Cálculo de Diferencial Aplicação do Diferencial dy y

Cálculo de Diferencial
1
Cálculo de Diferencial
Calcular o diferencial dy das funções: dy = f(x)’.dx com dy=diferencial,
f(x)’=y’=derivada e dx=acréscimo.
1.
y = 6 x 3 + 8x + 1
Solução: y = 6 x 3 + 8 x + 1 , derivada: y ' = 18 x 2 + 16 x logo o diferencial é: dy=(18x2+18x).dx
2.
(
y = ln x 3 + 4
)
(
)
Solução: y = ln x 3 + 4 , derivada: y ' =
3.
y=e
4.
)
x +4
x
x +4
2
.e
+4
)
1
2
x2 +4
2
y=
(
3
2
Solução: y = e (x
y' =
x +4
 3x 2 
.dx
logo o diferencial é: dy =  3
 x +4


3x 2
derivada: y ' =
1 2
.x +4
2
logo o diferencial é: dy =
.2 x.e (x
− 12
x
x +4
.e
2
+4
) à y ' = (x 2 + 4)− .x.e (x + 4) à
1
x2 + 4
1
2
1
2
2
.dx
2
5x 3 + 2
4x 2 + 1
Solução: y =
5x 3 + 2
4x + 1
2
, derivada: y ' =
(
)(
)
3.5 x 2 . 4 x 2 + 1 − 5 x 3 + 2 .2.4 x
(4 x
2
)
+1
2
à y' =
20 x 4 + 15 x 2 − 16 x
(
)
(
Acréscimo: ∆y = ( x + ∆x )2 − x 2 ;
(
)
(
15 x 2 . 4 x 2 + 1 − 8 x. 5 x 3 + 2
 20 x 4 + 15 x 2 − 16 x 

.dx
logo
o
diferencial
é:
=
dy
2
2


2
2
4x + 1
4x + 1


5. Encontrar o diferencial dy e o crescimento ∆y da função da função y=x2 .
a) para os valores arbitrários de x e de ∆x ;
b) para x=12 e ∆x =0,2
a) Solução: y=x2, derivada: y’=2.x, o diferencial dy=(2.x).dx
y' =
2
(4 x
2
)
+1
2
)à
)
diferencial: dy=(2x). ∆x
b) Solução: Acréscimo ∆y = (12 + 0,2 ) − 12 = 4,8
Diferencial: dy=(2.12).0,2 = 4,8
2
2
Aplicação do Diferencial
Calcular o acréscimo ∆y , o diferencial dy e o erro ∈, de cada uma das funções: ∆y =f(x+ ∆x )-f(x);
dy=y’.dx e
∈= ∆y − dy
1. f (x ) = x. ln x para x=e e ∆x =0,1
Cálculo do acréscimo ∆y :
∆y = ( x + ∆x ). ln (x + ∆x ) − x. ln x à ∆y = (e + 0,1). ln (1 + 0,1) − e. ln e à ∆y = (e + 0,1). ln (1 + 0,1) − e à
∆y = (2,718282 + 0,1). ln (2,718281+ 0,1) − 2,718282 à ∆y = (2,818282). ln (2,818281) − 2,718282 à
∆y = (2,818282).l1,036123 − 2,718282 à ∆y = 2,920099 − 2,718282 à ∆y = 0,200181
Cálculo do diferencial dy:
y=x.lnx à y ' = 1. ln x + x.
1
à y ' = 1 + ln x
x
Cálculo de Diferencial
2
Diferencial: dy=(1+lnx).dx à dy=(1+1).0,1 à dy=0,2
Erro: ∈= 0,201817 − 0,2 =0,001817
2.
y=(x-1)4 para x=2 ; ∆x =0,02
∆y =f(x+ ∆x )-f(x) à
Cálculo do acréscimo ∆y :
∆y = (2 + 0,02 − 1) − (2 − 1) à ∆y = 0,0824
4
4
Cálculo do diferencial: y=(x-1)4 à y’=4.(x-1).1 à dy=4.(x-1).dx à dy= dy=4.(2-1).0,02 à
dy=0,08
Cálculo do erro: ∈= 0,0824 − 0,08 = 0,0024
3.
y=
x3
− x 2 para x=3 e ∆x =-0,1
3
∆y =
∆y =f(x+ ∆x )-f(x) à
Cálculo do acréscimo ∆y :
(x + ∆x )3 − (x + ∆x )2 −  x 3 − x 2 
 3

3
(3 − 0,1)3 − (3 − 0,1)2 −  33




− 3 2  à ∆y = 0,2803
3
3

x3
Cálculo do diferencial: dy=f’(x).dx à y =
− x 2 à y' = x 2 − 2 x à dy = (x 2 − 2 x ).dx à
3
2
à
dy=-0,3
dy = (3 − 2.3).(− 0,1)
à ∆y =
Cálculo do erro: ∈= 0,2803 + 0,3 =?
4.
ex
y=
x
para x=1 e ∆x =0,1
e1+ 0,1 e1
e x + ∆x
ex
− =0,0127
Cálculo do acréscimo ∆y : ∆y =f(x+ ∆x )-f(x) à ∆y =
à ∆y =
−
1 + 0,1 1
x + ∆x x
Cálculo do diferencial dy: y ' =
 e x .x − e x
e x .x − 1.e x

à
dy
=
2
x2
 x

 e1 .1 − e1 
.dx à dy = 
.0,1 à
2

 1

dy=0 ;
Cálculo do erro: ∈= 0,0127 − 0
y = 2.x 3 à y = (2.x 3 ) 2 para x=2 e ∆x = -0,012
1
5.
(
) − (2.x ) à
∆y = (2.(x + ∆x ) ) − (2.x ) à ∆y = (2.(2 − 0,012) ) − (2.(2 ) ) à ∆y = −0,0359
Cálculo do acréscimo: ∆y =f(x+ ∆x )-f(x) à ∆y = 2.(x + ∆x )
3
1
2
Cálculo do diferencial dy: y ' =
3
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
1
2
2
−1
1
3.x 2
3 2 12
logo dy =
.x .dx à
.(2 x 3 ) 2 .3.2.x 2 à y ' =
3
2
2
2.x
1
3 2
.(2 ) 2 .(− 0,012) = − 0,036 .
2
Cálculo do Erro: ∈= − 0,0359 + 0,036 =0,00005
dy =
3
Cálculo de Diferencial
6.
17,1 usando diferencial.
Calcule o valor aproximado de
Resolução: fazendo y =
3
x à y=x
1
2
para x=16 e ∆x = 1,1. Derivada da função é y ' =
1 − 12
à
.x
2
1
 1 − 12 
1
−
diferencial: dy =  .x .dx à dy = .(16) 2 .(1,1) =0,1375. Resposta: 17,1 = 4+0,1375= 4,1375
2

2


7. Calcule o valor aproximado de 3 8,16 usando diferencial.
Resolução: fazendo y = 3 x para x=8 e ∆x = 0,16
2
 1 −2 
1 −
 1 −2 
y ' = .x 3 logo dy =  .x 3 .dx à dy =  .(8) 3 .(0,16 ) à dy=0,0133
3

3
3

3
Resposta:
8.
8,16 = 2+ 0,0133=2,0133
Calcule o valor aproximado de
3
7,75 usando diferencial.
2
Resolução: fazendo y = 3 x para x=8 e ∆x = -0,25. Derivada da função y ' =
1 −3
.x à diferencial:
3
 1 − 23 
 1 −2 
dy =  .x .dx à dy =  .(8) 3 .(− 0,25) = -0,0208
3

3

Resposta: 3 7,75 =2-0,0208 =1,979
9.
Calcule o valor aproximado de
Resolução: fazendo y =
1
y ' = .x
4
3
−
4
Resposta:
1
 4 .x

82,12 usando diferencial.
x para x=81 e ∆x = 1,12
3

.dx à dy =  1 .(81)− 4 .(1,12) = 0,0103

3


82,12 =3+0,0103 ≈ 2,0103
à dy = 
4
4
4
3
−
4
10. Seja L(x ) = 4 x − 2 x − 1 uma função de lucro e y=12-x2 uma função de demanda para uma
quantidade x=1 e ∆x = 0,2. Achar:
a) O acréscimo correspondente no custo total. Resolução: o lucro total é Lt=Rt – Ct à Ct= Rt – Lt
3
2
(
)
(
)
A receita total: Rt=y.x à Rt = 12 − x .x à Ct = 12 x − x − 4 x − 2 x − 1 à
2
3
3
2
Ct = −5 x + 2 x + 12 x + 1 e sua derivada é: (Cr ) = −15 x + 4 x + 12
2
2
O diferencial é: d (Ct ) = (− 15 x + 4 x + 12).dx à d (Ct ) = (− 15.1 + 4.1 + 12 ).(0,2 ) =0,2 u.m.
3
2
b) O novo custo obtido após o acréscimo: Ct = −5 x + 2 x + 12 x + 1 para x=1
Ct (1) = −5.13 + 2.12 + 12.1 + 1 =10 u.m. à Ct=10+0,2=10,2 u.m
3
'
2
2
11. Calcular a variação aproximada na função lucro quando se passa de uma produção de 5 unidades para
5,12; sabendo-se que a função de demanda é y = − x − 4 x + 320 e a função custo total é
2
yc = x 3 + 2 x 2 − 2x .
Resolução: Lt=Rt – Ct. à Rt=y0.x
(
)
à Rt= − x − 4 x + 320 .x à Rt = − x − 4 x + 320.x
2
3
2
Cálculo de Diferencial
4
(
)
Função de custo: Ct = − x − 4 x + 320 à Lt = − x − 4 x + 320.x − − x − 4 x + 320 à
2
3
2
Lt = −2 x − 6 x + 322 x e sua derivada é: (Lt ) = −6 x − 12 x + 322
3
2
'
2
2
(
)
− 12.5 + 322).(0,12) = 112.0,12= 13,44 u.m.
d (Lt ) = (Lr ) .dx à d (Lt ) = − 6 x 2 − 12 x + 322 .dx à
'
d (Lt ) = (− 6.5
2
12. Sendo yc=x2+2 o custo total de um produto cuja função receita é yr=3x, passando-se a quantidade de
produto de x=1,02. Determine:
a) A variação aproximada no valor do lucro obtido:
Resolução: Lt=Rt – Ct. à Rt=y0.x à Rt=(3x).x à Rt=3x2
Ct=(x2+2).x à Ct=x3+2x
Lt1=3x-(x2+2) à Lt1=3.1 – (11+2)=0
Lt=3x2-x3-2x à dLt=(Lt)’.dx à dLt=(-3x2+6x-2).dx=(-3.12+6.1-2).0,02=0,02 u.m.
b) O novo valor do lucro:
Lt2=Lt1+dLt à Lt2=0+0,02 = 0,02 u.m.
13. ?