Problemas de Linhas de Transmissão

PROE
Ano Lectivo 2010/2011
1º Semestre
Problemas de Linhas de Transmissão
(Versão de 03-11-2010)
Problema LT 1 – Linha de Transmissão em Regime Alternado Sinusoidal
Considere uma linha aérea sem perdas de comprimento l=62.5m, com
impedância característica Z0=200Ω a operar à frequência f  15 MHz terminada por
uma carga de impedância Zs. A linha é alimentada por um gerador com uma tensão em
vazio V0  10 kV e impedância interna Zg=200Ω. Medindo a tensão máxima e mínima
ao longo da linha obteve-se respectivamente Vmax=3 kV e Vmin=1 kV, ocorrendo o 1º
máximo de tensão a 6m da carga.
Zg
I1
V0(t)
I2
V1
Z0
0
y=l-z
Zs
V2
l
l
0
Resolva este problema analiticamente e utilizando a Carta de Smith.
a) Calcule o coeficiente de onda estacionária e o factor de reflexão na carga.
b) Determine o valor da impedância de carga Zs.
c) A tensão de entrada V1 e a tensão na carga V2 .
d) Calcule a potência transmitida na linha.
e) A impedância a uma distância de 10 metros da carga
2
z
Problema LT 2 – Linha de Transmissão em Regime Alternado Sinusoidal
Considere uma linha aérea sem perdas de comprimento l  82.5 m , terminada
por uma carga de impedância Z s  Z0  jZ0 , a trabalhar à frequência f  15 MHz . A
linha é alimentada por um gerador com uma tensão em vazio V0  10 kV e impedância
interna Z g  Z 0  600  .
Zg
I1
V0(t)
I2
V1
Z0
0
y=l-z
Zs
V2
l
l
0
a) Calcule o módulo da tensão incidente na carga Vi2 .
b) A partir da carta de Smith, determine:

O factor de reflexão na carga;

O coeficiente de onda estacionária;

A tensão de entrada V1 e a tensão na carga V2 ;

O valor máximo e mínimo da tensão e da corrente ao longo da linha;

O andamento aproximado da tensão e da corrente ao longo da linha.
c) Confirme, por via analítica, os resultados obtidos na alínea anterior.
d) Calcule a potência transmitida na linha.
3
z
Problema LT 3 – Linhas de Transmissão
Um cabo coaxial com impedância característica Z0  50 , a operar na frequência
f  30 MHz, está terminado por uma impedância Zs  150  j100 . Recorrendo à
Carta de Smith, determine:
a)
O factor de reflexão da carga;
b)
O factor de onde onda estacionária;
c)
A admitância na carga;
d)
A localização dos pontos ao longo do cabo em que a tensão é máxima e
mínima e os respectivos valores;
e)
Os valores da impedância nos pontos de tensão máxima e mínima. Comente
o resultado.
f)
A impedância a uma distância de 3 metros da carga.
g)
Confirme analiticamente os resultados obtidos nas alíneas anteriores.
Soluções:
a) ks  0.63 e j18 ; b) p  4.44 ; c) Ys  (4.62  j3.07) mS ; d) Máximos de tensão:
y  (0.256  n  / 2) m ; Mínimos de tensão: y  (2.756  n  / 2) m ; e) Z max  222  ;
Z min  11.3  ; f) Z y  (11.5  j 7.33)  .
4
Problema LT 4 – Linhas de Transmissão
Uma linha aérea com um comprimento l  12 m e impedância característica Z0  50  ,
terminada por uma impedância Zs  150  j100   , está a operar na frequência
f  30 MHz . Recorrendo à Carta de Smith, determine:
a)
A impedância de entrada na linha;
b)
Esboce o andamento do módulo de tensão ao longo da linha;
c)
Determine a que distâncias da carga a condutância é igual a 0.02 S e calcule o
valor da susceptância nesses pontos;
d)
Se a linha fosse terminada por um curto-circuito, quais os pontos em que a sua
admitância seria igual a  0  j 0.03 S . Esboce o andamento de corrente ao longo
da linha em curto-circuito.
e)
Confirme analiticamente os resultados obtidos nas alíneas anteriores.
Soluções:
a) Z1s  (14  j 24)  ; c) d1  2.05 m , b1  0.033 S ; d2  3.46 m , b2  0.033 S ; d)
l  (4.064  n  / 2) m .
5
Problema LT5 – Linha de Transmissão com Perdas
Considere um cabo coaxial com l=10 m de comprimento e condutores interior e exterior
de diâmetro Da=1,0 mm e Db=4,5 mm, respectivamente. O dieléctrico interior é
caracterizado por r=1,44. Este cabo é utilizado em f=500 MHz, para ligar uma antena
de impedância Zo=75 Ω e tensão em vazio Vo=5 V a um receptor de TV de impedância
de entrada Zc=100 Ω.
I – Considere que o cabo coaxial não tem perdas.
a) Calcule a impedância característica do cabo coaxial.
b) Calcule a localização dos máximos e dos mínimos de tensão ao longo do cabo
coaxial.
c) Trace o andamento da tensão ao longo do cabo coaxial.
d) Calcule a potência entregue ao receptor.
II – Admita agora que os condutores são de cobre (σ=5,8x107 S.m-1) e que o dieléctrico
interior tem perdas (tan δ=0,003).
e) Repita a alínea c).
f) Calcule a atenuação total no cabo coaxial (causada pelas perdas nos condutores e no
dieléctrico), em dB.
6
Problema LT 6 – Linha de Transmissão em Regime Alternado Sinusoidal
Considere o circuito de alta frequência da Fig.1, constituído por uma linha de
transmissão sem perdas, a operar em f  15 MHz , com um comprimento l  60 m e
impedância característica Z0  600 Ω . A linha está terminada em vazio e tem uma carga
Z1 em paralelo.
Rg
Z0
V0
Z1
Zs  
Z0
y
y1
l
0
Fig. 1
Dados: Gerador: tensão em vazio V0  2 kV e impedância interna Z g  150 Ω ;
Z1  (900  j 750) Ω e y1  20 m .
a)
Calcule a impedância da linha em y  y1   y (com  y
b)
Determine a corrente que percorre a impedância Z1 .
c)
Esboce o andamento da tensão ao longo da linha.
d)
Calcule o valor do coeficiente de onda estacionária no troço de linha entre Z1 e o
gerador ( y  y1 ).
Soluções: b) I  1.55 e j 35.53 A ; d) p  1.6041 .
7
 ).
Problema LT 7 – Adaptação por stub simples em curto-circuito
Pretende-se adaptar uma linha de transmissão, de impedância característica Z 0  100 ,
a uma carga com Z s  Z 0 / 3  jZ 0 / 3 , interpondo entre a linha e a carga uma malha de
adaptação constituída por um stub em curto-circuito de comprimento lst
de
impedância Z 0  100 , colocado em paralelo com a carga, à distância l1 (ver Fig. 1).
I2
l1
Z0
Zs
V2
Z0
0
y=d-z
l1
l1
z
0
lst
curto-circuito
Fig. 1
a)
Dimensione lst e l1 de modo a obter a adaptação para a frequência
f 0  30 MHz .
b)
Uma vez que existe mais do que uma solução para lst e l1 , determine qual é a
solução mais vantajosa em termos da largura de banda da adaptação. Para tal
calcule o factor de onda estacionária na banda f  f0  3 MHz para as várias
soluções obtidas. (Sugestão: Recorra à Carta de Smith e considere frequências
fi  f 0  1 MHz ).
Soluções: a) ( lst  3.549 m ; l1  4.770 m ) ou ( lst  1.451 m ; l1  1.358 m ).
8
Problema LT 8 – Adaptação por transformador de /4
Pretende-se adaptar uma linha de transmissão com impedância característica Z 0  100  ,
terminada por uma carga de impedância Z s  400  , a operar na frequência de 300 MHz,
utilizando um transformador de um quarto de comprimento de onda (Fig. 1).
Z0
ZT
Zs
/4
Fig. 1
a)
Determine a impedância característica de onda do transformador Z T .
b)
Suponha que se pretende transmitir um sinal que ocupa a banda de frequências
f : 200 – 400 MHz. Represente num gráfico a variação do factor de onda
estacionária p na linha em função da frequência.
c)
Se admitirmos como valor aceitável para o coeficiente de onda estacionária p  1.2 ,
determine a largura de banda do sistema de adaptação.
d)
Represente no plano complexo o andamento da admitância normalizada aos terminais de
entrada do transformador (em y  y A  y , com y   ), na banda de frequências  f .
e)
Com base nos resultados obtidos nas alíneas anteriores, comente o comportamento em
frequência da adaptação com o transformador de quarto de comprimento de onda.
Soluções: a) ZT  200  ; c) f  46.6 MHz .
9
Problema LT 9 – Linha de Transmissão em 2 bandas de frequência
Considere uma linha aérea sem perdas de comprimento l  45m , terminada por uma
carga de impedância Z s  Z 0 / 3 . Admita que a linha pode ser usada em alta e baixa
frequência: f1 100KHz e f 2 10 MHz , respectivamente.
Zg
I1
V0(t)
I2
V1
Z0
0
y=l-z
a)
Zs
V2
l
l
z
0
Calcule a desfasagem das ondas incidentes e reflectidas de tensão à entrada e no
fim da linha, para as duas frequências f1 e f 2 .
b)
Calcule o factor de reflexão na carga.
c)
Esboce o andamento aproximado do módulo da tensão ao longo da linha nas
duas frequências de operação.
d)
Comente os resultados obtidos nos dois regimes de operação da linha de
transmissão.
10
Problema LT 10 – Circuitos
Considere o circuito da Fig. 1, constituído por uma linha de perdas desprezáveis, com uma
carga em paralelo de admitância YB, terminada por uma carga adaptada.
Dados: Tensão na carga VC  200 V , Y0  0.01S e YB  0.75Y0 .
A
/4
B
/4
C
Y0
YB
Y0
Y0
y
yA
yB
0
Fig. 1
a)
Determine a admitância à entrada da carga YB (em y  y B  ) e à entrada da linha,
em y  y A .
b)
Represente graficamente o andamento do módulo da tensão e da corrente ao longo
da linha ( 0  y  y A ).
c)
Calcule o valor da relação de onda estacionária p , ao longo da linha.
d)
Determine de forma analítica I max e I min em função do módulo da corrente na
carga, IC . Confirme os resultados utilizando a Carta de Smith.
Soluções: a) YB   1.75Y0 , YA  0.57Y0 . b) B–C: V  VC  200 V , I  I C  2 A ; A–B:
VB  200 V , I B  3.5 A , I B  1.5 A , VA  350 V , I A  2 A . c) B–C: p  1 ; A–B:
p  1.75 . d) I max  I B  3.5 A , I min  I A  2 A .
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Problema LT 11 – Circuitos
Considere o circuito formado por uma linha de transmissão (com perdas desprezáveis)
terminado por dois troços de linha, um terminado por uma carga R1 e outro terminado em
vazio com uma carga R2 em paralelo (Fig. 1). Dados: Z A  Z 0 ; Z0  200  .
/4
R1  100 
A

Z0
Z0
Z A
Z0
R2
/5
Z0
l
Fig. 1
a)
Indique se o circuito é de baixa ou alta-frequência e diga quais as principias
características de um circuito de baixa e de alta-frequência.
b)
Calcule R2 e o comprimento l .
c)
Mostre que o valor de R1 é consistente com a condição Z A  Z 0 .
Soluções: b) R2  107.17  ; l  0.31 .
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