Sistema de equações lineares
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Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo a11 x1 + a12 x2 + " + a1n xn a x + a x + "+ a x 21 1 22 2 2n n (S ) # % % # am1 x1 + am 2 x2 + " + amn xn = b1 = b2 # = bm aij são elementos de um corpo Ω coeficientes bj são elementos de um corpo Ω termos independentes x1, x2, ..., xn são variáveis tomando valores em Ω variáveis ou incógnitas ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 1 Sistema de equações lineares Representação matricial a11 a A = 21 # am1 a12 a22 # am 2 " a1n " a2 n % % " amn x1 x 2 X = # xn b1 b 2 B= ⇒ # bm AX = B A – matriz dos coeficientes do sistema ou matriz do sistema B – matriz dos termos independentes X – matriz das incógnitas ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 2 Sistema de equações lineares Solução de um sistema de equações Uma solução s do sistema de equações (S) é constituída por n escalares, s1, s2, ..., sn tal que s1 s s = 2 # sn ⇒ As = B Conjunto de soluções do sistema – colecção de todas as soluções do sistema (S) ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 3 Sistema de equações lineares Classificação dos sistemas determinado (solução única) possível (tem soluções) Sistema indeterminado (múltiplas soluções) impossível (não tem solução, equações são incompatíveis) Sistema homogéneo – os termos independentes são todos nulos; é sempre possível pois admite pelo menos a solução nula. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 4 Sistemas de Cramer Sistema de Cramer - o número de equações é igual ao número de incógnitas; - a matriz dos coeficientes, A, tem característica idêntica à ordem da matriz (r(A) = n; det(A) ≠ 0) Os sistemas de Cramer podem ser resolvidos por: - inversão de matrizes - Teorema de Cramer ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 5 Sistemas de Cramer Resolução por inversão de matrizes Se AX=B é um sistema de Cramer, A-1AX=A-1B InX = A-1B X = A-1B ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 6 Sistemas de Cramer coluna xj Teorema de Cramer O valor de cada incógnita xj é obtido pelo quociente de dois determinantes: - o determinante do denominador é o determinante |A| da matriz dos coeficientes; - o determinante do numerador é o determinante que resulta de |A| substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xj pela coluna dos termos independentes. ÁLGEBRA a11 a21 # xj = a12 " b1 " a1n a22 " b2 " a2 n # % % % # an1 an 2 " bn " ann a11 a12 " a1 j " a1n a21 # a22 " a2 j " a2 n # % % % # an1 an 2 " anj " ann Sistemas de equações lineares - 7 Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Fundamento do método Transformação do sistema inicial num sistema equivalente de resolução mais simples. Sistemas equivalentes – admitem o mesmo conjunto de soluções Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas e C uma matriz invertível de ordem m. Então o sistema (S’): (CA)X=CB é equivalente ao sistema (S). ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 8 Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas. Seja [A’| B’] uma matriz obtida a partir da matriz completa do sistema, [A | B], através de um número finito de operações elementares sobre as linhas. Então, o sistema A’X=B’ é equivalente ao sistema AX=B. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 9 Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Procedimento para a resolução do sistema AX=B 1. Construção da matriz completa do sistema [A | B]; 2. Aplicação de operações elementares às linhas da matriz completa do sistema, transformando-a numa nova matriz [F | K]; esta nova matriz é uma matriz em formato de linhas escalonadas. O sistema correspondente à matriz [F | K] é equivalente ao original e pode ser resolvido de forma (quase) directa. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 10 Resolução de sistemas Matriz em formato de linhas escalonadas (c) o primeiro elemento não nulo em cada linha é o único elemento não nulo na respectiva coluna. m. diagonal (b) o primeiro elemento não nulo em cada linha é 1 e ocorre numa coluna à direita do primeiro valor 1 em qualquer linha anterior; m. triangular superior (a) qualquer linha contendo um elemento não nulo precede as linhas cujos elementos são todos nulos; O processo usado para transformar a matriz completa do sistema numa matriz em formato de linhas escalonadas designa-se eliminação Gaussiana. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 11 Resolução de sistemas Eliminação Gaussiana (2 passos) Passo 1 – a matriz completa do sistema é transformada numa matriz triangular superior com o valor 1 no primeiro elemento não nulo de cada linha; cada um destes valores ocorre numa coluna à direita do primeiro elemento não nulo da linha precedente (condições (a) e (b)); Passo 2 – a matriz triangular é transformada numa matriz com as linhas escalonadas (condição (c)). ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 12 Sistemas homogéneos Sistemas homogéneos Um sistema AX=B de m equações em n incógnitas é homogéneo se B= O. Qualquer sistema homogéneo tem pelo menos uma solução, a solução nula 0 0 s= # 0 Esta solução é designada solução trivial do sistema homogéneo. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 13 Sistemas homogéneos Conjunto fundamental de soluções de um sistema homogéneo O sistema AX=O tem soluções não nulas se e só se r(A) < n, isto é se a característica da matriz dos coeficientes for inferior ao número de incógnitas. Um conjunto X1, X2, ..., Xk de soluções linearmente independentes do sistema AX=O é um conjunto fundamental de soluções se qualquer solução do sistema é uma combinação linear das soluções X1, X2, ..., Xk. O número de soluções de qualquer conjunto fundamental é igual ao grau de indeterminação do sistema homogéneo. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 14 Sistemas homogéneos Relação entre as soluções de um sistema e as soluções do sistema homogéneo associado A solução geral do sistema AX=B pode ser obtida somando uma solução particular deste sistema (s0) com a solução geral do sistema homogéneo AX=O associado (s). Com efeito, se As= O e As0= B , então A(s+s0)= O+B = B. ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 15
