Engenharia Metalúrgica

PROAC / COSEAC - Gabarito
Prova de Conhecimentos Específicos
1a QUESTÃO: (1,5 ponto)
 cos θ − sen θ 
 . Determine:
Considere a matriz A = 

sen
θ
cos
θ


a) a transposta de A.
b) a inversa de A.
c) os autovalores de A, para θ =
π
4
Cálculos e respostas:
 cosθ − senθ
A = 
 senθ cosθ



a)
 cosθ
A T = 
 − senθ
-1
b) A =
senθ 
;
cosθ 
1
(cof A) T
det A
2
2
det A = cos θ + sen θ = 1
 cosθ − senθ
cof A = 
 senθ cosθ
-1
A =
 cosθ

 − senθ
c) θ = π/4
⇒
2
2λ +
T)
senθ 


cosθ 
T
senθ  = A

cosθ 
A=
 2/2

 2/2

 2

−λ
2

det (A - λ I) = det


1

λ -
 cosθ

(cof A) = 
 − senθ




3
=0
2
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λ=
− 2/2 
2 1 − 1
 =



2 1 1 
2/2 


2
 =  2 − λ + 1 = 1 − 2λ + λ2 + 1

  2
2
2


− λ 
2

−1
2 ± 2−6
=
2
2 ± 2i
2
=
±i
2
2
1
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2a QUESTÃO: (1,5 ponto)
Calcule
∫
2x − 3
dx
( x − 1)(x − 2 )
Cálculos e respostas:
I=
2x − 3
∫ (x − 1)(x − 2) dx
2x − 3
A
B
Ax − 2A + Bx − B (A + B)x + ( −2A − B)
=
+
=
=
(x − 1)(x − 2) x − 1 x − 2
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x − 2)
A + B = 2

- 2A − B = −3
A +B=2
2A + B = 3
A=1
I=
dx
B=1
dx
∫ x − 1 + ∫ x − 2 = ln(x − 1) + ln(x − 2) + C
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2
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3a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Dada a função f definida por f (x, y, z) = ln (x2 + y2 +
xy
), determine seu
z
vetor gradiente no ponto (1, 2, -2).
Cálculos e respostas:
∇f = (fx, fy, fz)
fx =
2x + y/z
2
x + y 2 + xy/z
; fy =
fx (1,2, -2) =
2 −1
1
=
1+ 4 −1 4
fy (1, 2, -2) =
4 − 1/2 7
=
4
8
fz(1,2,-2) =
− 1/2
1
=−
4
8
∇f(1,2,-2) =
 1 , 7 , 1
− 

 4 8 8
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2y + x/z
− xy/z 2
;
fz
=
x 2 + y 2 + xy/z
x 2 + y 2 + xy/z
3
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4a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Calcule
∫
(x + y ) dA, sendo R a região do plano defina por
R
y ≤ x, y ≤ 2 – x2, y ≥ 0.
Cálculos e respostas:
I=
∫
R
(x + y)dA =
2 −y
1
∫ ∫
0
y
(x + y ) dx dy
y
y=x
=∫
=∫
1
0
1
0
1
= ∫0
∫
1
0
 x2


+ xy 
 2
y
2−y
2
dy
1
 2- y

y2

+ y 2- y −
− y 2  dy
2
 2

1V 2
X = 2 V 2 -y
x
2
y=2-x

y y2 
y 2 − y + 1 − 2 − 2  dy


y 2 − y dy = -2 ∫
2
2–y=u
2
y=2–u
1
y=0
y=1
2
(2 - u 2 )u 2 du = -2 ∫
2
2u 2 - u 4 du
 2u3 u5 
= −2
− 
3
5

u=1
=
= -2
17 4 2 
= -2 
−
 +y
3 
12
1
2
u=
dy = -2udu
=-2
0
1
1
2
 2 1 2.2 2 4 2 
− 2 − −
+

3
5
3
5 

17 8 2 
 −

15 
15

y2 
y3
 y −
 −
4 0
2

1
=
0
 7 8 2
1 1 16 2 41
−
 −
 + 1− − =
15 
4 2
15
60
15
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5a QUESTÃO: (1,0 ponto)
O fósforo é removido do aço por meio de um processo de oxidação segundo
a reação:
2P + 5/2 O2
P2O5
Sabendo-se que o aço possui 0,020% de P, pede-se o peso de oxigênio
necessário para se eliminar todo o P existente em 1 t de aço.
Dados: Pesos atômicos:
P – 31
O – 16
Cálculos e respostas:
Base de cálculo: 1000 kg de aço
P existente no aço:
1000 x 0,00020 = 0,20 kg
Oxigênio necessário:
2P
2 . 31
0,20
5/2 O2
5/2 . 16 . 2
x
x = 0,20 . 5/2 . 16 . 2 .
1
= 0,258 kg oxigênio
2 . 31
6a QUESTÃO: (1,0 ponto)
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Um bronze-alumínio possui composição química em peso de 91% Cu e 9%
Al. Qual a composição desta liga considerando-se percentagem de átomos?
Dados: Pesos Atômicos: Cu – 64
Al – 27
Cálculos e respostas:
Base de cálculo: 1,0 kg de liga bronze-alumínio
Pesos de Cu e Al existentes em 1,0 kg da liga:
Cu: 1000 g x 0,91 = 910 g
Al: 1000 g x 0,09
= 90 g
Quantidade de átomos-grama existentes em 1,0 kg de liga:
Cu:
Al:
910
= 14,219 at.g
64
90
= 3,333 at. g
27
Total de átomos-grama em 1,0 kg da liga:
14, 219 + 3,333 = 17,552
Composição em
% at . g Cu :
14,219
= 81,01%
17,552
% átomos
% at . g
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Al:
3,333
= 18,99%
17,552
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7a QUESTÃO: (1,5 ponto)
Um volume de 1000 m3 de gás produzidos em um alto-forno deixam este
equipamento a uma pressão de 1,5 atm e 227 oC. Qual será seu volume a 1,0 atm de
pressão e 27 oC?
Considere o comportamento deste gás como ideal.
Sabendo-se que este gás possui 30% de CO, qual será a pressão parcial de
CO nas condições em que o gás deixa o equipamento?
Cálculos e respostas:
Base de cálculo: 1000 m 3 de gás a 1,5 atm e 227o C
Volume de gás nas condições pedidas:
P0 V0
P1V1
=
T0
T1
1,5 atm .1000 m 3
1,0 atm . V1
1,5 . 1000 . ( 27 + 273 )
3
=
⇒ V1 =
= 900 m
( 227 + 273 ) K
(27 + 273 ) K
1,0 . ( 227 + 273 )
Pressão parcial de CO nas condições em que o gás deixa o equipamento:
Segundo a Lei de Dalton – A soma das pressões parciais dos gases numa mistura é igual
a pressão total da mistura – podemos fazer:
PCO = 1,5 atm x 0,30 = 0,45 atm
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8a QUESTÃO: (1,5 ponto)
Uma solução de sulfato de cobre está rotulada como CuSO 4 0,100 M. Que
volume, em cm 3, desta solução contém 4,25 g de CuSO4?
Dados: Pesos Atômicos: Cu – 64
S – 32
O – 16
Cálculos e respostas:
Base de cálculo: 4,25 g de CuSO4 em solução 0,100 M
Peso molecular do CuSO4: 64 + 32 + 4 x 16 = 160 g
Número de moles de CuSO4 em 4,25 g desta substância:
4,25
= 0,0266 moles
160
Usando-se a concentração molar para converter-se moles de CuSO4 para cm 3 de solução,
temos:
0,0266 moles de CuSO4 x
1000 cm 3 solução
0,100 mol CuSO 4
= 266 cm3 de solução
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