t)] =
r(t) = γ(t) = L
4.6
−1
1
s2
H(s)
s2
Integral de Convolução
Sejam f1 (t) e f2 (t) duas funções que são iguais a zero para t < 0. Define-se a
convolução de f1 (t) com f2 (t) através da expressão :
Z t
f1 (t) ∗ f2 (t) =
f1 (t − τ )f2 (τ )dτ
0
Se
f1 (t) ↔ F1 (s)
f2 (t) ↔ F2 (s)
então,
L [f1 (t) ∗ f2 (t)] = F1 (s)F2 (s)
Como
R(s) = H(s)E(s)
temos :
r(t) = L −1 [R(s)] = L −1 [H(s)E(s)]
Capı́tulo 5
Resposta em Freqüência
5.1
Introdução
Vamos considerar o sistema linear, invariante no tempo, mostrado na Figura 5.1
e(t)
H(s)
E(s)
r(t)
R(s)
Figura 5.1: Sistema linear invariante no tempo
Se a excitação deste sistema é senoidal,
e(t) = Asenωt
temos,
Aω
+ ω2
Como a resposta no domı́nio da freqüência é dada por,
E(s) =
s2
R(s) = H(s)E(s)
temos,
AωH(s)
s2 + ω 2
Expandindo R(s) em frações parciais, temos :
R(s) =
R(s) =
k1
k2
+ OUTROS
+
|
{zTERMOS}
s − jω s + jω
|
{z
}
Fatores devido a H(s)
Fatores devido a E(s)
Os fatores originados devido a excitação E(s), ou termos com polos associados
a E(s), originam a resposta forçada, também chamada de solução particular ou
solução em regime permanente. Os outros fatores, associados aos polos da função
47
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
48
de transferência H(s),origiman a resposta livre também chamada de solução complementar ou solução em regime transitório.
Iremos nos interessar apenas pela solução em regime permanente. Neste caso,
R(s) =
k1
k2
+
s − jω s + jω
Como pode ser observado, R(s) possui termos com raı́zes complexas simples.
Como vimos no Capı́tulo 1, para estes tipos de função a transformada inversa de
Laplace é da forma
f (t) = M eαt sen(βt + φ)
com M e φ sendo obtidos através da expressão
M ejφ =
N (s)
|s=α+jβ
βD1 (s)
No caso, temos
α = 0
β = ω
D1 (s) = 1
Assim,
f (t) = r(t) = M sen(βt + φ)
e
M ejφ = AH(jω)
ou
M
= |AH(jω)|
φ = ∠H(jω)
Podemos verificar, então, que um sistema linear, estável, invariante no tempo,
submetido à uma entrada senoidal possuirá, em regime permanente, uma saı́da
também senoidal com a mesma freqüência da entrada. A amplitude e a fase da
senóide de saı́da, em geral, serão diferentes.
Assim, para se obter a resposta em freqüência de um circuito, basta substituir
s por jω na função de transferência. A resposta em freqüência é formada por dois
gráficos: o gráfico da resposta em amplitude, |H(s)| em função de ω e o gráfico da
resposta em fase, ∠H(s) em função de ω.
Exemplo - Obter a resposta em freqüência para o circuito mostrado na Figura
5.2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
49
R
1
sC
E(s)
R(s)
Figura 5.2: Circuito RC
Inicialmente, obtemos a função de transferência deste circuito. Temos,
H(s) =
1
1 + sRC
Depois, trocamos s por jω,
H(jω) =
1
1 + jωRC
Daı́, para a resposta em amplitude,
1
M (ω) = |H(jω)| = p
1 + (ωRC)2
e para a resposta em fase,
φ(ω) = ∠H(jω) = −atan(ωRC)
Utilizando o Scilab, obtemos as curvas mostradas na Figura ??.
5.2
Curvas de Bode
Em 1940, H. W. Bode desenvolveu um método baseado em assı́ntotas para
representar a resposta em freqüência. A resposta em freqüência, como vimos,
depende diretamente da função de transferência do circuito.Em geral, a função de
transferência é escrita na forma :
H(s) =
N (s)
D(s)
Nesta função, são possı́veis os seguintes termos :
• Termo constante - Neste caso, a função de transferência é escrita na forma :
H(s) = k
• Termo s - O termo s pode estar no numerador ou no denominador de H(s),
H(s) = s±1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
50
• Termo (1+sτ ) - Neste caso, (1+sτ ) pode estar no numerador ou no denominador
de H(s),
H(s) = (1 + sτ )±1
• Termo quadrático - H(s) pode ser escrito na forma :
H(s) = (as2 + bs + c)±1
Vamos apresentar as assı́ntotas de Bode para cada um dos itens apresentados.
5.2.1
H(s) com termo constante
Temos, substituindo s por jω :
H(jω) = k ⇒
|H(jω)| = k
∠H(jω) = 0
Então, em dB, temos :

 > 0;
= 0;
20log|H(jω)| = 20logk =

< 0;
para
para
para
k>1
k=1
k<1
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.3
20log|H(j ω)|, db
20logk
ω ,rad/s
φ( jω)
ω ,rad/s
Figura 5.3: Resposta em freqüência para H(jω) = k
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
5.2.2
51
H(s) com termo s
Vamos considerar, inicialmente, s no numerador de H(s). Temos, substituindo s
por jω :
|H(jω)| = |jω| = ω
H(jω) = jω ⇒
∠H(jω) = 90o
Em dB, temos :
20log|H(jω)| = 20logω
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.4
20log|H(j ω)|, db
20db/dec
20
0.1
0
10
ω ,rad/s
−20
φ( jω)
90
ω ,rad/s
Figura 5.4: Resposta em freqüência para H(jω) = jω
Podemos observar que a inclinação da reta no gráfico da resposta em amplitude
é de 20dB/dec. Isso significa que, à cada década, a amplitude aumenta em 20 dB.
O conceito de década é explicado a seguir. Vamos considerar que a relação entre
duas freqüências, ω1 e ω2 , seja dada por :
ω1
= 10k
ω2
O expoente k é o número de décadas entre ω1 e ω2 .
Se a relação for dada por :
ω1
= 2m ,
ω2
o expoente m é o numero de oitavas entre ω1 e ω2 .
Considerando s no denominador,
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
1
H(jω) =
⇒
jω
52
1
|H(jω)| = | jω
|=
∠H(jω) = −90o
1
ω
Em dB, temos
20log|H(jω)| = −20logω
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.5
20log|H(j ω)|, db
20
10
0
ω ,rad/s
0.1
−20
−20dB/dec
φ( jω)
ω ,rad/s
−90
Figura 5.5: Resposta em freqüência para H(jω) =
5.2.3
1
jω
H(s) com termo 1 + τ s
Vamos considerar, inicialmente, 1 + τ s no numerador de H(s). Temos, substituindo s por jω :
√
|H(jω)| = 1 + ω 2 τ 2
H(jω) = 1 + jωτ ⇒
∠H(jω) = atanωτ
Daı́, em dB, temos
20log
e
p

para
ω τ1
 0;
3;
para
ω = τ1
1 + ω2τ 2 =

20logω + 20logτ ;
para
 o
 0 ;
45o ;
atanωτ =
 o
90 ;
para
para
para
ω τ1
ω = τ1
ω τ1
ω
1
τ
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
53
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.6
20log|H(j ω)|, db
20 dB/dec
3 dB
1/ τ
ω,rad/s
φ( jω)
90
45
0
1/ τ
ω,rad/s
Figura 5.6: Resposta em freqüência para H(jω) = 1 + jωτ
Vamos considerar o termo 1 + τ s no denominador de H(s). Temos, substituindo
s por jω :
(
1
|H(jω)| = √1+ω
1
2τ 2
H(jω) =
⇒
1 + jωτ
∠H(jω) = −atanωτ
Em dB, temos

para
ω τ1
 0;
1
−3;
para
ω = τ1
20log √
=
1 + ω 2 τ 2  −20logω − 20logτ ;
para
e
 o
 0 ;
−45o ;
−atanωτ =

−90o ;
para
para
para
ω
1
τ
ω τ1
ω = τ1
ω τ1
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.7
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
54
20log|H(j ω)|, db
1/ τ
ω ,rad/s
φ( jω)
1/ τ
ω ,rad/s
0
−45
−90
Figura 5.7: Resposta em freqüência para H(jω) =
5.2.4
1
1+jωτ
H(s) com termo s2 + as + b
Considerando, inicialmente, o termo no numerador, a função H(s) pode ser
escrita na forma :
H(s) =
s2 + 2ξωn s + ωn2
2ξ
1
=1+
s + 2 s2
2
ωn
ωn
ωn
Fazendo s = jω, temos :
H(jω) = 1 −
2ξω
ω2
+j
ωn2
ωn
O módulo de H(jω) é
1
ω2
4ξ 2 ω 2 2
|H(jω)| =
1− 2 +
ωn
ωn2
Então,
ω2
4ξ 2 ω 2
20log|H(jω)| = 10log 1 − 2 +
dB
ωn
ωn2
e
∠H(jω) = atan
1
2ξω
ωn
2
− ωω2
n
As assı́ntotas são, então, dadas por :

para
ω ωn
 0;
20log2ξ;
para
ω = ωn
20log|H(jω)| =

40logω − 40logωn ;
para
ω ωn
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
e
 o
 0 ;
90o ;
∠H(jω) =

180o ;
55
ω ωn
ω = ωn
ω ωn
para
para
para
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.8
Figura 5.8: Resposta em freqüência para H(jω) =
Considerando,agora, o termo no denominador, a função H(s) pode ser escrita na
forma :
H(s) =
ωn2
=
s2 + 2ξωn s + ωn2
1+
1
2ξ
ωn s
+
1 2
2s
ωn
Fazendo s = jω, temos :
H(jω) =
1
1−
ω2
2
ωn
+ j 2ξω
ωn
O módulo de H(jω) é
|H(jω)| = 1−
ω2
2
ωn
1
2
+
4ξ 2 ω 2
2
ωn
1
2
Então,
ω2
4ξ 2 ω 2
dB
20log|H(jω)| = −10log 1 − 2 +
ωn
ωn2
e
∠H(jω) = −atan
1
2ξω
ωn
2
− ωω2
n
As assı́ntotas são, então, dadas por :

para
ω ωn
 0;
−20log2ξ;
para
ω = ωn
20log|H(jω)| =

−40logω + 40logωn ;
para
e
ω ωn
 o
para
ω ωn
 0 ;
−90o ;
para
ω = ωn
∠H(jω) =

−180o ;
para
ω ωn
Os gráficos de resposta em amplitude e resposta em fase são mostrados na Figura
5.9
Figura 5.9: Resposta em freqüência para H(jω) =
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
5.2.5
56
Freqüência de Ressonância
Pelos gráficos apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, observamos que, próximo à
freqüência ω = ωn ocorre um pico. Este pico, chamado de pico de ressonância,
depende do valor da constante de amortecimento, ξ. Para obter este valor de pico,
vamos considerar, sem perda de generalidade,
|H(jω)| = h
1
2
1 − ωω2 +
n
4ξ 2 ω 2
2
ωn
i1
2
O valor máximo de |H(jω) ocorre quando o seu denominador for mı́nimo. Então,
considerando,
2
ω2
4ξ 2 ω 2
f (ω) = 1 − 2
+
ωn
ωn2
Para
df (ω)
=0
dω
obtemos
ω = ωr = ωn
com
p
1 − 2ξ 2
1
0≤ξ≤ √
2
A freqüência ωr é chamada de freqüência de ressonância. Fazendo ω = ωr na
equação para |H(jω)|, temos:
Mr = M ax|H(jω)| =
com
1
2ξ
p
Mr = M ax|H(jω)| = 2ξ
p
1 − ξ2
1
0≤ξ≤ √
2
Para o termo quadrático no numerador,
1 − ξ2
Capı́tulo 6
Série de Fourier em Análise de
Circuitos
6.1
Introdução
A teoria de Fourier é aplicada diversas áreas :
- Análise de Sistemas Lineares
- Teoria de Antenas
- Óptica - difração
- Modelagem de Fenômenos Aleatórios
- Teoria da Probabilidade
- Fı́sica Quântica
- Problemas de Valor de Contorno
O objetivo é decompor uma função, ou sinal, em senóides de freqüências diferentes. Algumas formas de onda não-senoidais são importantes na análise de circuitos.
Na Figura 6.1
57
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
H(s)
58
Σ
ENTRADA
SAÍDA
Decomposição por
Fourier
Figura 6.1: Decomposição de um sinal por Fourier
6.2
A Série Trigonométrica de Fourier
Um sinal f (t) é periódico se
f (t) = f (t ± T )
para algum valor de T > 0 e para todo t. Na equação anterior,
T é o perı́odo de f (t). Define-se T0 , o perı́odo fundamental de f (t), como o
menor valor positivo real de T para o qual a equação anterior é válida
f0 =
1
T0
é a freqüência fundamental em Hz, e
ω0 = 2πf0 =
1
T0
é a freqüência angular fundamental, em rad/s.
Um sinal periódico f (t) pode ser decomposto através da equação :
∞
f (t) =
a0 X
+
[an cos(nω0 t) + bn sen(nωt)]
2
n=1
onde an e bn são coeficientes a serem determinados. A expressão anterior é a
série trigonométrica de Fourier.
Fazendo :
a0
2
1
= (a2n + b2n ) 2
bn
= atan(− )
an
d0 =
dn
θn
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
59
podemos escrever a série trigonométrica em uma forma mais compacta :
f (t) = d0 +
∞
X
dn cos(nω0 t + θn )
n=1
onde :
d0 - é o valor médio de f (t). Em teoria de circuitos, d0 representa a componente
dc de f (t).
d1 cos(ω0 t + θ1 ) - é a componente fundamental ou primeira harmônica de f (t)
d2 cos(ω0 t + θ2 ) - é a segunda harmônica de f (t)
e assim por diante. Usando a identidade de Euler, podemos escrever :
cosx =
ejx + e−jx
2
senx =
ejx − e−jx
2j
e
Usando a expressão para a série trigonométrica,
∞
f (t) =
=
a0 X
+
[an cos(nω0 t) + bn sen(nωt)]
2
n=1
∞ a0 X
ejnω0 t + e−jnω0 t
ejnω0 t − e−jnω0 t
+
an
+ bn
2
2
2j
n=1
=
∞
X
cn ejnω0 t
n=−∞
com
c−n
1
cn = (an − jbn )
2
1
= (an + jbn ) = c∗n
2
e
an = 2Re[cn ]
bn = −2Im[bn ]
onde os operadores Re[] e Im[] representam, respectivamente, “parte real de” e
“parte imaginária de”e
d0 = c0
dn = 2|cn |;
θn = ângulo de cn
n = 1, 2, 3 . . .
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
A expressão,
∞
X
f (t) =
60
cn ejnω0 t
n=−∞
com
t0 +T0
Z
1
cn =
T0
f (t)e−jnω0 t dt
t0
define a série exponencial, ou série complexa, de Fourier.
Exemplo - obter a série trigonométrica de Fourier para a onda quadrada mostrada na Figura 6.2
f(t)
A
...
...
−T
−T/4
T/4
t
T
Figura 6.2: Onda quadrada
Usando a expressão
1
cn =
T0
t0 +T0
Z
t0
temos
c0 =
e
cn =
1
T
Z
T
4
−T
4
f (t)e−jnω0 t dt
A
2
Ae−jnω0 t dt;
n 6= 0
Então,
cn =
T
A
4
[e−jnω0 t ] −T
−jnω0 T
4
Daı́,
A
nπ
sen( )
nπ
2
Como é pedida a série trigonométrica, temos
cn =
an = Re[cn ] =
A
nπ
sen( );
nπ
2
bn = 0
e, então,
f (t) =
A 2A
1
1
+
[cos(ωo t) − cos(3ω0 t) + cos(5ω0 t) − . . .
2
π
3
5
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
6.3
61
Translação de Gráficos
A translação de um gráfico é um movimento horizontal e/ou vertical sem rotação.
A translação vertical causa modificações no nı́vel dc do sinal. Afeta, portanto,
apenas os coeficientes a0 , d0 e c0 . A translação horizontal causa um deslocamento
no tempo. Este deslocamento modifica apenas os valores dos ângulos θn
Sejam cn os coeficientes da série exponencial de Fourier de uma função periódica
f (t) e sejam ĉn os coeficientes da série exponencial de Fourier para uma função
periódica g(t). Se g(t) for uma translação de f (t) consitindo de um acréscimo k do
nı́vel dc e de um atraso td , podemnos escrever
g(t) = f (t − td ) + k
com
ĉ0 = c0 + k
e
ĉn = cn ejnω0 td
n = ±1, ±2, ±3, . . .
para
Exemplo - obter a série trigonométrica de Fourier para o sinal apresentado na
Figura 6.3
f(t)
A/2
...
...
−T
T
t
−A/2
Figura 6.3: Onda quadrada deslocada em relação à onda do Exemplo anterior
Por comparação, observamos que g(t) é originada de uma translação da função
f (t) do Exemplo anterior. Especificamente,
g(t) = f (t −
A
T
)−
4
2
Então,
td =
T
4
k=
A
2
e
Desta forma,
ĉ0 = 0
e
π
ĉn = cn e−jn 2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
62
Portanto,
2π
π
1
3π
1
5π
g(t) =
cos(ω0 t − ) − cos(3ω0 t −
) + cos(5ω0 t −
) − ...
A
2
3
2
5
2
ou
2π
1
1
g(t) =
sen(ω0 t) + sen(3ω0 t) + cos(5ω0 t) + . . .
A
3
5
Exemplo - considere o circuito mostrado na Figura 6.4-a tendo como tensão de
entrada, vi (t), o sinal mostrado na Figura 6.4-b. Obter a tensão de saı́da, v0 (t) sobre
o capacitor, em regime permanente. Considerar E = 30π e T = 4s.
1Ω
+
v i(t)
1F
v o(t)
(a)
v i(t)
E
...
...
−T
T
t
(b)
Figura 6.4: Obter a tensão v0 (t)
Como temos um sinal periódico não-senoidal e desejamos obter a resposta em
regime permanente (que pressupõe uma entrada senoidal, como vimos anteriormente), devemos representar vi (t) através da série trigonométrica de Fourier. Se
considerarmos o sinal representado no primeiro Exemplo deste Capı́tulo, vemos que
vi (t) pode ser escrito como :
g(t) = f (t −
T
)+0
4
Então,
td =
T
4
e
k=0
Desta forma,
ĉ0 =
e
A
E
=
2
2
π
ĉn = cn e−jn 2
Portanto,
1
3π
1
5π
E 2π
π
vi (t) =
+
cos(ω0 t − ) − cos(3ω0 t −
) + cos(5ω0 t −
) − ...
2
A
2
3
2
5
2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
ou
63
E 2π
1
1
vi (t) =
+
sen(ω0 t) + sen(3ω0 t) + cos(5ω0 t) + . . .
2
A
3
5
Substituindo os valores de E e T , temos :
vi (t) = 15π + 60sen(ω0 t) + 20sen(3ω0 t) + 12sen(5ω0 t) + . . .
Como a resposta em regime permanente para cada uma das parcelas senoidais
de vi (t) é dada por :
r(t) = M sen(ω0 t + φ)
com
M = A|H(jω)|
e
φ = ∠H(jω)
temos que obter H(s) e, depois, fazer s = jω. Para o circuito dado, temos :
H(s) =
1
V0 (s)
=
Vi (s)
s+1
e, então,
|H(jω) = √
1
1 + ω2
e
φ = −atanω
Os cálculos são mostrados na Tabela
Freqüência ω0
0
0.5 π
1.5 π
2.5 π
Amplitude Entrada
15 π
60
20
12
Fase Entrada
0
0
0
0
|H(jω)|
1
0.5370
0.2076
0.1263
Amplitude M
15 π
32.22
4.150
1.516
Fase φ
0
-57.52
-78.02
-82.74
Assim,
v0 (t) = 15π + 32.22sen(ω0 t − 57.52) + 4.150sen(3ω0 t − 78.02) + 1.1516sen(5ω0 t − 82.74) + . . .
Capı́tulo 7
Quadripolos
7.1
Introdução
Os quadripolos são dispositivos com dois pares de terminais. Cada par de terminais definem uma porta. Na Figura 7.1, mostramos um quadripolo com suas
grandezas associadas.
I1
V
1
I2
QUADRIPOLO
V2
Figura 7.1: Quadripolo com grandezas associadas
Na Figura 7.1, V1 e I1 são, respectivamente, a tensão e a corrente na porta de
entrada do quadripolo enquanto V2 e I2 são, respectivamente, a tensão e a corrente
na porta de saı́da do quadripolo.
Na análise de circuitos através de quadripolos, utilizamos relacionamentos entre
as grandezas I1 , V1 , I2 e V2 . Estes relacionamentos são chamados de parâmetros do
quadripolo.
7.2
Parâmetros Z
Neste caso, o relacionamento entre as grandezas do quadripolo é escrito na
forma:
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
ou, na forma matricial,
Z1,1 Z1,2
Z=
Z2,1 Z2,2
64
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
65
Os parâmetros Zij podem ser obtidos através das equações :
V1 Z11 =
I1 I2 =0
V2 Z21 =
I1 I2 =0
V1 Z12 =
I2 I1 =0
V2 Z22 =
I2 I1 =0
O termo Z11 é chamado de impedância de entrada em circuito aberto, Z22 é a
impedância de saı́da em circuito aberto e Z12 e Z21 são as impedâncias de transferência (trans-impedâncias) em circuito aberto. Os parâmetros Z são chamados de
impedância em circuito aberto.
A obtenção dos parâmetros Z pode ser feita utilizando-se as equações anteriores,
com as respectivas modificações no circuito, ou diretamente através da utilização
das leis das malhas ou dos nós.
Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.2.
I1
4I 2
+
3Ω
I2
+
+
V
1
V
2
0.1 F
Figura 7.2: Quadripolo1
Utilizando a lei das malhas, e lembrando que a análise é feita no domı́nio da
freqüência, temos
10
(I1 + I2 )
s
10
= 3I2 + (I1 + I2 )
s
V1 = 4I2 +
V2
ou
V1 =
V2 =
10
I1 + (4 +
s
10
I1 + (3 +
s
10
)I2
s
10
)I2
s
10
Então,
Z=
s
10
s
4+
3+
10
s
10
s
Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.3.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2
I1
66
I2
R2
+
+
V
1
R1
R3
V
2
Figura 7.3: Quadripolo2
Utilizando a lei das malhas, temos :
V1 = R1 I1 − R1 I3
V2 = R3 I2 + R3 I3
0 = −R1 I1 + R3 I2 + (R1 + R2 + R3 )I3
Então,
1
R1 (R2 + R3 )
R1 R 3
Z=
R1 R 3
R3 (R1 + R2 )
R 1 + R2 + R3
7.3
Parâmetros Y
O relacionamento entre as grandezas do quadripolo, neste caso, é escrito na
forma:
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
I2 = Y21 V1 + Y22 V2
ou, na forma matricial,
Y1,1 Y1,2
Y =
Y2,1 Y2,2
Os parâmetros Yij podem ser obtidos através das equações :
I1 Y11 =
V1 V2 =0
I2 Y21 =
V1 V2 =0
I1 Y12 =
V2 V1 =0
I2 Y22 =
V2 V1 =0
O termo Y11 é chamado de admitância de entrada em curto-circuito, Y22 é a
admitância de saı́da em curto-circuito e Y12 e Y21 são as admitâncias de transferência
(trans-admitâncias) em curto-circuito. Os parâmetros Y são, portanto, chamados
de admitâncias em curto-circuito.
Apêndice A
Transformadas de Laplace - Resumo
• Definição
L [f (t)] = F (s) =
Z
∞
f (t)e−st dt
0−
• Propriedades
1. Proporcionalidade
L [kf (t)] = kL [f (t)]
2. Linearidade
X
X
L[
fi (t)] =
L [fi (t)]
i
i
3. Diferenciação
df (t)
L
= sF (s) − f (0− )
dt
dn f (t)
0
L
= sn F (s) − sn−1 f (0− ) − sn−2 f (0− ) − ... − f n−1 (0− )
n
dt
4. Integração
L
Z
τ
0−
f (t)dt =
F (s)
s
5. Deslocamentos
– Domı́nio do tempo
L [f (t − a)u(t − a)] = e−as F (s − a)
– Domı́nio da freqüência
L [eat f (t)] = F (s − a)
6. Multiplicação por t
dF (s)
ds
dn F (s)
L [tn f (t)] = (−1)n
dsn
L [tf (t)] = −
67
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2
68
• Transformadas
– Funções Singulares
1. Função degrau unitário
L [u(t)] =
1
s
L [ρ(t)] =
1
s2
2. Função rampa unitária
3. Função impulso unitário
L [δ(t)] = 1
– Funções Ordinárias
f (t) ←→ F (s)
1
eat u(t) = s−a
1
te−at = (s+a)
2
f (t) ←→ F (s)
ω
senωt = s2 +ω
2
s
cos(ωt) = s2 +ω2
Referências Bibliográficas
[*]
LATEX
[1] Klaus Steding-Jessen, LATEX Demo : Exemplos com LATEX 2ε , 2000, disponı́vel
em http://biquinho.furg.br/tex-br
[2] H. Kopka, P.W. Daly, A Guide to LATEX - Document Preparation for Beginners
and Advanced Users, Addison Wesley, 1993.
[3] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison
Wesley, 1994.
[*]
Scilab
[4] Scilab Group, Introduction to Scilab - User’s Guide. Esta referência, e as outras
escritas pelo Scilab Group, podem ser obtidas em http://www-rocq.inria.fr.
[5] Paulo S. Motta Pires, Introdução ao Scilab - Versào 0.1, pode ser obtida em
http://www.leca.ufrn.br/~pmotta
[*]
Circuitos
[6] F. F. Kuo, Network Analysis and Synthesis, Second Edition, John Wiley, 1966
[7] Prof. Walmir Freire, Notas de Aula do Curso de Circuitos Elétricos II, DEEUFRN
[8] D. E. Johnson, J. L. Hilburn, J. R. Johnson, P. D. Scott, Basic Electric Circuit
Analysis, 5th Ed., 1995, Prentice Hall
[9] R. A. DeCarlo, P-M. Lin, Linear Circuit Analysis, 1995, Prentice Hall
69