blitz pró master - Pró Master Vestibulares

BLITZ PRÓ MASTER
MATEMÁTICA A
01. (Pucpr) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode
ser determinado pela equação N  N0 ekt em que N0 é a quantidade inicial, isto é, N0  N (0) e k
é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000
bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se
torne duas vezes maior que o inicial?
(Dados: In 2  0,69 In 5  1,61)
a) 11 minutos e 25 segundos.
b) 11 minutos e 15 segundos.
c) 15 minutos.
d) 25 minutos.
e) 25 minutos e 30 segundos.
5
02. (Uepg) Se a e b, com a  b, são as raízes da equação 4x 1 
 4, assinale o que for
1 x
2
correto.
01) log2 (a  b)  2
02) logb b  6  1
04) log 1 (a  b 2 )  2
3
08) log2a a  1  
1
2
16) logb a  0
03. (Uepg) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade
log9  2x  5   log3  3x   1, assinale o que for correto.
01)
02)
04)
08)
16)
Existe uma única solução, que é um número primo.
Existem duas soluções cuja soma é positiva.
Existem duas soluções cujo produto é negativo.
Existe uma única solução fracionária.
Existe uma única solução, que é menor do que log5 625.
04. (Uem) Assinale o que for correto.
2
10  1 
01) log3  3     .
2
02) 202  29.
04) A equação log2 x  x não tem solução inteira.
08) log2 10  1  log2 5.
3
 1
16) 
  log5 5.
 5
2
05. (Uem) Considere a seguinte função f(x)  42x  x 1 cujo domínio é conjunto dos números reais.
Com relação a essa função, assinale o que for correto.
01) O mínimo da função f ocorre em x = 0.
BLITZ PRÓ MASTER

02) O conjunto solução da inequação f (x) <1 é S   x 

04) Para x = 0, tem-se log2 f(x)  2 .

08) O conjunto solução da inequação f (x) > 8 é S   x 

16) log3 f (1) não existe.
x 1
06. (Uepg) Sobre a equação a
log a, assinale o que for correto.
01)
02)
04)
08)
16)
1
 b x , onde
|
1

 x  1 .
2

|x
1  21
1  21 
ou x 
.
4
4 
a e b são números reais positivos tais que log b = 6
A soma das soluções da equação é – 1.
As soluções da equação pertencem ao intervalo [–3, 3].
A equação tem duas soluções negativas.
O produto das soluções da equação é positivo.
Uma das soluções da equação é negativa.
07. (Pucpr) Sabendo que log20 = 1,3 e log5 = 0,7 , é correto afirmar que log5 20 corresponde a:
a) Exatamente 2.
b) Exatamente 0,6.
c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6.
d) Um valor entre 1,8 e 1,9.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Gabarito:
Resposta da questão 1: [C]
N  N0 ekt
8000  500  ek t  e10k  16
Também sabemos que:

1000  500  e10k

t
 2  16 t  ln2  ln 24t  1  4  t  t 
Ou seja, t = 15 minutos.
Resposta da questão 2: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31.
Resolvendo a equação, obtemos
4 x 1 
5
21 x
 4  22(x 1)  5  2x 1  4  0
 (2 x 1  1)  (2 x 1  4)  0
 x  1 ou x  3.
Portanto, sendo a  b, vem que a  1 e b  3.
[01] Correto. De fato, pois log2 (1  3)  log2 22  2  log2 2  2.
[02] Correto. Com efeito, temos log3 3  6  log3 3  1.
1
h
4
BLITZ PRÓ MASTER
[04] Correto. De fato, pois log 1 (1 32 )  log
31
32 
3
1
[08] Correto. Tem-se que log21 1  1  log2 2 2 
2
 log3 3  2.
1
1
1
 log2 2  .
2
2
[16] Correto. Com efeito, já que log3 1  0.
Resposta da questão 3: 01 + 16 = 17.
1
log2 (2x  5)  log3 3x  1 
2
log9  2x  5   log3  3x   1 
log3 (2x  5)  log3 (3x)  2  log3 (6x 2  15x)  2 
6x 2  15x  9  0
Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém).
[01] (Verdadeira). x = 3.
[02] (Falsa). Existe apenas uma solução.
[04] (Falsa). Existe apenas uma solução.
[08] (Falsa). A solução x = 3 é inteira.
[16] (Verdadeira). 3 < log5 625, ou seja, 3 < 4.
Resposta da questão 4: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.
[01] Verdadeira, pois log3
10
 3
1
 10  log3 3  10  0,5  5 e  
2
2
 22  4.
[02] Falsa, pois 202 = 400 e 29 = 512 e 400 < 512.
[04] Verdadeira, pois log2 x  x  2x  x, equação que não possui solução, isso pode ser verificado
graficamente.
BLITZ PRÓ MASTER
[08] Verdadeira. log2 10  1  log2 5  log2 10  log2 5  1  log2
10
 1  log2 2  1.
5
3
 1 
5
1
5 1
[16] Verdadeira, pois 
e log5 5 
e
 .
 
25
2
25 2
 5
Resposta da questão 5: 02 + 04 + 08 = 14.
(01) Falso.
f(x)  4 2x
2
 x 1
, o mínimo da função ocorre para x vértice  
b
(1)
1
 x vértice  
 x vértice  .
2a
2(2)
4
(02) Verdadeiro.
f(x)  1  42x
2
 x 1
 1  2x 2  x  1  0
1

x  
Calculando as raízes, obtemos: 2x 2  x  1  0   1
2.
x  1
 2
Estudando os sinais da função, temos:

Logo, S   x 

|
1

 x  1
2

(04) Verdadeiro.
Para x = 0, tem-se log2 f(x)  log2 42x
2
 x 1
 log2 4 1  2 .
(08) Verdadeiro.
f(x)  8  42x
2
 x 1
 8  4x 2  2x  2  3  4x 2  2x  5  0

1  21
 x1 

4
2
Calculando as raízes, obtemos: 4x  2x  5  0  
.
1  21

 x 2 
4
Estudando os sinais da função, temos:
BLITZ PRÓ MASTER

Logo, S   x 

|x
1  21
1  21 
ou x 

4
4 
(16) Falso.
2
log3 f(1)  log3 42(1)
(1)1
 log3 40  0
Resposta da questão 6: 01 + 02 + 16 = 19.
Cálculos Auxiliares
a
x 1

1
bx
 loga
x 1

1
logb x
 1
 (x  1)loga    logb
x
 1
 (x  1)loga    (6loga)
x
 x1  3
6
 (x  1)     x 2  x  6  0  
x
x2  2
Portanto
Item (01) – Verdadeiro
A soma das soluções da equação é x1  x 2  3  2  1.
Item (02) – Verdadeiro
 x1  3
  3,3

x2  2
Item (04) – Falso
 x  3
Raízes   1
x2  2
Item (08) – Falso
O produto das soluções da equação é x1.x2  ( 3)  (2)  6 (negativo).
Item (16) – Verdadeiro
Uma das soluções da equação é x1  3 (negativa).
Resposta da questão 7: [D]
Log520 =
log 20 1,3

 1,857 (entre 1,8 e 1,9).
log 5 0,7
BLITZ PRÓ MASTER
MATEMÁTICA B e E
01. (Uece) As medidas das arestas de um paralelepípedo reto, em metros, são as raízes da
equação x3  5x 2  8x  t  0, onde t
paralelepípedo é:
a)
b)
c)
d)
é um número real. A medida da diagonal deste
6 m.
8 m.
3 m.
5 m.
02. (Unicamp) Considere o polinômio p(x)  x3  x 2  ax  a, onde a é um número real. Se x  1 é
a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
a  0.
a  1.
a  0.
a  1.
03. (Mackenzie) Seja P(x)  2x3  11x 2  17x  6 um polinômio do 3º grau e 2x  1 um de seus
fatores. A média aritmética das raízes de P(x) é:
a)
b)
c)
d)
e)
7
2
8
2
9
2
10
2
11
6
04. (Ufrgs ) Considere o polinômio p(x)  x 4  2x3  7x2  8x  12.
Se p(2)  0 e p( 2)  0, então as raízes do polinômio p(x) são:
a)
b)
c)
d)
e)
2,
2,
2,
2,
3,
0, 1 e 2.
1, 2 e 3.
1, 1 e 2.
1, 0 e 2.
2, 1 e 2.
05. (Espcex (Aman)) O polinômio f(x)  x5  x3  x 2  1, quando dividido por q(x)  x 3  3x  2
deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é
BLITZ PRÓ MASTER
a)
b)
c)
d)
e)
10.
4.
0.
4.
10.
06. (Upf) Se o polinômio P(x)  x4  2x 2  mx  p é divisível por D(x)  x2  1, o valor de m  p é:
a)
b)
c)
d)
e)
3
1
0
2
3
07. (Pucpr ) Se (x  2) é um fator do polinômio x 3  kx 2  12x  8, então, o valor de k é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
2.
3.
6.
6.
08. (Epcar (Afa) ) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais
5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos.
Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa
de B.
A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é
8
81
15
b)
81
18
c)
81
23
d)
81
a)
09. (Fgv) Dois dados convencionais e honestos são lançados simultaneamente. A
probabilidade de que a soma dos números das faces seja maior que 4, ou igual a 3, é:
a)
b)
c)
d)
e)
35
36
17
18
11
12
8
9
31
36
BLITZ PRÓ MASTER
10. (Mackenzie) Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe
deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, que deve ser
reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas
com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe
conseguir pelo menos um ponto é:
a)
b)
c)
d)
e)
4
5
7
8
9
10
11
12
15
16
11. (Espcex (Aman) ) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas,
sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da
segunda bola ser divisível por 5 é:
a)
b)
c)
d)
e)
12
.
245
14
.
245
59
.
2450
59
.
1225
11
.
545
12. (Uerj) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma
luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma
cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação
do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y  60.
Os valores respectivos de x e y são:
a)
b)
c)
d)
4 e 12
8 e 24
25 e 12
50 e 24
BLITZ PRÓ MASTER
13. (Epcar (Afa)) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3;
3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração.
A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo
número fiquem juntas é:
a)
b)
c)
d)
8  7!
7!
5  4!
10!
14. (Uece ) Um conjunto X é formado por exatamente seis números reais positivos e seis
números reais negativos. De quantas formas diferentes podemos escolher quatro elementos de
X, de modo que o produto destes elementos seja um número positivo?
a)
b)
c)
d)
245.
225.
235.
255.
GABARITO
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
C
C
E
E
A
E
E
D
D
E
D
B
A
D
BLITZ PRÓ MASTER
MATEMÁTICA C
01. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual os pontos P  (1, 2) e Q  (4, 6) são
vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao segmento PQ que contém
o ponto (8, 6), então a medida da área do triângulo PQM é:
u.a  unidade de área
a) 7 u.a.
b) 8 u.a.
c) 9 u.a.
d) 10 u.a.
02. (Ita) Considere os pontos A  (0, 1), B  (0,5) e a reta r : 2x  3y  6  0. Das afirmações a
seguir:
I. d(A,r)  d(B,r).
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C  ( 3 3,2) ou C  (3 3,2).
É (são) verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
03. (Uece) No referencial cartesiano ortogonal usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à
reta y  2x  1 intercepta os semieixos positivos OX e OY, respectivamente, nos pontos P e Q
formando o triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a 9 m2 , então a distância
entre os pontos P e Q é igual a:
a)
5 m.
b) 3 5 m.
c) 4 5 m.
BLITZ PRÓ MASTER
d) 2 5 m.
x 5
 , respectivamente,
2 2
representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os
pontos de interseção de r e s com o eixo horizontal, respectivamente.
04. (Pucrj) Sejam r e s as retas de equações y  x  2 e y  
A área do triângulo ABC vale:
a) 1,0
b) 1,5
c) 3,0
d) 4,5
e) 6,0
05. (Ueg) Um espelho no formato de circunferência foi pendurado em uma parede. Considerando
o canto inferior esquerdo como a origem de um sistema cartesiano, o espelho pode ser
representado pela equação da circunferência x 2  y2  4x  4y  7,84  0. Dessa forma, constatase que o espelho está a uma altura do chão de:
a) 1,00 metros.
b) 1,55 metros.
c) 1, 60 metros.
d) 1,74 metros.
06. (Uel) Uma indústria de café desenvolveu uma logomarca inspirada na bandeira do Brasil,
como ilustrado no esboço a seguir.
BLITZ PRÓ MASTER
O idealizador fez seu esboço em um plano cartesiano com unidades de medida em centímetros.
A partir das informações presentes nesse esboço, determine a área sombreada da logomarca.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados.
07. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual as retas representadas pelas
equações
3x  4y  4  0 e 3x  4y  20  0 são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado
sobre o eixo  y. A equação que representa esta circunferência é:
a) 25x2  25y2  25y  125  0.
b) 25x2  25y 2  150y  161  0.
c) x 2  y2  25y  9  0.
d) x 2  y 2  2y  9  0.
GABARITO
1)B
2)D
3)B
4)B
5)C
6) (4-ￗ)cm² 7B
BLITZ PRÓ MASTER
MATEMÁTICA D
01. (Uel) Leia o texto a seguir.
Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim ou argila. Há evidências da existência deles no Paquistão,
Afeganistão e noroeste da Índia, datando de 3500 a.C. Os dados cúbicos de argila continham de 1 a 6 pontos,
dispostos de tal maneira que a soma dos pontos de cada par de faces opostas é sete.
Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, India.
Atualmente, além dos dados em forma de cubo (hexaedro), encontram-se dados em vários formatos, inclusive
esféricos, como mostram as figuras a seguir.
Apesar do formato esférico, ao ser lançado, o dado mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado cúbico.
Isso acontece porque no interior da esfera existe uma cavidade em forma de octaedro, na qual existe um peso
(um chumbinho) que se aloja em um dos vértices do octaedro.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato
de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica.
a) O número de vértices do octaedro é igual ao número de faces do hexaedro.
b) O número de vértices do octaedro é diferente do número de faces do hexaedro.
c) O número de arestas do octaedro é igual ao número de arestas do hexaedro.
d) O número de faces do octaedro é igual ao número de vértices do hexaedro.
e) O número de faces do octaedro é diferente do número de vértices do hexaedro.
02. (Upf) O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é construído a partir de um octaedro regular,
cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base quadrangular. A soma dos ângulos
internos de todas as faces do octaedro truncado é:
BLITZ PRÓ MASTER
a)
b)
c)
d)
e)
2160
5760
7920
10080
13680
03. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.
Sabendo-se que o volume da bola é 2304 πcm3 , então a área da superfície de cada faixa é de:
a) 20πcm2
b) 24πcm2
c) 28πcm2
d) 27πcm2
e) 25πcm2
04. (Uepg) Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos
tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12 vértices, assinale o que for
correto.
01) O número de arestas é 50.
02) O número de faces quadrangulares é a metade do número de faces triangulares.
04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do número de ângulos pentaédricos.
08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos.
16) O número de ângulos tetraédricos é 5.
05. (Acafe) Um tubo cilíndrico reto de volume 128π cm3 , contém oito bolinhas de tênis de mesa
congruentes entre si e tangentes externamente.
Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume
ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de:
a) 75.
b) 50.
c) 33.
d) 66.
06. (Pucrs) Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um cubo cujo volume, em cm3 , é
a) 1
b) 2
c) 4
BLITZ PRÓ MASTER
d) 8
e) 16
07. (Ufrgs) Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da base 3, e uma esfera com volume
igual ao do cilindro.
Com essas condições, o raio da esfera é :
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
Gabarito:
Resposta da questão 1: [A]
A única alternativa que apresenta a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade no
interior da esfera ser octaédrica é a alternativa [A]. As alternativas [C] e [D] apresentam assertivas corretas,
porém não justificam o fato supra.
Resposta da questão 2: [C]
O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice do
octaedro, obtemos um octaedro truncado com 6  4  24 vértices. Portanto, a resposta é
360  (24  2)  7920.
Resposta da questão 3: [B]
Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da esfera é 2304 π cm3 , temos
4
 π  r 3  2304 π  r  12 cm.
3
Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual a
1
1
 π  r 2   π  122  24 π cm 2 .
6
6
Resposta da questão 4: 02 + 08 = 10.
[01] Incorreto. Pela Relação de Euler, temos
V  F  A  2  12  15  A  2
 A  25.
[02] Correto. Sejam F3 e F4 , respectivamente, o número de faces triangulares e o número de faces
quadrangulares. Logo, tem-se 3F3  4F4  2A e F3  F4  15. Portanto, como A  25, segue que
F
F3  10 e F4  5, o que implica em F4  3 .
2
[04] Incorreto. Sabendo que em cada ângulo tetraédrico concorrem 4 arestas, e que em cada ângulo
pentaédrico concorrem 5 arestas, temos 4T  5P  2A e T  P  12, sendo T e P, respectivamente, o
BLITZ PRÓ MASTER
número de ângulos tetraédricos e o número de ângulos pentaédricos. Desse modo, obtemos T  10 e
P  2. Agora, é fácil ver que T  5P.
[08] Correto. Lembrando que a soma dos ângulos internos das faces é igual a (V  2)  4r, com V sendo o
número de vértices do poliedro e r  90, temos (12  2)  4r  40r.
[16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o número de ângulos tetraédricos é igual a 10.
Resposta da questão 5: [D]
Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que
πr 2  16r  128 π  r  2cm.
O volume ocupado pelas bolinhas é igual a
8
4 π 3 256 π
2 
cm3 .
3
3
Portanto, o resultado pedido é
256 π
3  100%  67%.
128 π
Resposta da questão 6: [D]
A aresta do cubo será a = 2cm. Portanto, o volume V do cubo será dado por:
V = 23 = 8 cm3
Resposta da questão 7: [B]
Volume do cilindro: VC  π  32  32  288
Volume da esfera de raio r: Ve 
4  π  r3
3
Fazendo Ve  VC , temos:
4  π  r3
 288  r 3  216  r  6
3
BLITZ PRÓ MASTER