Posições Relativas – Matemática – 8º ano – 4º

Aluno(a):
__
Professora: Deise Ilha
Componente Curricular: Matemática
.
Turno: Matutino.
Data:
/
/ 2016.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Na figura 1, a reta s corta a circunferência em dois pontos
distintos. Nesse caso, a reta s é chamada secante à
circunferência.
Observe, pela figura 1, que a distância do d do centro à reta s
é menor que comprimento r do raio, ou seja, d < r.
Na figura 2, a reta s tem apenas um ponto em comum com a
circunferência. Nesse caso, a reta s é chamada reta tangente à
circunferência.
O ponto T é chamado ponto de tangência.
Note pela figura 2, que a distância d do centro à reta s é
igual ao comprimento r do raio, ou seja,
d = r.
Na figura 3, a reta s e a circunferência não tem ponto em comum.
Nesse caso, a reta s é uma reta externa à circunferência.
Veja, pela figura 3, que a distância d do centro à reta s é
maior que o comprimento r do raio, ou seja, d > r.
Propriedades da reta tangente
As retas tangentes a uma circunferência apresentam duas propriedades importantes.
1ª propriedade:
Na figura, vemos uma circunferência de centro O
e uma reta t, tangente a essa circunferência.
A menor distância do ponto O à reta t é o
segmento OT, perpendicular à reta t. Como o ponto
T pertence à circunferência, OT é um segmento que
representa um raio dessa circunferência.
Então podemos dizer:
̅̅̅̅
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. t ⊥ 𝑶𝑻
2ª propriedade:
̅̅̅̅, tangentes à
A figura nos mostra dois segmentos, ̅̅̅̅
𝑃𝐴 e 𝑃𝐵
circunferência, traçados de um ponto P exterior.
Se considerarmos os triângulos retângulos OAP e OBP,
̅̅̅̅
podemos afirmar que são congruentes, pois têm a hipotenusa (𝑂𝑃
̅̅̅̅
̅̅̅̅
nos dois triângulos) e um cateto (𝑂𝐴 no ∆𝑂𝐴𝑃 e 𝑂𝐵 no ∆𝑂𝐵𝑃)
respectivamente congruentes.
̅̅̅̅ ≅ 𝑃𝐵
̅̅̅̅.
Se ∆𝑂𝐴𝑃 ≅ ∆𝑂𝐵𝑃 , então 𝑃𝐴
Daí, temos a propriedade:
Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos
̅̅̅̅ e 𝑷𝑩
̅̅̅̅ tangentes à circunferência nos
os segmentos 𝑷𝑨
̅̅̅̅ e 𝑷𝑩
̅̅̅̅ são congruentes.
pontos A e B, então os segmentos 𝑷𝑨
Posições relativas entre duas circunferências
Vamos, agora, observar as posições que duas circunferências podem ocupar em um plano.
1º caso: As circunferências são externas.
Se indicarmos por d a distância entre os centros O1 e O2,
poderemos notar que:
2º caso: As circunferências são tangentes externamente.
Se indicarmos por d a distância entre os centros O1 e O2, veremos
que:
3º caso: As circunferências são tangentes internamente.
Se indicarmos por d a distância entre os centros O1 e O2, veremos
que:
4º caso: As circunferências são secantes.
Se indicarmos por d a distância entre os centros O1 e O2,
veremos que:
5º caso: As circunferências não tem nenhum ponto
comum, e uma delas é interna à outra.
Se indicarmos por d a distância entre os centros O1 e O2,
veremos que:
Observações:

Existem casos especiais de duas circunferências, uma interna à outra, que têm o mesmo centro: são
chamadas circunferências concêntricas. Veja os exemplos:

A figura plana limitada por duas circunferências concêntricas e de raios distintos chama-se coroa
circular.
Arco de circunferência e ângulo central
Vamos observar a circunferência da figura abaixo, em que estão assinalados os pontos A e B, distintos.
Esses pontos dividem a circunferência em duas partes e cada uma dessas partes é chamado arco de
circunferência.
Os pontos A e B são chamados de extremidades do arco.