(2017) – Curso de Ver˜ao Li

Universidade Federal do ABC
Centro de Matemática, Computação e Cognição
Análise na Reta (2017) – Curso de Verão
Lista L3 — Topologia da Reta
Observações:
• Esta lista corresponde a um conjunto de exercı́cios selecionados pelo professor, que servirão de complemento
às aulas.
• Apenas alguns dos exercı́cios serão eventualmente resolvidos em sala de aula. Eventuais dúvidas que surjam na
resolução dos restantes deverão ser sanadas a posteriori.
• Ao resolver os exercı́cios desta lista tente justificar todos os passos que realizou até chegar à solução final.
I.
Sequências de Números Reais
A LGUMAS D EFINIÇ ÕES :
Seja (xn )n∈N uma sequência de números reais e Xn = {xm : m ∈ N e m ≥ n}.
Definimos as quantidades lim inf xn e lim sup xn como sendo
lim sup xn := inf{sup Xn : n ∈ N} & lim inf xn := sup{inf Xn : n ∈ N}.
Para a sequência (xn )n∈N consideremos adicionalmente as seguintes definições:
D1: Dizemos que a sequência (xn )n∈N é limitada superiormente se existe b ∈ R tal que
xn ≤ b. Adicionalmente lim sup xn ∈ R.
D2: Dizemos que a sequência (xn )n∈N é limitada inferiormente se existe a ∈ R tal que xn ≥
a. Adicionalmente lim inf xn ∈ R.
D3: Dizemos que lim sup xn = +∞ se o conjunto Xn não é limitado superiormente.
D4: Dizemos que lim inf xn = −∞ se o conjunto Xn não é limitado inferiormente.
D5: Dizemos que (xn )n∈N converge para um ponto x ∈ R, e escrevemos lim xn = x, se e
n→∞
somente se
∀>0 ∃nε ∈N : ∀n∈N n > nε =⇒ |xn − x| < ε
D6: Dizemos que (xn )n∈N é uma sequência de Cauchy se e somente se
∀>0 ∃nε ∈N : ∀m,n∈N : m, n > nε =⇒ |xm − xn | < ε
1. Reformule e demonstre o exercı́cio 22. da Lista L2-Números Reais em termos das noções
de lim inf & lim sup.
2. No caso de (xn )n∈N satisfazer a definição D5 diga, justificando, qual a relação entre lim xn
n→∞
e lim |xn − x|.
n→∞
3. Determine lim sup xn e lim inf xn para as sequências (xn )n∈N definidas por1 .
2n
3n
n
xn = (−2)
3n
xn = n3
xn = sin nπ
2
2 +1
2
xn = (−1)n 7n
n2 +1
(a) xn =
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) xn = 1 + 2(−1)n+1 + 3(−1)
(g) 3 xn = n ln 1 + n1 .
n(n−1)
2
D ICAS :
• Para os casos em que xn > 0, procure via o teste do cociente
é monótona crescente ou decrescente.
xn+1
xn
averiguar se (xn )n∈N
• Para os casos em que aparecem termos de forma (−1)n , faça uso da igualdade de conjuntos
Xn = X2n−1 ∪ X2n (n ∈ N)
e do resultado enunciado no exercı́cio 14. da Lista L2-Números Reais.
4. Prove que a sucessão (xn )n∈N converge para x se e somente se lim inf xn = lim sup xn = x
i.e.4
D5 ⇐⇒ lim inf xn = lim sup xn = lim xn .
n→∞
5. Mostre que (xn )n∈N é convergente se e somente se é uma sequência de Cauchy i.e.
D6 ⇐⇒ D5.
D ICA : Faça uso da desigualdade triangular |a + b| ≤ |a| + |b| para a = xm − x e b = x − xn .
1 D ICA
E XTRA : Resolva em paralelo o exercı́cio 16. da Lista L2-Números Reais
2
2 D ICA EXTRA :Procure, via divisão de polinômios, obter uma simplificação de 7n +1 .
n2 +1
3 D ICA E XTRA : Faça uso da desigualdade x > ln(1 + x), ∀
x>−1 .
4 A técnica de prova a utilizar neste tipo de exercı́cio é, em muito, semelhante à técnica de
Lista L2-Números Reais.
prova necessária para a resolução do item 16.(b) da
6. Mostre que se (xn )n∈N é uma sequência de Cauchy, então o conjunto Xn = {xn : n ∈ N} é
limitado i.e.
D6 =⇒ Xn é majorado e minorado.
D ICA : Procure fazer dois tipos de demonstração distintos. No primeiro caso, faça uso da
desigualdade triangular |a| ≤ |a − b| + |b| para a = xn e b = xn (m = n ). No segundo caso,
procure fazer uso do que aprendeu com a resolução do exercı́cio 15 da Lista L2-Números
Reais.
II. Intervalos
D EFINIÇ ÃO :
Dizemos que um conjunto I é um intervalo de R se satisfaz a seguinte propriedade:
P :∀a,b∈I ∃c∈R : (a < c < b =⇒ c ∈ I)
7. Averigue se os conjuntos dados são intervalos de R.
(a) A = {x ∈ Q : x2 < 6}
(b) B = {x ∈ R : x2 < 6}
(c) C = {x ∈ R : x2 > 6}
o
n
p
(d) D = x ∈ R : x − q < ε ( pq ∈ Q e ε > 0 elementos fixos).
(e) E = R \ Q (números irracionais).
8. Determine o conjunto solução para as inequações dadas. Averigue se para cada um dos casos,
o conjunto solução forma um intervalo.
(a) |x + 1| < |x − 1|
(b) |x| + |x − 1| < 2
(c) x+1
<1
x−1
x+1
(d) x−1
<2
(e) arcos(x) >
π
4
III. Conjuntos Abertos e Fechados
D EFINIÇ ÕES :
Seja X um subconjunto de R não vazio.
Ponto aderente: Dizemos que x ∈ R é um ponto aderente de X se existir um conjunto
Xn = {xn : n ∈ N}, formado pela sequência (xn )n∈N tal que
lim xn = x.
n→∞
Ponto de acumulação: Dizemos que x ∈ R é um ponto de acumulação de X se satisfaz
a a propriedade Ac
Ac : ∀ε>0 ]x − ε, x + ε[ ∩ (X \ {x}) 6= ∅.
Conjunto Aberto: Dizemos que X é aberto se satisfaz a propriedade Ab
Ab : ∀x∈X ∃δ>0 ]x − δ, x + δ[ ⊆ X.
Conjunto Fechado: Dizemos que X é fechado se o conjunto de todos os pontos aderentes
de X, X, é um ponto de X i.e.
X = X.
9. Demonstre as seguintes afirmações:
(a) Conjuntos da forma {x} são sempre conjuntos fechados.
(b) Conjuntos da forma R \ {x} são sempre conjuntos fechados.
(c) Os intervalos da forma ]a, b[ (a < b) são abertos.
(d) Os intervalos da forma [a, b] (a < b) são fechados.
(e) Os intervalos da forma ]a, b] e [a, b[ não são abertos nem fechados.
10. Determine o fecho de cada um dos conjuntos dados no exercı́cio 7.
11. Para dois subconjuntos não vazios de R, X e Y , respetivamente:
(a) Prove que int(X ∪ Y ) ⊇ int(X) ∪ int(Y )
(b) Prove que int(X ∩ Y ) ⊆ int(X) ∩ int(Y )
(c) Prove que R \ int(X) = R \ X e que R \ X = int(R \ X).
(d) Enuncie e demonstre um resultado análogo para os conjuntos
int(Y ) \ int(X), int(Y \ X), Y \ X e Y \ X.
(e) Prove que se X ⊆ Y e Y é um conjunto fechado, então X ⊆ Y .
12. Construa exemplos para os seguintes enunciados:
(a) Dois conjuntos X e Y para os quais se verifica int(X ∪ Y ) 6= int(X) ∪ int(Y ).
(b) Um conjunto limitado de números reais com três pontos de acumulação.
(c) Uma sequência de conjuntos fechados, não vazios, para os quais se verifica
F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn ⊆ Fn+1 ⊆ . . .
mas
∞
\
Fn = ∅.
n=1
13. Seja Z um subconjunto não vazio de R tal que Z é uma cisão i.e. Z = X ∪ Y .
(a) Mostre que se Z é aberto, então X e Y são também abertos.
(b) Enuncie e demonstre um resultado análogo para o caso de Z ser fechado.
14. Se X 0 denotar o conjunto de todos os pontos de acumulação de X:
(a) Mostre5 que X 0 = ∅ para o caso de X ser um conjunto finito ou numerável6 .
(b) Mostre7 que Z0 = ∅ e que Q0 = R.
(c) Para o caso de X = R \ Q, o que pode concluir acerca de X 0 ?
D ICA : Para alguns dos casos, justifique as suas respostas invocando argumentos de
densidade.
III. Conjuntos Compactos
15. Averigue se os intervalos dados são compactos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
N
Z
{x} (x ∈ R)
]a, b[ (a < b)
]a, b] (a < b)
[a, b] (a < b).
16. Para as sequências (xn )n∈N dadas pelo exercı́cio 3, considere os conjuntos da forma
Yn = {x ∈ R : − |xn | < x < |xn | + 1}.
(a) Determine
∞
\
Yn para cada um dos casos.
n=1
(b) Averigue se os conjuntos determinados no item anterior são compactos.
17. Demonstre o Teorema de Interseção de Cantor8 :
’Seja X é um conjunto compacto9 . Se existir uma sequência de intervalos encaixados
X1 ⊇ X2 ⊇ . . . ⊇ Xn ⊇ Xn+1 ⊇ . . .
tais que X1 = X e Xn 6= ∅, para todo o n ∈ N, então
∞
\
Xn 6= ∅ ’.
n=1
Última atualização: 11 de janeiro de 2017
c Prof. Nelson José Rodrigues Faustino
5 Mostrar que X 0 = ∅ é equivalente a mostrar que para todos os pontos de x ∈ X é possı́vel encontrar um ε > 0 tal que a interseção
]x − ε, x + ε[∩ (X \ {x}) dá vazio, ou equivalentemente, que é possı́vel representar X \ {x} como o complementar do conjunto (aberto)
]x − ε, x + ε[.
6 Dizemos que um conjunto X é numerável se existir função bijetora f : X → N
7 Mostrar que Q0 = R consiste em provar que todo o ponto aderente de Q \ {x} está em R (racionais e irracionais).
8 Demonstração deste teorema pode ser encontrado no livro Curso de Análise Real, vol. 1, de Elon Lages Lima (página 145 em diante).
9 A condição do conjunto ser limitado (uma das condições para garantirmos que o conjunto é compacto) desempenha um papel fundamental na
demonstração, pois permite-nos aplicar o teorema de Teorema de Bolzano-Weierstrass (en: Bolzano-Weierstrass Theorem). O exercı́cio 12. (c)
consiste portanto em construir um exemplo para o qual não podemos aplicar diretamente este teorema.)