7ª Série de Problemas Mecânica e Ondas

7ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
2008/09
1. A distância do Sol a Terra é, por definição, uma unidade astronómica (U.A.).
Um satélite artificial foi colocado em órbita circular em torno do Sol, com um
período de 8 anos terrestres.
1.a) Qual é o raio da órbita do satélite em U.A.? [4 U.A.]
1.b) Qual seria a resposta à alínea a), se a força gravitacional fosse
proporcional a 1/r3 em vez de 1/r2? [2.83 U.A.]
1.c) Qual a relação entre o raio da órbita e o seu período, no caso geral em
que a força gravitacional varia com 1/rn (n > 0)? (3a Lei de Kepler
generalizada.) [rn+1/T2=cte.]
2. Um meteoro de massa m aproxima-se do Sol (M=1.989x1030 Kg). A grande
distância, a sua velocidade é de 500 m/s, estando apontado a 1012 m do centro
do Sol (ver figura). G=6.67x10-11 N.m2.Kg-2.
2.a) Determine a distância mínima a que o meteoro passa do centro do Sol.
[9.42x108 m]
2.b) Qual a velocidade do meteoro quando passa no ponto mais próximo do
Sol? [5.3x105 m/s]
2.c) Sabendo que o raio do Sol é 6,95×108 m, que valor mínimo pode ter o
parâmetro de impacto b para que o meteoro não caia no Sol? Sugestão:
Repare que o momento angular inicial do meteoro é mbv (Porquê?).
[8.5x1011 m]
3. Uma nave espacial de massa m =12×103 kg encontra-se numa órbita circular em
torno da Lua, a uma distância h = 100 km da sua superfície. Em determinado
momento a nave pretende “alunar” pelo que vai accionar os seus motores durante um
período muito pequeno. Duas trajectórias para “alunar” são possíveis, representadas
na figura da página seguinte por 1 e 2. Na trajectória 1 a nave desce em linha recta em
direcção à Lua. e na trajectória 2 a nave “aluna” no ponto diametralmente oposto,
tangencialmente à superfície da Lua.
3.a) Determine a energia total da nave, o seu período e momento angular na
trajectória circular (antes de iniciar a “alunagem”).
3.b) Determine a energia total e o momento angular da nave nas trajectórias 1
e 2.
3.c) Calcule a velocidade de chegada ao solo nas trajectórias 1 e 2. Calcule a
massa de combustível que a nave necessita de ejectar durante a travagem
para que entre nas trajectórias 1 e 2, pressupondo que o combustível é
ejectado instantaneamente com uma velocidade de u =104 m/s relativamente
à nave.
4. Considere um objecto de massa m que se move sem atrito sobre uma mesa,
preso por um fio de comprimento l a outro objecto, de massa M (ver figura na
página seguinte). Este último desloca-se na vertical. Suponha o fio inextensível.
4.a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano. [2]
4.b) Como varia o lagrangeano do sistema quando este sofre uma rotação em
torno da vertical (eixo zz)? [é invariante]
4.c) Escreva as equações de Lagrange e use-as para mostrar que o momento
angular do sistema se conserva.
4.d) Imprimindo uma certa velocidade inicial à massa m é possível fazer com
que esta tenha movimento circular. Calcule essa velocidade em função do
raio da trajectória pretendida (indique também a direcção e o sentido).
[ω=(Mg/mr)0.5]
4.e) Como varia, nas condições da alínea d), o raio da trajectória com
período? (Compare com a 3a Lei de Kepler para o movimento dos planetas!)
[T/r0.5=cte]
5. Uma bailarina está rodando em torno de si própria, com velocidade angular
de meia volta por segundo, quando tira duas bolas do seu avental e colocandoas uma em cada mão, levanta e estica os braços (na horizontal) afastando as
bolas do corpo. Considere que a bailarina pesa 50 kg, que o momento de inércia
dela em relação ao eixo vertical em torno do qual roda é I=7 kgm-2, que cada
massa pesa 1 kg, e que o comprimento do braço (até ao centro do corpo) é r=0,8
m. Considere que os braços esticados estão a 1,4 m do solo.
5.a) Qual a velocidade de rotação da bailarina quando esticou os braços ?
(Justifique) [2.54 rad/s]
5.b) Num dado instante, a bailarina deixou cair as bolas. Há alteração da
velocidade de rotação da bailarina ? Porquê ? Qual a distância entre as bolas
quando caem no chão ? [Não. 2.70 m]
5.c) Se uma das bolas caisse em cima de uma balança ao nível do solo,
quanto marcaria a balança no curto intervalo de tempo do impacto (0,1 s) e
considerando apenas choques elásticos? [104.8 N]