4a Lista de Exercıcios de Introduç˜ao `a Teoria dos Números

4a Lista de Exercı́cios de Introdução à Teoria dos Números
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: Licenciatura em Matemática
1. Determine quais dos seguintes números são primos, usando o Teorema 23.
(a) 101 (b) 103 (c) 107 (d) 211 (e) 213 (f ) 221
2. Encontre todos os primos da forma a4 − b4 , com a e b inteiros positivos.
3. Mostre que nenhum inteiro da forma n3 + 1 é primo, exceto 2 = 13 + 1 e −7 = (−2)3 + 1.
4. Mostre que se a e n são inteiros positivos, com n ≥ 2, tais que an − 1 é primo, então
necessariamente a = 2 e n é primo.
Sugestão: Se a ≥ 3, sendo n ≥ 2, temos an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + . . . + a + 1). Se
a = 2 e n ≥ 2 é um número composto, então n = k · l, com 2 ≤ k < n e 2 ≤ l < n. Agora,
faça uso da identidade
akl − 1 = (ak )l − 1 = (ak − 1)(ak(l−1) + ak(l−2) + . . . + ak + 1).
5. Demonstre que, para cada inteiro positivo n, todo fator primo do inteiro n! + 1 é maior
que n. Conclua, então, por uma nova demonstração, que o conjunto dos números primos
é infinito.
6. Demonstre que, para cada inteiro positivo n, existe ao menos uma sequência de n inteiros
consecutivos, todos compostos, ou seja, no conjunto dos números inteiros positivos há
espaços de inteiros consecutivos tão grandes quanto quisermos, sem a presença de um
único número primo.
Sugestão: Fixado um inteiro positivo n, considere os n inteiros consecutivos
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + n, (n + 1)! + (n + 1).
7. De acordo com o exercı́cio 6 , os sete inteiros consecutivos, a partir de 8! + 2(= 40322),
são compostos. Indique como fazer uma lista com um milhão de inteiros consecutivos
compostos.
8. Existem muitos pares de primos “consecutivos” diferindo entre si por duas unidades,
sendo por isso chamados de primos gêmeos. Alguns exemplos de primos gêmeos são 3 e 5,
5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 101 e 103. A existência de um número infinito de pares de primos
gêmeos é uma conjectura matemática famosa (um problema em aberto). Mostre que não
existem primos trigêmeos p, p + 2 e p + 4, a não ser 3, 5 e 7.
9. Demonstre que qualquer inteiro n ≥ 12 é a soma de dois inteiros compostos.
Sugestão: Sendo n ≥ 12, se n é par, n = 8 + (n − 8). Se n é ı́mpar, n = 9 + (n − 9).
10. Na Idade Média, acreditava-se que o polinômio p(x) = x2 + x + 41 só assumia valores primos. Essa afirmação é verdadeira para valores menores ou iguais a 39. Mostre, entretanto,
que p(40) é um número composto.