REVISÃO – Lista 07 – Áreas, Polígonos e Circunferência Algumas

NOME:
PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores
ANO: 3º
DATA:
Nº:
REVISÃO – Lista 07 – Áreas, Polígonos e Circunferência
Algumas definições
Áreas:

Quadrado: A   2 , onde  representa o lado.

Retângulo: A  b  h , onde b representa a base e h representa a altura.

Triângulo: A 

Triângulo equilátero: A 

Losango: A 

Paralelogramo: A  b  h , onde b representa a base e h representa a altura.

Trapézio: A 
bh
, onde b representa a base e h representa a altura.
2
2 3
, onde  representa o lado.
4
Dd
, onde D representa a diagonal maior e d representa a diagonal menor.
2
( B  b)  h
, onde B representa a base maior, b representa a base menor e h
2
representa a altura.

Polígono regular: A  p  a , onde p representa o semi perímetro e a representa o apótema.
Polígonos:

Polígono regular: têm todos os lados e ângulos iguais.

Número de diagonais de um polígono de n lados: d 

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: Si  (n  2) 180 .

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: Se  360 .

Ângulo interno de um polígono regular: ai 
(n  2)  180
.
n

Ângulo externo de um polígono regular: ae 
360
.
n

Ângulo central de um polígono regular: ac 
360
.
n
n(n  3)
.
2

OBS: Lembrar que: ai  ae  180 .
Círculo e circunferência:

Comprimento da circunferência: C  2r , onde r representa o raio.

Área do círculo: A  r 2 , onde r representa o raio.

Ângulo inscrito é metade do ângulo central.
Exercícios básicos
1. Um retângulo tem 28m de perímetro e a razão entre os seus lados é 2:5. Determine sua área.
2. Determine o comprimento da circunferência inscrita em um quadrado de área 256m2 .
3. A razão entre as alturas de dois paralelogramos semelhantes é 2:3. Sabendo que a área do menor é
16cm2 , determine a área do maior.
4. Determine a área de um círculo cuja circunferência tem comprimento 20cm .
5. Determine o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é o
quádruplo da soma dos ângulos externos.
6. Determine o lado do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 6m.
Exercícios de Vestibular
7. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, ABˆ C 150 , AD  AB  4cm , BC  10cm , MN  2cm ,
sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC .
A medida, em cm2 , da área do triângulo BCD é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 30
e) 40
8. (FUVEST) ABCD é um trapézio; BC  2 , BD  4 e o ângulo ABˆ C é reto.
a) Calcule a área do triângulo ACD.
b) Determine AB sabendo que BV  3VD .
9. (UNICAMP) Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5km
aparece medindo 5cm, e na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9cm2 . Calcule:
a) O comprimento que corresponde a 1cm nessa mesma fotografia.
b) A área da superfície queimada.
10. (UNICAMP)
A
área
A
de
um
triângulo
pode
ser
calculada
pela
fórmula:
A  p( p  a)( p  b)( p  c) onde a, b e c são os comprimentos dos lados e p é o semiperímetro.
a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros.
b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros
11. (UNICAMP) Um triângulo ABC tem área igual a 96m2 . Sejam M e N os pontos médios dos lados
AB e AC, respectivamente. Faça uma figura e calcule a área do quadrilátero BMNC.
12. (UNICAMP) Em um quadrilátero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e os vértices B e D
distam, respectivamente, 3cm e 5cm da diagonal AC . Calcule a área do quadrilátero.
13. (VUNESP) A área do quadrado ABCD da figura é 1. Nos lados BC e DC tomam-se,
respectivamente, os pontos M e N de modo que MN seja paralelo à diagonal BD .
Se as áreas do triângulo CMN, do trapézio MNDB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética, calcule a medida de MC .
14. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A
medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:
a)
3
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 4
15. (VUNESP) A área de um triângulo retângulo é 12dm2 . Se um dos catetos é
2
do outro, calcule a
3
medida da hipotenusa desse triângulo.
16. (FUVEST) Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10cm. Considere, a seguir,
um arco A’B’ de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo-se o comprimento de arco AB
pelo do arco A’B’ (ambos medidos em cm), obtém-se:
11
11
22
a)
b) 2
c)
d)
e) 11
6
3
3
17. (FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são
extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em
cm2 , vale:
a) 24
b) 12
c)
5 3
2
d) 6 2
e) 2 3
18. (VUNESP) Sabe-se que o arco mostrado na figura é o arco de uma circunferência de centro e raio
desconhecidos. Sobre a circunferência marca-se uma corda AB de 4cm de comprimento.
Sendo N o ponto médio do arco AB e M o pé da perpendicular baixada de N sobre AB , verificase que o segmento de reta MN mede 1,2cm. Considerando esses dados, calcule a medida do raio
da circunferência.
19. (FGV) Na figura têm-se AB // CD , AB  6cm , AD  4cm e os ângulos internos de vértices A e
B têm as medidas indicadas.
A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é:
a)
3
b) 2 3
c) 4 3
d) 6 3
e) 8 3
20. (FUVEST) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas AD  20m ,
AB  60m e BC  16m .
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a AB .
Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá
ser:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e) 35
21. (FUVEST) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo  radianos é
igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então  é igual a:
2


a)
b) 2
c) 1
d)
e)
3
3
2
22. (FUVEST) As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s.
Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C,
respectivamente. O ângulo entre o segmento AB e a reta r mede  .
a) Calcule a área do triângulo ABC em função de  .
b) Para que valor de  a área do triângulo ABC é mínima?
23. (FUVEST) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais
ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é:
a) 6
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
24. (FUVEST) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência
de raio 1 tem seu centro C nessa bissetriz e VC  x .
a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos?
b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?
25. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus,
de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 150
26. (UNICAMP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que AB  2km , BC  1km e a
medida do ângulo ABˆ C seja de 135º.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
27. (UNICAMP) O retângulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é pintada de
verde, mede 2m de comprimento por 1,40m de largura. Os vértices do losango, cuja parte externa
ao círculo é pintada de amarelo, distam 17cm dos lados do retângulo e o raio do círculo mede
35cm. Para calcular a área do círculo, use a fórmula A  r 2 e, para facilitar os cálculos, tome 
22
como
.
7
a) Qual é a área da região pintada de verde?
b) Qual é a porcentagem da área pintada de amarelo, em relação à área total da Bandeira? Dê
sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula.
28. (FUVEST) Na figura, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semicircunferência de centro A e
raio AB  AC  AD  R .
A diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos  e  , respectivamente. Logo, a área
do quadrilátero ABCD é:
a)
R2
( sen 2  sen )
2
b)
R2
( sen  sen 2 )
2
d)
R2
( sen  cos  )
2
e)
R2
( sen 2  cos  )
2
c)
R2
(cos2  sen 2 )
2
29. (FUVEST) Na figura, os triângulos ABC e DCE são equiláteros de lado  , com B, C e E
colineares. Seja F a intersecção de BD com AC .
Então, a área do triângulo BCF é:
a)
3 2

8
b)
3 2

6
c)
3 2

3
d)
5 3 2

6
e)
2 3 2

3
30. (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a
soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:
a) 63
b) 65
c) 66
d) 70
e) 77
31. (FUVEST) Na figura, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ  8 . O segmento
RM é perpendicular a PQ e RM 
4 3
.
3
Calcule:
a) O raio da circunferência.
b) A medida do ângulo POˆ Q , onde O é o centro da circunferência.
Respostas
1.
17. A
40m 2
2. 16m
3.
18.
36cm2
4. 100cm
19. E
2
20. D
5. 35
6.
21. B
6 3m
22. a)
7. C
8. a) 2 3
b) 6 3
9. a) 2,5km
b) 56,25km2
10. a) 84cm2
b) 8cm
11. 72m2
12. 48cm2
13.
34
cm
15
3
3
14. B
b) 45
23. B
24. a) 1  x  2
b) x  2 ou 0  x  1
25. D
26. a)
10  4 2
km
2
27. a) 1,9202m2
29. A
30. B
31. a)
8 3
3
b)
b) 17,67%
28. A
15. 2 13dm
16. C
2
sen 2
b) 120
2
km2
2