trigonometria

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras:
b)
25
15
4
α
α
1
resp: sen α =3/5 cos α = 4/5 tgα=3/4
resp: sen α =
4 17
17
cos α =
tgα= 4
17
17
2) Calcule x e y nas figuras:
a)
Dado: sen α =3/5
30
b) Dado: tg α =4/3
α
x
x
y
16
α
resp: x= 18 e y= 24
resp: x= 20 e y=12
y
3) Um garoto empina uma pipa com um fio esticado de 50m. Sabendo que o ângulo entre o fio
e solo é de 30º, calcule a altura que está a pipa? resp: 25m
4) Do alto da torre de uma plataforma de petróleo marítima , de 45m de altura, o ângulo
de depressão em relação a proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da
plataforma? resp: 15 3 m ou 25,95m
5)Um barco atravessa um rio e segue numa direção que forma com uma das margens um
ângulo de 30º. Sabendo que a largura do rio é de 60m, Calcule a distância percorrida pelo
barco para atravessar o rio ? resp: 120m
6) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um
ângulo
de 45º em relação a horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um
barqueiro cobra R$0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte até a praia?
resp: R$10,00
7) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a
rampa tem 30m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após
percorrer
toda a rampa? resp: 5,10m dados: sen 10º=0,17 cos 10º = 0,98 tg 10º = 0,18
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1
8) Um projétil é lançado segundo uma trajetória de 60º com a horizontal com uma
velocidade de 90m/s. Determine:
a) a sua velocidade horizontal; resp: 45m/s
b) a sua velocidade vertical; resp: 45 3 m/s
c) após 3s a altura atingida pelo projétil . resp: 135 3 m/s
9) Sendo α um ângulo agudo de um triângulo retângulo e cos α = 5/13. Calcule:
a) sen α resp: 12/13
b) tg α resp: 12/5
10) Sendo α um ângulo agudo de um triângulo retângulo e tg α = 2/3. Calcule:
2 13
3 13
a) sen α resp:
b) cos α resp:
13
13
11) O acesso a um edifício é feito por uma escada de dois degraus, sendo que cada um tem
16 cm de altura. Para atender portadores de necessidades especiais, foi construída uma
rampa.
Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar, com o solo, um ângulo de 6°,
conforme figura:
A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a
a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2.
12) (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma
velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao
ponto de partida é 30 m.
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou
para percorrer completamente a rampa é
a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.
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2
Assunto: Razões trigonométricas no triangulo qualquer (leis do seno e do cosseno)
1) Num triângulo ABC, o lado BC = 8 2 cm, Â = 30º e Ĉ = 45o , calcule a medida do lado
AB . Resp: 16cm
2) Dois lados de um triângulo medem 6cm e 10cm, e formam entre si um ângulo de 60º.
Determine a medida do terceiro lado desse triângulo. Resp: 2 19 cm
3)Calcule o valor de x nos triângulos abaixo:
Resp: 4cm
Resp: 3cm
4) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 6cm e 2 3 cm e formam entre si
um ângulo de 30º. Calcule as medidas das diagonais desse paralelogramo.
Dado: cos 150º = - cos 30º
Resp: d =2 3 cm e D = 2 21 cm
5) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 4cm. Sabe-se que  = 30º,
calcule a media do lado a desse triângulo. Resp: 4cm
6) Um menino, sentado num muro, observa o topo e o pé de um prédio, conforme a figura
abaixo.
Determine a altura desse prédio. Resp: 56,78 cm
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3
7) calcule a área do triângulo abaixo:
Resp: 24 3 cm2
8) Dois lados de um triângulo medem respectivamente 8m e 10m e formam um ângulo
agudo que mede X. Determine a medida do ângulo X, sabendo que a área do triangulo é de
20 m2. Resp: 30o
9) Um triangulo tem lados iguais a 4cm, 5cm e 6cm. Calcule o cosseno do maior ângulo
interno desse triangulo. Resp: ¼
10) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 4cm e 5cm e formam um ângulo
de 300. Calcule a área desse paralelogramo. Resp: 10 cm2
11) (Vunesp) Os lados de um triângulo medem 2 3 ,
oposto ao que mede
6e 3 +
3 . Determine o ângulo
6 . Resp: 30º
12) Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABC em que um lado
mede 15 cm, e o ângulo oposto a esta lado mede 30º .
Resp: 15 cm
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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4
Assuntos: Arcos e ângulos
1) Expresse em rad:
a) 60º resp: π/3 rad b) 210º resp: 7π/6 c) 350º resp: 35π/18 d) 150º resp: 5π/6
e) 12º resp: π/15 rad f) 2º resp: π/90 rad g) 67º30’ resp: 3π/8rad h) 25º20’ resp: 19π/135
2) Expresse em graus:
a) 10π/9rad resp: 200º
c) 3rad resp: 171º58’12”
b) 11π/18rad resp: 110º
d) 1rad resp: 57º19’12”
3) Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio, num período
de 25 minutos? resp: 5π/6 rad
4) Expresse em graus e em radianos :
a) 1/6 da medida da circunferência. resp: 60º e π/3rad
b) 2/5 da medida da circunferência. resp: 144º e 4π/5rad
5) Determine o comprimento de uma circunferência de diâmetro 60cm. resp: 188,40cm
6) Sabendo uma pessoa dá 4 voltas em torno de um canteiro circular de 1,5m de raio, calcule a
distância percorrida pela pessoa. resp: 37,68m
7) Uma pessoa percorre 3140m em torno de uma pista circular de raio 50m. Quantas voltas
completas ela deu? resp: 10
8) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12cm. Qual distância que sua extremidade percorre
durante 20 minutos? resp: 25,12cm
9) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio:
a) 9h10min resp: 145º
b) 12h15min resp: 82º30’
10) Um ciclista dá 10 voltas em torno da pista indicada na figura abaixo.
110m
20m
20m
Calcule a distância percorrida. resp: 3456m
11) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:
a) 1550º resp: 1ª dp = 110º e AM = 110º+n.360º , n∈Ζ
b) –2165º resp: 1º dp = 355º e AM = 355º+n.360º, n∈Ζ
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5
23π
7π
7π
rad e AM =
+n.2π, n∈Ζ
rad resp: 1ºdp =
4
4
4
17π
5π
5π
d)
+ n.2π, n∈Ζ
rad resp: 1º dp =
rad e AM =
3
3
3
c)
12) Verifique se são côngruos os arcos
14π
19π
a) 1490º e –1030º resp: sim b)
rad e
rad resp: não
3
3
13) Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da origem dos
arcos, percorre um arco de:
a) 1810º resp: 5 voltas e parou no 1º Q
b ) –1200º resp: 6 voltas e parou no 3º Q
25π
c)
rad resp: 3 voltas e parou no 1º Q
4
14) Uma semi-reta dá, em torno da origem, 4 volta completas, no sentido positivo. Determine, em
radianos, o ângulo gerado pela semi-reta no seu movimento. resp: 8π rad
15) Determine os arcos positivos côngruos a 2140º e menores que 900º. resp: 340º e 700º
16) (PUC-SP) Qual dos pares de ângulos é côngruo de 120º?
a) –240º e 1920º b) 300º e 1560º c) 200º e 600º d) –100º e 0º
e) nda. resp: a
137π
rad é:
5
a) 2π/5 rad b) 3π rad c) π/5 rad d) 2π rad e) 7π/5 rad resp: e
17) (UFPA) Um arco côngruo a
18) (MACK-SP) A menor determinação positiva de –4900º é:
a) 100º b) 140º c) 40º d) 80º e) n.d.a resp: b
19) (Ueg 2008) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a
capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são,
respectivamente, 78° Oeste e 52° Oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio 6400 km,
qual é a distância entre essas duas cidades? Resp: 2.902,76 km
20) (Fuvest) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a
seguir, um arco A'B' de 60° numa circunferência de raio 5 cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se:
a) 11/6
b) 2
c) 11/3 d) 22/3 e) 11
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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6
Assunto: Função Seno
1) Calcule:
a) sen 1470º resp: ½ b) sen 1125º resp:
d) sen 12π
resp: 0
e) sen 13π
2 /2 c) sen –1020º resp:
resp: 0
f) sen17π/2
3 /2
resp: -1
2) Calcule o período das funções:
a) y = 2-sen x resp. 2π b) y = 4+3sen (2x-30º) resp: π c) y = 5+6sen2(x+45º) resp: π
d) y = 4sen(x/10) resp: 20π e) y = 3-5sen(20x-60º) resp: π/10 f) y = sen(2x/5) resp: 5π
3) Calcule o valor da expressão y = 2sen(4x)+ sen(x+180º) –3sen(5x) para x=π/2rad.
resp: -4
4) Construa o gráfico, e dê, o período, o domínio e a imagem das funções.
a) y = 4sen(x) resp: D=ℜ IM= [-4;4] P= 2π
b) y = 3+sen(x) resp: D=ℜ IM= [2;4] P=2π
c) y =1+3sen(x) resp: D=ℜ IM= [-2;4] P=2π
d) y = sen(x+π/2) resp: D=ℜ IM= [-1;1] P=2π
e) y = 2+sen(x-π) resp: D=ℜ IM= [1;3] P=2π
f) y = sen(4x) resp: D=ℜ IM=[-1;1] P=π/2
5) Calcule m nas igualdades:
a) sen (x)=m+4 resp: -5≤ x ≤ -3
b) sen (x)= m-3 resp: 2≤ x ≤ 4
6) Um pêndulo descreve um movimento harmônico segundo a equação horária
π

h(t)= 10+3.sen  π .t +  , em que t é o tempo em segundos e h(t) a altura em centímetros
2

do pêndulo em relação ao solo.Determine:
a) a altura do pêndulo em relação ao solo no instante inicial do seu movimento. Resp:13 cm
b) o período completo de oscilação do pêndulo. Resp: 2s
c) as alturas máxima e mínima atingida pelo pêndulo em real,ao solo.
Bibliografia:
Resp: máxima = 13cm e mínima 7cm
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7
Assunto: Função Co-seno
1) Calcule:
a) cos 1500º b) cos 1830º c) cos 1350º d) cos 2205º e) cos 900º f) cos –1350º
g) cos –990º h) cos 10π i) cos 21π/2 j) cos 19π/2 l) cos 13π/3 m) cosπ
resp:a)1/2 b) 3 /2 c) 0 d) 2 /2 e) –1 g) 0 h) 1 i) 0 j)0 l)1/2 m)-1
2) Construa o gráfico das funções, e dê o domínio, o período e a imagem das funções:
a) y = 4cos(x) resp: D=ℜ P=2π IM=[-4;4]
b) y = 2+3cos(x) resp: D=ℜ P=2π IM=[-1;5]
c) y = -3+4cos(x) resp: D=ℜ P=2π IM=[-7;1]
d) y = 2cos(2x) resp: D=ℜ P=π IM=[-2;2]
e) y = 5cos(x/4) resp; D=ℜ P=8π IM=[-5;5]
3) Encontre o período das funções :
a) y = 6+cos(4x) resp: P= π/2 rad
b) y = cos(5x+π/2) resp: P= 2π/5 rad
c) y = 10-5cos(x/8) resp; P= 16π rad
d) y = cos(3x) resp: P= 2π/3 rad
e) y = 2+3cos 5(2x+30º) resp: P= π/5 rad
4) Calcule o valor das expressões:
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
a) A= cos(17π) + cos (5π/2)-2 sen (5π) resp: -1
b) B = cos (1140º) + 2 cos (1260º) – cos (1440º) resp: 5/2
c) C = sen (765º) – cos (-2115º) + sen (750º)- cos (2220º)
5) Um corpo M movimenta-se de maneira uniforme sobre uma circunferencia. Já a projeção P
desse corpo realiza um movimento sobre o eixo das abscissas chamado movimento harmônico
simples.
O espaço S, em centímetros, em realação a origen, que ese corpo ocupa em função do tempo t,
 π
em segundos, é dado pela equação S(t) = 5.cos  t.  . Determine:
 2
a) O espaço da projeção após 2s. Resp: -5 cm
b) O tempo gasto pelo corpo M para completar uma volta. 4s
c) O gráfico dessa situação
6) Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função y = 2+3cos 5(2x+30º).
Resp: máximo = 5 e mínimo = -1
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8
Assunto: Função Tangente
1) Calcule:
a) tg 750º
b) tg 1125º
c) tg 810º
d) tg 15π
e) tg 7π/2
f) tg 1080º
Resp: a)
3
b) 1 c) ∃ d) 0 e) ∃ f) 0
3
2) Determine o domínio e o período das funções:
a) y = tg(3x+60º) resp: D={x∈ℜ/ x≠10º+k.60º} P=π/3 rad
b) y = 2-5tg(6x) resp: D= { x∈ℜ/ x≠15º+k.30º} P=π/6 rad
c) y = 2+tg( x-3π/2) resp: D= { x∈ℜ/ x≠ 2π+k. π} P=π
d) y = tg( 3x-π) resp: D={ x∈ℜ/ x≠3π/6+k.π/3} P=π/3
3) Calcule o valor da expressão y= 2sen(4x) +3cos(x)-tg(
x
) para x=360º. resp: 2
8
4) Calcule o valor da expressão A= 5 sen ( 13π/2)-cos(20π)+tg(6π). resp:3/2
5) Uma estaca foi cravada no chão e ficou com 2 m de altura. Supondo que naquela
região o Sol ilumine das 6h as 18h e que ao meio dia o comprimento de sua sombra seja
zero, o tamanho (comprimento) da sombra da estaca em função do horário pode ser
π 

dado pela função y = 2.tg  ( x − 12).  , em y é o tamanho da sombra em metros e x é
12 

o tempo em horas. Determine quais são os horários em que a sombra tem a mesma
medida da estaca. Resp: 9h e 15h
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
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9
Assuntos: Funções trigonométricas de um arco
Relações trigonométricas
1) Determine o valor de:
17π
resp: 1 d) sec 540º resp: -1
4
2 3
11π
g) cosec (1800º) resp: ∃ h) cosec
resp: -1
2 f) sec 750º resp:
3
2
a) cotg 990º resp: 0 b) cotg 1440º resp: ∃ c) cotg
e) sec
9π
4
resp:
2) Calcule as funções trigonométricas de :
a) 840º resp: sen 840º= √3/2 cos 840º= -l/2 tg 840º= -√3
cotg 840º= -√3/3 sec 840º= -2 cosec= 2√3/3
b) 3π/4 rad resp: sen 3π/4= √2/2 cos 3π/4= -√2/2 tg 3π/4= -l
cotg 3π/4= -l sec 3π/4= -√2 cosec 3π/4= √2
c) 570º
resp: sen 570º = -l/2 cos 570º= -√3/2 tg 570º= √3/3
cotg 570º= √3 sec 570º= -2√3/3 cosec570º= -2
d) 585º
resp: sen 585º= -√2/2 cos 585º= - √2/2 tg 570º= l
cotg 585º=l
sec 585º= -√2
cosec 585º= -√2
e) 1020º
resp: sen 920º= -√3/2 cos 920º= l/2 tg 920º= -√3
cotg 920º= -√3/3 sec 920º= 2
cosec 920º= -2√3/2
3) Dado cos x = - 24/25 com x∈2º Q, calcule:
a) sen x resp: 7/25
b) tg x resp: -7/24
4) Dado cos x = 4/5 com x∈1º Q, calcule:
a) sec x resp: 5/4
b) tg x resp: ¾
5) Dado sen x = -1/2 com x∈ 3º Q, calcule:
a) cossec x resp: -2
b) cotg x resp:
3 , com 0 < x < π/2, calcular:
6) Dado tg x =
3
2
7) Dado cossec x =
a) sen x resp:
a) sec x resp:
3
2
b) cos x resp: ½
2 , com 0 < x < π/2, calcular:
2
b) cos x resp:
2
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
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10
Assuntos: Adição e subtração de arcos
1) Usando as formulas da adição e subtração de arcos, calcule:
6+ 2
2
a) sen 105º resp:
b) cos 135º resp: 4
2
− 6− 2
− 2− 6
c) cos 195º resp:
d) sen 345º resp:
4
4
2) Demonstre, utilizando as fórmulas da adição e subtração de arcos:
a) sen (π-x) = sen x b) cos (2π+x) = cos x c) tg (2π-x) = -tg x d) sen (
3π
-x) = -cos x
2
3) Dados sen a = 4/5 e cos b = 2/3, com 0 < a e b < π/2, determine:
8+3 5
6+4 5
− 25 5 − 54
b) cos (a-b) resp:
c) tg (a+b) resp:
a) sen(a+b) resp:
15
15
22
4) Dado sen x = 1/3, com 0 < x < π/2, calcular sen (
π
− x) . resp:
6
2 2− 3
6
5) Se tg (x+y) = 2 e tg y = 1, calcular tg x. resp: 1/3
π
sen( − x).sen(π + x)
2
6) Simplifique a expressão y =
cos(π − x).cos(2π − x)
7) Dado x = 11,25º, calcule o valor da expressão A =
tg 3x + tg x
. Resp: 1
1 - tg 3x. tg x
8) Calcule o valor da expressão A = cos 80º.cos 20º + sen 80º. sen 20º +
tg 67º - tg 22º
.
1 + tg 67º.tg 22º
Resp: 3/2
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11
Assuntos: Arco duplo e Arco metade
1) Dado sen 18º = 0,31, calcule:
a) sen 36º resp: 0,59
b) cos 36º resp: 0,81 c) tg 36º resp: 0,73
2) Calcule sen 2x, se sen x =3/4, com x Є 2º Q. resp:
−3 7
8
3) Dado tg x = ½, com x Є 1º Q, calcule:
a) tg 2x resp: 4/3 b) cotg 2x resp: ¾
4) Se sen x + cos x =
1
, calcule sen 2x. resp: -8/9
3
5) Sabendo que a Є 3º Q e tg a = ¾, calcule:
a) sen 2a resp: 24/25
b) cos 2a resp: 7/25
6) Se cos 64º = 0,44, calcule:
a) sen 32º resp: ≅ 0,53 b) cos 32º resp: ≅ 0,85 c) tg 32º resp: ≅ 0,62
7) Calcule sen 22º 30’. resp:
2− 2
2
 x
8) Sabendo que sen x = 5/13, com x Є 2º Q, calcule tg   . resp: 5
2
3
a
9) Dado cos a = ½, com a Є 1º Q, calcule cos   . resp:
2
2
a
10) Dado sen a = ½, com a Є 1º Q, calcule sen   . resp:
2
2− 3
2
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
blog.portalpositivo.com.br/capitcar
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Assuntos: Equações trigonométricas e Funções Inversas
1) Resolva as equações no intervalo de 0 à 2π.
2
2
resp: S = { π /4 ; 3π/4 }
a) sen x = -1 resp: S = {3π/2}
b) cos x =
c) tg x = 1 resp: S = { π /4 ; 5π/4 }
d) 2 sen(3x) +1 = 0 S = { -π/18 ; 7π/18}
e) 4 cos x - 2 3 = 0 resp: S = {± π/6} f) 2.sen 2 x + 5.sen x – 3 = 0 resp: S = { π/6 ; 5π/6}
2) Resolva em ℜ as equações:
a) cos x = -1 resp: S = { x∈ℜ/ x = π + n. 2π, n∈Z}
b) sen x = - ½ resp: S = { x∈ℜ/ x = 7π/6 + n. 2π ou x = 11π/6 + n. 2π, n∈Z}
c) tg x = -
3 resp: S = { x∈ℜ/ x = 2π/3 + n.π, n∈Z}
3) Determine o valor de y sendo:
3
π
π
, com − ≤ y ≤
resp: π/3
2
2
2
1
b) y = arc cos (- ), com 0 ≤ y ≤ π resp: 2π/3
2
3
π
π
c) y = arc tg
, com − ≤ y ≤
resp: π/6
3
2
2
a) y = arc sen
4) (UEM-PR) Considerando os valores principais, a expressão E = arc sen
1
+ arc tg
2
3
vale :
a) π /3
b) π /4
c) π /6
d) π /2
e) 2π /3 resp: d
3 1
3
- arc sen
) pode ser dado por:
3
4
2
e) ½ resp: c
Bibliografia:
5) (Mack-SP) O valor de tg ( 5.arc tg
a) 0
b) 1
c) -1
d) -1/2
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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