Monômios Polinômios Fatoração de Polinômios

1
PRODUTOS NOTÁVEIS
Monômios
Monômios são expressões algébricas formadas por apenas um número, por uma variável ou pela
multiplicação de números e variáveis.

15

4x

4 5

3x y
4

y
ab

3 3
x y
5
Em geral, os monômios são compostos por duas partes:


um número, chamado de coeficiente;
uma variável, ou um produto de variáveis, chamada de parte literal.
Polinômios
Um polinômio é uma adição algébrica de monômios, sendo que cada monômio é um termo
do polinômio. Observe.
5
2
2x – 5y



x + 6x + 9
A primeira expressão acima é um polinômio de dois termos e recebe o nome de binômio.
A segunda expressão é um polinômio de três termos e recebe o nome de trinômio.
Um monômio também é considerado um polinômio, ou seja, um polinômio com um único
2
termo. Assim, o monômio 3x é um polinômio com um único termo.
Porém, nem todas as expressões algébricas são polinômios, como é o caso das indicadas abaixo.
x4
x2  y
x
x  xy
Essas expressões são chamadas de frações algébricas.
Fatoração de Polinômios
Fatorar um polinômio significa transformá-lo em um produto de polinômios. Veja.

15ax + 3bx = 3x (5a + b)

4x + x = x (4x + 1)

16x – 40x + 25 = (4x – 5) (4x – 5) = (4x – 5)
2
2
2
2
Evidência do Fator Comum
O retângulo CDEF abaixo é formado por dois retângulos menores e de mesma altura.
Podemos determinar a área do retângulo H CDEF, somando a área dos retângulos menores.
A = ax + bx
Podemos também determinar a área desse retângulo por meio do produto:
A = x (a + b)
Assim,
ax + bx = x(a + b)
A expressão x(a + b) é a expressão fatorada por evidência do fator comum de de ax + bx.
Veja a forma fatorada por evidência do fator comum de cada uma das expressões abaixo.
7
4
4 3
a) x – 12x = x (x – 12)
4
3
4
3
b) 27a – 9b = 9(3a – b )
2
2
c) 4a b – 6ab = 2ab(2ª – 3b)
d)

1 6 1 6
1
xy  x y  xy x 5  y 5
6
6
6
5
3 4
2 3

3
2
2
e) 7ab – 14a b + 21a b = 7ab (b – 2a b + 3a)
f)
x (2y + z) – 4 (2y + z) = (2y + z) (x – 4)
2
2
g) 14ab + 20a b + 8ab = 2ab (7 + 10a + 4b)
3
Trinômio Quadrado Perfeito
2
O produto de polinômios (a + b) (a + b) ou (a + b) representa o quadrado da soma de
dois termos.
Observe o quadrado abaixo cuja
Observe agora esse mesmo quadrado
dividido em quatro partes.
2
área é indicada por (a + b) .
Área = (a + b)
2
Somando as áreas das quatro partes
em que o quadrado foi dividido, temos:
2
2
Área = a + ab + ab + b
2
Área = a + 2ab + b
2
2
2
2
Assim, (a + b) = a + 2ab + b .
2
Desenvolvendo algebricamente a expressão (a + b) usando a propriedade distributiva, obteremos
esse mesmo resultado. Observe.
 a  b 2   a  b  .  a  b   a 2  ab  ba  b2  a 2  2ab  b2
Veja a forma fatorada por trinômio quadrado perfeito de cada uma das expressões abaixo.
2
2
2
a) x + 10x + 25 = x + 2.x.5 + 5 = (x + 5)
2
2
2
2
b) 4x + 16x + 16 = (2x) + 2.2x.4 + 4 = (2x + 4)
2
2
2
2
2
c) 5x – 30x + 45 = 5(x – 6x + 9) = 5(x – 2.x.3 + 3 ) = (x – 3)
2
4
Agrupamento
Alguns polinômios que não possuem um fator comum a todos os termos podem ser fatorados por
meio da técnica da fatoração por agrupamento. Nesse tipo de fatoração, agrupam-se os termos que
possuem fator comum.
Consideremos o polinômio:
ax + bx + ay + by
Observando os termos desse polinômio, percebemos que ax e bx possuem o fator comum x, ou
seja:
ax + bx = x(a + b)
Observamos também que ay e by possuem o fator comum y, ou seja:
ay + by = y(a + b)
Assim, temos que:
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
Como na expressão x(a + b) + y(a + b) do segundo membro, (a + b) é o fator comum, podemos
colocá-lo em evidência.
x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y)
Veja a forma fatorada por agrupamento de cada uma das expressões abaixo.




a) ax  bx  ay2  by2   ax  bx   ay2  by2  x  a  b   y2  a  b   x  y2 a  b 


b) 3x2  x  6xy  2y  3x2  x   6xy  2y   x  3x  1  2y  3x  1   x  2y  3x  1

 
 
 


c)
4x3  4xy  3x2y  3y2  4x3  4xy  3x2y  3y2  4x x2  y  3y x2  y   4x  3y  x2  y
d)
2 3 2 2 3 1 2 1
2
1 
2
 1
x y  xy  x  y   x3y2  xy3    x2  y 
5
5
3
3
5
3 
5
 3
2
1
 xy2 x2  y  x2  y
5
3
2
1


  xy2   x2  y
3
5

  
 

5
Produto de uma soma por uma diferença
A área marcada em vermelho na figura abaixo pode ser calculada subtraindo a área do quadrado
Área do quadrado maior: a2
Área do quadrado menor: b
2
Área da parte vermelha: a2 – b2
Veja agora outra maneira de representar a área dessa mesma figura.
Separamos a figura vermelha pela linha tracejada, obtemos dois retângulos.
Transportando o retângulo menor e colocando-o ao lado do retângulo maior, obtemos dois
retângulos que, unidos de outra maneira, formam uma nova figura cuja área é a mesma da figura
vermelha inicial. A nova figura é um retângulo de comprimento (a + b) e largura (a – b).
A área desse retângulo pode ser indicada pelo produto:
(a + b)(a – b)
2
2
Como a área representada pelo polinômio a – b e a área representada pelo produto (a + b) (a – b)
são iguais, pois representam a mesma superfície, temos então que:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
6
Veja a forma fatorada de cada uma das expressões abaixo.
a)
x2  9  x2  32  (x  3).(x  3)
b)
1 2 2 1
 1

2 1
 x y      xy     xy   xy 
4
2
2
 2

c)
 y  52  16   y  52  42   y  5  4  y  5  4    y  9 y  1
d)
1 2
1 
 1

2 1
a  100b2   a   10b    a  10b  a  10b 
16
4 
4
 4

e)
2y  12  64  2y  12  82  2y  1  8 2y  1  8   2y  72y  9 
2
2
Exercícios Resolvidos
1. Fatore o numerador e o denominador e simplifique:
a)
a x  y
ax  y
ax  ay
ax  ay
a



ax  bx  ay  by ax  bx  ay  by a  x  y   b  x  y   x  y  a  b  a  b
b)
ax  ay  bx  by  cx  cy x  a  b  c   y  a  b  c   a  b  c  x  y  a  b  c


ax  bx  ay  by
ax  bx  bx  by
ab
 a  b  x  y 
c)
2
2
a 3  a 2  a  1 a 3  a 2  a  1 a  a  1   a  1 a  1  a  1 a  1



a 3  a 2  a  1 a 3  a 2  a  1 a 2  a  1    a  1  a 2  1  a  1 a  1




2. Calcule o valor de 12452  12442 .


12452  12442  12452   1245  1  12452  12452  2490  1  12452  12452  2490  1  2489
2
3. Obtenha a expressão expandida de cada binômio.
a)
 x  12  x 2  2.x.1  12  x 2  2x  1
b)
2
 x  12   x   1   x 2  2.x.  1   1  x 2  2x  1
c)
2
2
 5x  2 2   5x   2.  5x  .  2   2   25x 2  20x  4
d)
2
 2x  3 2   2x   2.  2x  .3  32  4x 2 12x  9
2
7
4. Sabendo que
 a  b . a  b  a2  b2 ,  a  b2  a2  2ab  b2
e
 a  b2  a2  2ab  b2 ,
calcule:
a)
52x48  50  2  .  50  2   502  42  2500  16  2484
b) 85 2 80  5  802  2.80.5  52  6400  800  25  7225
2
c) 79x61  70  9  .  70  9   702  92  4900  81  4819
d) 98 2 100  2   1002  2.100.2  22  10000  400  4  9604
2
e) 204x196  200  4  .  200  4   2002  42  40000  16  39984
5. Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:
a) ax  ay
 a x  y
b) 4x  2y
 2  2x  y 
c)
x  ax  16axy  x  1  a  16ay 


d) ax 2  2axy  ay 2  a x 2  2xy  y 2  a  x  y 

2

e) 26x 2  52xy  26y 2  26 x 2  2xy  y2  26.  x  y 
2
6. Fatore por agrupamento:
a) ab2  ab  ac  bc  a  a  b  c  a  b    a  b  a  c 
b) 2a2  4a  ab  2b  2a  a  2   b  a  2   a  2  2a  b 
c)
xy  x  y  1  x  y  1   y  1   y  1 x  1
d) 8a2  4ab  2a  b  4a  2a  b   2a  b   2a  b 4a  1
e)



 



2a3  10a2  8a  40  2a a2  4  10 a2  4  a2  4  2a  10   2 a2  4  a  5 
8
Exercícios Propostos
3. Calcule o valor de 26 2  27 2 .
a) 53
1. Equivale ao produto 71x69 :
a) 70 2
b) 54
b) 702  2.70.1  1
c) 52
c) 702  2.70.1  1
d) 53
d) 70 2  1
e) 54
e) 702  12
2. O
resultado
algébrica
a)
b)
c)
d)
e)
x2  1
x2  4
x2  1
x2  4
x2  1
x4
x2  4
x2  1
x 1
x4
x
equivalente

é:
 x  2x  . x  2 
2
2
 x  x  1
da
fração
4. Ao simplificar a fração
x 2  8x  16
, obtém-se:
x 2  16
x2
a)
x2
x4
b)
x4
x4
c)
x4
x4
d)
x2
e) x  4
algébrica
9
5. O resultado da operação
x6  y6
,
x 2  xy  y 2
para x  5 e y  3 , é igual a:
a) 304
b) 268
c) 125
d) 149
7. A figura abaixo representa um terreno
quadrado que foi dividido em quatro
partes. Indique o polinômio que representa
a área do terreno, sabendo-se que a área
x2
do quadrado azul é igual a
e os lados
4
do quadrado vermelho medem o dobro
dos lados do quadrado azul.
e) 14
6. Qual é o polinômio que devemos adicionar
2
a (4x + y) para obter o polinômio abaixo?
2
20x + 8xy + 2y
2
8. A diferença dos quadrados de dois
números pares consecutivos é igual a 180.
Qual é o maior desses números?
Gabarito
1
2 3
4
5
6
d
c
a
4x + y
b
d
2
2
7
9x 2
4
8
46