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2
Trigonometria Para Leigos
descobrir a respeito de identidades e de solução de equações. Mas se sua
praia são as artes, este livro tem gráficos trigonométricos simples,
complicados e tudo que estiver no meio.
Convenções Usadas Neste Livro
Para ajudá-lo a navegar por este livro, estabeleci algumas convenções.
5 Já que as palavras em matemática são muito precisas, eu as enfatizei
usando o itálico para que se dê conta de que se deparou com um
termo ou idéia importante. Se apenas quiser pesquisar um termo
sem ter que procurá-lo pelos capítulos, vá para o glossário.
5 Utilizei todos os símbolos usuais para a adição, subtração,
multiplicação, divisão e raízes. Todos os símbolos estão dentro do
padrão – nada muito chamativo.
5 Providenciei muitos exemplos em formato passo a passo, com
explicações para cada procedimento.
Suposições Sem Importância
Eu realmente seria muito tola se acreditasse que você está lendo o
Trigonometria Para Leigos, pois ele parece mais interessante do que o
último best-seller. Mas, não sou! E para ser honesta, a trigo não seria
minha primeira escolha para uma leitura divertida. Por isso, acredito que
você esteja lendo este livro porque realmente deseja. Enquanto escrevia o
livro, também fiz outras suposições sobre você:
5 Você tem um objetivo em mente: quer conquistar alguns dos tópicos
presentes neste livro para se preparar para um curso que tem em
mente.
5 Você possui um sólido conhecimento em álgebra e consegue resolver
uma simples equação sem se perder completamente.
5 Você está planejando participar de um programa de perguntas e
respostas como o Show do Milhão e precisa se preparar para as
possíveis perguntas sobre trigonometria.
O Que Você Não Precisa Ler
Diferente de livros de literatura, você não tem que ler este livro de capa
a capa. Os capítulos são independentes, então você não precisa revisar
muito. Eu tento explicar os conceitos da maneira mais clara possível,
Introdução
usando os termos populares para que fique divertido e instrutivo. A
propósito, os textos dentro das caixas acinzentadas (muito comuns nos
livros da série Para Leigos) é de leitura completamente opcional. Algumas
vezes, precisei mudar de assunto e essas caixas são muito boas para esse
tipo de situação.
Como Este Livro Está Organizado
Este livro realmente é organizado. Os tópicos estão agrupados de acordo
com o assunto de que tratam e seguem uma ordem lógica.
Parte I: Os Fundamentos
Esta parte tem tudo o que você precisa se quiser revisar geometria,
especialmente triângulos. Encontrará diferentes formas e construções
de triângulos, que são muito úteis em trigonometria – mas o resto sobre
geometria, eu omiti. Também lhe mostrarei muitas maneiras de medir
um ângulo e, para revisar, focaremos na grande diferença entre graus e
radianos. Uma vez que a trigo se baseia em funções, também falarei um
pouco sobre funções em geral. E, como provavelmente você já esperava,
este livro está cheio de gráficos e equações, todos discutidos para não
deixá-lo no escuro.
Parte II: Funções Trigonométricas
Esta parte introduz as funções trigonométricas – primeiro, eu as mostrarei
utilizando triângulos retângulos e, então, o círculo unitário. É mais fácil
compreender o triângulo retângulo, além disso, o Pitágoras (lembra
dele na álgebra?) também entra em cena. No entanto, o círculo unitário
é necessário, pois você deve saber lidar com situações sem utilizar
triângulos. As definições de um triângulo retângulo nos proporcionam
ótimas aplicações, que também estão descritas nesta parte do livro.
Parte III: Identidades
Aqui você chega ao coração da trigonometria a partir do momento
que descobre como as diferentes funções estão inter-relacionadas.
Apresentarei as identidades em grupos para lhe ajudar a memorizá-las
e entender quando deve aplicá-las. E para você, que é do tipo curioso e
simplesmente quer saber de onde vem tudo, incluí um capítulo inteiro
sobre a resolução dessas identidades, para lhe mostrar como elas
surgiram e como você pode usá-las.
3
10
Parte I: Os Fundamentos
Analisando as formas básicas
Segmentos, semirretas e linhas são algumas das formas básicas em
geometria e, na trigonometria, elas são quase tão importantes quanto.
Como explicarei nas seções a seguir, você usará esses segmentos,
semirretas e linhas para formar ângulos.
Desenhando segmentos, semirretas e linhas
Um segmento é uma linha desenhada entre dois pontos. Geralmente o
denominamos por seus dois pontos, que são indicados por letras
maiúsculas. Às vezes, uma única letra dá nome a um segmento, mas uma
letra minúscula geralmente se refere a um ângulo oposto àquele segmento.
Uma semirreta também é uma linha que possui um ponto em uma
extremidade e continua seguindo em uma direção especifica. As semirretas
são denominadas, primeiro, por sua extremidade e, depois, por seu ponto.
Uma reta é uma linha infinita que segue em ambas as direções. Você
necessita apenas de dois pontos para determinar uma linha em particular
– e apenas uma linha pode passar por esses dois pontos. Você pode
denominar uma linha por qualquer um de seus dois pontos.
A figura 1-1 mostra um segmento, uma semirreta e uma linha.
B
Figura 1-1:
Segmento
AB,
semirreta
CD e linha
EF.
A
D
C
E
F
Linhas de interseção
Quando duas linhas se cruzam – se elas realmente se cruzarem –, elas
apenas poderão se encontrar em um único ponto. Duas linhas não podem
voltar e se cruzar em outro ponto novamente. Algumas coisas curiosas
acontecem quando duas linhas se encontram. Os ângulos que se formam
entre essas duas linhas se relacionam entre si. Dois ângulos que estejam
próximos um do outro, compartilhando tum mesmo lado, são denominados
ângulos adjacentes. Na Figura 1-2, as linhas AB e CD se encontram no ponto E.
Os dois ângulos abaixo da linha CD (numerados como 1 e 2) são adjacentes
entre si. E também o são os ângulos à direta da linha AB (numerados como 2
e 3), os ângulos à esquerda da linha AB (numerados como 1 e 4) e os ângulos
acima da linha CD (numerados como 3 e 4). Portanto, essa interseção possui
quatro pares diferentes de ângulos adjacentes.
Os ângulos que se opõem entre si quando duas linhas se cruzam também
recebem um nome especial. Os matemáticos costumam denominá-los
ângulos verticais. Esse tipo de ângulo não possui um lado em comum. É
Capítulo 1: Vencendo com Tecnicas Trigonométricas
possível encontrar dois pares de ângulos verticais na Figura 1-2; são eles o
par de ângulos à esquerda e à direita (numerados como 1 e 3) e os par
acima e abaixo (numerados como 2 e 4).
Figura 1-2:
Linhas de
interseção
formando
ângulos
adjacentes
e
suplementares.
B
C
4
1
3
E
2
A
D
Mas por que esses ângulos diferentes são tão especiais? Eles são diferentes
em virtude da maneira como interagem entre si. Os ângulos adjacentes,
aqui, são chamados de ângulos suplementares. Os lados não compartilhados
por eles formam uma reta, que mede 180° graus. Os ângulos verticais
sempre têm a mesma medida.
Angulando uma posição
Quando duas linhas, segmentos ou semirretas se tocam ou se cruzam, eles
formam um ângulo. No caso de duas linhas de interseção, o resultado são
quatro ângulos diferentes. Quando dois segmentos se interceptam, eles
podem formar um, dois ou quatro ângulos, dependendo de como se tocam,
como você pode ver na figura 1-3. O mesmo acontece com duas semirretas.
Esses exemplos são apenas algumas maneiras de como formar ângulos. A
geometria, por exemplo, diz que um ângulo se forma quando duas
semirretas possuem uma extremidade em comum. Em termos práticos,
você pode formar um ângulo de várias maneiras, a partir de várias formas.
A questão das duas semirretas se refere à possibilidade de estender os
dois lados de um ângulo para fora da figura para ajudar a determinar a
medida, fazer os cálculos e resolver os problemas práticos.
Podemos nos referir às partes de todos os ângulos da mesma forma. O local
onde as retas, segmentos ou semirretas se interceptam é denominado o
vértice do ângulo. É a partir do vértice que dois lados se estendem.
Denominando o ângulo de acordo com seu tamanho
Os ângulos podem ser denominados ou classificados de acordo com seu
tamanho ou sua medida em graus (veja a Figura 1-4):
5 Agudo: Um ângulo que mede entre 0° e 90° graus
5 Obtuso: Um ângulo que mede entre 90° e 180° graus
5 Reto: Um ângulo que mede exatamente 90° graus
5 Raso: Um ângulo que mede exatamente 180° graus (uma reta)
11
12
Parte I: Os Fundamentos
Figura 1-3:
As
diferentes
formas de
se criar um
ângulo.
Figura 1-4:
Tipos de
ângulos:
agudo,
obtuso, reto
e raso.
Nomeando os ângulos com o uso de letras
Como nominar um ângulo? E, por que ele precisa de um nome? Na maioria
dos casos, é necessário distinguir um ângulo, em especial, de todos os
outros ângulos encontrados em uma figura. Quando você vê uma foto no
jornal, você precisa saber o nome de cada uma das pessoas para poder
apontá-las. O mesmo acontece com os ângulos.
Podemos nomear um ângulo de três formas diferentes:
5 Pelo seu vértice: Geralmente, um ângulo é nomeado por seu vértice,
pois esta é uma maneira que facilita e organiza a leitura. Na Figura 1-5,
você pode nominá-lo como ângulo A.
5 Por um ponto de um dos lados, seguido pelo vértice e um ponto do
lado oposto: Por exemplo, você pode nomear o ângulo na Figura 1-5
como BAC ou CAB. Essa maneira pode ajudar se alguém não entender
a que ângulo da figura você possa estar se referindo. Lembre-se:
Certifique-se de que a letra referente ao vértice esteja no meio.
Capítulo 1: Vencendo com Tecnicas Trigonométricas
5 Por uma letra ou número escrito dentro do ângulo: Geralmente,
usa-se uma letra grega; na Figura 1-5, entretanto, o ângulo é
denominado pela letra w. Os números são usados com frequência
por uma questão de praticidade, caso você não esteja muito
familiarizado com as letras gregas ou caso você queira comparar
ângulos diferentes mais tarde.
B
Figura 1-5:
Nominando
um ângulo.
A
w
C
Triangulando sua posição
Os ângulos são realmente muito emocionantes. Mas quando você os
coloca em um triângulo, a coisa fica ainda mais interessante. Os triângulos
são uma das figuras geométricas mais estudadas, e os ângulos que os
formam são os responsáveis por muitas de suas características.
Os ângulos do triângulo
Um triângulo sempre possui três ângulos e a soma desses ângulos sempre
será igual a 180° - nem a mais e nem a menos. Os ângulos de um triângulo
denominado ABC são os ângulos A, B e C e podemos chamar seus lados de
AB, BC e AC, dependendo dos ângulos que se formam entre os lados. Os
ângulos podem ser agudos, obtusos ou retos. Se um triângulo possuir
tanto um ângulo obtuso quanto um ângulo reto, então os outros dois
ângulos devem obrigatoriamente ser agudos.
Nomeando os triângulos de acordo com sua forma
Os triângulos recebem nomes especiais de acordo com seus ângulos e
lados. Eles podem até mesmo receber mais do que um nome – um triângulo
pode ser chamado tanto de agudo quanto de isósceles, por exemplo. A
seguir, leia as definições de cada um e veja seu desenho na Figura 1-6:
5 Triângulo agudo: Um triângulo em que todos os ângulos são agudos.
5 Triângulo reto: Um triângulo com um ângulo reto (e os outros dois
obrigatoriamente agudos).
5 Triângulo obtuso: Um triângulo com um ângulo obtuso (e os outros
dois obrigatoriamente agudos).
5 Triângulo isósceles: Um triângulo em que dois ângulos possuem a
mesma medida e os lados opostos a esses ângulos também são iguais.
5 Triângulo equilátero: Um triângulo em que todos os ângulos medem
60° e todos os lados são iguais.
13
16
Parte I: Os Fundamentos
Cordas de um círculo
A corda de um círculo é um segmento desenhado a partir de um ponto a
outro no círculo (veja a Figura 1-8). Esse segmento sempre fica dentro do
círculo. A maior corda recebe o nome de diâmetro – todas as outras sempre
serão menores do que ela.
Tangentes a um círculo
A tangente a um círculo é uma reta, semirreta ou segmento que toca o exterior
de um círculo em exatamente um único ponto, como o ilustrado na Figura 1-9.
Ela nunca atravessa o círculo. Uma tangente não pode ser uma corda, pois a
corda intercepta o círculo em dois pontos, atravessando seu interior.
Figura 1-8:
As cordas
de um
círculo se
unindo a
dois pontos
dentro do
círculo.
Figura 1-9:
Tangentes a
um círculo.
Seccionando setores
O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de reta
que partem do centro para a circunferência (dois raios). Você pode imaginar
essa parte como sendo uma fatia de uma torta (veja a Figura 1-10).
Você pode encontrar a área do setor de um círculo se souber os ângulos
entre os dois raios. Um círculo tem 360° ao redor de seu centro, portanto, se
um setor possui um ângulo de 60° formando entre os dois raios, esse setor
ocupa 60/360, ou seja, 1/6 do total de graus do círculo. Nesse caso, o setor
possui 1/6 da área total do círculo.
20
Parte I: Os Fundamentos
cos 30°
0.866
tan 30°
0.577
cot 30°
1.732
sec 30°
1.155
csc 30°
2.000
Algumas características
apresentadas nathat
Tabela
1-2 confirmam
Some characteristics
the entries
in Tableque
1-2 as
confirm are that the sine
funções seno e cosseno
sempre
possuem
valores
quevalues
ficamthat
entre
e between and including –1
and cosine
functions
always
have
are
incluem -1 e 1. Além
disso,
as funções
secante
e cossecante
sempre
têm have values that are
and
1. Also,
the secant
and cosecant
functions
always
valores que são iguais
outomaiores
do que
menores
do –1.
queI discuss these properequal
or greater
than11ou
origuais
equal ou
to or
less than
in more detail
Chapter
7. no Capítulo 7.
-1. Discutirei essasties
propriedades
cominmais
detalhes
Você poderá encontrar
valores
de funções
trigonométricas
para values of trig functions for
Usingmais
the table
in the
Appendix,
you can find more
outras medidas departicular
ângulos (em
graus)
utilizando
a
tabela
no
Apêndice.
angle measures (in degrees):
tan 45° = 1
tan 45° = 1
csc 90° = 1
csc 90° = 1
sec 60° =2
sec 60° = 2
05_569031 ch01_3.qxd 5/23/06 12:37 PM Page 22
05_569031 ch01_3.qxd 5/23/06 12:37 PM Page 22
I chose
these
sample
values
sorespostas
the answers
looknúmeros
nice and whole. Remember
Escolhi esses valores
como
exemplo
para
que as
sejam
that
mosta angles
and
most
functions
look much
messier than these examples.
inteiros.
Lembre-se
de
que
maioria
dos
ângulos
e
das
funções
possui
05_569031 ch01_3.qxd 5/23/06 12:37 PM Page 22
uma aparência muito mais bagunçada do que a desses exemplos.
Domesticando
os radicais
aming
t e radicals
2222
O radical é um símbolo
matemático
que significa:
“encontre
número“Find
que the number that multiA radical
is a mathematical
symbol
thatomeans,
multiplicado
mesmo
uma
mais
vezes
resulta
no número
dentro
I: The
Basics por eleplies
itself
by ou
itself
one
or more
times
to give you
thedo
number under the radiPartPart
I: The
Basics
rather than all those words.
cal.” You
can see
why usamos
you use um
a symbol
such
as
ao
radical”. Você consegue
entender
porque
símbolo
como
Radicals
represent
functions
that are
used aque
lot são
in trigonometry. In Chapter 7,
invés de todas
essas
palavras.
Os
radicais
representam
funções
Part I: The
Basics
a right triangle’s
sides
by
the
Pythagorean
theorem,
you have
tosolve
com-for the lengths of
I trigonometria.
define
theusing
trig
functions
by
a right
triangle.
Capítulo
7,using
definirei
asyou
funções
amuito
rightutilizadas
triangle’sem
sides
by using
theNo
Pythagorean
theorem,
have toTo
compute
some
square
roots,
which
use
radicals.
Some
basic
answers
to
radical
trigonométricas,
usando
triângulo
reto. Para
descobrir
a medidato
dos
pute
some square
roots, um
which
use radicals.
Some
basic answers
radical
16 4,=
121 311
=
, 3 8 4 2, 4 =
6561 9 .
expressions
are=
lados
de um are
triângulo
usando
o
teorema
de
Pitágoras,
é
necessário
=
16 reto
4a,=
121
11
=
,
8
2
,
=
6561
9
.
expressions
right triangle’s sides by using the Pythagorean theorem, you have to com
calcular algumas raízes pute
quadradas,
que usam os radicais.
Algumas
respostas
some square
which
use
Someroots,
basic answers to radica
These examples are all perfect
squares,roots,
perfect
cubes,
orradicals.
perfect fourth
These
examples
are all expressions
perfect
squares,
perfect
cubes,
or11
perfect
fourth
roots,
3
4
básicas
para
expressões
de
radicais
são
=
16
4
,
=
121
=
,
8
2
,
=
6561
9
.
are
which means that the answer is a number that ends — the decimal doesn’t
go
which means that the answer is a number that ends — the decimal doesn’t go
on forever.
The são
following
section
discusses
a wayque
to simplify
radicals
that
Os
exemplos
acima
raízes
perfeitas,
o
que
significa
a
resposta
é
on forever. The following
section
discusses
a way to simplify
radicals
that
examples
are all
squares,
perfecta cubes,
aren’t
perfect
roots.These
sempre
um
número
– as casas
decimais
nãoperfect
são infinitas.
A seção
seguir or perfect fourth roots
aren’t
perfect
roots.finito
which means that the answer is a number that ends — the decimal doesn’
discute uma forma de simplificar os radicais que não são raízes perfeitas.
on forever. The following section discusses a way to simplify radicals that
Simplifying
radical
forms
aren’t
perfect roots.
Simplifying
radical
forms
Simplificando
radicais
Simplifying aos
radical
form means to rewrite it with a smaller number under
Simplifying a radical form means to rewrite it with a smaller number under
the radical
if possible.
You
can simplify
thisum
form
only if
the number
under
Simplificar
umif—
radical
significa
reescrevê-lo
com
número
menor
dentro
Simplifying
radical
forms
the
radical —
possible.
You can
simplify
this
form only
if the
number
under
the
radical
has
a
perfect
square
or
perfect
cube
(or
perfect
whatever
factor)
do radical
se possível.
simplificação
só é possível
se o número
dentro
the
radical –has
a perfect A
square
or aperfect
perfect
whatever
factor)
radicalcube
form(or
means
to rewrite
it with
a smaller number unde
that youpossuir
can factor Simplifying
out.
do radical
raiz (quadrada, cúbica ou qualquer outra) perfeita.
that
you can factoruma
out.the
radical — if possible. You can simplify this form only if the number un
Exemplo:
Simplifique
80..radical has a perfect square or perfect cube (or perfect whatever facto
Example:
Simplify the
Example: Simplify 80.that you can factor out.
O número
80 não
umaaraiz
quadrada
de seus
The number
80éisn’t
perfect
square,perfeita,
but onemas
of itsum
factors,
16,fatores,
is. You can write
The
number
80 isn’t
a perfect
square,
butcomo
one of
its factors,
16, is.deYou
can
Example:
Simplify
16, the
é.
Você
pode
o número
80
sendo
o produto
16
e 5. write
number
80escrever
as the
product
of 16
and 5,80.
write
the
two radicals
separately,
the number 80 as the product of 16 and 5, write the two radicals separately,
Escreva
os dois
radicais
separadamente
e, então,
avalie is
cada
deles. O
and then
evaluate
each
radical. The resulting
product
theum
simplified
form:
and then evaluate each The
radical.
The resulting
is the simplified
number
80 isn’t a product
perfect square,
but one ofform:
its factors, 16, is. You can w
resultado é a seguinte forma
simplificada:
the number
=
80 80
=
16as
$ 5the product
=
16 5 4of 16
5 and 5, write the two radicals separately,
=
80
16 $ 5
=
16 5 radical.
4 5 The resulting product is the simplified form
and
then =
evaluate
each
3
250 .
Example:
Simplify
Exemplo:
Simplifique
3
250 .
Example:
Simplify
=
80 =
16 $ 5
=
16 5 4 5
O número
250
não
é
um
cubo
perfeito,
mas
um
de
seus
fatores,
125,
é.
The number 250 isn’t a perfect cube, but one of its factors, 125, is. Write
250 as
The
number
isn’t
a perfect
cube,
but125
one
factors,
125,eis.
Write 250
3 e of
Escreva
250 250
como
sendo
o2;produto
de
2; its
avalie
escreva
o as
250
Example:
Simplify
.separe,
the product
of 125
and
separate,
evaluate,
and write
the simplified
product:
the
product
of 125 and 2; separate, evaluate, and write the simplified product:
produto
simplificado:
The
3number
3 250 isn’t 3a perfect
250
=
125 $ 2
=
125 3 2 3 cube,
5 3 2 but one of its factors, 125, is. Write 250
3 =
3
=
250
=
125of
$ 21253 =
125 32;2separate,
5 2 evaluate, and write the simplified produc
the
product
and
22
Approximating
answers
Approximating
answers
3
=
250 3=
125 $ 2 3 =
125 3 2 5 3 2
As wonderful as a simplified radical is, and as useful as it is when you’re doing
As wonderful as a simplified radical is, and as useful as it is when you’re doing
the number 80 as the product of 16 and 5, write the two radicals separately,
and then evaluate each radical. The resulting product is the simplified form:
=
80
Example: Simplify
3
=
16 $ 5
=
16 5 4 5
250 .
Capítulo 1: Vencendo com Tecnicas Trigonométricas
The number 250 isn’t a perfect cube, but one of its factors, 125, is. Write 250 as
the product of 125 and 2; separate, evaluate, and write the simplified product:
3
=
250
3
=
125 $ 2
3
21
=
125 3 2 5 3 2
Aproximando as respostas
Approximating answers
maravilhoso
e útil quanto
um
vezes,
para
se
As Tão
wonderful
as a simplified
radical
is,radical
and as simplificado,
useful as it is às
when
you’re
doing
fazer
um
cálculo,
basta
que
você
saiba
um
valor
aproximado.
further computations in math, sometimes you just need to know about how
much the value’s worth.
Aproximar uma resposta significa encurtar o valor real em termos de
casas decimais. Você poderá descobrir que a aproximação é
Approximating an answer means to shorten the actual value in terms of the
especialmente útil quando o valor decimal de um número é infinito ou
number of decimal places. You may find approximating especially useful when
Quando
aproxima
uma
resposta,
você
a arredonda
para
therepetitivo.
decimal value
of a você
number
goes on
forever
without
ending
or repeating.
um
determinado
número
de
casas
decimais,
omitindo
o
resto
dos
valores
When you approximate an answer, you round it to a certain number of deciNo entanto,
antes
dedecimal
fazer isso,
é necessário
o that,
maldecimais.
places, letting
the rest
of the
values
drop off. considerar
Before doing
tamanho
do
valor
que
está
sendo
omitido.
Se
os
números
que
você
tiver
though, you need to consider how big a value you’re dropping off. If the
numque
omitir
começarem
com
o
número
5
ou
um
número
maior,
então
bers that you’re dropping off start with a 5 or greater, then bump up the last
adicione
1 ao
último
número
queyou’re
você dropping
manteve. off
Se begins
os números
digit
that you
leave
on by
1. If what
with aque
4 orvocê
less,
tiver
omitir
pelo
número
then
justque
leave
the começarem
last remaining
digit
alone.4 ou por um número menor,
então apenas deixe o último dígito sozinho.
Eles chamavam isso de simplificar?
05_569031
ch01_3.qxd
5/23/06tão,12:37
o que PM
eles Page
faziam22quando precisavam
Alguns matemáticos
antigos
não gostavam
de escrever frações a não ser quando o nu- escrever a fração 5⁄6 ? Eles escreviam 1⁄2 + 1⁄3 ,
merador era o número 1. Ou seja, eles gosta- pois 1⁄2 + 1⁄3 é igual a 5⁄6 . Imagine o trabalho que
vam apenas de frações 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, 1⁄5, e etc; en- daria escrever 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄10 ao invés de 17⁄20 .
Exemplo: Arredonde o número 3, 141592654 para quatro casas decimais,
três casas decimais e duas casas decimais.
22
Part I: The Basics
5 Quatro casas decimais: Essa aproximação significa que você
manterá o valor 3, 1415, pois o valor que terá que omitir será 92654,
e 9 é o seu primeiro dígito.
Portanto,
somesides
1 ao by
último
número
que
a right
triangle’s
using
the Pythagorean
theorem, you hav
você está mantendo (no caso,
o
número
5)
e,
então,
a
aproximação
pute some square roots, which use radicals. Some basic answers t
para quatro casas decimais
fica igual a
3,1416.
=
16 4,=
121 11
=
, 3 8 2, 4 =
6561 9 .
expressions
are
5 Três casas decimais: IssoThese
significa
que você
manter
3,141,
examples
aredeverá
all perfect
squares,
perfect cubes, or perfect fou
pois terá que cortar os números
592654.
Nesse
caso,
os
números
which means that the answer is a number that ends — the decima
omitidos começam por 5 on
e, portanto,
você
deve somar
1 à discusses
última
forever. The
following
section
a way to simplify radic
casa decimal (nesse exemplo,
o
número
1).
Logo,
a
aproximação
para
aren’t perfect roots.
três casas decimais fica igual a 3,142.
formsmanter 3,14.
5 Duas casas decimais: IssoSimplifying
significa queradical
você deverá
a radical
means
to rewrite
Como as casas omitidas, Simplifying
1592654 começa
peloform
número
1, então,
o it with a smaller numb
the radical
— ifPortanto,
possible.aYou
can simplify
this form only if the num
último dígito deve continuar
o mesmo.
aproximação
para
theexemplo,
radical has
perfect
square or perfect cube (or perfect whatev
duas casas decimais, nesse
ficaa igual
a 3,14.
that you can factor out.
Use essa técnica quando for aproximar os valores obtidos dos radicais.
Com o uso de uma calculadora,
o resultado
para 80.é aproximadamente
Example:
Simplify
8,94427191. Dependendo de onde você irá usar esse valor, talvez seja
The
number
80ou
isn’t
a perfect
square, but
melhor arredondá-lo para duas,
três,
quatro
mais
casas decimais.
Seone of its factors, 16, is. Yo
number
80 as decimais,
the product
16 and8,5,944.
write the two radicals sep
arredondássemos esse númerothe
para
três casas
eleofficaria
and then evaluate each radical. The resulting product is the simplifi
=
80
Example: Simplify
3
250 .
=
16 $ 5
=
16 5 4 5
22
Parte I: Os Fundamentos
Equacionando e Identificando
A trigonometria tem a resposta para muitas das perguntas nas áreas de
engenharia, navegação e ciência. Os astrônomos, engenheiros,
agricultores e marinheiros da antiguidade não tinham o sistema atual da
álgebra e da trigonometria simbólica para resolver seus problemas, mas,
mesmo assim, eles conseguiam resolvê-los e ainda prepararam a cena
para o desenvolvimento matemático. Hoje, nós nos beneficiamos muito
por ter maneiras rápidas e eficientes de resolver as equações
trigonométricas, incluindo técnicas especiais e identidades
trigonométricas para tirar sarro dos matemáticos da antiguidade.
Os métodos usados para a resolução das equações em álgebra tomam uma
direção completamente diferente quando você usa as identidades
trigonométricas (resumindo, são equivalências que você pode substituir
dentro das equações a fim de simplificá-las). Para facilitar as coisas (ou,
como dizem alguns, para complicá-las), as diferentes funções trigonométricas
podem ter muitas identidades diferentes. É como se elas tivessem múltiplas
personalidades. Quando você estiver resolvendo uma equação e as
identidades trigonométricas, você será como um detetive, trabalhando para
substituir, simplificar e resolver o caso. Que resultado você pode esperar
encontrar quando estiver resolvendo as equações? Ângulos, é claro!
Vamos pegar como exemplo a seguinte equação trigonométrica:
sen θ + cos2 θ = 1.
O objetivo do problema é descobrir qual ângulo ou quais ângulos devem
substituir θ para tornar a equação verdadeira. Neste caso, se θ for igual a
0°, 90° ou 180°, a equação é verdadeira.
Se você substituir θ por 0° na equação, então você terá:
Sen 0° + (cós 0°)2 = 1.
0 + (1)2 = 1
1=1
Se você substituir θ por 90° na equação, então você terá:
Sen 90° = (cos 90°)2 = 1
1 + (0)2 = 1
1=1
Algo semelhante ocorre quando usamos 180° e todos os outros ângulos
que funcionam para essa equação. Mas lembre-se de que não é qualquer
ângulo que funcionará aqui. Escolhi cuidadosamente os ângulos que são
as soluções, ou seja, os ângulos que tornam a equação verdadeira. Para
resolver equações trigonométricas como a do exemplo, você terá que usar
as funções trigonométricas inversas, as identidades trigonométricas e as
técnicas da álgebra. Você poderá encontrar todos os detalhes de como
usar esses processos nos Capítulo 10 a 13. E, depois que você tiver
compreendido essas partes, mergulhe de cabeça no Capítulo 14, em que
estão as resoluções das equações.
1 =1
Something similar happens with 180 d
that work in this equation. But remem
Something similar happens with 180 degrees and all the other angle measures
that work in this equation. But remember that not just any angle will work here. I carefully chose the angles that
make the equation true. In order to sol
here. I carefully chose the angles that are solutions, which are the angles that
to use inverse trig functions, trig iden
make the equation true. In order to solve trig equations like this one, you have
find all the details on how to use thes
to use inverse trig functions, trig identities,
and
techniques.
You can
Capítulo
1: algebra
Vencendo
com Tecnicas
Trigonométricas
And when you’ve got those parts figu
find all the details on how to use these processes in Chapters 10 through 13.
equation-solving comes in.
And when you’ve got those parts figured out, dive into Chapter 14, where the
23
equation-solving comes in.
In this
particular
case, you use an ide
Nesse caso, em particular, você usa uma identidade para obter
todos
os
answers.
You
replace
the cos 2 i by 1
2
2
Você
deve substituir
o cos
In this particularresultados
case, you da
useequação.
an identity
to solve
the equation
for θallpor
its 1- sen θ para que,
in themNa
— or just a number. You actua
2
2
1 sin
i so that
i by
all the
terms
haveum
a sine
answers. You replace
cos os
assim,the
todos
termos
tenham
um seno
– ou
apenas
número.
2 2
in them — or just
a number.
You
actually
have
other
ways tode
change
the
verdade,
você
também
tem
outras
maneiras
mudar
a identidade
decos
cos
identity of
i, too. I chose 1 sin2 i
2
θ. too.
Eu escolhi
mas
e 1 cos 2i .. Discover how to actually so
sinθ2,i,
identity of cos2 i,
I chose1-1 sen
butoutras
other opções
choicesincluem
include 12 and
2
sec i
1 cos 2i . Discover how to actually solve equations like this one in Chapter 14.
Descubra como realmente resolver equações como essa no Capítulo 14.
2
Esse exemplo apenas lhe mostra que a identidade das funções
trigonométricas pode mudar uma expressão significativamente – de
acordo com algumas regras bastante rigorosas.
Fazendo Gráficos
As funções trigonométricas possuem gráficos típicos que podem ser
utilizados para lhe ajudar a entender os valores dessas funções acima de
certos intervalos e em aplicações específicas. Nesta seção, descreverei os
eixos e lhe mostrarei seis gráficos básicos.
Descrevendo as escalas dos gráficos
Em álgebra, geometria e outras áreas da matemática, nós utilizamos o
plano de coordenadas na construção dos gráficos. Nesse plano, o eixo x vai
da esquerda para a direita e o eixo y vai para cima e para baixo. Em
trigonometria, também podemos utilizar o plano de coordenadas, com um
pouquinho de curvas.
O eixo x em um gráfico trigonométrico possui marcas que podem
representar tanto números (positivos ou negativos) quanto as medidas de
um ângulo (em graus ou radianos). Geralmente, espera-se que as marcas
na horizontal e na vertical tenham a mesma distância entre si. Para fazer
marcas equivalentes no eixo x representado por graus, saiba que cada 90°
é aproximadamente de 1,6 unidades (as mesmas unidades que você estiver
utilizando no eixo vertical). Essas unidades representam os números reais.
Essa conversão é possível em virtude da relação entre a medida em graus e
a medida em radianos. Confira, no Capítulo 5, o método usado para fazer
os cálculos que deram origem a essa conversão.
Reconhecendo os gráficos básicos
Os gráficos das funções trigonométricas possuem muitas semelhanças e
muitas diferenças. Os gráficos das funções seno e cosseno se parecem muito.
O mesmo acontece entre os gráficos da tangente e cotangente e das funções
secante e cossecante. Mas os gráficos desses três pares são bem diferentes
um do outro. A única característica semelhante a todos é o fato de que eles
são periódicos, o que significa que eles repetem a mesma curva ou o mesmo
padrão nas duas direções ao longo do eixo x. Veja as Figuras 1-11 a 1-16.
Neste livro, ainda falarei muito mais sobre os gráficos das funções
trigonométricas e você pode encontrar mais informações a esse respeito nos
Capítulo 16, 17, 18 e 19.
24
Parte I: Os Fundamentos
Figura 1-11:
Gráfico
da função
y = sen x.
Figura 1-12:
Gráfico da
função
y = cos x.
Capítulo 1: Vencendo com Tecnicas Trigonométricas
Figura 1-13:
Gráfico
da função
y = tan x.
Figura 1-14:
Gráfico
da função
y = cot x.
25
26
Parte I: Os Fundamentos
Figura 1-15:
Gráfico
da função
y = sec x.
Figura 1-16:
Gráfico
da função
y = csc x.