1.3 Distribuição de Frequência

i
Sumário
1
Estatística Descritiva
1
1.1
Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Definições importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Tabelas Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Série Cronológica ou Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Série Geográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.3
Série Específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Distribuição de Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Construção de uma distribuição de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Gráficos Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.1
Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.2
Polígono de Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.3
Gráfico de Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.4
Gráfico de Colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.5
Gráfico em Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.6
Gráfico de Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5.1
Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5.2
Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5.3
Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6.1
Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.6.2
Desvio Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.6.3
Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6.4
Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6.5
Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2
Índice Remissivo
19
ii
Capítulo 1
Estatística Descritiva
O BJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Conhecer os conceitos básicos da estatística e, principalmente, a diferença entre população e amostra
• Construir uma tabela estatística
• Conhecer os tipos de variáveis estatísticas
• Construir um histograma
• Identificar e entender o significado dos gráficos estatísticos
• Conhecer e saber calcular as principais medidas de posição
• Conhecer e saber calcular as principais medidas de dispersão
1.1
Conceitos Básicos
A Estatística é a ciência voltada para a construção de técnicas e métodos que permitem tomar decisões
nos mais deferentes setores do conhecimento. O que hoje se conhece por Estatística, é justamente
esse conjunto de ferramentas de pesquisa que envolve, entre outros, o planejamento do experimento
a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, os processos de inferência estatística, bem como a
análise e o processamento das informações coletadas.
1.1.1
Definições importantes
Na estatística temos algumas definições importantes:
• População: Qualquer conjunto de informação que tenha entre si uma característica comum que
delimite os elementos pertencentes a ela.
• Amostra: É um subconjunto de elementos pertencentes a uma população.
• Variável: Dados referêntes a uma característica de interesse, coletados a partir de uma amostra.
• Censo: Exame de todos os elementos da população.
1 / 20
images/descritiva/pop-amostra.eps
Figura 1.1: População e Amostra
images/descritiva/variavel.eps
Figura 1.2: Exemplo de variável
Temos dois tipos de variáveis:
Qualitativa


Nominal :
sexo, cor dos olhos.

Ordinal :
classe social, grau de instrução.
Quantitativa
1.2


Discreta :
número de filhos.

Continua :
altura, peso, salário.
Tabelas Estatísticas
Na estatística é fundamental aprendermos a representar os dados que serão analisados por meio de
tabelas.
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:
• Cabeçalho;
• Corpo;
• Rodapé.
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões:
• O que está representado?
• Onde ocorreu?
• Quando ocorreu?
Além disso, a tabela é um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e
colunas de maneira sistemática.
2 / 20
1.2.1
Série Cronológica ou Temporal
Um exemplo muito comum e muito útil de tabela é dado pelas séries temporais. Uma série temporal
consiste em uma sequência numérica cujos valores variam com o tempo.
Abaixo vemos como inserir os dados de uma série temporal em uma tabela:
Vendas da Companhia Alfa: 2007-2009
Anos
2007
2008
2009
Vendas em R$ 1.000,00
11.425
18.258
15.798
Fonte: Departamento de Marketing.
1.2.2
Série Geográfica
Muitas vezes o dado de interesse pode depender a posição geográfica de onde foram coletados. Assim, uma série geográfica consiste em uma sequência numérica obtidas em diferentes regiões em um
determinado instante do tempo.
Empresas Fiscalizadas em 2008
Regiões
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Número de Empresas
11.425
18.258
28.157
15.798
9.236
Fonte: Mensário Estatístico.
1.2.3
Série Específica
Uma série importante é formada por dados agrupados por alguma espécie ou característica comum.
Assim, uma série específica é uma série numérica agrupada por tipo. Temos o exemplo abaixo:
Matrículas na Pós-graduação da UFPB - 2008
Áreas de Ensino
Ciências Biológicas
Ciências Exatas e Tecnologia
Ciências Humanas
Matrículas
125
158
128
Fonte: Serviço de Educação e Cultura.
1.3
Distribuição de Frequência
Uma distribuição de frequência é uma tabela que contém um resumo dos dados obtido em uma amostra.
3 / 20
A distribuição é organizada em formato de tabela, e cada entrada da tabela contém a frequência dos
dados em um determinado intervalo, ou em um grupo.
Abaixo vemos um exemplo simplificado de tabela de distribuição de frequência:
Altura dos Alunos da UFPB - 2008
Alturas em metros
1,50 |− 1,60
1,60 |− 1,70
1,70 |− 1,80
1,80 |− 1,90
Número dos Alunos
5
15
17
3
Fonte: Serviço de Saúde.
Na próxima subseção aprenderemos a construir uma distribuição de frequência completa.
1.3.1
Construção de uma distribuição de frequência
Para ilustrar como se constrói uma distribuição de frequência, nós vamos considerar um exemplo
específico.
Assim, suponha que uma pesquisa foi feita, e o seguinte conjunto de dados foi obtido:
• Dados Brutos:
24-23-22-28-35-21-23-33-34-24-21-25-36-26-22-30-32-25-26-33-34-21-31-25-31-26-25-35-33-31.
A primeira coisa que fazemos é ordenar os dados do menor para o maior, formando o rol de dados:
• Rol de dados:
21-21-21-22-22-23-23-24-25-25-25-25-26-26-26-28-30-31-31-31-32-33-33-33-34-34-34-35-35-36.
Em seguida, calculamos a amplitude total, ou seja, o maior valor obtido na amostra subtraído do
menor valor obtido na amostra:
• Amplitude Total R:
R = 36 − 21 = 15.
Vamos agora definir as variáveis de interesse, ou seja, para cada valor distinto obtido na amostra,
atribuiremos uma variável diferente:
• Variável Xi :
X1 = 21,
X2 = 22,
X3 = 23,
X4 = 24,
etc.
O próximo passo é calcular a frequência absoluta das variáveis, ou seja, vamos calcular quantas vezes
cada valor aparece na sequência. Por exemplo, o valor 21 aparece 3 vezes, o valor 22 aparece 2 vezes,
etc.. Assim, obtemos:
• Frequência Absoluta Fi
4 / 20
F1 = 3, F2 = 2, F3 = 2, F4 = 1, etc. Vamos calcular, agora, o tamanho amostral, ou seja, o
número de observações obtidas na amostra.
Desta forma, temos:
• Tamanho Amostral n:
n = 30.
Queremos, agora, dividir a amostra em uma quantidade de grupos que formarão os intervalos. Cada
grupo é chamado de classe, assim, queremos definir o número de classes a ser considerado na tabela
de distribuição de frequência:
• Número de Classes K:
– K = 5 para n ≤ 25 e K ≈
√
n, para n > 25.
– Fórmula de Sturges K ≈ 1 + 3, 22 log n.
√
Logo, pela primeira regra temos K = 30 ≈ 5, 48 ≈ 6, e pela segunda regra K ≈ 1 + 3, 22 log 30 ≈
5, 75 ≈ 6. Desta forma, em ambos os casos temos K = 6, que será o valor considerado.
O próximo passo é saber o comprimento de cada intervalo a ser considerado, ou seja, calcular a
amplitude de cada classe. Queremos que todas as classes tenham a mesma amplitude e portanto,
temos:
• Amplitude das Classes h:
h=
Daí, para o nosso caso, h =
15
6
R
.
K
= 2, 5 ≈ 3.
Vamos agora definir os limites das classes. Ou seja, definir os intervalos propriamente ditos. Para
tanto, começamos com o menor valor obtido da amostra, ou equivalentemente, o primeiro valor do
rol de dados, e vamos somando a amplitude para definir cada limite de intervalo:
• Limites das Classes:
21|− 24
24|− 27
27|− 30
30|− 33
33|− 36
36|− 39
Em seguida, calculamos os pontos médios das classes, que nada mais é que a média aritmética entre
os limites das classes:
• Pontos Médios das Classes pmi :
5 / 20
pm1 =
21 + 24
= 22, 5,
2
pm2 =
24 + 27
= 25, 5,
2
, etc.
Agora, calculamos as frequências dos dados em cada intervalo e, chamada de frequência absoluta, e
também a frequência acumulada, chamada de frequência absoluta acumulada, que considera a soma
das frequências dos intervalos anteriores até o intervalo considerado:
• Frequência Absoluta Acumulada Fac :
Classes
21|− 24
24|− 27
27|− 30
30|− 33
33|− 36
36|− 39
Total
pmi
22,5
25,5
28,5
31,5
34,5
37,5
-
Fi
7
8
2
4
8
1
30
Fac
7
15
17
21
29
30
-
Em seguida, inclui-se as frequências relativas dos dados, ou seja, para cada intervalo calcula-se fi =
Fi /n. A frequência relativa, nos informa a proporção dos dados que pertencem a um determinado
intervalo.
• Frequência Relativa fi :
Classes
21|− 24
24|− 27
27|− 30
30|− 33
33|− 36
36|− 39
Total
pmi
22,5
25,5
28,5
31,5
34,5
37,5
-
Fi
7
8
2
4
8
1
30
Fac
7
15
17
21
29
30
-
fi
0,23
0,27
0,07
0,13
0,27
0,03
1,00
Para finalizar, calculamos a frequência acumulada relativa, ou seja, calculamos para cada intervalo
fac = Fac /n:
• Frequência Relativa Acumulada fac :
Classes
21|− 24
24|− 27
27|− 30
30|− 33
33|− 36
36|− 39
Total
pmi
22,5
25,5
28,5
31,5
34,5
37,5
-
Fi
7
8
2
4
8
1
30
Fac
7
15
17
21
29
30
-
6 / 20
fi
0,23
0,27
0,07
0,13
0,27
0,03
1,00
fac
0,23
0,50
0,57
0,70
0,97
1,00
-
1.4
1.4.1
Gráficos Estatísticos
Histograma
O histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequência. O histograma é formado
por uma justaposição de retângulos de bases com mesmo comprimento. O comprimento da base
é justamente a amplitude do intervalo e a altura do retângulo é dada pela frequência absoluta do
intervalo.
Assim, uma vez feita a distribuição de frequência, a construção do histograma é uma tarefa muito
simples.
Abaixo vemos um exemplo de histograma:
images/descritiva/histograma.eps
Figura 1.3: Histograma
1.4.2
Polígono de Frequência
O polígono de frequência é uma representação gráfica obtida após ligar os pontos médios de cada
classe entre si. Se já tivermos um histograma, basta ligar os pontos médios das bases superiores dos
retângulos.
Abaixo vemos um exemplo de polígono de frequência obtido a partir de um histograma:
images/descritiva/poligono-hist.eps
Figura 1.4: Polígono de Frequência Obtido a Partir de um Histograma
Abaixo vemos um exemplo contendo apenas o polígono de frequência:
images/descritiva/poligono.eps
Figura 1.5: Polígono de Frequência Obtido a Partir de um Histograma
1.4.3
Gráfico de Linhas
Suponha que temos duas variáveis, por exemplo, podemos ter os dados de uma série temporal, donde
uma variável seria o valor obtido, e a outra variável seria a data em que o valor foi obtido. Outra
possibilidade seria colocar dados de uma série geográfica, onde uma variável seria formada pelos
dados e a outra seria a localização geográfica.
O gráfico de linhas então é formado construindo pontos no plano (a partir das duas variáveis) e, em
seguida, estes pontos são ligados por segmentos de retas.
Abaixo vemos um exemplo de gráfico de linhas de uma série temporal
images/descritiva/linha.eps
Figura 1.6: Gráfico de linhas
7 / 20
1.4.4
Gráfico de Colunas
Um gráfico de colunas é formado por uma coleção de colunas, com bases de mesmo comprimento, e
igualmente espaçados. O eixo horizontal do gráfico consiste das diferentes categorias consideradas, e
o eixo vertical é proporcional ao valor do dado.
Abaixo vemos um exemplo de gráfico de colunas:
images/descritiva/colunas.eps
Figura 1.7: Gráfico de colunas
1.4.5
Gráfico em Barras
O gráfico em barras pode ser entendido como uma variação do gráfico de colunas. De fato, o gráfico
em barras é formado por uma coleção de barras, de mesma altura e igualmente espaçadas. Entretanto, neste caso o eixo vertical representa as diferentes categorias consideradas e o eixo horizontal é
proporcional ao valor dado.
Abaixo vemos um exemplo de gráfico em barras:
images/descritiva/barras.eps
Figura 1.8: Gráfico em barras
1.4.6
Gráfico de Setores
O gráfico de setores, que também é popularmente conhecido como gráfico pizza, é um gráfico em
que um círculo é dividido em setores (que podem ser pensados como as fatias da pizza), onde cada
setor representa uma categoria considerada pelo conjunto de dados, e os ângulos dos setores são
proporcionais aos valores dos dados em cada categoria. Assim, quanto maior o valor obtido, maior
será o ângulo do setor (e assim, maior será a fatia da pizza).
Abaixo vemos um exemplo de gráfico de setores:
images/descritiva/pizza.eps
Figura 1.9: Gráfico de setores
1.5
Medidas de Posição
As medidas de posição são valores que representam a tendência de concentração dos dados observados.
As mais importantes são as medidas de tendência central. As três medidas de tendência central mais
utilizadas são: média aritmética, moda e mediana.
8 / 20
1.5.1
Média Aritmética
É um valor que representa uma característica do conjunto de dados. Essa característica é tal que a
soma dos dados é preservada. A média é obtida a partir de todos os elementos da distribuição e do
tamanho da amostra n.
Notação: representamos a média de um conjunto de dados por X (lê-se x barra).
Cálculo da Média Aritmética +
• Dados não agrupados (brutos) - média aritmética simples.
No caso de uma lista de dados não-agrupados, calculamos a média aritmética pela fórmula:
n
Xi
.
i=1 n
X=∑
Exemplo 1.1 Exemplo de cálculo de média aritmética com dados brutos
Considere os dados 2, 3, 7 e 8. Então, n = 4 e
X=
2 + 3 + 7 + 8 20
=
= 5.
4
4
• Dados agrupados - média aritmética ponderada.
No caso em que temos os dados agrupados, ou seja, sabemos a frequência de cada observação, o
cálculo da média aritmética pode ser simplificado. Assim, a média aritmética pode ser cálculada pela
fórmula:
n
Xi · Fi
.
X=∑
i=1 n
Exemplo 1.2 Exemplo de cálculo de média aritmética ponderada
Considere a seguinte tabela:
Tempo de Serviço (Xi )
4
6
8
Total
Assim, X =
122
18
Fi
3
5
10
18
Xi · Fi
12
30
80
122
= 6, 78.
• Dados agrupados em intervalos - média aritmética ponderada
No caso em que temos os dados agrupados em intervalos, utilizamos a média aritmética ponderada,
onde os pesos são dados pelo ponto médio do intervalo. Assim, a média aritmética é calculada pela
fórmula:
n
Xi · pmi
X=∑
,
n
i=1
9 / 20
Exemplo 1.3 Exemplo de cálculo de médias com dados agrupados em intervalos
Considere a seguinte tabela:
Anos (Xi ) Fi pmi Xi · pmi
0`4
4
2
8
4`8
10
6
60
7
10
70
8 ` 12
Total
21
138
Assim, X =
1.5.2
138
21
= 6, 57.
Moda
Definimos a moda de um conjunto de dados como o valor mais frequente deste conjunto.
Notação: representamos a moda de um conjunto de dados por Mo.
Exemplo 1.4 Exemplo de modas
• 1, 2, 4, 5 e 8 - não existe valor mais frequente - não existe moda (Amodal).
• 2, 2, 3, 7 e 8 - Mo = 2 (Unimodal).
• 1, 1, 10, 5, 5, 8, 7, 2 - Mo = 1 e 5 (Bimodal).
• Dados agrupados - Neste caso, a moda é definida como “classe modal”, isto é, a classe com a
maior frequencia.
Exemplo 1.5 Exemplo de cálculo de classe modal
Considere a seguinte tabela:
Tempo de Serviço (Xi )
4
6
8
Total
Assim, Mo = 8 (F3 ).
Fi
3
5
10
18
• Dados agrupados em intervalos: Neste caso, utiliza-se a fórmula de Czuber:
h(FMo − Fant )
Mo = lMo +
,
2FMo − (Fant + FPos )
onde:
• h é a amplitude intervalar,
• FMo é a frequência da classe modal,
• lMo é o limite inferior da classe modal,
• Fant é a frequência da classe anterior à classe modal,
• FPos é a frequência da classe posterior à classe modal.
10 / 20
Exemplo 1.6 Exemplo de cálculo de moda pela fórmula de Czuber
Considere a seguinte tabela:
Anos (Xi ) Fi
0`4
4
4`8
10
7
8 ` 12
Total
21
Assim, h = 4, FMo = 10, lMo = 4, Fant = 4 e Fpos = 7. Daí
4 · (10 − 4)
= 6, 67.
Mo = 4 +
2 · 10 − (4 + 7)
1.5.3
Mediana
Definimos a mediana de um conjunto de dados como o valor que divide um conjunto de dados (ordenados) em duas partes com a mesma quantidade de dados.
Notação: representamos a mediana de um conjunto de dados por Md.
O elemento mediano (EMd ) aponta o local (nos dados) onde a mediana está localizada. A mediana
será o valor assumido na posição EMd .
• Dados não agrupados (brutos)
– No caso de dados brutos, se o tamanho amostral (n) é ímpar, temos que EMd = (n + 1)/2.
– Note que no caso tamanho amostral é par, teremos dois valores possíveis para o elemento mediano: n/2 e n/2 + 1. Neste caso a mediana será a média dos valores assumidos nestas posições.
Exemplo 1.7 Exemplo de cálculo de mediana para dados brutos
• 1, 2, 4, 5 e 8. Como n é ímpar, temos EMd = 3, e Md = 4.
• 2, 2, 3, 7, 8 e 10. Aqui n é par, assim EMd,1 = 6/2 = 3 e EMd,2 = 6/2 + 1 = 4. Daí Md = (3 + 7)/2 =
5.
• Dados agrupados
Neste caso, olhar a frequência acumulada ajuda a encontrar a médiana.
• Caso 1: n ímpar.
11 / 20
Exemplo 1.8 Exemplo de cálculo de mediana com dados agrupados para n ímpar
Considere a seguinte tabela:\vfill
Faltas (Xi ) Fi Fac
2
1
1
3
7
8
3 11
4
Total
11 Como n = 11, temos que EMd = (11 + 1)/2 = 6. Daí Md = 3. Note que a frequência acumulada
indica que nas posições de 2 até 8 temos o valor 3.
• Caso 2: n par.
Exemplo 1.9 Exemplo de cálculo de mediana com dados agrupados para n par
Considere a seguinte tabela:
Tempo de Serviço (Xi )
4
6
8
Total
Fi
3
5
10
18
Fac
3
8
18
Neste caso n = 18, daí temos EMd,1 = 18/2 = 9 e EMd,2 = 18/2 + 1 = 10. Portanto Md = (8 + 8)/2 =
8. Note, novamente, que a frequência acumulada indica que nas posições de 9 até 18 temos o valor 8.
• Dados agrupados em intervalos
Neste caso, utilizamos EMd = n/2 independentemente de n ser par ou ímpar.
A classe mediana é a primeira classe tal que Fac ≥ EMd .
Portanto, definimos a mediana pela fórmula
EMd − Fac,ant
Md = lMd + h ·
,
FMd
onde,
• lMd é o limite inferior da classe mediana,
• h é a amplitude do intervalo,
• Fac,ant é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana,
• FMd é a frequência da classe mediana.
12 / 20
Exemplo 1.10 Exemplo do cálculo da mediana para dados agrupados em intervalos
Considere a seguinte tabela:
Anos (Xi ) Fi Fac
0`4
4
4
4`8
10 14
7 21
8 ` 12
Total
21
Assim, EMd = 21/2 = 10, 5, e desta forma temos que a segunda classe é a classe mediana. Daí
lMd = 4, h = 4, Fac,ant = 4 e FMd = 10. Portanto,
10, 5 − 4
= 6, 6.
Md = 4 + 4 ·
10
1.6
Medidas de Dispersão
• As medidas de dispersão medem o grau de variabilidade dos elementos de uma distribuição;
• O valor zero indica ausência de dispersão;
• A dispersão aumenta à medida que aumenta o valor da medida de dispersão.
Exemplo 1.11 Exemplo de motivação para as medidas de dispersão
Notas de alunos em cinco avaliações, UFPB, 2009.
Alunos
Antônio
João
José
Pedro
5
6
10
10
5
4
5
10
Notas
5
5 5
5
4 6
5
5 0
5
0 0
Média
5
5
5
5
Observa-se que: * As notas de Antônio não variaram;
• As notas de João variaram menos do que as notas de José;
• As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros alunos.
Principais Medidas de Dispersão:
• Amplitude,
• Desvio Médio,
• Variância,
• Desvio Padrão,
• Coeficiente de Variação.
13 / 20
1.6.1
Amplitude
A amplitude nos fornece uma idéia do campo de variação dos elementos. Mais precisamente, ela
fornece a maior variação possível dos dados.
A amplitude é dada pela fórmula
A = Xmax − Xmin .
Exemplo 1.12 Exemplo de cálculo de amplitude
No exemplo anterior:
AAntônio = 0;
AJoão = 2;
AJosé = 10;
APedro = 10.
Nota
A amplitude não mede bem a dispersão dos dados porque, usam-se apenas os valores
extremos, ao invés de utilizar todos os elementos da distribuição.
1.6.2
Desvio Médio
Desejando-se medir a dispersão dos dados em relação a média, parece interessante a análise dos
desvios em torno da média. Isto é, análise dos desvios:
di = (Xi − X).
Mas a soma de todos os desvios é igual a zero. Isto é:
n
n
∑ di = ∑ (Xi − X) = 0.
i=1
i=1
Logo, será preciso encontrar uma maneira de se trabalhar com os desvios sem que a soma dê zero.
Dessa forma, define-se o desvio médio.
• Dados não agrupados (brutos):
Neste caso, calculamos o desvio médio como:
n
|di |
|Xi − X|
=∑
.
n
i=1 n
i=1
n
DM = ∑
Nota
Veja que os desvios foram considerados em módulo, evitando-se assim que a soma fosse
nula.
• Dados agrupados:
14 / 20
n
|Xi − X| · Fi
|di | · Fi
=∑
.
n
n
i=1
i=1
n
DM = ∑
Nota
Xi representa um valor individual, no caso de uma distribuição de frequência simples, ou o
ponto médio da classe ( pmi ), no caso de uma distribuição de frequência em classes.
Importante
• O desvio médio é mais vantajoso que a amplitude, visto que leva em consideração todos
os valores da distribuição.
• No entanto, não é tão frequentemente empregado, pois não apresenta propriedades matemáticas interessantes.
1.6.3
Variância
A variância é a medida de dispersão mais utilizada. É o quociente entre a soma dos quadrados dos
desvios e o número de elementos. Assim, temos a seguinte definição de variância populacional:
• Dados não agrupados - (brutos):
Neste caso, a variância é dada pela fórmula:
N
di2
(Xi − X)2
=∑
.
N
N
i=1
i=1
N
σ2 = ∑
• Dados agrupados:
Aqui, podemos utilizar a frequência para simplificar a fórmula:
N
N
di2 · Fi
(Xi − X)2 · Fi
σ =∑
=∑
.
N
i=1 N
i=1
2
Nota
σ 2 indica a variância populacional e lê-se sigma ao quadrado ou sigma dois. Neste caso,
X e N da formúla representam a média populacional e o tamanho populacional, respectivamente.
Temos ainda a seguinte definição de variância amostral:
• Dados não agrupados - (brutos):
Neste caso, a fórmula é dada por
n
n
di2
(Xi − X)2
=∑
i=1 n − 1
i=1 n − 1
S2 = ∑
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• Dados agrupados:
Podemos, novamente, utilizar as frequências para simplificar a fórmula:
n
n
di2 · Fi
(Xi − X)2 · Fi
=∑
.
n−1
i=1 n − 1
i=1
S2 = ∑
Nota
Xi representa um valor individual, no caso de uma distribuição de frequência simples, ou o
ponto médio da classe ( pmi ), no caso de uma distribuição de frequência em classes.
Importante
Fórmulas práticas para os cálculos das variâncias são dadas a seguir:
2i
(∑N
1h N 2
i=1 Xi · Fi )
σ =
∑ Xi · Fi −
N i=1
N
2
ou
(∑ni=1 Xi · Fi )2 i
1 h n 2
S =
∑ Xi · Fi −
n − 1 i=1
n
2
que foram obtidas por transformações nas respecitivas fórmulas originais.
1.6.4
Desvio Padrão
Temos também outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da variância, chamada de desvio
padrão. Assim,
√
σ = σ 2 é o desvio desvio padrão populacional
e
S=
√
S2
é o desvio desvio padrão amostral.
Nota
Para o cálculo do desvio padrão deve-se primeiramente determinar o valor da variância e,
em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado.
Exemplo 1.13 Exemplo de cálculo das medidas de dispersão
Calcular a amplitude, o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral:
Xi
5
7
8
9
11
Total
Fi
2
3
5
4
2
16
16 / 20
• Cálculo da amplitude:
A = Xmax − Xmin = 11 − 5 = 6.
• Cálculo do desvio médio:
Primeiramente é preciso do valor da média. Assim,
Xi
5
7
8
9
11
Total
Fi
2
3
5
4
2
16
Xi · Fi
10
21
40
36
22
129
n
Xi · Fi 129
=
= 8, 06.
16
i=1 n
X=∑
Para o cálculo do DM são abertas novas colunas:
Xi
5
7
8
9
11
Total
Fi
2
3
5
4
2
16
Xi · Fi
10
21
40
36
22
129
Portanto,
|Xi − X| = |di |
|5 − 8, 06| = 3, 06
|7 − 8, 06| = 1, 06
|8 − 8, 06| = 0, 06
|9 − 8, 06| = 0, 94
|11 − 8, 06| = 2, 94
-
|di | · Fi
6,12
3,18
0,30
3,76
5,88
19,24
n
|di | 19, 24
=
= 1, 20.
16
i=1 n
DM = ∑
• Cálculo do variância amostral:
Observe que o cálculo será facilitado, pois sabe-se que: n = 16; ∑ Xi · Fi = 129. Resta encontrar
∑ Xi2 · Fi . Para tanto, uma nova coluna é considerada na tabela.
Xi
5
7
8
9
11
Total
Fi
2
3
5
4
2
16
Xi · Fi
10
21
40
36
22
129
Portanto,
Xi2 · Fi
50
147
320
324
242
1083
(∑ni=1 Xi · Fi )2 i
1 h n 2
=
∑ Xi · Fi −
n − 1 i=1
n
h
i
2
1
(129)
1h
16641 i
=
1083 −
=
1083 −
16 h− 1
16i
15
16
1 17328 − 16641
687
=
= 2, 86.
=
15
16
15 · 16
Logo, a variância amostral S2 = 2, 86.
S2
17 / 20
• Cálculo do desvio padrão amostral:
√
√
Como S = S2 , logo S = 2, 86 = 1, 69.
Dessa forma, podemos observar que a distribuição possui média 8, 06. Isto é, seus valores estão em
torno de 8, 06 e seu grau de concentração é de 1, 2, medido pelo desvio médio e de 1, 69, medido pelo
desvio padrão.
1.6.5
Coeficiente de Variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de
concentração em torno da média de séries distintas. É dado por
CV =
S
× 100.
X
onde, S é o desvio padrão amostral e X é a média amostral.
O coeficiente de variação é expresso em porcentagens.
Exemplo 1.14 Exemplo de cálculo do coeficiente de variação
Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio padrão de R$ 1.500,00, e
o das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.200,00. Então:
• Para os homens:
CV =
1.500
× 100 = 37, 5%.
4.000
• Para as mulheres:
1.200
× 100 = 40%.
3.000
Logo, podemos concluir que os salários da mulheres apresenta maior dispersão relativa do que o dos
homens.
CV =
Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade, ou dispersão, quando o coeficiente der até
10%; média dispersão quando estiver acima de 10% até 20%; e grande dispersão quando superar
20%. Alguns analistas consideram:
• Baixa dispersão: CV ≤ 15%;
• Média dispersão: 15% < CV < 30%;
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Capítulo 2
Índice Remissivo
A
Absoluta
Acumulada, 6
Acumulada, 6
Amostra, 1
Amostral, 15
Amplitude, 14
Amplitude Total, 4
Acumulada, 6
Frequência Absoluta, 4
G
Geográfica, 3
Gráfico
de Colunas, 8
de Linhas, 7
de Setores, 8
em Barras, 8
Pizza, 8
C
Censo, 1
Coeficiente de Variação, 18
Contínua, 2
Cronológica, 3
H
Histograma, 7
M
Média, 8
Média Aritmética, 9
Ponderada, 9
Médio, 14
Mediana, 8, 11
Medidas
de Dispersão, 13
de Tendência Central, 8
Moda, 8, 10
D
de Colunas, 8
de Dispersão, 13
de Linhas, 7
de Setores, 8
de Tendência Central, 8
Desvio
Médio, 14
Padrão, 16
Discreta, 2
Distribuição de Frequência, 3
N
Nominal, 2
E
Elemento Mediano, 11
em Barras, 8
Específica, 3
O
Ordinal, 2
P
Padrão, 16
Pizza, 8
Polígono de Frequência, 7
Ponderada, 9
População, 1
Populacional, 15
F
Fórmula da Mediana, 12
Fórmula de Czuber, 10
Frequência
Absoluta
Acumulada, 6
Relativa, 6
19 / 20
Q
Qualitativa
Nominal, 2
Ordinal, 2
Quantitativa
Contínua, 2
Discreta, 2
R
Relativa, 6
Acumulada, 6
Rol de dados, 4
S
Série
Cronológica, 3
Específica, 3
Geográfica, 3
Temporal, 3
T
Tabelas, 2
Tamanho Amostral, 5
Temporal, 3
V
Variável, 1
Qualitativa
Nominal, 2
Ordinal, 2
Quantitativa
Contínua, 2
Discreta, 2
Variância
Amostral, 15
Populacional, 15
20 / 20