PDF_2º ANO _ Aula 5 _ Trigonometria Na Circunferência

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MATEMÁTICA II
Aula 5
Trigonometria na Circunferência
Professor Luciano Nóbrega
1º Bimestre
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
ARCOS e ÂNGULOS
A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo
central correspondente. As unidades de medida restringem-se a
três principais: o grau (º), o radiano (rad) e o grado (Gr).
Considere uma circunferência de centro “O”. Sejam “A” e
“B”dois pontos distintos. Um arco de circunferência de
extremos “A”e “B” é cada uma das partes em que fica
dividida uma circunferência por dois de seus pontos.
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
O NÚMERO π
Dada uma circunferência de raio “r”, diâmetro d = 2r, o número
π é definido como a razão do comprimento “C” da
circunferência pelo seu diâmetro “d”, isto é,
O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
Observando a definição do número π , podemos concluir que:
C = 2.π.r
O COMPRIMENTO DE UM ARCO
Em uma circunferência de raio “r” a definição de
radiano implica que um ângulo de 1 radiano
compreende um arco de comprimento “r”. Logo
um ângulo de Θ radianos compreende um arco
de comprimento “s”. O valor “s” é dado por
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
EXEMPLO:
Sabendo que 1 radiano compreende um arco de comprimento
“r” (ou seja, s = r). Determine quantos radianos são necessários
para completar uma volta?
SOLUÇÃO:
Fazendo a “regra de 3”, temos:
“1 rad” está para o arco de medida “s = r”, assim como “Θ rad”
está para a volta completa “C = 2πr”. Sendo assim:
Isto é, uma volta
completa na
circunferência
corresponde a um
ângulo de medida 2π
radianos.
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
CONVERSÃO GRAU – RADIANO
Assim, dado um ângulo Θ radianos, sua medida x em graus é
dada por
EXEMPLO:
Determine a medida do ângulo (3/4)π rad em graus.
EXEMPLO:
Determine a medida do ângulo 155º graus em radianos.
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
O CICLO TRIGONOMÉTRICO
No plano cartesiano, considere uma circunferência
de centro (0, 0), de raio “r” e o ponto A(1,0).
A cada número real “α ” associaremos um
único ponto “P” da circunferência;
Se α = 0 , então tomamos P = A;
Se α > 0 realizamos, a partir de “A” um percurso de comprimento
α
no sentido anti-horário e marcamos o ponto “P” como final
desse percurso.
Se α < 0 realizamos, a partir de
um percurso de comprimento α
no sentido horário, e marcamos o
ponto como final desse percurso.
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
ÂNGULOS CÔNGRUOS
Os ângulos α e β em graus, são côngruos ou congruentes se, e
somente se, α – β = k . 360º para algum k ∈ R, ou seja, se α e β
têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico.
EXEMPLO:
Nos itens abaixo, determine o arco côngruo de primeira volta e seu
respectivo quadrante.
a) 685º
b) 780º
c) – 4000º
d) 15π /2
e) –23π/3
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
ÂNGULOS CÔNGRUOS
Podemos estabelecer uma expressão geral
dos arcos que têm imagem em um
determinado ponto do ciclo trigonométrico.
Por exemplo, a expressão geral dos arcos
que têm imagem no ponto “A” dar-se-á por
0º+n.360º = n.2π , com “n” ∈ N, sendo “n” o
número de voltas completas.
OBSERVAÇÃO: Quando n > 0 deve-se andar no sentido antihorário; se n < 0 deve-se andar no sentido horário.
EXEMPLOS:
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Observe a figura:
Considere o segmento OP de medida igual a 1. (Pergunte ao Professor porque razão OP = 1)
No triângulo OPQ, temos:
sen Θ = PQ = x e cos Θ = OQ = y
No sentido anti-horário, a partir do semi-eixo
positivo das abscissas. Definimos o cosseno
do ângulo Θ como o valor da abscissa de P e
seu seno como o valor da ordenada de P.
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Observe essa outra figura:
As medidas do cosseno estão sobre o eixo das abscissas (eixo x).
Analogamente, as medidas do seno podem ser sobrepostas no
eixo das ordenadas (eixo y).
Observe que os triângulos OPM e OTA são
semelhantes pelo caso AA, logo:
Portanto, o eixo no qual está inserido
o segmento TA é denominado como o
eixo da tangente.
OBSERVE que a Relação Fundamental
da Trigonometria continua sendo
válida na circunferência.
sen²x + cos²x = 1
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
VALORES NOTÁVEIS NA CIRCUNFERÊNCIA
Observe a figura e preencha a tabela:
Ângulo
0º
30º
45º
60º
90º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
Seno
Cosseno
Tangente
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
REDUÇÃO DO 2º PARA O 1º QUADRANTE
Se o ângulo Θ estiver no 2º quadrante, então sua
redução ao 1º quadrante é π – Θ.
Observe que :
sen Θ = OR = sen (π – Θ)
cos Θ = OP = –OQ = cos (π – Θ)
tg Θ =
EXEMPLO:
Determine os valores de seno,
cosseno e tangente de 5π/6
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
REDUÇÃO DO 3º PARA O 1º QUADRANTE
Se o ângulo Θ estiver no 3º quadrante, então sua
redução ao 1º quadrante é Θ – π.
Observe que :
sen Θ = OS = – OR = – sen (Θ – π)
cos Θ = OP = –OQ = – cos (Θ – π)
tg Θ =
EXEMPLO:
Determine os valores de seno,
cosseno e tangente de 5π/4
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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
REDUÇÃO DO 4º PARA O 1º QUADRANTE
Se o ângulo Θ estiver no 4º quadrante, então sua
redução ao 1º quadrante é 2π – Θ.
Observe que :
sen Θ = OS = – OR = – sen (2π – Θ)
cos Θ = OQ = cos (2π – Θ)
tg Θ =
EXEMPLO:
Determine os valores de seno,
cosseno e tangente de 5π/3
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
1 – [FECAP-SP] Determine o valor da expressão:
sen(π/4 ) + cos(π/4) + cos(π/2
+ π/4).
2 – [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno
vale 3/5 e encontra-se no segundo quadrante. Calcule o valor da
tangente deste ângulo.
GABARITO: 1) √2/2
2) – ¾
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
3 – [ITA-SP] Calcule o valor da expressão y = 2tg(x)/[1 – tg2(x)]
quando cos(x) = – 3/7 e tg(x) < 0.
4 – Simplificar a expressão (sen120º .cos120º)/(tg120º)
GABARITO: 1) 12 √10/31
2)
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
5 – Resolva os exercícios do livro “Matemática_Manoel Paiva”:
P.239_1 e 2 // P.240_3 // P.243_4, 5 e 6 // P.245_9 e 10
P.246_11 e 12 // P.250_13,14, 15 e 16 // P.252_21 e 26
P.264_1, 3 e 4 // P.266_5 e 6 // P.267_11 // P.