ESTATÍSTICA I - Mário 1

1
ESTATÍSTICA
CONCEITOS
PRIMITIVOS
1 - O QUÊ É A ESTATÍSTICA?
Vários autores têm procurado definir a Estatística. Existem muitos livros escritos sobre a
Estatística, todos contendo definições desde as mais simples até as mais complexas, porém a qu e
vamos sugerir é a enunciada por Dugé de Bernonville, e que julgamos ser simples e fácil de ser
memorizada:
“
Estatística é um conjunto de métodos e procedimentos quantitativos
que para estudar e medir os fenômenos coletivos”.
serve
2 - POPULAÇÃO E AMOSTRA
Conforme ficou claro na definição, a Estatística tem por objetivo o estudo dos fenômenos
coletivos e das relações que existem entre eles. Entende - se como fenômeno coletivo aquele que se
refere à população, ou universo, que compreende um grande número de elementos, sejam pessoas
ou coisas. Portanto, para a Estatística, somente interessam os fatos que englobam um grande
número de elementos, pois ela busca encontrar leis de comportamento para to do o conjunto e não
se preocupa com cada um dos elementos em particular.
A população pode ser, segundo o seu tamanho, finita ou infinita. É finita a população que
possui um número determinado de elementos; a população infinita possui um número in finito de
indivíduos. Porém, tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez que, na prática, nunca
encontramos populações com infinitos elementos mas, sim populações com um grande números
de componentes; e, nessas circunstâncias, como ocorre na Es tatística Matemática, tais populações
são tratadas como se fossem infinitas.
Quando a população é muito grande, torna -se difícil a observação dos aspectos a serem
observados, de cada um dos elementos, devido ao alto custo, ao intenso trabalho e
o tempo
despendido para levar a cabo uma exaustiva observação de todos os componentes da população.
Nessas circunstâncias, fazemos a seleção de uma amostra suficientemente representativa da
população e, através da observação dessa amostra, estaremos apto s a analisar os resultados, da
mesma forma que se estudássemos toda a população, só que nesse caso sem os inconvenientes
anteriormente descritos.
3 - ESTATÍSITICA DESCRITIVA E ESTATIÍSTICA
PROBABILÍSTICA(INDUTIVA)
Agora estamos em condições de defi nir a Estatística Descritiva ou Dedutiva , que é aquela
que tem por objeto descrever e analisar determinada população, sem pretender tirar conclusões de
caráter mais genérico. A Estatística Indutiva ou Inferência Estatística é a parte da Estatística que,
baseando -se em resultados obtidos da análise de uma amostra da população, procura inferir,
induzir ou estimar as leis de comportamento da população da qual a mostra foi retirada. Também
através da Estatística Indutiva podemos aceitar ou rejeitar hipóteses
que podem surgir sobre as
características da população, a partir também da análise da amostra representativa dessa população.
- ESTATÍSTICA I - Mário
2
ESTATÍSTICA
DESCRITIVA
1- INTRODUÇÃO
A palavra Estatística, significa, originalmente, uma coleção de informações para o
Estado sobre a população e economia. Desta origem, a Estatística cresceu e se
desenvolveu até tornar-se um método de análise que, encontra aplicações em todas as
ciências sociais.
Os fatos sociais exigiram que o homem aplicasse ou elaborasse um método que
satisfizesse, em parte, a série de indagações feitas pelas ciências que necessitavam ser
respondidas: esse método (ou conjunto de métodos) é denominado método estatístico.
FENÔMENOS ESTATÍSTICOS
O campo de aplicação da Estatística é o dos fenômenos coletivamente típicos ou
fenômenos de massa, que não se caracterizam por observações isoladas, mas
observações de massas de casos.
FASES DO LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO – ESTATÍSITCA DESCRITIVA
A seqüência do trabalho estatístico pode ser apreciada com um simples exemplo,
muito conhecido do professor e do aluno: a aplicação de uma prova. As questões,
planejadas inicialmente, são aplicadas aos alunos (informantes dos questionários) e,
logo depois, coletadas e corrigidas (criticadas): compete ao professor, ainda, apurar os
resultados divulgando-os (exposição) e analisando-os (interpretação).
Portanto as fases do levantamento estatístico são:
 Planejamento
 Coleta de dados
 Apresentação de dados (tabelas e gráficos)
 Descrição e interpretação dos dados.
OBJETIVO: A finalidade da pesquisa é descobrir respostas para questões,
mediante a
Aplicação de métodos científicos. Tais métodos são desenvolvidos
tendo por objetivo criar uma probabilidade cada vez mais tendente
para a certeza, de que as informações obtidas às questões
apresentadas serem, além de seguras e imparciais, realmente
representativas do mundo real.
PLANEJAMENTO:
Que dados deverão ser obtidos?
Como se deve obtê-los?
Ao planejar uma pesquisa devemos, como medida preliminar, reunir todo
material, existente: mapas, relatórios, artigos, livros, etc, relativo a levantamentos
semelhantes; ou seja devemos Ter conhecimento da literatura sobre o assunto, pois é
justamente onde encontramos as informações sobre os possíveis fatores do fenômeno a
estudar. Além disso, traz valiosas informações no que diz respeito a técnica mais
recomendável para a realização da pesquisa.
- ESTATÍSTICA I - Mário
3
Nenhuma pesquisa se inicia sem que se tenha previamente organizado o seu
programa, da maneira mais completa possível, pois esquematizado o problema
conhecidos os suportes o seus fatores, concluímos imediatamente quais os dados de que
necessitamos.
DEFINIÇÃO DO UNIVERSO
È o caminho a seguir após a organização do plano geral, a equipe deverá saber
qual o caminho a ser pesquisado, para permitir um trabalho mais fácil, mais lógico, mais
racional, mais preciso, pois caso contrário comprometeremos os resultados do
levantamento; torna-se portanto necessário delimitar claramente, no tempo e no espaço
do inquérito, definindo, em termos precisos, o universo a ser trabalhado.
Toda pesquisa é trabalho grandemente dispendioso. Sempre que possível,
procuraremos restringir-lhe o vulto, sem que com isso se perca o rigor que o caso exija.
Em vez de pesquisarmos uma totalidade de casos, pesquisaremos apenas um grupo, isto
é, uma amostra desde que não afete a precisão dos resultados.
É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob esse
aspecto, pode haver dois tipos de levantamentos: censitário e amostragem.
O tipo de levantamento, censo ou de amostragem, deverá ser decidido com
antecedência e a necessária análise das vantagens e desvantagens, de um e de outro, pois
três fatores essenciais - tempo, custo e precisão, governam todo e qualquer tipo de
levantamento Ele acima de tudo, é função dos recursos financeiros e do prazo
determinado para a conclusão do trabalho.
Vale assinalar que nem sempre a amostragem é mais barato que um levantamento
completo e isto porque, quer no planejamento quer na execução, o pessoal empregado
numa operação por amostragem é de nível técnico mais elevado e, portanto, mais caro.
COLETA DOS DADOS
Como? Quando? e Onde?
Obter as informações julgadas necessárias e suficientes?
Na fase inicial do trabalho estatístico, o planejamento já ficou decidido ONDE
seriam coletadas as informações.
É possível que as informações, desejadas pela equipe possam ser obtidas em
órgãos que já as coletou. Nesse caso, haveria apenas uma transcrição, o trabalho seria
mais rápido e menos oneroso.
Ex: cartórios onde encontramos os registros de casamento, os balancetes comerciais e
bancários. que são as fontes de estatísticas.
DADOS ESTATÍSTICOS
Entende-se por dados estatísticos a representação numérica de fenômenos
coletivamente típicos.
Assim, por exemplo, o número de alunos de uma escola, os habitantes de uma país, q a
quantidade de soja produzida em Minas Gerais em 2003, constituem dados estatísticos.
Dados primários- são os dados estatísticos que foram colhidos, ou publicados pela
própria pessoa ou organização que vai analisá-los.
Dados secundários- são os dados que foram colhidos por pessoa, ou organização
diversa daquela que vai analisá-los.
Um conjunto de dados é, pois, primário ou secundário em relação a alguém.
Há diversas maneiras de obtermos as informações, mas todas usam como
instrumento operacional um questionário, portanto temos:
- ESTATÍSTICA I - Mário
4




questionário enviado
questionário apresentado
questionário e interrogatório
inquérito pessoal
APURAÇÃO DOS DADOS
Antes de começar a analisar os dados é conveniente que lhes seja dado algum
tratamento prévio, a fim de torná-los mais expressivos. È um trabalho de condensação e
de tabulação dos dados, que chagam ao analista de forma desorganizada, tornado
impossível a tarefa de apreender todo o seu significado pela simples leitura.
Por conseguinte através da apuração, tem-se a oportunidade de condensar os
dados, de modo a obter um conjunto compacto de números o qual possibilita distinguir
melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade.
A apuração é geralmente realizada através de processos mecânicos, a menos que o
número de dados seja pequeno.
APRESENTAÇÃO DOS DADOS (Tabelas e gráficos)
Após a apuração, os dados estatísticos são apresentados em tabelas ou em
gráficos, por ser uma maneira prática e racional de apreciar e entender o fenômeno que
está estudando.
TABELAS
A elaboração de tabelas obedece a Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, do
Conselho Nacional de Estatística.
Os seguintes pontos deverão ser estudados:
 A tabela, como um dado, inclue seu título e todos as notas explicativas. Ela deve ser
Auto-Explicativa.
 O título e os cabeçalhos da colunas e linhas devem ser claros concisos, e o mais
resumido possível.
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as seguintes
perguntas:
 O quê? (referente ao fato)  natureza da classificação
 Onde? (relativo ao lugar)  lugar
 Quando? (correspondente a época)  tempo
Linha - é uma série horizontal de informações
Coluna - é a parte destinada a uma série vertical de informações.
A interseção de uma linha com uma coluna corresponde à célula ou casa.
 As unidades de medidas devem sempre ser registradas;
 Os termos usados devem ser definidos em rodapé;
 Se a tabela foi retirada ou derivada de outras, a fonte deve ser dada em nota de
rodapé;
 Os números devem ser arredondando a fim de evitar detalhes inúteis:
 As tabelas devem ser ajustadas ao espaço disponível; não devem ser muito estreita e
nem muito largas;
 A tabela não deve ser fechada lateralmente por traços verticais. Na parte superior,
bem como na inferior, a tabela é fechada por linhas de traço mais cheio.
 As casas não deverão ficar em branco apresentando sempre um número ou sinal
convencional.
- ESTATÍSTICA I - Mário
5
Empregam-se os seguintes sinais convencionais:
a) ___(traço) quando o dado for nulo;
b) ... (três Pontos), quando não se dispuser do dado
c) X (letra X), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das
informações.
 No corpo da tabela encontramos as seguintes zonas
1. Designativa
2. Indicativa
3. Enumerativa
TÍTULO ( O que)
SUBTÍTULO ( onde? Quando?)
Zona designativa (cabeçalho)
Zona indicativa
Zona enumerativa
Total
Fonte: ( rodapé)
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
O gráfico é uma maneira simples e efetiva e torna compreensível uma
tabela. Muitos tipos de gráficos são empregado na estatística, dependendo da natureza
dos dados pertinentes e da finalidade para a qual ele é destinado. Estas representações
gráficas chamam-se Gráficos ou Diagramas. Os gráficos apresentam os dados
estatísticos de uma maneira clara e simples, por meio de desenhos geométricos.
FINALIDADE DA APRESENTAÇÃO GRÁFICA: O gráfico é uma representação da
relação existente entre as variáveis.
Embora a representação dos dados através de desenhos, dependa muito do
espírito de criatividade e do bom gosto de quem vai executar a tarefa, alguns princípios
elementares, no entanto devem ser observados. Assim, dentre as normas consideradas
básicas, destacamos as seguintes:
a) o gráfico deve ser simples,
b) é necessário que o gráfico apresente o título, e, quando for o caso título e subtítulo,
Quê ( título)
Onde ( subtítulo)
c) devem ser utilizadas no desenho apenas as linhas necessárias à leitura,
d) as unidades utilizadas para representar o fenômeno devem estar expressas no
desenho.
e) Guardar certa proporcionalidade entre os eixos, de modo que alinha das ordenadas
corresponde, NO MÁXIMO, a 80% das abscissas.
PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS
1) gráficos de barras
2) gráficos de colunas
3) gráficos em linhas ou lineares
- ESTATÍSTICA I - Mário
6
4) gráficos em faixas
5) gráficos em setores
6) gráficos representativos de distribuição de freqüência
a) histograma
b) polígono de freqüências
DESCRIÇÃO OU INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e também a mais
delicada. Nesta etapa, o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem o
pesquisador a resolver o problema.
A análise dos dados cuja finalidade principal é descrever o fenômeno.
Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso por números - resumos, as
estatísticas, que evidenciam características particulares desse conjunto.
2- SOMATÓRIO
Muitas vezes precisamos escrever somas com muitos termos, ou cujos termos
obedecem a certa
lei de formação. Por exemplo, a soma dos 50 primeiros números naturais positivos.
1 + 2 + 3 + ....+ 49 + 50
Sendo xi o i-ésimo número natural da soma, podemos obter a seguinte simbologia.
50
 xi = 1 + 2 + 3 + ... + 49 + 50
i=1
De modo geral, teremos
n
 xi = x1 + x2 + x3 + ... + xn
i=1
Propriedades dos somatórios
1- Sendo c uma constante, teremos
n
a)  c.xi = c.x1 + c.x2 + c.x3 + ... + c.xn
i=1
= c(.x1 + x2 + x3 + ... + xn )
n
b)  c = c + c + c + … + c = c.n
i=1
2- Somatório da soma ou diferença
n
 (xi  yi)
i=1
n
n
i=1
i=1
=  xi   yi
- ESTATÍSTICA I - Mário
=
n
c.  xi
i=1
7
De fato!
( xi + yi) = x1 + y1 + x2 + y2 + x3 + y3 + ….+ xn + yn
= (x1 + x2 + x3 + ... xn) + (y1 + y2 + y3 + ... + yn) =  xi +  yi
Por tanto, ( xi + yi) =  xi +  yi.
Idem para ( xi - yi) =  xi -  yi
SOMATÓRIO DUPLO
É freqüente, na representação dos dados estatísticos, o uso de tabelas de dupla
entrada, onde os valores são expressos em função de duas variáveis. Uma variável em
linha e uma variável em coluna.
Por exemplo: Representação do estado civilxsexo (masculino ou feminino).
Seja xij um elemento genérico, sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela.
j
i
1
1
2
3
.
.
.
L
2
3 ....... k
x11 x12
x21 x22
x31 x32
x13 ..... x1k
x23 ..... x2k
x33 ..... x3k
xL1
xL3 .… xLk
xL2
Exemplo: xij representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela.
j
i
1
1
2
3
2
3
4
5 -2
2 1
8 -1
0
6
4
1
7
3
Calcular
3
4
a)   xij
i=1 j=1
4
b)  x2j
i=1
3
c)  xi3
- ESTATÍSTICA I - Mário
8
i=1
3
4
d)   xij
i=2 j=2
e)  (xij – 1)²
EXERCÍCIOS
1- Desenvolva cada uma das somas indicadas:
5
a)  xi , onde x1 = 0, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 10, x5 = 8
i=1
4
b)  xi , onde x1 = 4, x2 = 2, x3 = 7, x4 = 19
i=1
2- Sendo X: x1 = 7, x2 = 3, x3 = 8, x4 = 2, x5 = 1
Y: y1 = 3, y2 = 1. y3 = 5, y4 = 6, y5 = 2,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
calcular
X
Y
 X²
 X.Y
 (X + Y)
 (X + 4)
3- Usando os dados do exercício 2, constate que:
a)  X.Y   X .  Y
b) ( X)²   X²
1- Xij representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela:
j
1
2
3
1
2
3
4
4 1
3 2
-1 4
0 3
-1
-2
0
4
i
4.1 Quais são os elementos x22, x23, x13, x31, x²43
- ESTATÍSTICA I - Mário
9
4.2 Calcular
a)  xij
b)
4 3
  xij
i=2 j=2
c)  x2j
d)  xi3
e)  x²ij
e)  (xi2 + 1)²
2- O elemento Xij representa o número de pessoas que estão sujeitas à i-ésima faixa
etária e a j-ésima faixa de renda.
Idade 8
(anos)
18
24
18
Renda em R$ mil
18 18
28
28
38
38
48 48
58 58
128
12
10
7
5
3
24
30
10
8
9
7
8
10
30
36
5
4
8
10
13
15
36
42
4
3
7
15
12
18
42
48
1
5
8
10
15
20
I – Calcule
a)  xij
b)  xi3
c)  x2j
5 6
d)   xij
i=2 j=3
d)  x3j
II – a) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda maior ou igual a
R$28.000 e que tenha idade maior ou igual a 30 anos.
b) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda na faixa 48
58.
c) Escreva simbolicamente a soma dos elementos que estão na faixa etária 36
42.
3- DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Um arranjo tabular dos dados juntamente com as freqüências correspondentes, é
denominado distribuição de freqüência:
Exemplos
- ESTATÍSTICA I - Mário
10
1)
0
0
0
Vamos admitir que a empresa X conte com 60 funcionários entre casados e
solteiros. E que o gerente de pessoal, da empresa, está interessado em verificar se o
número de filhos por funcionários da fábrica tem algum comportamento
característico do ponto de vista estatístico. Para iniciar a sua análise, o gerente de
pessoal consulta o arquivo das fichas dos funcionários, de onde extrai os dados.
Números de filhos dos funcionários da empresa
DADOS BRUTOS
1 0 2 3 0 0 4 0
0
3
0
2 0 2 3 0 3 2 2
1 4 1 0 0 5 0 0
1
0
3
0 2 0 2 5 2 0 3
0 0 1 2 4 0 3 1
6
4
0
4 2 0 7 2 0 0 3
ROL - é um arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente de
grandeza
Distribuição de freqüência - dados não agrupados em classes (intervalos).
Funcionários da empresa X, segundo números de filhos.
Nº de filhos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
total
freqüência
26
6
11
8
5
2
1
1
0
60
Fonte: departamento pessoal da empresa X
A representação gráfica do fenômeno acima poderá ser feita através do gráfico em
hastes ou gráfico de bastões.
TÍTULO: Número de filhos dos funcionários da empresa X
F
X
- ESTATÍSTICA I - Mário
11
Fonte: Departamento pessoal da empresa X
2)
Os valores abaixo, correspondem as notas finais do curso de matemática de 80
estudantes da Universidade Unimonte em 20xx, obtidos na secretaria da
Universidade.
Dados Brutos
68
71
75
71
78
84
69
94
79
62
75
85
77
62
76
82
75
69
67
53
68
61
77
97
74
90
75
68
78
86
62
87
60
85
67
88
74
96
76
73
76
62
78
65
81
93 73 79
95 78 63
89 61 75
71 75 65
72 63 76
88
72
95
80
75
73
66
60
73
85
60
78
79
67
77
93
82
83
88
65
ROL
Neste caso contudo, não é conveniente procedermos como no caso anterior, porque
a tabela de freqüência teria 35 valores diferentes e seria, ainda muito extensa. Ao invés
disso, vamos considerar intervalos (classes) e contar quantas observações se encaixem
dentro de cada classe.
Número de intervalos (classes)
Quantas classes serão necessárias para representar o fato?
O número de classes é representado por k. È importante que a distribuição conte
com um número adequado de classes. Se esse número for escasso, os dados originais
ficarão tão comprimidos que pouca informação se poderá extrair da tabela. Se por outro
lado, forem utilizados muitas classes, haverá algumas com freqüência nula ou muito
pequena, e o resultado será uma distribuição irregular e prejudicial à interpretação do
fenômeno como um todo.
Existem vários critérios que podem ser utilizados a fim de possuirmos uma idéia do
melhor número de classes, porém tais critérios servirão apenas como indicação e nunca
como regra fixa, pois caberá sempre ao pesquisador estabelecer o melhor número
levando-se em conta o intervalo de classe e a facilidade para os posteriores cálculos
numéricos.
Assim, podemos indicar um método que considero mais prático.
Nº de elementos observados
51
101
201
301
mais
Até
a
a
a
a
de
50
100
200
300
400
400
Número de classes
Mínimo máximo
5
8
10
12
15
20
10
16
20
24
30
40
- ESTATÍSTICA I - Mário
12
Dessa forma o pesquisador usando o bom senso e a sua experiência verificará qual
seria o intervalo de classe, mesmo que o número de classes não seja o determinado pela
tabela ou por outros métodos existente, como a fórmula de Sturges K = 1 + 3,3 log N,
mas que facilite as operações posteriores
Notas finais do curso de matemática da Universidade Unimote-20xx
Notas
Xi (PM)
Nº de
FAC
FAD
FR
FRAC
FRAD
F%
F%AC
F%AD
Alunos
50
55
55
60
60
65
65
70
70
75
75
80
80
85
85
90
90
95
95
100
Total
Fonte: Secretaria da Universidade Unimonte . MG
Tipos de freqüências
Freqüência absoluta : simples. Acumulada crescente e acumulada decrescente
Freqüência relativa : simples, acumulada crescente e acumulada decrescente
Freqüência percentual : simples, acumulada crescente e acumulada decrescente.
Histogramas e Polígonos de freqüência são representações gráficas da
distribuição de freqüência.(Veja na losa os respectivos gráficos das distribuições do
exemplo acima)
ESTATÍSTICA I - EXERCÍCIOS
Assunto: Distribuição de freqüência
Prof. Mário Roberto Filho
1- Dada a distribuição de freqüência abaixo, calcular os pontos médios, as
freqüências acumuladas, crescente e decrescentes, as freqüências
- ESTATÍSTICA I - Mário
13
relativas simples e acumuladas, crescentes e decrescentes, freqüências
percentuais simples, acumuladas crescente e decrescente.
ESTATURAS FREQ. PM FAC FAD
(cm)
f
147
150
5
150
153
14
153
156
12
156
159
17
159
162
13
162
165
19
165
168
10
168
171
8
171
174
12
174
177
10
TOTAL
FR
FRAC FRAD F% F%AC
F%AD
120
b) RESPONDA
1- quantos alunos tem estatura de 147
162?
2- Quantos alunos tem estatura de 159
168 ?
3- Qual a % dos alunos que medem abaixo de 165 cm ?
4- Qual a % dos alunos que medem de 159
171 cm ?
5- qual a % dos alunos acima de l65 cm ?
6- qual a classe de estatura do 5º aluno ?
7- qual a classe de estatura do 18º aluno ?
8- até que classe de estatura são compreendidos 60% dos alunos ?
2) De acordo com a tabela apresentada acima, construir: histogramas e polígonos de
freqüências, das seguintes freqüências:
a) freqüência simples
b) freqüência acumulada crescente
c) freqüência acumulada decrescente.
3) A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência da notas de estatística de 320
alunos do curso de Administração de uma universidade Y
- ESTATÍSTICA I - Mário
14
NOTAS
Nº DE ALUNOS
0
10
3
10
20
7
20
30
12
30
40
34
40
50
48
50
60
90
60
70
54
70
80
52
80
90
15
90
100
5
TOTAL
FAC
FAD
F%
F%AC
F%AD
N = 320
Com base nessa tabela, pede-se
a) a percentagem de alunos cuja nota não excede a 58 .
b) o número de alunos com nota maior ou igual a 83 .
c) a percentagem de alunos cuja nota é 28 no mínimo, mas inferior a 87.
4) Tabular convenientemente as notas abaixo, atribuídas aos 52 alunos da turma A que
prestaram a prova B em julho de 20xx.
93
95
100
100
10
23
20
10
80
100
50
53
80
73
53
28
93 85 90 8 8
48
43
55 80 70 60 95 75 73
58
45 98 53 78 100 93
88
95
78
20
50
100 50
65
90
35 33
90
58
43
100
38
93
65
53 33 68
100 78
58
83
100
85
68
98
58
38
48
70
83
78
25
65
95
43
70
65
5
45
68
17
MEDIDADA DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL
São utilizadas para resumir e desenvolver o conjunto de valores representativos do
fenômeno que se deseja estudar.
1- Médias
2- Moda
- ESTATÍSTICA I - Mário
15
3- Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Percentis)
1- MÉDIA
1.1-
Média Aritmética - Dados não agrupados
Sejam X1, X2, X3, ....., Xn. A média aritmética simples da variável X
representada por X é definida por:
n
 Xi
X = i=1
n
em que n é o número de elementos do conjunto
Exemplo:
Um aluno submeteu-se a um concurso, obtendo os seguintes resultados:
Contabilidade....................................7
Matemática.......................................8
Português..........................................5
História.............................................9
Digitação...........................................6
Legislação.........................................4
Determinar a média final do candidato
X = 7+8+5+9+6+4
6
= 39
6
= 6,5
1.2-
Média Aritmética Dados Agrupados
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a
média aritmética dos valores, ponderados pelas respectivas freqüências absolutas: f1, f2,
f3, ......,fn. assim:
k
 fixi
X=
i =1
n
Exemplo1:
- ESTATÍSTICA I - Mário
16
Funcionários da empresa CASTANHEIRA, segundo o número de filhos.
Nº de filhos
Nº de funcionários
fixi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
40
11
20
19
14
9
4
2
1
0
11
40
57
56
45
24
14
8
TOTAL
120
255
Fonte: Departamento de pessoal da empresa Castanheira
X = 255 = 2,125  2 ( os funcionários da empresa possui em média 2 filhos).
120
Exemplo 2:
Resultados da Prova de Estatística do Curso de Administração da escola X - Julho
de 2002.
Notas
Nºde alunos
xi
fixi
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2
11
26
17
8
6
3
2
1
7,5
12.5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
15
137,5
455
382,5
220
195
112.5
85
47,5
TOTAL
76
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1650
FONTE: Secretaria da Escola X
X = 1650
= 21,7 pontos
76
- ESTATÍSTICA I - Mário
17
1.3-
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
1-3.1- Se a cada valor da variável adicionarmos ou subtrairmos uma constante, a média
fica acrescida ou diminuída desta mesma constante.
1.3.2- Se multiplicarmos ou dividirmos cada valor da variável por uma constante  0,
sua média fica multiplicada ou dividida por essa constante.
1.3.3- A soma dos desvios em torno da média é nula (zero). Desvio diferença,
afastamento, resíduo ou discrepância é a diferença entre cada valor da variável e sua
média.
1.4-
PROCESSO ABREVIADO PARA O CÁLCULA DA MÉDIA
O método anterior é chamado processo longo, devido aos cálculos. Esse processo que
veremos agora é útil quando os valores de X forem grandes e a amplitude entre tais
valores for constante, pois facilita nos cálculos. Esse processo baseia-se nas
propriedades da média que acabamos de mencionar.
Exemplo
Resultados da Prova de Estatística do Curso de Administração da escola X - Julho de
2002.
Notas
Nºde alunos
xi
zi
fizi
5
10
2
7,5
-4
-8
10
15
11
12.5
-3
-33
15
20
26
17,5
-2
-52
20
25
17
22,5
-1
-17
25
30
8
27,5
0
0
30
35
6
32,5
1
6
35
40
3
37,5
2
6
40
45
2
42,5
3
6
45
50
1
47,5
4
4
TOTAL
76
-88
FONTE: Secretaria da Escola X
Zi
=
xi - xo
h
Z =
k
 fizi
i=1
mas
-88
=
= -1,16
76
n
X = h .Z + xo = 5(-1,16) + 27,5 = 21,7 pontos
- ESTATÍSTICA I - Mário
18
xo é uma constante arbitrária tomada convenientemente.
1.5-
ASPÉCTOS A SEREM OBSERVADOS NO EMPREGO DA MÉDIA
ARITMÉTICA.
1.5.1- A média é uma medida de tendência central que por uniformizar os valores, não
representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas; sendo influenciada pelos
valores extremos da série.
1.5.2- Não necessariamente tem existência real, isto é, nem sempre é um elemento que
faz parte do conjunto, para bem representá-lo, embora pertença obrigatoriamente ao
intervalo entre a maior e menor ocorrência.
1.5.3- Não pode ser calculada para distribuição com limites indeterminados
(indefinidos).
1.5.4- Depende de todos os valores da série, enquanto outras medidas como veremos
adiante, são calculadas em função de parte dos elementos do conjunto e a média
aritmética depende de todos os elementos, sendo pois exaustiva sob o aspecto de
cálculo.
2- MODA
Pode-se definir a moda como sendo o valor mais freqüente, quando comparada
sua freqüência com a dos valores de um conjunto.
Notação: Mo, ^X.
Exemplo: 4, 5,
1, 2,
1, 2,
1, 2,
5,
3,
2,
2,
6,
4,
2,
2,
6, 6, 7, 7, 8, 8 
Mo = 6 (unimodal)
5  (amodal)
3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6   Mo = 2 e Mo = 5 (bimodal)
1, 1, 4, 5, 6, 5, 6, 5   Mo = 1, Mo = 2 e Mo = 5)
Pontos obtidos pelos 20 alunos da turma A - matemática
NOTAS
Nª DE ALUNOS
18
1
17
2
16
2
15
3
14
3
13
5
12
2
11
3
TOTAL
20
- ESTATÍSTICA I - Mário
 Mo = 13 pontos
19
Fonte: Secretaria da Escola
Prova de Matemática, 1º ano/ensino médio - 2003, Escola X
NOTAS
Nº DE ALUNOS
5
10
2
10
15
11
15
20
26
20
25
17
25
30
8
30
35
6
TOTAL
 Classe modal
70
Fonte: Secretaria da Escola
Mo = L +
1
.h
= 15 + 15 / (15 + 9).5 = 18,13 pontos
1 + 2
Onde: 1 é o excesso da classe modal em relação à classe anterior.
2 é o excesso da classe modal em relação à classe posterior
L é o limite inferior da classe modal
h é a amplitude da classe modal.
Moda Bruta:
15 + 20
= 17,5 pontos
2
2.1- DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA
- ESTATÍSTICA I - Mário
20
f
28
R
S
24
1
20
E
P
16
F 2
T
12
8
Q
4
5
10
15 Mo 20
L1
25
30
35
Notas
L2
Os triângulos PQR e PST são semelhantes, portanto, seus lados são proporcionais
e podemos escrever:
QR
EP
=
ST
PF
1(L2 - Mo) = 2(Mo -L1)
 1.L2 - 1.Mo = 2.Mo - 2.L1
1.L2 + 2.L1 = 2.Mo + 1.Mo
 1(L1 + h) + 2.L1 = Mo(1 + 2)
1.L1 + 1.h + 2.L1 = Mo(1 + 2) 
L1.(1 + 2) + 1.h
(1 + 2)
 Mo = L1 +
1

= Mo
1 + 2
.h
1 + 2
2.3- ASPECTOS A SEREM OBSERVADOS NO EMPREGO DA MODA
2.3.1- A Moda não depende de todos os valores da série, nem de sua ordenação
(ROL), podendo mesmo não se alterar com a modificação de alguns
valores da série.
2.3.2- Não é influenciada pelos valores extremos da série.
2.3.3- Sempre tem existência real ou seja sempre é representada por um
elemento do conjunto de dados, exceto o caso de classes de freqüências,
que trabalhamos com subconjuntos (dados agrupados) e não com cada
elemento isoladamente.
- ESTATÍSTICA I - Mário
21
2.3.4- Pode ser calculada para distribuição som limites indeterminados
(indefinidos)
4- SEPARATRIZES
4.1- MEDIANA: É um valor que provoca dividir a distribuição de freqüência
exatamente ao meio de tal forma que 50% dos casos fiquem aquém e 50% fique além de
seu valor.
NOTAÇÃO: Me
4.2- POSIÇÃO DA MEDIANA
PMe = n + 1
2
Exemplo: 2, 3, 6, 12, 15, 23, 25 
Pme = 7 + 1
= 4º posição

Me = 12
2
 1, 4, 6,  8, 9, 10 
 Pme =  6 + 1 2 = 3,5 ( entre 3º e 4º posição)
Me = (6 + 8)/2 = 7
4.3- DETERMINAÇÃO DA MEDIANA NA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
NOTAS
Nº DE AL.(F)
FAC
20
30
25
25
30
40
85
110
40
50
do Q1
155
265
50
60
180
445
60
70
45
490
70
80
10
500
TOTAL
 Classe da mediana  classe
500
k-1
Pme = 500/2 = 250º
 fi
n
Me = LMe
+
i=1
2
FMe
- ESTATÍSTICA I - Mário
.h
22
Me = 40 + ( 250 - 110) / 155. 10 = 49, 03  49 pontos
Por interpolação, teremos
155...................................10
140(=250 - 110) ....
x
4.4-
A
ASPÉCTOS
MEDIANA
x = 9,03 logo Me = 40 + 9,03 = 49,03 pontos.
SEREM
OBSERVADOS
NO
EMPREGO
DA
4.4.1- Não depende de todos os valores da série e, podemos mesmo não se alterar
com a modificação de alguns valores, porém tem que estar dentro do Rol.
4.4.2- Não é influenciada pelos valores extremos da série.
4.4.3- Pode ser calculada para distribuição com limites indeterminados.
4.4.4- Não necessariamente tem existência real, embora pertença ao intervalo
considerado.
5- QUARTIS, DECIS, PERCENTIS.
5.1- QUARTIS - divide o conjunto em 4 partes iguais ( Q1, Q2, Q3, Q4 )
5.2- DECIS - divide o conjunto em 10 partes iguais (D1, D2, D3,............D10)
5.3- PERCENTIS - divide o conjunto em 100 partes iguais.(P1, P2, P3, ......., P100)
Posição dos quartis:
PQi = i.n / 4
Posição dos decis:
PDi = i.n / 10
Posição dos percentis:
PPi = i.n / 100
A maneira de calcular os quartis, decis, percentis são análogos ao cálculo da
mediana, mudando assim, apenas o cálculo de cada, quartil, decil ou percentil.
Referente a distibuição de freqüência dada para calcular a mediana, calcularemos como
exemplo o primeiro quartil.
PQ1 = 1.500 / 4 = 125
pontos.

Q1 = 40 + (125 - 110) / 155.10 = 40,96  41
Fica como exercícios o cálculo de Q3, D4, P10, P90 e outros caso julgue
necessário.
5.4-
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA
Houve que observasse, em vários exemplos de gráficos de distribuições de
freqüência as diferenças sobre a abscissa entre a média, mediana e moda chegando a
- ESTATÍSTICA I - Mário
23
uma relação aproximada entre essas três medidas, para distribuições unimodais e não
muito assimétrica.
Foi Pearson que admitiu que tais condições a distância entre a média e a moda è 3
vezes maior que a distância entre a media e a mediana. X - Mo = 3.( X - Me) 
Mo = 3Me - 2X.
X = Me = Mo (simétrica)
X Me Mo
( assimétrica negativa X < M e< Mo)
Mo Me X
(assimétrica positiva: X > Me > Mo)
EXERCÍCIOS
1-Com base na tabela abaixo determinar o salário médio(método longo e abreviado), a
empresa X
Salário (R$)
fi
500
600
3
600
700
4
700
800
7
800
900
9
900
1000
10
1000
1100
8
1100
1200
6
1200
1300
3
TOTAL
50
- ESTATÍSTICA I - Mário
24
Fonte: Departamento Pessoal
2- Determinar a mediana do conjunto de números: 5, 4, 8, 3, 7, 2, 8.
3- De acordo com os dados da tabela abaixo determinar a duração média, a mediana, a
moda, o Q1, D8 e o P70 das válvulas fabricadas pela empresa X.
DURAÇÃO (H)
Nº DE VALVULAS
300
400
14
400
500
46
500
600
58
600
700
76
700
800
68
800
900
62
900
1000
48
1000
1100
22
1100
1200
6
TOTAL
400
4- Na distribuição de salários descrita abaixo
SALÁRIOS (R$)
nº de operários
500
600
28
600
700
32
700
800
20
800
900
6
900
1000
4
TOTAL
90
Determinar:
a) Qual o salário acima do qual estão situados os 10% mais bem remunerados?
b) Qual o salário abaixo do qual se encontram os 15% mais mal remunerados?
c) Acima de que salário estão os 18 operários mais bem pagos?
- ESTATÍSTICA I - Mário
25
d) Abaixo de que salário se situam os 36 operários mais mal remunerados?
e) Discutir quanto a simetria, a distribuição de salário, desses operários.
5- MEDIDAS DE DISPERSÃO
Para descrever estatisticamente um conjunto de dados, uma medida de tendência
central não é suficiente, é preciso, ainda, informar uma outra dimensão do fenômeno
que analise a forma da distribuição de freqüência, ou seja, a concentração ou dispersão
dos dados. Temos necessidades de outra estatística: uma medida de variabilidade.
As medidas de variabilidade se caracterizam por medirem as diferenças entre os
valores de uma distribuição, o que implica que tais medidas refletem as diferenças
grupais. Isso significa que elas informam sobre o grau de heterogeneidade do grupo.
Freqüentemente, são realizadas pesquisas educacionais, sociais, psicológicas e
outras visando a comparação de gruas de heterogeneidade dos grupos. Seria uma
impropriedade dizer graus de homogeneidade em se tratando de fenômenos sociais,
portanto, cada ser humano é único, sempre diferente de outro, em algumas
características, resultando grupos sociais sempre heterogêneos com variações de graus:
alguns grupos são "menos heterogêneos" do que outros e não "mais homogêneos".
Suponhamos as três séries de valores:
A: 60, 60, 60, 60, 60, 60
 X
= 360/6 = 60
B:
 X
= 360/6 = 60
 X
= 360/6 = 60
5, 10, 20, 60, 120, 145
C: 56, 58, 60, 61, 62, 63
Observando as séries notamos que em cada grupo os valores se distribuem
diferentemente em relação à sua média: Necessitamos assim de uma medida estatística
complementar para melhor caracterizar cada conjunto apresentado, assim sendo
teremos:
1- AMPLITUDE TOTAL
2- VARIÂNCIA
3- DESVIO-PADRÃO
4- DESVIO-MÉDIO
5- COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
- ESTATÍSTICA I - Mário
26
1- AMPLITUDE TOTAL: Nos dá idéia do campo de variação dos valores da série,
desprezando assim os valores intermediários, o que a torna insensível á dispersão
dos demais valores entre os pontos de máximos e mínimos.
A: 60 - 60 = 0
B: 145 - 5 = 140 ( mais heterogênea)
C: 63 - 56 = 7
2- VARIÂNCIA: é uma medida de variação usada para indicar como as variações se
dispersam em torno de sua média. È a média dos quadrados dos desvios em torno
da média aritmética.
S2 =
 (Xi - X )2
( dados não agrupados)
n
S2 =  fi( Xi - X)2
( dados agrupados)
n
EXEMPLO 1
Analisando os dados abaixo, teremos
56m,
58m,
60m,
61m,
62m,
63m
X = 60m
S2 = (56 - 60)2 + (58 - 60)2 + (60 - 60)2+ (61 - 60)2 + (62 - 60)2 + (63 - 60)2 = 5,67m2
6
3- DESVIO PADRÃO: Note-se que o valor encontrado da variância não está em
unidade igual da variável original, seu valor representa o quadrado da unidade
original. Resta-nos assim estrair a raiz quadrada da variância para retornar à mesma
unidade dos dados originais e obter o melhor índice de variabilidade, o DESVIOPADRÃO.
4- S = S2
=  5,67
 S = 2,38m
- ESTATÍSTICA I - Mário
27
EXEMPLO 2
Lançando um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição
VALORES
Nº de vezes
fixi
(Xi - X)2
Xi - X
fi(Xi - X)2
1
6
6
-3
9
54
2
11
22
-2
4
44
3
6
18
-1
1
6
4
7
28
0
0
0
5
9
45
1
1
9
6
11
66
2
4
44
50
185
TOTAL
157
X = 185 / 50 = 3,75  4
S2 = fi(Xi - X)2
= 157 / 50 = 3,14
 S =
3,14

S = 1,77
n
Seja a distribuição das estaturas de 100 alunos de uma classe, determinar as variância e
O desvio padrão.
ESTATURA
Nº de alunos
1,40
1,50
5
1,50
1,60
10
1,60
1,70
30
1,70
1,80
40
1,80
1,90
10
1,90
2,00
5
TOTAL
Xi
FiXi
(Xi - X) (Xi - X)2 Fi(Xi - X)2
100
X =
- ESTATÍSTICA I - Mário
28
S2 =
S =
6- DESVIO-MÉDIO: O desvio médio ou média dos desvios é igual à média aritmética
dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas
de tendência central: MEDIA OU MEDIANA.
DM =  Xi - X (dados não agrupados) DM =  fiXi - X (dados agrupados)
n
n
EXEMPLO 1

A = 10, 12, 13, 20, 25, 34, 45
= 22,714
XA = 10 + 12 + 13 + 20 + 25 + 34 + 45
7
Pme = (n + 1)/2 = 8/2 = 4
Xi
Xi - X
10
12,714
10
12
10,714
8
13
9,714
7
 Me = 20
Xi - Me
Logo:
DM = 71, 714 = 10,245
7
20
2,714
0
ou
25
2,286
5
DM = 69
34
11,286
14
45
22,286
25
Total
71,714
=
7
69
EXEMPLO 2 : Consumo de energia elétrica (kwh) de 80 usuários
- ESTATÍSTICA I - Mário
9,857
29
Consumo(kwh)
F
5
25
4
25
45
6
45
65
14
65
85
26
85
105
14
105
125
8
125
145
6
145
165
2
TOTAL
80
Fonte: Departamento de distribuição de energia da empresa
X =
Me =
DM =
ou
DM =
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
1- Comparação sobre as medidas de Tendência Central
X  Mo  a distribuição é assimétrica positiva
X = Mo  a distribuição é simétrica
X  Mo  a distribuição é assimétrica negativa
2- Coeficiente de Pearson ( Karl Pearson)
AS
=
X - Mo
ou
AS = 3( X - Me)
S
( primeiro coeficiente de Pearson)
S
Se AS = 0 a distribuição é simétrica
Se AS  0 a distribuição é simétrica positiva
Se AS  0 a distribuição é assimétrica negativa
OBSERVAÇÃO: Não é comum o aparecimento de curvas de freqüência com
deformação superior a   1 . Desta forma, um índice AS = -0,6 expressa alto
- ESTATÍSTICA I - Mário
30
enviesamento negativo, já um resultado AS = 0,1 mostra uma assimetria positiva
despresível.
EXEMPLO
O aproveitamento da prova de inglês das primeiras séries da escola X, dezembro
de 2002.
Curso
X
Mo
S
Diurno
20
18
3
Noturno
12
14
6
ASd = 20 - 18 = 0,66
3
6
ASn = 12 - 14
= - 0,33
7- COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON
S
CV
=
x 100
(dispersão relativa)
X
As medidas de variabilidade que vimos, somente são comparáveis quando se
referem a uma escala de medidas, com a mesma unidade, ainda, quando os grupos tem
médias não muito diferentes. No caso em que são diferentes as medidas em
comparação ( centímetro, peso, etc) os grupos, usa-se uma medida de variabilidade
relativa à média: é o coeficiente de variação.
EXEMPLOS
1- Consideremos a distribuição das alturas de 50 pessoas e a distribuição de seus
respectivos pesos.
Xa = 173,3 cm
Sa = 8,7 cm
Xp = 69,5 Kg
Sp = 4,2 kg
Cva = 8,7/ 173,3 x 100 = 5,02%
CVp = 4,2 / 69,5 x 100 = 6,04%
Pode-se concluir que a população é menos heterogênea em relação a altura.
- ESTATÍSTICA I - Mário
31
2- Resultado da prova de Português das 3 séries do ensino médio da escola X,
novembro de 2003.
Séries
X
S
CV
1ª
26
5
19%
2ª
15
3
20%
3ª
12
8
66%
Observe que a 1ª série é menos heterogênea, pois
apresenta menor CV.
MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE
As distribuições de freqüência não diferem apenas quanto ao valos médio e à
variabilidade, mas também quanto à sua forma, ou seja: o grau de deformidade ou
assimetria e o grau de achatamento ou afilamento da curva de freqüência ou do
histograma.
leptocúrtica (menos
heterogênea)
mesocúrtica
Coeficiente para avaliar o grua de CURTOSE.
Q3 - Q1
K =
2( P90 - P10)
Se K = 0,263  a curva da distribuição é mesocúrtica
- ESTATÍSTICA I - Mário
32
K  0,263  a curva da distribuição é platicúrtica.
K  0,263  a curva da distribuição é leptocúrtica.
EXEMPLO
Resultado da prova de Estatística da Escola X, dezembro de 2002.
Pontos
F
20
30
25
30
40
85
40
50
155
50
60
180
60
70
45
70
80
10
total
500
Note que Q1 = 40,97
Q3 = 56,11
P10 = 32,94
P90 = 61,11
Logo K =
56,11 - 40,97
= 0,2687. Portanto a curva é platicúrtica, logo indica
2( 61,11 - 32,94)
heterogeneidade.
EXERCÍCIOS
1- Calcule o desvio-padrão dos seguintes dados, de pesos em Kg, de dois grupos ( A e B) de
alunos, dizendo com base nestes cálculos, qual grupo é menos heterogêneo, ( ou menos
disperso)
GRUPO A: 43, 45, 52, 54, 56
GRUPO B: 46, 52, 58, 60, 66
2- Dados os seguintes conjuntos de números
A = 1, 2, 3 
B = 10, 20, 30
Calcule a dispersão absoluta (desvio-padrão) e a dispersão relativa (coeficiente de variação)
dos dois conjuntos e analise o resultado encontrado.
3- A tabela abaixo mostra uma distribuição de freqüência das idades de 87 funcionários da
empresa Y.
- ESTATÍSTICA I - Mário
33
IDADE(anos)
Nº de funcion.
18
22
12
22
26
18
26
30
15
30
34
25
34
38
10
38
42
5
42
46
2
TOTAL
87
Fonte: Departamento pessoal da empresa Y
Pede-se
a)
a amplitude total da distribuição
b) o desvio médio
c)
a variância
d) o desvio-padrão
e)
a idade na qual 75% dos funcionários estão abaixo dela.
f)
A idade na qual 3/4 dos funcionários estão acima dela.
g) A idade no qual 4/10 dos funcionários se encontram acima dela.
h) O grau de assimetria
i)
Discutir quanto ao grau de heterogeneidade: mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica.
4- Numa escola, a média da turma A é 35 e o desvio-padrão é 10, a média da turma B é 35 e
o desvio- padrão é 2,5. Qual das 2 turmas apresentou resultados menos heterogêneos?
Porque?
TRIÂNGULO DE PASCAL.
Números Combinatórios
n
Ou binomiais
p
n!
= Cn,p =
p!.(n-p)!
- ESTATÍSTICA I - Mário
34
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4
P=5 P=6
n=0
0
0
n=1
1
0
1
1
n=2
2
0
2
1
2
2
n=3
3
0
3
1
3
2
n=4
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
n=5
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
n=6
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
n
n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
n
5
n
6
3
3
...
n
n
Substituindo-se cada número combinatório pelo respectivo valor, o triângulo de
Pascal fica assim:
- ESTATÍSTICA I - Mário
35
P=0
P=1
P=2
P=3
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
P=4
P=5
1
Observe que o triângulo de Pascal continua infinitamente, à medida que vai
aumentando o valor de n.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Analise cada uma das linhas do triângulo de Pascal.
a) Quais são o primeiro e o último elemento de cada linha? Qual a lógica disso?
b) O que você observa comparando o primeiro com o último elemento, o segundo com
o penúltimo, ...?
c) É possível a igualdade abaixo para p  5?
12
p
= 12
5
Em caso afirmativo, para que valor de p?
2) a) Tome dois elementos consecutivos quaisquer de uma linha do triângulo de Pascal
e calcule sua soma. Veja se essa soma aparece como um dos elementos da linha
seguinte. Faça isso várias vezes e tire uma conclusão.
b) O triângulo de Pascal que aparece no texto vai até a linha em que n = 6. A partir do
que você concluiu no item anterior, construa as quatro próximas linhas do triângulo.
3) Um grupo tem 7 pessoas, entre as quais o indivíduo A. Deseja-se formar, a partir
desse grupo, uma comissão de 4 pessoas.
a) De quantas formas a comissão pode ser formada?
b) Em quantas dessas comissões A aparece necessariamente?
c) Em quantas dessas comissões A não aparece?
d) Que relação existe entre os resultados obtidos nos três itens anteriores?
- ESTATÍSTICA I - Mário
36
e) Expresse o resultado do item anterior, utilizando números combinatórios.
f) Sem efetuar os cálculos, indique os números combinatórios obtidos como resultados
das somas.
10
3
+
10
4
e
12
4
+
12
5
+
13
6
4) Calcule a soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal.
a) O que você observa?
b) Qual será a soma dos elementos de n = 8?
E da linha n = 10? E da linha n = 11?
c) Generalize, calculando o valor da soma.
n
0
+
n
1
+
n
2
+
n
3
+ ... +
n
+
n–1
n
n
PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO:


Basicamente existem dois tipos de experimentos:
experimentos determinísticos
experimentos aleatórios
Os experimentos determinísticos nos permite prever os resultados, sem que
tenhamos que realizar estes experimentos.
EXEMPLOS:
a) O tempo gasto de ir de uma cidade A, a outra B, com uma velocidade média
constante.
b) A queda livre de um corpo.
Considerando também os experimentos:
a) lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima;
b) lançamento de um dado, não viciado, e leitura do número voltado para cima;
c) nascimento de um criança.
Se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não
poderemos prever o seu resultado.
Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições,
apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos
resultados, são denominados experimentos aleatórios.
- ESTATÍSTICA I - Mário
37
Os experimentos aleatórios estão sujeitos ao acaso, embora se conheçam os
possíveis resultados.
Nosso objetivo é aprender a calcular a probabilidade ou chance de se obter, em
um experimento aleatório, um determinado resultado.
Num problema de cálculo de probabilidade, devemos levar em conta os
resultados possíveis (Espaço amostral U) e os resultados desejados (evento) de um
experimento.
No lançamento de um dado, por exemplo, podemos estar interessados em
calcular a probabilidade de se obter um número menor do que 3. Nesse experimento,
temos:
 Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (resultados possíveis)

Evento E: {1, 2} (resultado desejados).
Neste caso todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer, e são
estes os experimentos alvos de nosso estudo em probabilidade. Dizemos, no caso, que
os resultados possíveis são equiprováveis.
A probabilidade P(E) de ocorrer um evento E, no caso de resultados
equiprováveis é:
P(E) = número de resultados desejados
número de resultados possíveis
No cálculo de probabilidades, existem dois casos extremos.

Se E é um evento impossível de acontecer, P(E) = 0 ou P(E) = 0%.

Se E é um evento certo, ou seja, que ocorrerá com certeza, P(E) = 1 ou P(E) = 100%
Vejamos!
No lançamento de um dado, qual a probabilidade do resultado ser 7? E a
probabilidade do resultado ser um número menor ou igual a 6?
No lançamento do dado, é verdade que impossível de se obter o número 7,
portanto o evento é impossível e P(E) = 0 ou P(E) = 0%. Enquanto que para se obter um
número menor ou igual a 6, este resultado ocorrerá com certeza, portanto o evento é
certo e P(E) = 1 ou P(E) = 100%.
Pode-se concluir, portanto, que a probabilidade P(E) de ocorrer um evento (fato)
E é um número real que pode variar de 0 até 1 ou, em percentagem, de 0% (evento
impossível) até 100% (evento certo).
0  P(E)  1 ou 0%  P(E)  100%
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter.
- ESTATÍSTICA I - Mário
38
a) O número 5
b) Um número primo
c) Um número múltiplo de 3
Solução
O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6.
a) Ocorrência do número 2: A = {2}, portanto n (A) = 1
P(A) = n(A) = 1 = 0,1667 ou P(A) = 16,67%
n(u) 6
b) Ocorrência de um número primo:
B = {2, 3, 5}, portanto n(B) = 3
P(B) = n(B) = 3 = 1 = 0,5 ou P(B) = 50%
n(u) 6
2
c) Ocorrência de um número múltiplo de 3:
C = {3, 6}, portanto n(C) = 2
P(C) = n(C) = 2 = 1 = 0,3333 ou P(C) = 33,33%
n(u) 6
3
2) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.
Determine a possibilidade dos eventos:
a) as duas cartas são ases.
b) as duas cartas são de copas.
Solução
a) Calculando o número de elementos do espaço amostral, teremos:
1ª possibilidade
2ª possibilidade
52
51
Logo n(u) = 52 . 51 = 2652
Calculando o número de elementos do evento A, teremos:
Temos 4 ases, portanto A4,2 = 4 . 3 . 2! = 12
2!
Portanto: P(A) = n(A) = 12 = 1 .
n(u) 2652 221
b) Calculando o número de elementos do evento B, teremos:
1ª carta de copas
2ª carta de copas
13
12
n(B) = 13 . 12 = 156 ou A13,2 = 13 . 12 . 11! = 156
- ESTATÍSTICA I - Mário
39
11!
Portanto: P(A) = n(B) = 156 = 13 = 1
n(u)
2652
221 17
3) Consideramos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo
aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
a) ambas não estejam estragadas.
b) pelo menos uma esteja estragada.
Solução
Cálculo do número de maneiras que duas frutas podem ser escolhidas.
n(u) = C10,2 = 10! = 10 . 9 . 8! = 45 maneiras
2!8!
21 . 8!
a) Cálculo do número de maneiras que duas frutas não estragadas podem ser escolhidas.
n(A) = C7,2 = 7! = 7. 6. 5! = 21 maneiras
2!5! 2. 1. 5!
Portanto: n(A) = 21 = 7
n(u) 45 15
b) Cálculo de pelo menos uma seja estragada, que pode ser:
 uma estragada e uma boa.
C3,1 x
C7,1 = 3. 7 = 21
ou

as duas sejam estragadas.
C3,2 = 3
Logo: n(B) = C3,1 . C7,1 + C3,2 = 3. 7 + 3 = 24
Portanto: P(B) = n(B) = 24 = 8
n(u) 45 15
OBSERVAÇÃO:
Este cálculos, no item b, poderiam ser efetuados de uma outra maneira, bem
particular.
Note que os eventos A: ambas não estejam estragadas e B: pelo menos uma
esteja estragada são mutuamente exclusivos (disjuntos) e a união dos eventos nos dá o
espaço amostral U: 10 frutas, das quais 3 estão estragadas.
Conclui-se que o evento B é complementar do evento A e representamos por A
C
ou A . Logo P(A) + P(B) = 1 
P(A) + P(A) = 1
 P(A) = 1 – P(A)
Portanto: P(B) = P(A) = 1 – 7 = 8
15 15
- ESTATÍSTICA I - Mário
40
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1)
a)
b)
c)
d)
Determine a probabilidade de:
Obter um número menor que 3 no lançamento de um dado.
Acertar um jogo da loteria esportiva com um palpite duplo.
Os 3 filhos de um casal serem meninos.
Somar 5 no lançamento simultâneo de 2 dados diferentes.
2) Qual a probabilidade do evento certo? E do evento impossível?
3) Qual a probabilidade de acertarmos uma quadra com um prognóstico simples de 6
números na loto?
4) Os eventos A e A são complementares. Sendo P(A) = 0,3, calcule P(A).
5) Uma urna tem 3 bolas brancas e 4 azuis. Retirando ao acaso 2 bolas, qual a
probabilidade de ambas serem brancas?
6) Dentre 5 pessoas, será escolhida, por sorteio uma comissão de 3 membros. Qual a
probabilidade de que uma determinada pessoa venha a figurar na comissão?
7) Qual a probabilidade de obter, no lançamento de 1 dado, um número par ou um
número maior ou igual a 4?
8) Dentre 100 leitores dos jornais A e B, 40 lêem o jornal A e 70 lêem o jornal B. Qual
a probabilidade de que 1 leitor leia os jornais A e B?
9) Retirando com reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, onde há 4 reis, qual a
probabilidade de que saiam 3 reis?
10) Retirando, sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, onde 13 são de paus,
qual a probabilidade de que sejam de paus as 3 cartas?
11) Em uma urna há 4 bolas verdes e 6 amarelas. Retirando 2 bolas, sem reposição,
determine a probabilidade de:
a) Ambas serem verde.
b) Ambas serem amarelas.
c) A 1ª ser verde e a 2ª amarela.
12) Qual a probabilidade de acertar os 13 jogos da loteria esportiva:
a) Apenas utilizando palpites simples?
b) Utilizando palpites duplos nos 3 primeiros jogos?
c) Utilizando palpites triplos nos 2 primeiros jogos e duplos nos 3 jogos seguintes?
13) Uma gaveta tem 5 pares de meias verdes e 3 pares de meias azuis. São tiradas 2
meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar:
a) Um par verde?
- ESTATÍSTICA I - Mário
41
b) Um par com meias de mesma cor?
c) Um par com meias de cores diferentes?
- ESTATÍSTICA I - Mário
42
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
O que se entende por variável aleatória?
Até agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais para definirmos
nosso Espaço Amostral U, sem associarmos suas respectivas probabilidades aos
experimentos aleatórios.
Existem, contudo, experimentos cujos resultados podem ser expressos por
quantidades numéricas. Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor específico a
cada resultado do experimento aleatório.
Quando realizamos a observação dos resultados de um experimento que pode ser
resultado repetidamente sob condições essencialmente inalteradas (experimento
aleatório), não poderemos, de antemão, dizer qual particular resultado irá ocorrer na
próxima tentativa, muito embora sejamos capazes de descrever o conjunto de todos os
possíveis resultados do experimento. Assim, por exemplo, antes de lançar um dado
poderemos descrever que os possíveis resultados são: l, 2, 3, 4, 5, 6, mas qual desses,
em particular, irá ocorrer, no próximo lançamento é impossível predizer com absoluta
certeza. Variável aleatória é, pois o resultado da observação de experimentos não
determinísticos.
Entretanto o resultado de um experimento não é necessariamente, um número. De
fato na observação das peças que saem de uma máquina poderemos, simplesmente,
anotar as categorias "defeituosas" ou "não defeituosas". Contudo, em muitas situações
experimentais, estamos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro
como um número. Mesmo no exemplo acima, poderemos atribuir um número a cada
resultado (não numérico) do experimento.
U: observação das peças (telhas) que saem de uma máquina
X número de peças defeituosas
X = 0, 1, 2, 3, .....................,n
Portanto, chama-se variável aleatória a uma variável cujo valor é um número
determinado pelo resultado de um experimento ou através da observação, e aos quais
podemos associar probabilidade.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas em:
1- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETA
Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, x2, x3, ...........xn. Diremos
que X é uma variável aleatória discreta. Se o número de valores tomados por X é finito
ou infinito numerável.
Exemplo: U: Lançamento de quatro moedas
Seja,
X: o número de caras observadas.
X = 0, 1, 2, 3, 4
De modo geral podemos dizer que as variáveis aleatórias discretas são as que resultem
de contagens.
2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Seja X uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor num intervalo,
diremos que X é uma variável aleatória contínua.
Exemplos:
a) Número de horas de duração de uma lâmpada
b) A altura de um indivíduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, conforme
a precisão de medida.
- ESTATÍSTICA I - Mário
43
De modo geral podemos afirmar que as variáveis aleatórias contínuas são
aquelas que resultem de "medição", em especial, de tempo, temperatura,
comprimento, peso, volume, etc.
Um aspecto interessante é o que o mesmo experimento pode dar margem à
observações de várias variáveis, e a escolha da que vai ser observada fica a critério do
observador. Como exemplo vejamos o experimento "jogar 4 moedas simultaneamente".
Como variável aleatória poderemos escolher "o número de caras obtidas ou a distância
mínima entre 2 moedas". A primeira seria uma variável aleatória discreta e a Segunda
seria uma variável aleatória contínua.
1- VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
1.1-
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
A probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor X, é a função de
probabilidade de X que representamos por P(X = xi) ou simplesmente por P(X).
f(x) = 0
se X  xi
n
 f(xi) = 1
f(x) = P(X = xi)
i=1
Portanto a função que associa probabilidade aos possíveis valores de uma variável
aleatória, denomina-se função de probabilidade.
A função P(X) pode ser expressa por uma tabela ou gráfico
Exemplo
Seja E: o espaço amostral no lançamento de 2 moedas e X: o número de caras C
obtidas. Isto é:
E = (K,K); (K,C); (C,K); (C,C)
X = 0, 1, 2 
TABELA:
X
0
1
2
P(X) 1/4 1/2
1/4
GRÁFICO:
P(X)
1/2
1/4
0
1
2
X
1.2-
FUNÇÃO REPARTIÇÃO
Define-se função repartição da variável aleatória X, no ponto x, como sendo a
probabilidade de que x assuma um valor menor ou igual a X, isto é:
F(X) = P(X  x). No exemplo acima teremos:
- ESTATÍSTICA I - Mário
44
F(X) = 1/4 se x  0
F(X) = 1/2 se 1  x  2
F(X) = 1/4 se x  2
2- VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
2.1- FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x)
é uma função que satisfaz as seguintes condições.
f(x)  0
f(x).d(x) = 1
b
Assim P( a  x  b) =
f(x).d(x)
a
2.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO
F(X) = P(X  x) = P( -oo  x  +oo) =
+oo
f(x).dx
-oo
= 1
Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de
probabilidade.
f(x) =
2x
0
para
para  (qualquer) outro valor
para x  0
f(x) =
0  x  1
 F(x) = 0
para 0  x  1  F(x) =
2x.dx = 2x2 x
0
para x  1
2
0
 F(x) = 1
Representação gráfica
F(x)
1
1
x
- ESTATÍSTICA I - Mário
= x2
45
Exemplo/Exercício
Seja f(x) = 3/2 (1 - x2 ), 0  x  1
0, caso contrário
Ache a função repartição e esboce o gráfico.
3- DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS DE PROBABILIDADES
3.1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
No contexto das distribuições de probabilidades, os valores individuais de
probabilidades podem ser designados pelo símbolo f(x), que enfatiza a existência de
uma função matemática (variáveis contínuas). Por P(X = x), que enfatiza que a variável
aleatória pode assumir diversos valores, ou simplesmente por P(X).
Para uma variável aleatória discreta todos os possíveis valores da variável
aleatória podem ser listados numa tabela com as probabilidades correspondentes:
distribuição de probabilidade Binomial, Hipergeométrica e de Poisson. Para uma
variável aleatória contínua não podem ser listados todos os possíveis valores
fracionários da variável, e desta forma as probabilidades são determinadas por uma
função matemática, são retratadas, tipicamente, por uma função densidade ou por uma
curva de probabilidade.
3.2 VALOR
DISCRETAS.
ESPERADO E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
n
Média, Valor Esperado ou Esperança Matemática:  = E(X) =  xi.P(xi)
i=1
3.3 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA:
- ESTATÍSTICA I - Mário
46
3.3.1- A média de uma constante é a própria constante
E(X) =  k.P(xi) = k. P(xi) = k
3.3.2- A média de uma variável multiplicada por uma constante é igual à constante
multiplicada pela média da variável.
E(k.X) =  k.xi.P(xi) = k. xi.P(xi) = k.E(xi)
3.3.3- A média da soma ou da diferença é a soma ou diferença das médias.
E( X + Y) = E( X ) + E( Y )
ou
E(X - Y) = E(X) - E(Y)
3.3.4- Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média fica
somada ou subtraída da mesma constante.
E(X + k) = E(X) + E(k) = E(X) + k ou E(X- k) = E(X) - k
3.3.5- A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das
médias.
E(X.Y) =  xi.yj.P(xiyj) = xi.yi.P(xi).P(yj) =  xi.P(xi). yj.P(yj) = E(X).E(Y)
3.4-
VARIÂNCIA
A forma geral de desvios para a fórmula da variância de uma distribuição discreta
de probabilidade é:
V(X) = 2(X) =   xi - E(X)2.p(xi)
ou
V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2 ( Fórmula Computacional)
3.5- PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA
3.5.1- A variância de uma constante é zero
2(X) = V(k) = E k - E(k)2 = E(k - k)2 = 0
3.5.2- Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica
multiplicada pelo quadrado da constante.
V(k.X) = 2(k.X) = kX - E(k.X)2 = k.X - k.E(X)2 = k(X - E(X)2
= k2.X - E(X)2 = k2.V(X)
3.5.3- Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância
não se altera.
2(X + k) = 2(X) + 2(k) = 2(X) + 0 = 2(X)
3.5.4- A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é
a soma das respectivas variâncias.
- ESTATÍSTICA I - Mário
47
2(X +Y) = 2(X) + 2(Y)
e
2(X - Y) = 2(X) + 2(-Y) = 2(X) + (-1)2.2(X) = 2(X) + 2(Y)
EXEMPLO:
A tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes solicitadas em uma
agência de aluguel de carros durante um período de 50 dias.
Demanda
possível X
Nº de dias
Probabilidade Valor Ponde- Demanda ao Quad. PondeP(X)
rado X:P(X) quadrado X2 rado X2.P(X)
3
3
0,06 = 3/50
0,18
9
0,54
4
7
0,14 = 7/50
0,56
16
2,24
5
12
0,24
1,20
25
6,00
6
14
0,28
1,68
36
10,08
7
10
0,20
1,40
49
9,80
8
4
0,08
0,64
64
5,12
TOTAL
50
1,00
E(X) = 5,66
E(X2) = 33,78
OBS. A probabilidade de serem solicitadas exatamente sete (7) caminhonetes em um
determinado dia aleatoriamente escolhido no período é de 0,20 e de cinco (5) é de 0,24.
Determine:
a) A esperança matemática
b) A variância, cálculo computacional.
a) E(X) = 5,66
Isto é, o valor esperado para dados discretos pode ser fracionário porque
ele
representa um valor médio de longo prazo e não o valor específico para qualquer
observação dada.
c) V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2 = 33,78 - (5,66)2 = 33,78 - 32,04 = 1,74
Isto é a variação do número de caminhonetes em torno da média ao quadrado é de 1,74.
Exercícios
1- Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera. A
probabilidade do número de cadeiras ocupadas X é dada por:
- ESTATÍSTICA I - Mário
48
X
P(X)
0
0,304
1
0,228
2
0,171
3
0,128
4
0,096
5
0,073
a) Ache a média E(X) =  da variável aleatória X.
E(x) = 1,7
b) Calcule a variância e o desvio padrão, da variável aleatória X.
2,53
V(X) =
c) Calcule P( 2  X  5).
0.468
d) Desenvolva no formato tabular a cdf ( Função de Distribuição Acumulada) dessa
distribuição.
e) Desenvolva a função repartição dessa distribuição.
2- Considere uma moeda perfeita lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtida.
Calcule
a) a distribuição de X
b) média de X
E(x) = 1,5
c) a variância
² = 0,75
3- Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas
sem reposição, e defina a V.A X igual a número de bolas pretas.
a) Obtenha a distribuição de X
b) Obtenha a média e a variância da V.A X
E(X) =1,875
² = 0,502
4- Uma moeda é lançada 4 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule
a) a distribuição de Y
 = 2 , ² = 1
b) a média e variância de Y
- ESTATÍSTICA I - Mário
49
5- Considere uma mesa contendo 10 frutas das quais 4 estão estragadas. Retire três
dessas frutas ao acaso, sem reposição e defina a V.A. X igual a número de frutas
estragadas.
a) Obtenha a distribuição de X
 = 1,2
b) Obtenha a média e a variância da V.A.
,
² = 0,560
4-DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
4.1- INTRODUÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Seja um experimento que consiste na realização de uma prova, cujos resultados só
podem ser "sucesso" ou "fracasso". Observando ainda que na realização desta prova os
eventos são independentes, vamos chamar de X uma variável aleatória que de acordo
com a pressuposição citada, somente assumirá valores 0 e 1, sendo 0 a ocorrência do
evento "fracasso" e 1 a ocorrência do evento "sucesso" com probabilidades
P(X = 0) = q
X
0
P(X = 1) = p
P(X)
q
1
 p+ q = 1
p
 q = 1 - p
Obs.
q = l- p é complementar de p, pois
p + q = 1.
2- E(X) =  xi.p(xi) = 0.q + 1.p = p
 E(X) = p
3- V(X) = E(X2) - E(X)2 = 02.q + 12.p - p2
= p - p2 = p(1 - p) = p.q 
V(X) = p.q
Consideremos que:
a) n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas.
b) Cada prova é uma prova de Bernoulli ou seja, admite dois resultados: sucesso ou
fracasso que são mutuamente exclusivos.
c) A probabilidade de sucesso ou fracasso é a mesma em cada prova, isto é,
constantes.
d) p é a probabilidade de sucesso em cada prova e q = 1 - p a ocorrência do fracasso.
4.2- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
- ESTATÍSTICA I - Mário
50
Se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única (sucesso),
e q = 1 - p é a probabilidade de que o evento não ocorra (insucesso), então a
probabilidade do evento ocorrer exatamente x vezes em n tentativas, isto é, de que haja
X sucessos e n - x insucesso, é dado por:
P(X = x) =
n
x
p x . qn - x
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Baseados na propriedades da E(X) e V(X) e como a variável binomial X é uma
soma de variáveis independentes do tipo Bernoulli, teremos que:
E(X) = E( x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = E(x1) + E(x2) + E(x3) +........+ E(xn) = np
V(X) = V(x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = V(x1) + V(x2) + V(x3) + ......+ V(xn) = p.q + p.q
+
p.q + .........+ p.q = n.pq. = n.p.(1 - p)
FÓRMULAS:
E(X) = xi.p(xi)
P(X = xi) =
n
. pxi.(1 - p) n - xi
xi
E(X) =  xi. n
.pxi. (1 - p)n - xi
xi
V(X) = (xi – E(X))².p(xi)
APLICAÇÕES
1- Em uma fábrica de parafusos um terço da produção é defeituosa. Em uma amostra
de 6 parafusos, pergunta-se
a) Qual a probabilidade de que não tenham nenhum defeituoso?
b) Qual a probabilidade de que o número de parafusos defeituosos seja no máximo 2?
c) Qual o número esperado de parafusos defeituosos?
- ESTATÍSTICA I - Mário
51
d) Qual a dispersão em torno do número esperado de parafusos defeituosos?
Solução
 defeituosos
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
a) P(X = 0) = 6 . (1/3) 0.(2/3)6-0
= (2/3)6 = 64/729
0
b) P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 64 / 729 + 192 / 729 + 240 /
729 =
= 496 / 729 = 68%
c) E(X) =  xi.P(xi) = 0.64 / 729 + 1.192 / 729 + 2.240 / 729 + 3.160 / 729 + 4.60 /
729
5.12 / 729 + 6.1 / 729
 E(X) = 2 defeituosos
ou E(X) = n.p = 6.1/3 = 2 defeituosos
d) V(X) = 2(X) = E(X2) - E(X)2
V(X) = 02.64/729 + 12.192/729 + 22.240/729 + 32.160/729 + 42.60/729 + 52.12/729
+
62.1/729 = 5,33
V(X) = 5,33 - 22 = 1,33
1,15
ou
V(X) = n.p.q = 6.1/3.2/3 = 1,33   = 1,33 =
2- Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a um tipo de operação da qual 80%
sobrevivem. Qual a probabilidade de que:
a) Todos sobrevivem
R 32,775
b) Pelos menos dois sobrevivem
R 99,33%
c) No máximo 3 não consigam sobreviver.
R 99,33%
d) Qual é o número esperado de sobreviventes?
R 4 sobreviventes
3- Se 2/3 da população de certo município não assistem regularmente a programas de
televisão e, colocando 250 pesquisadores cada um entrevistando 8 pessoas, estimar
quantos desse pesquisadores informarão que até 2 das pessoas consultadas são
telespectadores habituais.
Solução
- ESTATÍSTICA I - Mário
52
X . Assistem regularmente televisão
p = 1/3
q = 2/3
X = 0, 1, 2
P(X=0) = 8 .(1/3)0.(2/3)8 = 256/6561
0
P(X=1) = 8 .(1/3)1.(2/3)7 = 1024/6561
P(X  2) = 256 + 1024 + 1792
1
6561
P(X=2) = 8 .(1/3)2.(2/3)6 = 1792/6561
P(X) = 3072 = 46,82%
2
6561
Logo E(X) = n.p 250.(3072/6561) = 117,055  117 pesquisadores.
4- DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Quando a amostragem se faz sem reposição de cada item amostrado de uma
população finita, não se pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que exite uma
mudança sistemática na probabilidade de sucesso á medida que os itens são retirados da
população.
A distribuição Hipergeométrica é uma distribuição discreta de
probabilidade apropriada quando existe amostragem sem reposição em uma situação
que, se não fosse por isso, seria um processo de Bernoulli.
Suponha-se que tenhamos um lote de N peças e M das quais são defeituosas.
Suponha-se que escolhemos, ao acaso n peças desse lote ( n  N); sem reposição. Seja
X o número de peças defeituosas encontradas. Desde que X = x se, e somente se,
obtivermos exatamente k peças defeituosas ( dentre as M defeituosas do lote) e
exatamente ( n - x) não defeituosas ( dentre as N - M não defeituosas do lote, teremos:
P(X = x) =
M
x
N-M
. n-x
N
n
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
E(X) = n.p
- ESTATÍSTICA I - Mário
53
V(X) = 2(X) = n.p.q.
N-n
N-1
E(x) =  xi.p(xi) =  xi. M
x
N-M
n-x
(*)
N
n
APLICAÇÕES
1-
Em uma sala há 6 homens e 5 mulheres. Uma comissão de 4 pessoas é formada ao
acaso. Qual a probabilidade de que:
a) apareçam 3 homens na comissão,
b) não apareça nenhum homem,
c) Qual o número esperado de homens na comissão e o número de mulheres?
Solução
a)
N = 11 (total de pessoas)
n = 4 ( número de pessoas na comissão)
M = 6 ( quantidade de homens)
N - M = 5 ( quantidade de mulheres)
x = 3 (quantidade de homens na comissão)
6
5
P(X = 3) = 3
1
= 20.5/330 = 10 / 33
11
4
b) P(X = 0) =
6
0
5
4
= 1.5 / 330 = 1 / 66
11
4
c) E(X) = E(x) = 4.6/11 = 24/11 = 2,l8  2 homens
E(X) = E( N - x) = 4.5/11 = 20/11  2 mulheres
Poderia calcular E(X) usando a fórmula (*).
2- Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6
lâmpadas ao acaso para iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que:
- ESTATÍSTICA I - Mário
54
a)
b)
c)
d)
exatamente duas estejam queimadas?
Pelo menos uma seja boa?
Pelo menos duas estejam queimadas?
Encontre o número esperado de lâmpadas queimadas e a dispersão em torno da
média.
Solução
X: lâmpadas queimadas
M: total de lâmpadas queimadas = 5
k: lâmpadas queimadas (ao acaso)
n: número de lâmpadas (ao acaso) = 6
N: total de lâmpadas = 12.
5
a) P(X=2) = 2
7
4
= 10.35/924
= 350/924
12
6
b) X = 0, 1, 2, 3, 4, 5
P(X  5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= 5 7
5 7
5 7
5 7
5
0 6 + 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4
12
6
12
6
12
6
12
6
7
2
5
+ 5
12
6
7
1
12
6
= 7/924 + 105/924 + 350/924 + 350/924 + 105/924 + 7/924
= 924/924 = 1 = 100%
c) P(X  2) = p(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= 350 + 350 + 105 + 7
=
812 / 924 = 87,88%
924
d) E(X) = n.p = 6.5/12 = 2,5  2 lâmpadas queimadas
2(X) = V(X) = n.p.q. N - n
= 6. 5/12. 7/12. 12 - 6
N-1
12 - 1
2(X) =
0,795
= 0,89
 1 lâmpada
5-DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
- ESTATÍSTICA I - Mário
= 0,795
55
A distribuição de Poisson pode ser usada par determinar a probabilidade de um
dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou
espaço. Tal processo, chamado de processo de Poisson é similar ao processo de
Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em
tentativas ou observações fixadas. Um exemplo de tal processo é a chegada de
chamadas em uma central telefônica. Tal como no caso do processo de Bernoulli,
supõe-se que os eventos são independentes e que o processo é estacionário (a média não
altera dentro da especificação).
Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número de
sucessos em um processo de Poisson: o número médio de sucessos para a específica
dimensão de tempo ou espaço de interesse. Este número médio é geralmente
representado por  ou . A fórmula para determinar a probabilidade de um dado
número X de sucessos em uma distribuição de Poisson é:
P(X / ) = X.e-
e = 2,71828........
X!
PARÂMETRO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
E(X) = 
e V(X) = 2 = 
EXEMPLOS
1- Em um cruzamento de 2 ruas o número médio de acidentes é igual a 2 semanais.
Determinar
a) a probabilidade de que uma determinada semana ocorram 3 acidentes.
b) A probabilidade de que não ocorra nenhum acidente
c) A probabilidade de que ocorra acidente.
Solução
X = 0, 1, 2, 3, ......., n
a) P(X = 3) = 23.e-2
= 8/6.2,7183-2
= 4/3.0,13534 = 0,18 = 18%
3!
b) P(X = 0) = 20.e-2
= 0,13534 = 13,53%
0!
d) P(X  1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,13534 = 0,86466 = 86,47%
- ESTATÍSTICA I - Mário
56
2- Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas
por hora. A probabilidade de que menos do que três chamadas sejam recebidas
durante uma hora aleatoriamente escolhida é:
P(X < 3) /  = 5) = P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 50.e-5 + 51.e-5
0!
1!
+ 52.e-5
2!
= 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1248 = 12,5%
EXERCÍCIOS
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
1- Descobriu-se que a chegada de clientes a um Banco, durante intervalos
aleatoriamente escolhidos de 10minutos, segue a distribuição de probabilidade
da tabela, abaixo. Calcular o número esperado de chegadas por intervalo de 10
minutos bem como calcular a variância das chegadas.
E(X) = 2, V(X) =
1,9
Nº
de
chegadas X
Probabilida
-de P(X)
0
1
2
3
0,15
0,25
0,25
0,20
4
0,10
5
0,05
2- Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é
causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três
acidentes, qual a é probabilidade de que:
a) exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado?
b) No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado?
c) Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes causados por
motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes:
Pdf (*) Cdf (**)
0 0,0742
0,0742
1 0,2205
0,2947
2 0,2947
0,5893
3 0,2334
0,8227
4 0,1213
0,9440
5 0,0432
0,9873
6 0,0107
0,9980
7 0,0018
0,9998
8 0,0002
1,0000
9 0,0000
1,0000
10 0,0000
1,0000
(*) pdf - Probability Distribution Function (Função de Distribuição de
Probabilidade)
(**) Cdf - Cumulative Distribution Function ( Função de Distribuição Cumulativa)
- ESTATÍSTICA I - Mário
57
1- ache P(x=3)
2- ache P(5  x  9)
3- qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima?
23,34%
1,27%
=2,29, ² =1,77
3- Existem 90% de probabilidade de que um certo tipo de componente se comporte de
forma adequada sob condições de elevadas temperatura. Se o dispositivo em questão
tem quatro de tais componentes, determinar, por meio da fórmula de probabilidades
binomiais a probabilidade de cada um dos eventos.
a) Todos os componentes se comportam de forma adequada, por conseguinte, o
dispositivo funciona.
65,61%
b) O dispositivo não funciona por falhar um dos quatro componentes.
29,16%
c) O dispositivo não funciona por que falham um ou mais dos componentes.
34,39%
4-Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor
da representação sindical e que se peça uma resposta anônima a uma amostra aleatória
de 10 empregados. Qual a probabilidade de estarem a favor da representação sindical:
a) a
maior
parte
dos
que
responderam?
16,08%
b) Menos
da
metade
dos
que
responderam?
63,92%
5- De 20 estudantes em uma classe, 15 não estão satisfeitos com o texto utilizado. Se
uma amostra aleatória de quatro alunos se perguntar sobre o texto, determinar a
probabilidade de que estivessem descontentes com o texto:
a) exatamente
três
estudantes.
46,96%
b) No
mínimo
três
estudantes.
75,13%
6- Somente um de cada mil geradores montados em uma fábrica apresenta defeitos,
sendo que os geradores defeituosos se distribuem aleatoriamente ao longo da produção.
a) Qual a probabilidade de que um carregamento de 500 geradores não inclua
gerador
defeituoso
algum?
60,65%
b) Qual a probabilidade de um carregamento de 100 geradores contenha no mínimo
um
gerador
defeituosos?
9,52%
7- Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja
defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao
acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado?
Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Pb = 37,58% e
Pp = 40,6%
8- Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem corte a uma taxa de um por
2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés a fita magnética
tenha:
- ESTATÍSTICA I - Mário
58
a) nenhum
36,79%
b) No
91,97%
c) Pelo
26,42%
corte?
máximo
2
cortes?
menos
dois
cortes?
9- Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de
Poisson, com a média de 8 chamadas por minuto. Determinar a probabilidade de
que num minuto aleatoriamente escolhido se tenha.
a) três
ou
mais
chamadas
98,62%
b) menos
do
que
5
chamadas
9,96%
c) entre
7
(inclusive)
e
nove
(exclusive)
chamadas.
27,92%
10- Uma máquina, fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum defeito, um,
dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%,
respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 10 u.m. e à medida que
apresente defeito, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual o preço
médio de venda destas placas?
E(x)
= 9,34 u.m
11- Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15%
das vezes, pó atraso na entrega, mercadoria fora de especificação danos, etc.
causando reclamações por parte dos clientes. Calcule a probabilidade de:
3- não ocorrer reclamações nas 10 entregas de hoje.
R 19,69%
4- Acontecer pelo menos uma reclamação nas 4 primeiras entregas. R 47,80%
5- Acontecer no máximo uma reclamação nas 10 entregas.
R 54,43%
12- Em um pedágio de determinada rodovia chegam em média 600 carros por hora.
Determine a probabilidade de :
a) chegarem exatamente 10 carros em um minuto
R:
12,51%
b) chegarem
menos
que
5
caros
em
um
minuto
R:2,92%
- ESTATÍSTICA I - Mário