1 N pN tN rN - Centro de Estudos Espaço

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica:
Eletromagnetismo. São Paulo: Edgard Blücher Ltda,
2002
Eletromagnetismo I
Ementa:
1 - Carga e Matéria
Quantização da carga elétrica. Conservação da
carga elétrica. A lei de Coulomb. Condutores e
isolantes.
2 -Campo Elétrico e Lei de Gauss
3 -Potencial Elétrico Blindagem Efeito das
Pontas
4 - Capacitância e Energia Eletrostática
Capacitância Dielétricos Energia Eletrostática
5 - Corrente e Resistência Elétrica Definição
de Corrente Condutividade e Resistividade
Materiais Ohmicos
6 - Campo Magnético de Correntes
Estacionárias e Lei de Ampere:
Definição de Campo Magnético
Lei de Biot-Savart
Lei de Ampere
Energia Magnética
7 - Indução Magnética e Lei de FaradayLenz. Indutância Motores Geradores
8 - Circuitos Elétricos
Medida de Corrente e Diferença de Potencial
Força Eletromotriz
Leis de Kirchoff e dos Nós
Circuitos RC e RLC
Circuitos AC
Transformadores
Bibliografia complementar:
HAYT Jr., W. H. Eletromagnetismo. 4ªed e
6ªed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos
Editora, 1994.
K.RAUS, J. D.; FLEISCH, D. A.;
Electromagnetics with Appiications. New York,
McGraw-Hill 1992.
1
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo.
São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980.
SEELY, S. Introduction Electromagnetic
Fields. Tokyo: Kogakusha Company, Ltd.,
Intemational Student Edition.
1958.
HELD, M. A.; MARION, J. B. Classical
Eletromagnetic Radiation. 3.ed. Philadelfia/USA:
Harcout Brace &Company, 1995.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA
APRENDIZAGEM
Provas escritas
Obietivos (ao término da disciplina o
aluno devera ser capaz de):
Compreender os principais fenômenos
eletromagnéticos. Conhecer as principais leis do
eletromagnetismo e resolver problemas envolvendo
circuitos elétricos.
Peso de provas: p
Peso de trabalhos: t
Peso de relatórios: r
Onde Mp é a média aritmética das notas
obtidas pelo aluno nas provas e Mr a média
aritmética das notas dos trabalhos. Durante o
semestre, além de duas provas individuais
obrigatórias, será ofertada a todos os alunos uma
terceira prova cuja realização obrigatória para quem
não totalizou os pontos.
Notas de aula baseada na:
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
RESN1CK, R.; HALLIDAY, D.; KLRANE, K:.
Física 3. 5.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 2003.
 Nota bimestral:
Nb
HALLIDAY, D.; RESNICK.R.; WALK.ER, J.
Fundamentos de Física. 6.ed. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2002. v.3.
pNP tNT rNr
p = 0.7; r = 0.25; t = 0.05
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e
Engenheiros; Eletricidade, Magnetismo e Ótica.
Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 2000.
YOUNG, H. D., FREEDMAN, R. A. Física III.
Pearson , 2004.
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: Um Curso
Universitário. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher
Ltda, 2002, v.2.
1
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb
gases, quando submetidos a baixa pressão, podem
conduzir eletricidade, Henrich Geissler (1859),
Johann Hittorf (1896) e Willian Crookes (1886),
utilizaram o chamado tubo de raios catódicos. Esse
aparelho é formado por uma ampola de vidro ligada
a uma bomba de vácuo que tem por utilidade
diminuir a pressão interna. Nas duas pontas do tubo
há extremidades metálicas (eletrodos) ligadas a uma
bateria.
Quando a pressão interna chega a um
décimo da pressão ambiente, o gás que existe entre
os eletrodos passa a emitir uma luminosidade.
Quando a pressão diminui ainda mais (100 mil
vezes menor que a pressão ambiente) a
luminosidade desaparece, restando uma "mancha"
luminosa atrás do pólo positivo.
Cientistas atribuíram essa mancha a raios
provenientes do pólo negativo (catodo). Então foram
denominados raios catódicos. Os raios catódicos
nada mais são do que feixes de elétrons que
atravessam o tubo. São comumente encontrados em
aparelhos de
televisão
e
monitores de
microcomputadores.
Nas ruas podemos encontrá-los em alguns
letreiros. As cores desses raios dependem do gás
usado. Com algumas modificações nos tubos, os
raios catódicos dão origem a outros tipos de luzes,
como por exemplo:
Luminosos de néon: o gás usado
é o neônio. É usado em letreiros publicitários.
Luminosos de sódio: o gás usado
é o vapor de sódio. Confere uma luminosidade
amarela característica. É usado em iluminações de
vias públicas e túneis.
Lampadas fluorescentes
de
mercúrio: o gás usado é vapor de mercúrio. Emite
uma luz violeta e ultravileta (luz negra). É revestida
com uma tinta fluorescente (a base de fósforo) que
absorve a luz emitida e reemite como luz branca.
São usadas em residências, vias públicas,
escritórios, etc.
Introdução:
A carga elétrica
O termo eletricidade vem da palavra grega
elektron, que significa âmbar, resina que quando
atritada com lã provoca atração em palha, fenômeno
conhecido desde a antiguidade. Pode-se considerar
que os conhecimentos sobre a eletricidade tiveram
seu início em 600 AC, quando Thales de Mileto
verificou que um bastão de âmbar (uma resina
fóssil) atritado atraía pequenos fragmentos de palha.
Aliás, a origem da palavra está no grego elektron,
que significava âmbar amarelo.
A evolução das constatações de Mileto
levou à conclusão da existência de cargas elétricas,
que podem ser de duas espécies: positiva e negativa.
Entre cargas da mesma espécie ocorre uma repulsão
e entre espécies diferentes, uma atração.
No final do século XIX e início do século
XX, diversos experimentos realizados por físicos,
que descreveremos mais adiante, demonstraram que
a matéria possui massa e ocupa lugar no espaço,
sendo constituída por partículas muito pequenas
chamadas de átomos e estes por sua vez são
constituídos por prótons e nêutrons, situados no
núcleo, e elétrons que orbitam o núcleo em camadas
definidas.
A descoberta do elétron
A existência do elétron foi postulada por G.
Johnston e Stoney como uma unidade de carga no
campo da eletroquímica. O elétron foi descoberto
por Thomson em 1897 no Laboratório Cavendish,
da Universidade de Cambridge, enquanto estudava o
comportamento dos raios catódicos. Influenciado
pelo trabalho de Maxwell e o descobrimento dos
raios X, deduziu que no tubo de raios catódicos
existiam partículas com carga negativa, que
denominou de corpúsculos. Ainda que Stoney haja
proposto a existência do elétron, foi Thomson quem
descobriu seu caráter de partícula fundamental. Para
confirmar a existência do elétron, era necessário
medir suas propriedades, em especial a sua carga
elétrica. Este objetivo foi alcançado por Millikan,
através da célebre experiência da gota de óleo,
realizada em 1909.
George Paget Thomson, filho de J.J.
Thomson, demonstrou a natureza ondulatória do
elétron, provando a dualidade onda-partícula
postulada pela mecâncica quântica. Esta descoberta
lhe valeu o Prêmio Nobel de física de 1937.
O spin do elétron foi observado pela
primeira vez pela experiência de Stern-Gerlach. Sua
carga elétrica pode ser medida diretamente através
de um eletrômetro e a corrente gerada pelo seu
movimento com um galvanômetro.
Os raios catódicos são de elétrons que
atravessam um tubo com gás em baixa pressão entre
dois pólos, que produzem luminosidade de acordo
com a pressão. Para chegar a conclusão de que os
Joseph John Thomson Origem: (Wikipédia, a
enciclopédia livre).
Físico britânico nascido em Manchester em 1856 e
falecido em Cambridge em 1940. Formou-se em Cambridge em
1884, onde foi professor de Física Experimental e diretor do
Laboratório Cavendish até se jubilar em 1919. Mediu pela
primeira vez a carga específica do elétron em 1897 e mostrou que
o efeito termiônico é devido a elétrons. Pela ação de campos
elétricos e magnéticos sobre um feixe de íons de néon, verificou
em 1913 a existência de isótopos em elementos não radioactivos,
descobrindo o "método das parábolas". Foi-lhe atribuído o
Prêmio Nobel de Física em 1906 por investigações teóricas e
experimentais sobre a passagem da eletricidade através dos gases.
2
2
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb
Figura 1 – a) J.J. Thomson el seu laboratório (a)
utilizando o tubo de raios catódicos (b) onde constatou a
deflexaão de raios catódicos após aplicar um campo elétrico entre
as placas Q e E (c).
a)

f

Q E
Q<0
3

vT

m g
Figura 2 –Aparato construído por Millikan para
medida da carga elétrica.
Espalhando as gotículas de óleo por um
atomizador sobre a placa superior, algumas das
gotículas caem através de um pequeno furo existente
nessa placa. Um feixe de luz é dirigido
horizontalmente entre as placas e uma luneta é
instalada com seu eixo perpendicular ao feixe. As
gotículas de óleo, observadas pela luneta, quando
iluminadas pelo feixe de luz, aparecem como
pequeninas estrelas brilhantes caindo lentamente
com velocidade terminal constante, dada pelo seu
peso e pela força viscosa da resistência do ar, que se
opões ao movimento: Verifica-se que algumas das
gotículas de óleo se encontram eletrizadas,
presumivelmente devido a efeitos de atrito. Pode-se
também carregar as gotículas, ionizando-se o ar no
interior da câmara por meio de raio X ou com ums
pequena quantidade de material radioativo. Dessa
maneira, alguns elétrons ou íons colidem com as
gotículas de óleo e são por elas capturadas. As
gotículas têm normalmente carga negativa, mas,
ocasionalmente, pode-se encontrar uma ou outra
gotícula com carga positiva.
O método mais simples da medida da carga
numa gota consiste em: supor que a gotícula possui
uma carga negativa e que as placas sejam mantidas a
uma diferença de potencial constante, tal que o
campo elétrico é dirigido para baixo. Assim, a força
elétrica sobre a gotícula é para cima. Ajustando-se o
campo elétrico E, pode-se fazer com que a força
elétrica se iguale ao peso, de modo a manter a gota
em repouso (Figura 2 (b)). Assim:
b)
c)
A experiência da gota de óleo de
Millikan
A experiência de Millikan foi a primeira e
direta medida experimental da carga de um elétron.
Foi realizada em 1909 pelo físico
americano Robert A. Millikan, que construiu um
dispositivo capaz de medir a carga elétrica presente
em gotas de óleo demonstrando a natureza discreta
da carga do elétron e medindo-a pela primeira vez.
A montagem de Millikan é mostrada na
figura 2. Duas placas metálicas rigorosamente
paralelas e horizontais, são isoladas e afastadas entre
si por uma distância de alguns milímetros.
Fe
 
P 0
Q E
m g
Q
m g
E
{1}
Como a massa da gota é a sua densidade
multiplicada pelo volume: m
4
3
R 3 {2}
O Campo elétrico é dado pela diferença de
potencial U dividida pela distância entre as placas l:
E
U
{3}. Substituindo {2} e {3} em {1},
l
teremos:
3
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R3 gl
U
4
3
Q
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb
{4}
Todas essas quantidades podem ser
medidas, com exceção do raio da gota, que é muito
pequeno para ser medido, da ordem de 10 -5cm.
Pode-se calculá-lo desligando-se o campo elétrico e
medindo-se a velocidade terminal vT da gotaquando
esta cai por uma distância d. A velocidade terminal
ocorre quando o peso é igual à força viscosa f sobre
a gota, dada pela Lei de Stokes:
f
6
vR
Montando a segunda lei de Newton,
teremos:
f
P
6
R
vR
3
mg
vT
2 g
6
vT R
4
3
{5}
Substituindo {5} em {4}, teremos:
l
Q 18
U
3 3
T
v
2 g
Se a folha do ouro possuir espessura de 1
micrômetro (1 m), usando o diâmetro do átomo do
ouro da tabela periódica, sugere que a folha é possui
aproximadamente 2800 átomos.
O tamanho do núcleo do átomo comparado
ao tamanho do átomo em que reside é pequeno. Por
exemplo, o espaço dentro de um átomo pode ser
comparado ao espaço no sistema solar, em um
modelo em escala, como mostrado na figura
anterior. Escolhendo o núcleo de ouro, o raio
atômico é 18000 vezes o tamanho do núcleo. Esta
disparidade
no
tamanho
foi
descoberta
primeiramente com o espalhamento de partículas
alfa3 realizado por Rutherford em folhas finas do
R gA extremidade desta comparação do espaço é
ouro.
destacada pelo fato que um átomo com números
iguais dos nêutrons e dos prótons, o núcleo
compreende aproximadamente 99,97% da massa do
átomo!
É interessante observar alguns aspectos
como a ordem de grandeza do tamanho do átomo,
que é em torno de Angstron:
0
1 A 10
Millikan e seus colaboradores mediram as
cargas de alguns milhares de gotas e concluíram
que, dentro dos limites de seus erros experimentais,
cada gota possuía uma carga igual a um múltiplo
inteiro de certa carga básica, e, isto é, haviam
observadas gotas com cargas 2e, 3e, 4e. A conclusão
que se chega é que a carga é múltipla da carga e. O
melhor valor experimental já medido para e é:
10
m
Já a ordem de grandeza do tamanho do
núcleo é da ordem de fentômetro, usualmente
chamado Fermi:
1 fm
10
15
m.
As massas nucleares são medidas em
termos da unidade de massa atômica com o núcleo
de carbono 12 definido como tendo uma massa de
exatamente 12 u.m.a..
e 1,60219210 19C
1uma 1.6605410 27 kg
Experimento de Rutherford
As partículas alfa (núcleos de átomos de
hélio 24 ) de uma fonte radioativa foram usadas para
golpear uma folha fina do ouro. As partículas alfa
produzem um pequeno flash minúsculo, mas visível
de luz quando golpeiam uma tela fluorescente.
Espantosamente, as partículas de alfa foram
encontradas em ângulos grandes da deflexão e
algumas foram encontradas para trás ao serem
dispersas.
Para termos uma idéia das dimensões do
sistema atômico comparada com o sistema Solar,
mostramos alguns dados na tabela abaixo:
 Modelo de Escala Relativa de um átomo
e o sistema solar.
Nessa escala, a próxima estrela estaria a
aproximadamente 10000 milhas distante.
(Figura extraída de: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu)
Figura 4 – Comparação do modelo atômico e sistema
solar.
Figura 3 – Aparato experimental do Experimento de
Rutherford.
Esta experiência mostrou que a matéria
positiva nos átomos está concentrada em um volume
muitíssimo pequeno e deu o nascimento à idéia do
átomo nuclear. Assim, representou um dos maiores
avanços na nossa compreensão da natureza.
4
4
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo
Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb
 Dados do Modelo Comparativo:
Átomo de Ouro:
Densidade (material): 19.32
g/cm3.
1 uma = 1,66 . 10-27kg
Raio atômico: 1,3.10 -10m.
Sistema Solar
Raio do Sol: 695000 km
Distância Sol-Terra: 150.10
km.
6
As massas nucleares são medidas nos
termos de unidades maciças atômicas com o núcleo
do carbono-12 definido como tendo u.m.a.
exatamente 12. É também prática comum citar a
chamada energia de repouso E = m0c2). A
correspondência da energia de repouso a u.m.a. é:
Densidade nuclear: 2.1017
kg/m3.
Massa Atômica: 196 uma (1
mole = 196.97 g)
Número
de
Avogadro:
6,02.1023 átomos/mole
Raio nuclear: 7,3.10-15 m.
1u 1.6605410 27kg
931.494MeV
Raio da Terra: 6376 km.
Distância
Sol-Plutão:
5900.106km
Alguns
experimentos
realizados
(espalhamento) sugerem que o núcleo tem a forma
aproximadamente esférica e possui essencialmente a
mesma densidade. Mantém-se unido devido a
existência da chamada força nuclear forte, existente
entre quaisquer pares de partículas nucleares
(prótons ou nêutrons) ou núcleons. O número de
prótons é chamado de número atômico (Z) e
determina o elemento químico.
5
1A
0
2
1
H
1,008
3A
4A
5A
7
6A
4
5
6
8
9
9,01
10,8
12,0
14,0
16,0
19,0
11
12
14
15
16
P
17
32,1
Na
23,0
19
Rb
85,5
Elementos de transição externa
13
Mg
24,3
Al
3B
20
21
40,1
44,9
Ca
K
39,1
37
B
Be
Sc
38
39
87,6
88,9
Sr
Y
4B
5B
6B
22
23
Ti
24
50,9
52,0
V
47,9
40
41
42
92,9
95,9
74
Nb
73
55
56
72
Ta
Cs Ba lantaní- Hf
132,9 137,3 deos
178,5 180,9
87
88
105
104
actiníFr
Ra dios
Unq Unp
223
226
Mo
W
106
1B
8B
26
27
28
55,8
58,9
58,7
Fe
Mn
54,9
43
75
Re
107
Uns
Co
Ru
Rh
76
77
101,1 102,9
Os
Ir
190,2 192,2
108
Uno
29
63,5
47
Pd
Ag
78
107,9
79
106,4
Pt
2B
30
Cu
Ni
46
45
44
Tc
98,9
183,8 186,2
Unh
8B
8B
25
Cr
91,2
Zr
7B
Au
195,1 197,0
Zn
27,0
31
Ga
65,4
69,7
48
49
Cd
In
112,4 114,8
80
Hg
200,6
81
Tl
C
Si
28,1
32
Ge
72,6
50
N
31,0
82
Pb
204,4 207,2
S
34
35
79,9
53
Sb
52
Te
121,8 127,6
83
Bi
209,0
84
Po
209
18
Ar
Cl
78,9
Se
Ne
20,2
39,9
35,5
33
As
10
F
74,9
51
Sn
118,7
O
4,00
7A
3
6,94
Li
Figura 4 – Tabela periódica dos elementos.
He
2A
36
Kr
Br
83,8
I
Xe
54
126,9 131,3
85
At
210
86
Rn
222
109
Une
Elementos de transição interna
O núcleo de um dado elemento (mesmo
número atômico Z) pode ter diferentes números de
nêutrons. São tratados como isótopos do elemento.
Os átomos são constituídos por partículas
subatômicas: elétrons, prótons e nêutron. O elétron
possui a carga negativa (-e) unidade de carga
fundamental da eletricidade. Os elétrons giram em
torno do núcleo, ou centro do átomo, em trajetórias
de "camadas" concêntricas, ou órbitas, como
mostramos na figura 5. O próton possui a carga
positiva (+e). Os prótons são encontrados no núcleo.
O número de prótons, dentro do núcleo de qualquer
átomo específico, determina o elemento e o número
atômico Z.
Por exemplo, o átomo de silício tem 14
prótons no seu núcleo e, portanto, o número atômico
do silício é 14. O nêutron, que é a carga neutra fundamental da eletricidade, também é encontrado no
núcleo.
Série dos lantanídeos
57
La
58
59
Ce
Pr
138,9 140,1 140,9
60
Nd
144,2
61
Pm
145
62
Sm
150,4
63
Eu
64
Gd
152,0
157,3
95
96
65
Tb
66
Dy
158,9 162,5
67
68
69
Er
Tm
164,9
167,3 168,9
99
100
101
Es
Fm
Ho
70
Yb
71
Lu
173,0 175,0
número atômico
símbolo
massa atômica
Série dos actinídios
89
Ac
227,0
Figura 5 – Representação de um átomo e suas
dimensões.
5
90
Th
91
Pa
92
U
93
Np
232,0 231,0 238,0 237,0
94
Pu
244,0
Am
Cm
243
247,0
97
Bk
247,0
98
Cf
251,0 252,0 257,0
Md
102
No
258,0 259,0
103
Lr
260,0
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
A Carga elétrica
Q
Como certos átomos são capazes de ceder elétrons
e outros capazes de receber elétrons, é possível produzir
uma transferência de elétrons de um corpo para outro.
Quando isto ocorre, a distribuição igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir.
Portanto, um corpo conterá um excesso de elétrons e a
sua carga terá uma polaridade elétrica negativa, ou
menos (-). O outro corpo conterá uma deficiência de
elétrons, ou um excesso de prótons e a sua carga terá
uma polaridade positiva, ou mais (+).
Quando um par de corpos contém a mesma carga,
isto é, ambas positivas (+) ou ambas negativas (-), dizse que os corpos têm cargas iguais. Quando um par de
corpos contém cargas diferentes, isto é, um corpo é
positivo (+) enquanto o outro é negativo (-), diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas.
A lei das cargas elétricas pode ser enunciada da
seguinte forma:
n e
n
6
0, 1, 2, 3,
Exemplo 2 - Descreva os dois átomos mais simples.
O átomo mais simples é o átomo de hidrogênio, que
contém l próton no seu núcleo em equilíbrio com l elétron que gira em
tomo do núcleo. O átomo seguinte mais simples é o átomo de hélio,
que possui 2 prótons no seu núcleo equilibrados por 2 elétrons
orbitando em tomo do núcleo.
Niels Bohr postulou que no átomo existem
níveis de energias permitidos, ou seja, ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma “cota” de
elétrons permitida em cada camada. Quando a camada
mais externa de um átomo tem um déficit na sua cota de
elétrons, ela pode ganhar ou perder elétrons. Se um
átomo perder um ou mais elétrons da sua camada mais
externa, o número de prótons supera o número de
elétrons e o átomo passa a conter uma carga elétrica
efetiva positiva. Nestas condições, o átomo é chamado
de íon positivo (cátion). Se um átomo ganhar elétrons, a
sua carga elétrica efetiva torna-se negativa. O átomo é
então chamado de íon negativo (ânion). O processo em
que os átomos recebem ou cedem elétrons é chamado de
ionização.
Assim, a energia total que o elétron pode ter é
definida em valores discretos e, portanto, ele só pode
ocupar determinadas órbitas ou níveis de energia. Os
níveis possíveis são sete e estão representados na figura
6.
O número máximo de elétrons que cada nível
pode ter é limitado segundo o princípio de exclusão de
Pauli e é dado por 2n2 onde n é o número do nível.
Assim, o nível 1 poderá no máximo 2, o nível 2 no
máximo 8 e assim sucessivamente.
Quantização das cargas elétricas:
A matéria é constituída por átomos que são
eletricamente neutros. Os átomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo número de elétrons e de
prótons que contêm. No seu estado natural, um átomo
de qualquer elemento contém um número igual de
elétrons e de prótons. Como a carga negativa (-) de cada
elétron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada próton, as duas cargas opostas se cancelam.
Um átomo nestas condições é eletricamente neutro, ou
está em equilíbrio..
Cada átomo tem um pequenino núcleo, de
massa notável, constituído por prótons e nêutrons.
Como vimos anteriormente, a experiência de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza é
múltipla da carga elétrica fundamental, que
denominamos de e e vale:
Figura 6 – Representação dos níveis de energia de um
átomo.
e 1,6 10 19C
Onde C é a unidade no sistema internacional de
carga elétrica, denominada de Coulomb.
A carga do próton, q p e a carga do elétron qe
são dadas por:
qp
e
1,6 10
19
C
qe
e
1,6 10
19
C
É regra geral na natureza a estabilização na
menor energia possível. Assim, os níveis são
preenchidos na seqüência do menor para o maior e um
nível só poderá conter elétrons se o anterior estiver
completo. A Figura 6 mostra isso.
Os elétrons em cada nível ocupam subníveis e
cada um pode conter um número máximo de elétrons e
são, de forma similar, preenchidos do menor para o
Assim, qualquer corpo carregado na natureza
possui um número inteiro da carga elétrica fundamental,
resultado conhecido como a quantização da carga
elétrica:
6
6
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
7
CAPÍTULO I
 As Camadas eletrônicas:
Os elétrons estão distribuídos em camadas ou níveis de
energia:
maior.Os subníveis são designados pelas letras s, p, d e f
e os valores máximos são respectivamente 2, 6, 10 e 14.
Evidente que, por exemplo, o nível 1 só pode
ter o subnível s, pois o número máximo do nível é 2. Já
o nível 2 pode ter os subníveis s e p e assim
sucessivamente.
A figura 7 dá o exemplo da distribuição dos
elétrons em um átomo de cobre, número atômico 29.
O nível mais externo (4, neste exemplo) é
chamado de nível de valência e os elétrons presentes
nele são os elétrons de valência.
O número de elétrons de valência é um fator
importante do elemento. Ele define a capacidade do
átomo de ganhar ou perder elétrons e de se combinar
com outros elementos.Muitas das propriedades químicas
e elétricas dependem da valência.A convenção adotada
para a representação gráfica da distribuição de elétrons
no átomo do elemento é a indicação seqüencial dos
níveis e respectivos subníveis, com o número de
elétrons de cada subnível colocado na forma de
expoente.
Para
este
caso
do
cobre:
1s22s22p63s23p63d104s1.
camada
K
L
M
N
O
P
Q
1
2
3
4
5
6
7
núcleo
nível
O número máximo de elétrons nas camadas ou
níveis de energia:
K
L
M
N
O
P
Q
2
8
18
32
32
18
2
 Subníveis de energia
As camadas ou níveis de energia são formados de
subcamadas ou subníveis de energia, designados pelas
letras s, p, d, f.
Figura7 –Configuração eletrônica para o átomo de cobre.
Subnível
s
p
d
f
Número máximo de
elétrons
2
6
10
14
Os subníveis conhecidos em cada nível de
energia:
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o átomo
de cobre quando ele perde um elétron da sua camada
mais externa.
Subnível
O átomo de cobre toma-se um íon positivo com
uma carga efetiva de +1.
Quanto as partículas fundamentais, teremos
para a Carga elétrica:
1s
2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
1
2
3
4
5
6
7
K
L
M
N
O
P
Q
Nível
Subníveis em ordem crescente de energia:
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Natureza
Valor
Massa
relativo relativa
Próton
Positiva
+1e
1
Nêutron
Não
existe
0
1
Elétron
Negativa
-1e
1/1836
 Preenchimento dos subníveis
Os subníveis são preenchidos sucessivamente,
na ordem crescente de energia, com o número máximo
de elétrons possível em cada subnível. (Regra de
aufbau)Os números quânticos indicam a energia do
elétron no átomo e a região de máxima probabilidade de
se encontrar o elétron.
O número quântico principal (n) indica o
nível de energia. Varia de n = 1 a n = 7,
respectivamente, no 1º, 2º, 3º, ... nível de energia.
7
7
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
 Regra de Hund
Ao ser preenchido um subnível, cada orbital
desse subnível recebe inicialmente apenas um elétron;
somente depois de o último orbital desse subnível ter
recebido seu primeiro elétron começa o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo elétron.
Elétron de maior energia ou elétron de
diferenciação é o último elétron distribuído no
preenchimento da eletrosfera, de acordo com as regras
estudadas.
Um átomo estável (neutro) possui uma certa
quantidade de energia, que é igual à soma das energias
dos seus elétrons. Os elétrons, por sua vez, possuem
energias diferentes chamadas de níveis de energia. O
nível de energia de um elétron é proporcional a sua
distância do núcleo. Portanto, os níveis de energia de
elétrons em camadas mais afastadas do núcleo são
maiores do que os de elétrons em camadas mais
próximas do núcleo. Os elétrons situados na camada
mais externa são chamados de elétrons de valência.
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor, luz ou energia elétrica, os elétrons adquirem
energia. Isto pode fazer com que o elétron se desloque
para um nível de energia mais alto. Diz-se que um
átomo em que isto aconteceu está num estado excitado.
Um átomo num estado excitado é instável.
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do átomo, o elétron sofre a mínima atração possível
pelas cargas positivas dos prótons dentro do núcleo do
átomo. Se for aplicada ao átomo uma energia suficiente,
alguns dos elétrons de valência ou da camada mais
externa abandonarão o átomo. Estes elétrons são
chamados de elétrons livres. É o movimento dos
elétrons livres que produz a corrente elétrica num
condutor metálico.
Cada camada de um átomo pode conter somente um
certo número de elétrons. Este número é chamado de
cota da camada. Os elétrons em órbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K, L, M,
N, O, P e Q, cada uma delas mais afastada do núcleo.
Cada camada contém um número máximo de elétrons
para a condição de estabilidade (Fig. 1-3). Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 elétrons, a camada
L pode conter até 8 elétrons. O número máximo de
elétrons nas camadas restantes pode ser de 8, 18 ou 32,
conforme o elemento. Entretanto, para a camada mais
externa, o número máximo é sempre 8.
O número máximo de elétrons em cada nível é
dado por 2n2. Entre os átomos conhecidos, no estado
fundamental, o número máximo de elétrons num mesmo
nível é 32.
O número quântico secundário ou azimutal
(l) indica a energia do elétron no subnível. Nos átomos
conhecidos, no estado fundamental, há quatro subníveis,
representados por s, p, d, f, em ordem crescente de
energia.
Subnível
s
p
d
f
Número
quântico
azimutal
l=0
l=1
l=2
l=3
 Orbitais
Os subníveis são formados de orbitais. Orbital
é a região da eletrosfera onde há maior probabilidade de
estar localizado o elétron do átomo. O número máximo
de elétrons em cada orbital é 2.A cada orbital foi
atribuído um número quântico magnético (m) cujo valor
varia de -l a +l, passando por zero.
subnível s
um só orbital s
(0)
subnível p
três orbitais p
(-1) (0) (+1)
subnível d
cinco orbitais d
(-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subnível f
sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
8
O orbital s tem forma esférica. Os orbitais p
têm forma de duplo ovóide e são perpendiculares entre
si (estão dirigidos segundo três eixos ortogonais x, y e
z).
 Spin
Spin é o movimento de rotação do elétron em
torno de seu eixo. Pode ser paralelo ou antiparalelo. A
cada um deles foi atribuído um número quântico: + 1/2
e -1/2.
 Princípio da exclusão de Pauli
Em um mesmo átomo, não existem dois
elétrons com quatro números quânticos iguais.
Como conseqüência desse princípio, dois
elétrons de um mesmo orbital têm spins opostos.
Um orbital semicheio contém um elétron
desemparelhado; um orbital cheio contém dois elétrons
emparelhados (de spins opostos).
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do átomo de cobre identificando
suas camadas de energia.
No átomo de cobre há 29 prótons no núcleo contrabalanceados
pêlos 29 elétrons orbitais. Os 29 elétrons preenchem a camada K com
2 elétrons e a camada L com 8 elétrons. Os 19 elétrons restantes
preenchem a camada M com 18 elétrons e, conseqüentemente, sobra l
elétron que fica na camada N mais externa.
8
8
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
Se a cota da camada mais externa de um átomo for
preenchida, diz-se que o elemento formado por tais
átomos é inerte ou estável.
9
Uma Nota em Relação possível à Polaridade
de um Van de Graaff
Para uma dada combinação rolete inferior- correia- rolete
superior, a polaridade do domo do GVDG fica determinada. Por
exemplo, se a correia é de borracha, o rolete inferior é de plástico e o
rolete superior é de alumínio, o domo ficará negativo. Usando o
mesmo desenho, porém colocando-se o rolete de plástico como
superior e o de alumínio como inferior, o domo ficará positivo.
 Conservação da Carga:
Quando esfregamos dois corpos, um deles fica
com excesso de elétrons e carregado com carga
negativa, e o outro com falta de elétrons e carregado
com carga positiva. A carga líquida dos dois corpos
permanece constante, ou seja, a carga se conserva.
A Lei da conservação da carga é uma Lei
fundamental na Natureza.
mais
positivo
Ar,vidro,fibra
sintética,lã,chumbo,alumínio,papel
neutro
Algodão,aço,madeira,borracha,
cobre,acetato,poliéster,poliuretano,
polipropileno, vinil (PVC), silicone
mais
negativo
teflon
 Condutores e Isolantes:
Robert Jemison Van de Graaff
Em muitos materiais, por exemplo, cobre e
outros metais, os elétrons podem se deslocar livremente,
Esses materiais são chamados de condutores. Outros,
como a madeira, o vidro e a borracha, os elétrons estão
ligados aos átomos mais próximos e não podem se
deslocar em liberdade. São chamados de isolantes.
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro
de 1901 em Tuscaloosa, Alabama. A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff. Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas públicas e a Universidade de Alabama onde ele
recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923. Ambos
os graus estavam em engenharia mecânica.
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a
Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa.
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e lá, assistiu
conferências de Marie Curie sobre radiação. Em 1925 ele entrou para
Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes.
Em Oxford ele recebeu um BS em física em 1926 e um Ph.D. em
física em 1928. Enquanto em Oxford, ele se deu conta da esperança
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partículas a velocidades suficiente para desintegrar
núcleos. Desintegrando núcleos atômicos seria possível aprender
sobre a natureza de átomos individuais. Essas idéias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partículas.
Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratório de Pesquisas Físicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional. No outono daquele
ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80,000 volts. Foram feitas melhorias ao
modelo básico e em novembro, 1931 no jantar inaugural do Instituto
americano de Física, foi exibido um modelo de demonstração que
produziu mais de 1,000,000 volts.
Quando Karl T. Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia, Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um sócio de pesquisa. Van de Graaff
construiu a primeira máquina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth, Massachusetts. A máquina usava duas esferas de
alumínio polidas, cada 15 pés em diâmetro montado em 25 pé colunas
isolantes altas que tinham 6 pés em diâmetro. As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 pés sobre nível de solo. A máquina seu funcionamento
em 28 de novembro de 1933 e pôde produzir 7,000,000 de volts. Esta
realização foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma história intitulada "Parafuso de Lances de Homem de
7,000,000 Volts". Em 1937 a máquina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT.
John D. Cockcroft e Ernest Walton do Laboratório de Cavendish na
Inglaterra tinham construído um acelerador de partícula próspero em
1932. Esta máquina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleração de
partículas.
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem. Em contraste com a máquina de Cockcroft-Walton, a
máquina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais fácil
Exemplo 4 – A massa de uma moeda de cobre é de 3 g
(ZCu=29). Qual a carga total dos elétrons na moeda?
A carga total é o produto do número total de elétrons e a
carga do elétron: Q = Ne (-e)
O número de elétrons é igual ao produto do número átomos
de cobre e Z: Ne = Z Na.
Como a massa molecular do cobre é 63,5g, teremos que o
número de átomos será:
Na
Ne
6,02 10 23 átomosmol
2,84 10 22 átomos
g
63,5 mol
ZN a 29 2,84 10 22 8,24 10 23 elétrons
3
Q N e ( e) 8,24 10 23 1,6 10 19
1,32 10 5 C
Processos de eletrização:
Atrito
No processo de eletrização por atrito por dois
corpos, um corpo tem afinidade em doar elétrons e outro
tem afinidade em receber elétrons. Após atritar um
corpo com outro, os dois ficarão carregados com cargas
de sinais opostos.
Um exemplo de eletrização por atrito é o
denominado Gerador de Van de Graaff.
Materiais que estão mais próximos do extremo mais
negativo, têm uma disposição por assumir uma carga elétrica
negativa. Os materiais mais próximos ao extremo mais positivo
tendem a assumir carga elétrica positiva. Idealmente, os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista, enquanto o material do cilindro superior deve estar na região dos
neutros.
9
9
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e então acelerações
mais altas.
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenção dele. Ele preparou a aplicação de patente por Karl T.
Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT. Van
de Graaff também trabalhou com John G. Trunfo, professor de
engenharia elétrica no MIT e com William W. Buechner, professor de
físicas a MIT. Um aparelho médico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiação penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Médica de Harvard . Em 1936
Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se. Eles tiveram dois
filhos, John e William.
Durante 2ª Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do
Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic. Junto com William
W. Buechner ele dirigiu a adaptação do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisão da Marinha norte-americana.
Depois da guerra, em 1945, o Van de Graaff recebeu como prêmio da
Fundação Rockefeller uma concessão para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT. Em 19 de dezembro de 1946 Van
de Graaff e Trunfo formaram a Corporação Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington, Massachusetts. HVEC foi formado para a produção
comercial de aceleradores de partícula. Denis M. Robinson, professor
de engenharia elétrica da Inglaterra, se tornou o presidente da
corporação nova. John G. Trunfo se tornou o diretor técnico e Van de
Graaff se tornou o físico principal e sócio. HVEC se tornou o
provedor principal de geradores eletrosttáticos
Q1i
Figura 8 –Eletrização por contato.
Contato
C
C
Q1f
Q2i
Q1 f
Q2 f
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0), haverá transferência de apenas parte da carga
de C para D. A transferência de carga é parcial porque
ela será interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem.
Suponha que o corpo D possuísse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela. Nestas
condições, a carga de C induzirá cargas elétricas nas
superfícies interna e externa de D. Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo módulo da
carga no corpo C (que provocou a indução). Então, se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D, a carga induzida nesta parede será neutralizada
pela carga de C. O corpo D ficará eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo módulo que a carga
inicial do corpo C. Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D.
Quando há contato interno, a transferência de carga do
corpo que está dentro da cavidade para o corpo externo
é integral, mesmo que este já possua uma carga inicial.
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D, sua carga se
transferirá totalmente para D. Esta operação pode ser
repetida várias vezes e, assim, é possível acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior. A
quantidade de carga em D naturalmente, é limitada pela
rigidez dielétrica do ar que o envolve. Se a rigidez
dielétrica do ar for ultrapassada, parte da carga
acumulada em D tende a escoar e, portanto, a carga
máxima que pode existir em D é aquela que cria um
campo igual à rigidez dielétrica do ar.
Princípio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga elétrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro, quando há
contato interno, constitui o princípio básico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff.
Este aparelho é constituído por uma correia que
passa por duas polias, uma delas acionada por um motor
elétrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metálica oca,
que está apoiada em duas colunas isolantes.
Enquanto a correia se movimenta, ela recebe carga
elétrica por meio de uma ponta elétrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensão (cerca de 10.000
V). Esta carga é transportada pela correia para o interior
da esfera metálica. Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia. Em virtude do
contato interno, esta carga se transfere integralmente
para a superfície externa da esfera do gerador.
Se um corpo metálico C com carga Q1i ,
eletrizado, for colocado em contato com outro corpo, D,
também metálico, com carga Q2i o Princípio da
conservação da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais será a mesma:
Q1i Antes
Q2i
Princípio da conservação da carga
Eletrização por contato:
C
10
CAPÍTULO I
D
D
Q2f D
10
10
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
Como
as
cargas
são
transportadas
continuamente pela correia, elas vão se acumulando na
esfera, até que a rigidez dielétrica do ar seja atingida.
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
científicos o diâmetro da esfera é de alguns metros e a
altura do aparelho atinge, às vezes, 15 m. Nestas
condições, é possível obter voltagens de até 10 milhões
de volts.
11
(b)
A presença do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuição das cargas
positivas e negativas do corpo neutro, onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
próximas do corpo carregado (indutor). Esse processo é
conhecido como indução eletrostática. Caso o indutor
estiver carregado positivamente, haverá uma
aproximação das cargas negativas do induzido em
relação ao indutor.
Eletroscópio de folhas de ouro:
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de indução e contato é o
eletroscópio de folhas de ouro. Consiste de duas fitas
laminadas de ouro, coladas na extremidade de uma
haste, tendo na outra extremidade uma esfera, colocada
num invólucro isolante. Aproximando um bastão
carregado da esfera, a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastão se acumula nas folhas,
repelindo-se mutuamente. Se encostarmos o bastão na
haste neutra, esta se carregará com a mesma carga;
assim, as lâminas permanecerão abertas.
Figura 9 –Gerador de Van de Graaff.
Eletrização Por Indução
A figura ilustra duas situações: um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b), onde há uma nova
redistribuição de carga no corpo neutro em ambos os
casos.
Figura 11 –Aproximação do indutor n
(a)
Figura 12 – Eletroscópio de folhas de ouro.
11
11
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
12
A Lei de Coulomb
Figura 13 – Balança de torção utilizada por Coulomb.
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
12
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736, em Angoulême. Seu pai - Henri Coulomb - ocupava então o
cargo de inspetor dos domínios do rei. Alguns anos mais tarde
abandonou essa função e retirou-se para sua cidade natal Montpellier. Sua mulher ficou em Paris e, com ela, o pequeno
Charles, que ali freqüentou o Colégio das Quatro Nações e o Colégio
Real.
Em 1758, também Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai. Deste conseguiu autorização para alistar-se na Arma
de Engenharia.
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeação para subtenente da
École cle Métiers, em 1760; no ano seguinte, terminou o curso de
engenharia.
Viajou, algum tempo depois, para a Martinica, como
diretor dos trabalhos de fortificação daquela ilha. Sua permanência nas
Antilhas foi, porém, bastante curta: não conseguiu adaptar-se ao clima
tropical, e retornou à França gravemente doente.
Já recuperado, Coulomb assumiu a direção das obras de fortificação
que estavam sendo realizadas em Rochefort, na ilha de Aix e em
Cherbourg, ocupando-se também de pesquisas científicas. Desses
estudos nasceram, em 1773, as bases da teoria da resistência dos
materiais e, seis anos mais tarde, alguns trabalhos sobre o atrito. Neste
último campo, Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons, que, em 1699, enunciara a lei da
proporcionalidade do atrito à pressão dos corpos em contato. Baseouse também nos trabalhos de Camus e Desaguliers, que haviam
mostrado que o atrito estático é superior ao atrito dinâmico.
A balança de torção de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na história da Física. Trata-se de
um instrumento que permite a verificação experimental
da lei quantitativa das interações entre cargas elétricas.
De um modo geral a balança é constituída por uma
caixa de vidro, cilíndrica ou quadrada, fechada por uma
tampa, também de vidro, da qual se eleva um tubo que
termina num disco metálico de onde está suspenso um
fio de torção que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca. Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latão e, na outra, uma esfera
de medula de sabugueiro. A altura da agulha é regulada
por meio de um botão que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende. Este eixo está
montado sobre um disco giratório no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus. Esta escala
avança em relação a uma marca de referência, fixa na
coluna de vidro, de modo a possibilitar a medição de
deslocamentos angulares.
A força eletrostática entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distância r12 é
dada pela Lei de Coulomb:
F1 2
k
Q1 Q2
r122
Figura 14 – Forças elétricas sobre cargas puntiformes.
12
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
A força pode ser de natureza atrativa, caso as
cargas possuam sinais contrários, ou repulsiva, caso
possuam sinais idênticos, como ilustra a figura acima.
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balança de torção, que
descrevemos anteriormente, onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distância entre elas,
considerando-as como cargas puntiformes. Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb:
A força que uma carga elétrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme está dirigida na
reta que passa pelas duas cargas. A força varia
inversamente com o quadrado da distância entre as
cargas e é proporcional ao produto das cargas. A força
é repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas.
Pode-se escrever também como:

F1 2
k
Onde
r̂1 2 é o vetor unitário que aponta de Q1
A constante eletrostática k também se relaciona
com uma outra constante, denominada constante de
permissividade, 0, pela relação:

r2
0
Q1

F1 2

r2

r1

r2

r2
O (origem)

R12

R12
aˆ12

r2

r2

r1

r1
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica:

F1 2
Q1Q2
aˆ1 2
4 0 R122
A
constante
k
é
determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb, que tem o valor no SI:
k
8,99 10 9

F1 j

F2 j


F3 j  Fij
 Exemplos resolvidos:
 Hayt e Sears & Zemansky
Exemplo 1 – ( 2.1 - pg. 18)
Seja: Q1=3.10-4C localizada em M(1,2,3) e Q2
-4
= -10 C localizada em N(2,0,5). Força exercida por Q1
em Q2:
Solução:

r1

r1
1
F
10 9
36
m
Se tivermos várias cargas puntiformes, q1, q2,
...,qi e quisermos calcular a força elétrica resultante
sobre uma carga qj, por exemplo, deve-se somar
vetorialmente as forças exercidas por cada carga qi na
carga qj:
Q2
â1 2
12 C2
N m2
ou
Pode-se usar a notação:

R1 2
0
8,85 10
0

FRj

F1 2
4
Essa constante é dada por:

r1 2

r1 2
rˆ1 2
1
k
Q1 Q2
r̂1 2
r122
para Q2:
13
CAPÍTULO I
N m2
C2
13
Q1Q2
aˆ1 2
4 0 R122
2aˆ x 0aˆ y 5aˆ z
1aˆ x 2aˆ y 3aˆ z

r1 aˆ x 2aˆ y 2a z
13
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

r2

R12

R12
aˆ12

r1

r2

r2
2
12
2
22

r1 1
2
aˆ x
aˆ y

r1 3
3

F1 2

F1 2
CAPÍTULO I
a) Quantos prótons existem no anel e qual é a
carga total positiva correspondente?
b) Sabendo que o anel não tem nenhuma carga
líquida, quantos elétrons ele possui?
3
2
aˆ z
3
Solução:
Massa do ouro = 17.7 g e a massa atômica do ouro é
igual a 197 g/mol.
Portanto o número de átomos é dado por
Q1Q2
aˆ1 2
4 0 R122
3 10 4 ( 10 4 )
4 1 36 10 932
1
3
aˆ x
2
3
aˆ y
2
3
NA x mol = (6.02 x 1023) x
aˆ z
17.7 g
197 g / mol
Exemplo 2 (2.2 - pg. 19)
Uma: carga QA=-20C está localizada em A(6,4,7) e QB = 50C está localizada em B(5,8,-2). Se as
distâncias são dadas em metros, determine:
5.41 x10 2 2.
a) np = 79 x 5.41 x 1022 = 4.27 x 1024
q=np x 1.60 x 10-19 C = 6.83 x 105 C

a) R AB
b) ne = np = 4.27 x 1024.

b) R AB
Exemplo 4 -
c) Força exercida por QA em QB:
Solução:

a) R AB

rA

rB

RAB

R AB
 
rB rA
6aˆ x 4aˆ y
5aˆ x
8aˆ y

rB

rA
7aˆ z
2aˆ z
11aˆ x
4aˆ y
9aˆ z
b)
11
2
4


FAB
( 9)
2
218
14.76 m
Q AQB
aˆ AB
2
4 0 R AB
c) FAB

FAB
2
20 10 6 50 10 6
aˆ AB
1
9
4
10 218
36
aˆ AB

R AB

R AB

FAB
4,58 10
4,58 10 3 aˆ AB
11
218
3
4
aˆ x
11
218
218
aˆ x
14
aˆ y
4
218
Exemplo 5 -
9
218
aˆ y
aˆ z
9
218
aˆ z
Exemplo 3 – Você possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 17,7 g. A
massa atômica do ouro é igual a 197 g/mol e seu
número atômico é 79.
14
14
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
CAPÍTULO I
1/ 3
d
2kg 2 L
q2L
d3
d
.
2L
mg
2 0 mg
Exemplo 8 – Uma carga positiva Q é
distribuída uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 até
x = a. Uma carga puntiforme positiva q está sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distância r à direita da extremidade de Q.
Obtenha a força (módulo, direção e sentido)
que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga Q.
Porém
Exemplo 6 – Encontre a força resultante na
carga indicada.
15
(a)
Exemplo 7 – Duas esferas são suspensas por
fios de seda como mostra a figura. Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m. O raio entre as duas esferas é
muito pequeno comparado com a distância entre elas, de
forma que são consideradas puntiformes.
Mostre que se o ângulo
é pequeno, a
distância d no equilíbrio entre elas é dada por:
Sobre o eixo a:
1
dEx
1
4
0
dq
(a r ) 2
Qdx
Ex
4 0 0 a(a r x)2
1 Q 1
1
. e Ey = 0.
4 0 a r a r
a
(b) Para a + r = x, obtemos:
E

F
1 Q
1
1
4 0 a x a x

1 Qq 1
qE
4 0 a x a
1 ˆ
i
x
(c) Para x >> a,
F
d
2
qL 2
0
mg
kqQ
x2
(Note que para x >> a, r = x – a x.) Neste caso o
campo da
distribuição de cargas, para pontos muito distantes, é
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme.
13
Examinando as forças:
Fx = T sen - Fe = 0 e
- mg = 0. Concluímos que
mg sen
cos
kqQ
(1 a / x) 1 1
ax
kqQ
F
(a a / x
1)
ax
1 qQ
F
.
4 0 r2
Fy = T cos
kg 2
Fe 2 .
d
15
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Exemplos resolvidos do livro Tipler:
 Exemplo 22-1: A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) é de 3g. Qual a carga total de todos os
elétrons da moeda?
Fe
Fg
 Solução: A carga total dos elétrons presentes é
o produto do número de elétrons e a carga de um
elétron:
Fe
Fg
Q
Fe
Fg
N e ( e)
O número de elétrons é igual ao produto de ZCu
e o número de átomos no cobre Na:
Ne
Na
k
G
q p qe
r2
m p me
r2
k q p qe
G mp me
9 109 N m2 C 2
1.6 10 19 C 1.6 10 19 C
11
2
2
6.67 10 N m kg 9.11 10 31 kg 1.68 10 27 kg
Fe
Fg
ZCu Na
Cálculo do número de átomos no cobre em 3 g
de cobre:
mCu
NA
MCu
Na
16
CAPÍTULO I
2.27 1039
16
 Exemplo 22-4: Três cargas puntiformes estão
sobre o eixo dos x. A carga q1 = 25 nC está na origem,
q2 = -10 nC está em x = 2m e q0 = 20 nC está em x =
3.5m. Calcular a força resultante em q0 provocada por q1
e q2.
3g
6.02 1023 átomos
mol
g
63.6 mol
2.84 1022 átomos
Na
Cálculo do número de elétrons:
Ne
ZCu N a
29 2.84 10 22
Ne
8.24 10 23elétrons
Ne
Carga total:
Q
Ne ( e)
Q
8.24 1023 1.6 10
Q
19
1.32 105 C
 Exemplo 22-2: Num átomo de hidrogênio, a
separação média entre o elétron e o próton é cerca de
5.3.10-11m. Calcular o módulo da força eletrostática de
atração entre o próton e o elétron.
 Solução: A força coulombiana devido às
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 são dadas,
respectivamente, por:

F1,0
 Solução: A força coulombiana é dada por:
F
k
q p qe
r
2
F
1.6 10
9 109
19
5.3 10
1.6 10
11 2

F2,0
 Exemplo 22-3: Calcular a razão entre a força
elétrica e a força gravitacional entre um próton e um
elétron num átomo de hidrogênio.
mp me
k
q2 q0
r202

F1,0
iˆ
9 10
9
25 10

F1,0 3.67 10 7 iˆ(N)
iˆ

F2,0
9
9 10
9
20 10
3.5
9
2
10 10
9
1.5
q p qe
r2
16
iˆ
20 10
2

F2,0 7.99 10 7 iˆ(N )


F1,0 F2,0 3.67 10 7 iˆ 7.99 10 7 iˆ

4.32 10 7 iˆ(N) Fr0 0.432 iˆ( N)
 Exemplo 22-5: A carga q1 = +25 nC está na
origem, q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m, y = 2m. Calcular a força resultante
em q0 provocada por q1 e q2.
r2
Onde G é a constante da gravitação universal.
A força elétrica é:
Fe
k

Fr0

Fr0
 Solução: A força gravitacional é dada por:
G
r102
19
F 8.2 10 8 N
Fg
k
q1 q0
9
iˆ
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
17
EXERCÍCIOS
1. Quatro cargas positivas de 10 nC estão
localizadas no plano z = O nos vértices de um quadrado
de 8 cm de lado. Uma quinta carga positiva de 10 nC
está localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas. Calcule o módulo da força total nesta
quinta carga para =0.
(a)
α
2. Uma carga Q1 = 0,1C está localizada na origem
do espaço livre, enquanto Q2 = 0,2C está em A(0.8;0,6: 0). Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da força em uma terceira carga
positiva é zero.
3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão
localizadas em A{ l, 0. 0). B(-1,0,0), C(0, l, 0) e D(0, 1,0) no espaço livre. Determine a força total sobre a
carga em A.
4. Seja Q1 = 8C. localizada em P1(2,5, 8),
enquanto Q2 = -5C.localizada em P2(6, 15, 8).
Considere  = 0.
(a) Determine F2 a força sobre Q2.
(b) Encontre as coordenadas de P, se a carga Q3,
experimenta uma força total F3=0 O em P3..
 Carga Elétrica
• 1 Se a convenção de sinal das cargas elétricas fosse
alterada, de modo que a carga do elétron tosse positiva e
a do próton negativa, a expressão da lei de Coulomb
seria alterada?
• 2 Discuta as semelhanças e diferenças de propriedades
da carga elétrica e da massa gravitacional.
•3
Um bastão de plástico, esfregado com tecido de
algodão, adquire uma carga de -8 C. Quantos elétrons
foram transferidos do tecido para o bastão?
•4
Uma carga elétrica igual à carga de um número
de Avogadro de prótons (isto é N = 6,02 X IO 23 prótons)
é denominada um faraday. Calcular o número de
Coulombs em um faraday.
•5
Quantos coulombs de carga positiva há em l kg
de carbono? Sabe-se que 12 g de carbono têm um
número de Avogadro de átomos e que cada átomo de
carbono tem seis prótons e seis elétrons.
 Solução: A força coulombiana devido às
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 são dadas,
respectivamente, por:

F1,0
F1,0
k

Fr0
k
ˆj
q1 q0
r102
r102 22 22
r102 8
2
arctg1
450
2

F1,0 3.97 10 7 iˆ ˆj
tg

F2,0
iˆ F1,0 sen
F1,0 cos
q2 q0

Fr0
2
10
r
ˆj

F2,0
6.74 10 7 ˆj


F1,0 F2,0
3.97 10 7 iˆ 2.77 10 7 ˆj

Fx2 Fy2
Fr0 4.84 10 7 N
tg

Fr0
Fy
Fx
Condutores, Isolantes e Carga por Indução
6. 0s isolantes podem ser carregados por
indução?
7. Uma chapa metálica 6 está aterrada através
de uma chave S que inicialmente está fechada. Quando
a carga + Q está nas vizinhanças de ë, a chave S é
34.90
17
17
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPÍTULO I
aberta. A carga +Q é então afastada. Qual é o estado da
carga da chapa metálica B?
(n) Tem a carga positiva. (+e) Não tem carga. (0) Tem a
carga negativa. (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado, dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar.
8. Explique, passo a passo, como um bastão isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metálica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva. (c) O bastão pode ou não ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa, sem que seja recarregado?
9. Duas esferas condutoras, sem carga, com as
superfícies em contato, estão sobre uma grande mesa de
madeira, montadas em suportes isolantes. Um bastão
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra,
(a) Descreva a distribuição das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distribuição.
(b) As duas esferas são separadas e o bastão carregado é
afastado. Mostre a distribuição de cargas em cada
esfera.
18
negativa. Calcular a resultante das forças que estas
cargas exercem sobre uma quarta, de q = +3 nC,
colocada no vértice desocupado.
• 15 Uma carga de 5 C está sobre o eixo dos x, em x
= 3 cm, e uma segunda carga, de 5 C, também sobre o
eixo dos x, em x = -3 cm. Calcular a resultante das
forças destas cargas sobre uma terceira, de 2 C, no
eixo dos x em x = 8 cm.
18
 Lei de Coulomb
• 10
Três cargas, +q, +Q e -Q estão situadas nos
vértices de um triângulo eqüilátero, conforme o
esquema da Fig. 22-29. A força resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas é
(a) vertical para cima.
+q
(b) vertical para baixo.
(c) nula.
(d) horizontal para a esquerda.
+Q
-Q
(e) horizontal para a direita.
• 11 Uma carga q1 = 4,0 C está na origem e outra q2 , =
6,0 C no eixo dos x, em x = 3,0 m.
a) Calcular a força sobre a carga q2 .
b) Calcular a força sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C?
• 12 Três cargas puntiformes estão sobre o eixo dos x:
q1 = -6,0 C em x = -3,0 m, q2= 4,0 C na origem e q3
= -6,0 C em x = 3,0 m. Calcular a resultante das forças
sobre q1.
• 13 Duas cargas iguais, de 3,0 C , estão sobre o eixo
dos x, uma delas na origem e outra em x = 6 m. Uma
terceira carga q3 = - 2 C está no eixo dos x, em x = 8
m. Calcular a resultante das forças sobre q3 .
• 14 Três cargas, cada qual de 3 nC, estão, cada qual,
nos vértices de um quadrado de lado igual a 5 cm. Duas
delas, em vértices opostos, são positivas e a terceira e
18