1 Definição Clássica de Probabilidade 2 Definição

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Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula)
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Definição Clássica de Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo Ω o seu espaço amostral, vamos admitir que
todos os elementos de Ω tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que Ω é um
conjunto equiprovável.
Define-se probabilidade de um evento A (A ⊂ Ω) ao número real P (A), tal que:
P (A) =
2
n(A)
número de resultados favoráveis a A
=
número de resultados possíveis
n(Ω)
Definição Axiomática de Probabilidade
Para um dado experimento, é necessário atribuir para cada evento A no espaço amostral
Ω um número P (A) que indica a probabilidade de A ocorrer. Para satisfazer a definição
matemática de probabilidade, este número P (A) deve satisfazer três axiomas específicos:
Axioma 1: Para qualquer evento A, P (A) ≥ 0.
Axioma 2: P (Ω) = 1.
Axioma 3: Para qualquer sequência finita de eventos disjuntos A1 , A2 , . . . , An
P
n
[
!
Ai
=
i=1
2.1
n
X
P (Ai )
i=1
Propriedades
P.1 - P (φ) = 0
P.2 - Para qualquer sequência infinita de eventos disjuntos A1 , A2 , . . .
1
P
∞
[
!
Ai
=
i=1
∞
X
P (Ai )
i=1
P.3 - Para qualquer evento A,
P (Ac ) = 1 − P (A)
P.4 - Para qualquer evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1.
P.5 - Se A ⊂ B , então P (A) ≤ P (B).
P.6 - Para qualquer evento dois eventos A e B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P.7 - Se os eventos A1 , A2 , . . . , An formam uma partição do espaço amostral, então:
n
X
P (Ai ) = 1
i=1
Exemplo 1: Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos A = {soma dos
números igual a 9}, B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4} e C = {soma dos
números menor ou igual a 4}. Enumere os elementos de A, B, C, A ∩ B e A ∩ C . Obtenha
P (A ∪ B) e P (A ∪ C)
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Eventos Independentes
Suponha que dois eventos A e B ocorram independentes um do outro no sentido que a
ocorrência ou não de um deles tenha nenhuma relação e nenhuma influência na ocorrência
ou na não ocorrencia do outro. Nessas condições
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Definição: Dois eventos são independentes se P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Problema
Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = P , P (A ∪ B) = 0, 6. Calcular P
considerando A e B :
a) Mutuamente exclusivos;
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b) independentes.
Resolução
a) P (A ∩ B) = 0 como P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) vem 0, 6 = 0, 2 + p − 0
∴ P = 0, 4
b) P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0, 2 · P como P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
vem 0, 6 = 0, 2 + P − 0, 2P ∴ 0, 4 = 0, 8P logo, P = 0, 5
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Probabilidade Condicional
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de A ocorrer, depois B ter acontecido, é representada por P (A/B) (Probabilidade de A dado B ) e é denominada probabilidade condicional
de A, depois de B ter ocorrido.
É portanto natural definir-se a probabilidade condicional P (A/B) como a proporção
da probabilidade total P (B) que é representada pela probabilidade P (A ∩ B). Portanto,
tem-se a seguinte definição
P (A/B) =
P (A ∩ B)
,
P (B)
dado P (B) > 0
Se P (B) = 0 a P (A/B) não é definida
ou, equivalentemente
P (B/A) =
P (A ∩ B)
,
P (A)
dado P (A) > 0
Se P (A) = 0 a P (B/A) não é definida.
Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO PRODUTO: Sejam A ⊂ Ω e B ⊂ Ω. Então, P (A ∩ B) = P (B) · P (A/B) ou P (A ∩ B) =
P (A) · P (B/A).
Exemplo: Um grupo de 86 pessoas está assim formado:
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja:
a) Uma mulher que fez o curso de medicina ?
b) Uma pessoa que fez o curso de medicina ?
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c) Um engenheiro dado que seja homem ?
d) Não ser médico dado que não seja homem ?
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Probabilidade Total
Seja Ω o espaço amostral de um experimento,
Ske considere K eventos A1 , A2 , . . . , Ak
em Ω tal que A1 , A2 , . . . , Ak sejam disjuntos e i=1 Ai = Ω. Diz-se, então, que estes
eventos formam uma partição de Ω.
Se os eventos A1 , A2 , . . . , Ak formam uma partição de Ω, e B é qualquer outro evento
em Ω, então:
B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ . . . ∪ (Ak ∩ B)
Como os K eventos do lado direito da equação anterior são disjuntos:
P (B) =
k
X
P (Ai ∩ B)
i=1
Mas P (Aj ∩ B) = P (Aj ) · P (B/Aj ) em que j = 1, 2, . . . , k . Então
P (B) =
k
X
P (Aj ) · P (B/Aj )
i=1
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém
4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também
ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
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Teorema de Bayes
Sejam os eventos j = 1, 2, . . . , k que formam uma partição do espaço amostral Ω tal
que P (Aj ) > 0 para todo j = 1, 2, . . . , k e seja B qualquer evento tal que P (B) > 0. Então,
para i = 1, 2, . . . , k , temos:
P (Aj /B) = Pk
P (Aj )P (B/Aj )
i=1
P (Ai ) · P (B/Ai )
Prova: Pela definição de probabilidade condicional,
P (Aj /B) =
4
P (Aj ∩ B)
P (B)
(1)
O numerador da equação (1) é igual a P (Aj ∩ B) e o denominador é igual a P (B) (pela
fórmula para probabilidade total).
Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40
por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por
cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e
se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina
A? Da B? Da C?
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Exercícios
1. Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (X, Y ), são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a
probabilidade de que seja X + Y = 10? (R= 4/45)
2. Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3, . . . , 19, 20}, e, por meio de um
sorteio aleatório, retire um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de o número sorteado ser o número 13? ( R = 1/10)
3. A probabilidade de que o aluno A resolva determinado problema é 2/3 e a probabilidade de que o aluno B o resolva é 4/5. Se ambos tentarem independentemente a
resolução, qual a probabilidade do problema ser resolvido? ( R = 14/15)
4. Numa festa beneficente, foram vendidos 20 números em uma "rifa", e serão sorteados dois prêmios. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro
números ganhar os dois prêmios? (R = 3/95)
5. Um lote é formado por 10 animais sadios, quatro com problemas menores e dois
com problemas graves. Todos os animais são numerados e é feita a escolha de um
animal ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) ele não tenha problemas; (R =5/8)
b) ele não tenha problemas graves; (R = 7/8)
c) ele ou seja sadio ou tenha problemas graves. (R = 3/4)
6. Duas bolas vão ser retiradas sem reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas
a) sejam verdes? (R = 1/6)
b) sejam da mesma cor? ( R = 5/18)
7. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se 3 bolas (uma
após a outra). Achar a probabilidade de que:
a) nenhuma seja vermelha. (R= 14/55)
b) exatamente uma seja vermelha. (R = 28/55)
c) todas sejam da mesma cor. (R= 4/55)
8. Numa população composta por 200 animais de duas raças X e Y , os animais podem
ser fecundos e não fecundos. Vinte por cento dos animais da raça X são fecundos;
trinta por cento dos animais da raça Y sao não fecundos e setenta e cinco por cento
dos animais são da raça X . Escolhe-se um animal ao acaso. Determine a probabilidade desse animal:
a) ser da raça Y dado que é fecundo; (R = 0,55)
b) ser não fecundo dado que é da raça Y .( R = 0,30)
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9. Uma indústria produz determinado tipo de peça em três máquinas M1 , M2 e M3 .
A Máquina M1 produz 40% das peças, enquanto M2 e M3 produzem 30% cada
uma. As porcentagens de peças defeituosas produzidas por essas máquinas são
respectivamente iguais a 1%, 4% e 3%. Se uma peça é selecionada aleatóriamente
da produção total, qual é a probabilidade dessa peça ser defeituosa? (R = 0,025)
10. A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8
azuis. Joga-se uma moeda honesta. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da
urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída.
Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? (R = 34 )
11. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura.
60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais
8
de 1,75 m. Qual a probabilidade de que seja homem? ( R = 11
= 0, 7272)
12. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam
empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:
a) A ganhar todas a três; (R = 81 )
b) duas partidas terminarem empatadas; (R =
c) A e B ganharem alternadamente. (R =
5
)
72
5
)
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13. Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro,
86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema.
Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
a) não tenha acertado nenhum problema? ( R =
37
)
124
b) tenha acertado apenas o segundo problema? (R =
21
)
124
14. São retiradas, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a
1
)
probabilidade de que as duas sejam de ouros? (R = 16
15. Um lote de certo tipo de peças é formado de 9 peças boas, 2 com pequenos defeitos
e uma com defeito grave. Uma dessas peças é escolhida ao acaso. Determine a
probabilidade de que a peça escolhida:
a) não tenha defeito; ( R = 43 )
b) não tenha defeito grave. (R =
11
)
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16. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se
a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0, 6, enquanto a probabilidade da
ocorrência de A for igual a 0, 4, determine a probabilidade da ocorrência de B. (R =
0,33)
17. As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q , respectivamente. Qual a probabilidade:
a) de nenhum desses eventos ocorra? (R = (1 − p)(1 − q))
b) de que pelo menos um desses eventos ocorra? ( R = (p + q − pq))
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