5ª Lista de exercícios de Lógica Básica

5ª Lista de exercícios de Lógica Básica
1. Simbolize os predicados, as constantes, as variáveis e traduza em símbolos
(a) Todos são felizes.
(b) Algumas pessoas são felizes.
(c) Nenhuma pessoa é infeliz.
(d) João não é feliz.
(e) Carlos e Carolina são felizes.
(f) Todo número par maior do que dois pode ser escrito como soma de dois números primos.
(g) x possui exatamente três divisores.
(h) Todo número positivo admite raiz quadrada.
(i) z é o máximo divisor comum de x e y.
2. Defina uma linguagem de primeita ordem F que trata das relações familiares e escreva em símbolos as sentenças abaixo.
(a) Ana é irmã de José.
(b) Maria é irmã de Ana.
(c) Pedro é pai de Ana.
(d) Pedro é pai de Maria e de José.
(e) Ana é irmã de José e Maria é irmã de Ana, então Maria é irmã de José.
(f) Tarso é irmão de Pedro e tio de Ana.
(g) Tarso é irmão de Pedro então é tio de José.
(h) Tarso é tio de Maria.
(i) Tarso é tio de Maria e de Ana, que são irmãs de José, logo Tarso é tio de José.
(j) Ele é primo de Maria.
(k) Maria possui uma avó que tem quatro filhos(as).
3. Posto que ¬∀xα é equivalente a ∃x¬α, e ¬∃xα é equivalente a ∀x¬α, passe as frases dos exercícios anteriores para a negação, usando o símbolo de negação apenas na frente de subfórmulas
atômicas. Escreva as respostas na linguagem natural e na linguagem de primeira ordem.
4. Traduza as fórmulas abaixo para a linguagem natural da forma mais simplificada que você conseguir.
(a) ∃x(((Pai(Joao) = Pai(x))∧((x = Pai(M ar i a))∨(x = Mae(M ar i a))))∨((Mae(Joao) = Mae(x))∧
((x = Pai(M ar i a)) ∨ (x = Mae(M ar i a)))))
(b) ∃x∃y((¬(x = y)) ∧ (Joao = Pai(x)) ∧ (Joao = Pai(y)) ∧ ∀z((Joao = Pai(z)) → ((z = x) ∨ (z = y))))
5. Para cada uma das frases abaixo, verifique se é possível escrevê-la na linguagem da Aritmética dada
em aula. Se sim, escreva-a, introduzindo, se necessário, novos símbolos definíveis a partir dos
símbolos primitivos. Se não, dê uma sugestão para estender a linguagem de modo que possamos
escrevê-la.
1
(a) Existem infinitos números primos.
(b) Todo subconjunto dos números naturais possui um elemento mínimo.
(c) Se uma propriedade vale para o número 0 e, valendo para um número natural, vale também
para seu sucessor, então essa propriedade vale para todos os números naturais.
6. Identifique as ocorrências livres e não-livres das fórmulas abaixo.
(a) (∃x((1 + y) = x)) ∧ ∀y(y < x).
(f) (∀y∃z(x + y = z)) → (x = 0).
(b) (∃x(x · x = 2)) → (x + 1 = 0).
(g) (x < y + 1) → ∀x∃y(x 6= y).
(c) ∀x∃y(z < 1).
(h) ∀x((x = 0) ∨ (0 < x)) ∧ ∃y(y · (1 + 1) = x).
(d) (∃x((1 + y) = x)) ∧ (∀y(y < x)).
(i) ∀x(x > (1 + 1) → y < (x + x)).
(e) ∀x(((x < 6) ∧ (0 < x)) → ∃y(x · y = z)).
(j) ∀y∀z((y ·z = x) → ((y¬z)∧((y = 1)∨(z = 1)))).
7. Subfórmulas: Seja α uma fórmula. Definimos as subfórmulas de α por:
(a) Se α é uma fórmula atômica então α não tem subfórmulas;
(b) Se α é da forma ¬β ou da forma ∀xβ então as subfórmulas de α são β e as subfórmulas de β ;
(c) Se α é da forma β ∧ γ então as subfórmulas de α são β, γ e as subfórmulas de β e de γ.
Exiba as subfórmulas de cada uma das fórmulas que você encontrou no exercício 1.
8. Teorema da Indução na complexidade da fórmula. Seja Γ um conjunto de fórmulas de uma linguagem de primeira ordem L e suponha que
(a) as fórmulas atômicas de L pertencem a Γ;
(b) se α pertence a Γ então ¬α pertence a Γ;
(c) se α e β pertencem a Γ então α ∧ β pertence a Γ;
(d) se α pertence a Γ e x é uma variável, então ∀x α pertence a Γ.
Então Γ é o conjunto de todas as fórmulas da linguagem.
Use indução na complexidade da fórmula para definir o grau de complexidade de uma fórmula
(veja exercício 6 da lista 1). Por exemplo grau(s = t ) = 0, grau(R 2 (x, y)) = 0, grau(¬(s = t )) = 1,
grau(∀x R 2 (x, y)) = 1, grau(∀y ∀x R 2 (x, y)) = 2.
9. Restabeleça os parênteses.
(a) ∀x 1 R 11 x 1 ∧ ¬R 11 x 2 .
(b) ∀x 2 R 11 x 2 ↔ R 11 x 2 .
(c) ∀x 2 ∃x 1 R 12 x 1 , x 2 .
(d) ∀x 1 ∀x 3 ∀x 4 R 11 x 1 → R 11 x 2 ∧ ¬R 11 x 1
(e) ∃x 1 ∀x 2 ∃x 3 R 11 x 1 ∨ ∃x 2 ¬∀x 3 R 12 x 3 , x 2 .
(f) ∀x 2 ¬R 11 x 1 → R 13 x 1 , x 1 , x 2 ∨ ∀x 1 R 11 x 1 .
(g) ¬∀x 1 R 11 x 1 → ∃x 2 R 11 x 2 → R 12 x 1 , x 2 ∧ R 11 x 2 .
2
Omissão de parênteses
As omissões de parênteses são de acordo com as mesmas convenções utilizadas na lógica proposicional,
com a modificação de que ∀ e ∃ ter precedência sobre todos os conectivos lógicos:
• omitimos os parênteses mais externos, por exemplo, escrevendo α → β em vez de (α → β) e ¬α
em vez de (¬α).
• ∀ tem precedência sobre ¬ que tem precedência sobre ∧; considerando as abreviações ordem de
precedência é ∀, ∃, ¬, ∧, ∨, →, e ↔.
• Finalmente, repetições de conectivos são agrupados pela direita, por exemplo, α → β → γ é lido
como (α → (β → γ)).
Por exemplo, ∃x k ¬α → ∀x n β é lido como ((¬∀x k (¬(¬α))) → (∀x n β)).
3