Prova Olimpiada de Matemática

Prova Olimpiada de Matemática
1) Uma prova de Matemática contém oito
questões, das quais quatro são consideradas
difíceis. Cada questão tem quatro opções de
resposta, das quais somente uma é correta. Se
uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção
em cada uma das questões difíceis, é correto
afirmar que
a) a probabilidade de errar todas as questões
difíceis é maior do que a probabilidade de
acertar pelo menos uma questão difícil.
b) a probabilidade de errar todas as questões
difíceis é maior que 0,5.
c) a probabilidade de errar todas as questões
difíceis está entre 0,4 e 0,5.
d) a probabilidade de errar todas as questões
difíceis está entre 0,3 e 0,4.
e) a probabilidade de errar todas as questões
difíceis é menor do que 0,3.
a)
b)
c)
2) Uma emissora de TV, em parceria com uma
empresa de alimentos, criou um programa de
perguntas e respostas chamado “UM MILHÃO
NA MESA”. Nele, o apresentador faz perguntas
sobre temas escolhidos pelos participantes. O
prêmio máximo é de R$ 1.000.000,00 que fica,
inicialmente, sobre uma mesa, distribuído em 50
pacotes com 1.000 cédulas de R$ 20,00 cada
um.
Cada cédula de R$ 20,00 é um retângulo de
14 cm de base por 6,5cm de altura. Colocando
todas as cédulas uma ao lado da outra, teríamos
uma superfície de:
d)
e)
1
.
2
1
.
3
3
.
5
5
.
7
5
.
8
4) Um recipiente contém 2565 litros de uma
mistura de combustível, sendo 4% constituídos
de álcool puro. Quantos litros desse álcool devem
ser adicionados ao recipiente, a fim de termos
5% de álcool na mistura?
a) 415m2
b) 420m2
c) 425m2
d) 455m2
e) 475m2
a) 29
b) 27
c) 25
d) 23
e) 20
3) O mosaico da figura adiante foi desenhado
em papel quadriculado 1 1. A razão entre a área
da parte escura e a área da parte clara, na região
compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a
5) Sendo x e y números reais positivos, é correto
afirmar que
x y x y.........
é igual a:
a) x1 3 y 2 3
b) x 2 3 y1 3
c) x2 3 y2 3
d) x1 4 y1 4
e) x1 4 y 2 3
6) Um grupo de amigos, numa excursão, aluga
uma van por 342 reais. Ao fim do passeio, três
deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram
que completar o total, pagando cada um deles 19
reais a mais. O total de amigos era:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
7) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado
igual a 9 cm. Seus lados foram divididos em 9
partes iguais e, pelos pontos de divisão,
traçaram-se paralelas à diagonal AC. A soma dos
comprimentos dessas paralelas incluindo AC é:
a) 90
b) 72
c) 81
d) 80
e) 86
de altura. Se as menores pesam 120 g, cada
uma, é correto afirmar que as maiores pesam:
a) 400 g.
b) 405 g.
c) 410 g.
d) 415 g.
e) 420 g.
10) Considere o tabuleiro de xadrez exposto
abaixo onde cada posição é identificada por um
par ordenado (a, b), sendo que a primeira
coordenada (nesse caso “a”) corresponde ao
número da linha, e a segunda coordenada (nesse
caso “b”) corresponde ao número da coluna.
Cada posição assume a cor branca ou preta.
Baseado nessas informações e considerando
uma posição cujas coordenadas correspondem a
(x, y), assinale a afirmativa correta.
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
8) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros
são os vértices de um quadrado, são tangentes
exteriormente, como na figura. A área da parte
em negrito é:
a) x é par e y é par se, e somente se, a posição é
branca.
b) Se a cor da posição é branca então x = y.
c) x é ímpar e y é par se, e somente se, a posição
é preta.
d) Se a posição é branca, então x é ímpar, e y é
par.
e) x é par e y é ímpar somente se a cor da
posição é preta.
11) Uma sequência de 5 (cinco) números inteiros
é tal que:
- os extremos são iguais a 4;
- os três primeiros termos estão em progressão
geométrica e os três últimos em progressão
aritmética;
- a soma desses cinco números é igual a 26.
a) (4 -  )
b) (  -1)
c) (4 - 2  )
d) (4  -4)
e) (  - 4)
9) Uma loja para turistas vende miniaturas da
estátua do Cristo Redentor feitas em gesso,
umas com 10 cm de altura e outras com 15 cm
É correto afirmar que a soma dos números em
progressão geométrica é igual a:
a) - 8.
b) - 2.
c) 8.
d) 12.
e) 16.
12) O resultado do 20. turno das eleições para
prefeito de uma cidade brasileira apresentou os
seguintes números:
Candidato A = 52%
Candidato B = 31%
Votos nulos = 5%
Votos em branco = 12%
15) Durante uma conversa de bar, seis
professores discordaram sobre quais times foram
campeões cariocas em três anos remotos (A, B,
C). Seus palpites estão na tabela a seguir:
Um eleitor dessa cidade é escolhido ao acaso.
Sabe-se que ele não votou no candidato eleito.
A probabilidade de que ele tenha votado em
branco é:
a) 10%.
b) 12%.
c) 15%.
d) 20%.
e) 25%.
13) Oito atletas - entre os quais Lind e Bolt disputaram uma prova de 100 metros rasos, em
que não há empates nem desistências. Apenas
os três primeiros colocados recebem medalhas.
Considerando que todas as ordens de chegada
sejam igualmente prováveis, a probabilidade de
que Lind fique melhor colocado que Bolt e que
ambos recebam medalhas é:
a) 1 .
56
b) 1 .
28
16) O algarismo das unidades do resultado de
32008 é:
a) 1.
b) 3.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
c) 3 .
56
d) 1 .
8
e) 1 .
7
14) Em uma escola, duas turmas têm o mesmo
número de alunos. O percentual de uma dessas
turmas que deve migrar para a outra, de modo
que ela passe a ter
dessa outra, é igual a:
a) 20%.
b) 30%.
c) 40%.
d) 50%.
e) 60%.
Verificou-se, depois, que cada um havia acertado
ao menos um palpite. Pode-se garantir que os
campões, nos anos A e C, foram,
respectivamente:
a) Botafogo e Botafogo.
b) Fluminense e Fluminense.
c) Botafogo e Fluminense.
d) Botafogo e Flamengo.
e) Flamengo e Botafogo.
1
do número de alunos
3
17) Em um parque, Amapola corre numa pista
em formato de circunferência. Ao completar uma
volta, ela corre 1884m. A cada duas voltas
completadas, Amapola vai correndo ao centro do
círculo que a pista forma e faz exercícios
abdominais. Após os exercícios abdominais,
retorna correndo ao mesmo ponto da pista em
que estava e continua o percurso na
circunferência.
Com base na situação exposta no enunciado,
assinale a soma da(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
01) Após cinco voltas na pista, o total percorrido
por Amapola, é maior que 10km.
02) Após cinco voltas na pista, o total percorrido
por Amapola, é menor que 11km.
04) Após cinco voltas na pista, o total percorrido
por Amapola, é maior que 11km.
08) Se os exercícios abdominais fossem feitos
junto à pista, Amapola correria exatamente
600m a menos.
16) Se os exercícios abdominais fossem feitos a
cada três voltas completadas, após cinco
voltas, Amapola correria 600m a menos.
18) Na figura abaixo, temos um retângulo ABCD
com medidas AB  10 m e BC  5 m. Suponha que
AE  AF  2 m, que os segmentos EC e FG
sejam paralelos e que a circunferência tangencie
os segmentos EC e FG.
O diâmetro da circunferência, em metros, mede
a) 2.
5
.
2
26 109
c)
.
109
b)
d)
13 109
.
50
e)
27 109
.
110
19) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de
lado 5 e os pontos E, F, G e H são os pontos
médios dos lados AB, BC, CD e DA,
respectivamente.
b)
c)
d)
e)
2,5.
5,0.
7,5.
10.
20) A gasolina comum vendida nos postos de
combustíveis do país é, na verdade, uma mistura
de álcool com gasolina pura. Foi anunciado um
aumento de 250 mL para 270 mL de álcool na
mistura de cada litro da gasolina comum. O
proprietário de um posto de combustível não
pretende reajustar o preço da gasolina comum,
mas, sim, o da gasolina pura. O litro da gasolina
comum e do álcool é vendido a R$ 3,20 e
R$ 2,30, respectivamente.
Diante do exposto, e para que o proprietário do
posto de combustíveis não tenha prejuízo, com
precisão de duas casas decimais, o valor do litro
da gasolina pura deverá ser, em reais, de no
mínimo
a) 2,58.
b) 2,75.
c) 3,20.
d) 3,54.
e) 4,06.
21) Nas afirmações abaixo, os números a, b e
n são inteiros positivos. Analise-as, atribuindo (V)
para as verdadeiras e (F) para as falsas.
(
) Se a e b deixam o mesmo resto quando
divididos por n, então a  b é múltiplo de n.
( ) Se (a  b) é múltiplo de n, então a e b são
múltiplos de n.
( ) Se (a  b) é múltiplo de n, então a ou b é
múltiplo de n.
( ) Se d  mdc(a, b) e m  mmc(a, b), então m é
múltiplo de d.
A sequência correta encontrada é
a) V, V, F, V.
b) V, F, F, V.
c) V, F, V, V.
d) V, F, F, F.
e) F, V, F, V.
22) Se x 
1
 3 e 8x 6  4x3 y 2  0, então o valor
x
numérico da expressão
4x9  2x 6 y 2  4x3  2y 2
8x 6  4x3 y 2
A área do quadrilátero MNPQ, em unidades de
área, é
a) 1,0.
é igual a
a) 4.
b) 7.
c) 9.
d) 12.
e) 18.
23) No plano cartesiano, duas retas r e s se
interceptam num ponto S(x,0) e tangenciam a
circunferência x2 + y2 = 10 nos pontos P(3,p) e
Q(3,q), respectivamente. Os pontos P, Q, S e O,
sendo O o centro da circunferência, determinam
um quadrilátero cuja área, em unidades de área,
é
5
.
3
10
b)
.
3
a)
c)
10
.
3
d)
5 10
.
9
e)
20 10
.
9
24) A figura abaixo tem as seguintes
características:
- o ângulo Ê é reto;
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento
BD;
- os segmentos AE, BD e DE, medem,
respectivamente, 5, 4 e 3.
para esse pagamento, em %, foi,
aproximadamente, de
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
26) Para um evento com a duração de 3h40min
foram tocados, sem repetição, dois gêneros
musicais: clássico e popular (MPB). A duração de
cada música clássica foi de 5min e a de MPB,
4min. Sabendo-se que 40% das músicas
selecionadas são clássicas, então o total de
músicas populares tocado foi de
a) 20.
b) 23.
c) 26.
d) 30.
e) 33.
27) Em uma enquete realizada com pessoas de
idade superior a 30 anos, pesquisou-se as que
estavam casadas ou não, se tinham ou não
filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram
casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam
casadas e com filhos. Sabendo-se que 180
pessoas responderam a essa enquete, o número
das que se declararam não casadas e sem filhos
foi de
a) 13.
b) 23.
c) 27.
d) 32.
e) 36.
O segmento AC, em unidades de comprimento,
mede
a) 8.
b) 12.
c) 13.
d) 61.
e) 5 10.
28) Durante o mesmo período, dois irmãos
depositaram, uma vez por semana, em seus
respectivos cofrinhos, uma determinada quantia,
da seguinte forma: o mais novo depositou, na
primeira semana, R$ 1,00, na segunda, R$ 2,00,
na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente,
enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00
semanalmente até que ambos atingissem a
mesma quantidade de dinheiro. Não havendo
retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que
cada irmão obteve ao final desse período, em R$,
foi de
a) 19.
b) 21.
c) 190.
d) 210.
e) 290.
25) Uma pessoa investiu R $ 20.000,00 durante 3
meses em uma aplicação que lhe rendeu 2% no
primeiro mês e 5% no segundo mês. No final do
terceiro mês, o montante obtido foi suficiente
para pagar uma dívida de R $ 22.000,00. Assim
sendo, a taxa mínima de juros, no terceiro mês,
29) Se 20% de a equivale a 30% de b e 20% de
c é 70% de b, então, a porcentagem de a que
equivale a 10% de (a + b + c) é
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 35.
e) 40.
30) Suponha que, em certo país, observou-se
que o número de exames por imagem, em
milhões por ano, havia crescido segundo os
termos de uma progressão aritmética de razão 6,
chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos.
Nessas condições, o aumento percentual do
RESPOSTAS:
Resposta da questão 1:
[D]
A probabilidade de errar todas as questões difíceis é dada
número de tais exames, desde o ano da
observação até ao final do período considerado,
foi de
a) 130%.
b) 135%.
c) 136%.
d) 138%.
e) 140%.
Resposta da questão 5:
[B]
x y x y......... = (x1/2.x1/8. x’1/32...).(y1/4.y1/16.y1/64...) = x ½
+1/8 + 1/32 + ...
.y
1/4 + 1/16 + 1/64 + ...
2/3
= x .y
1/3
4
81
3
 0,31.
por   
4
256
 
(aplicando a fórmula da soma dos termos da P.G. é infinita
em cada expoente.)
Resposta da questão 2:
[D]
Resposta da questão 6:
[D]
Temos 50  1000  50000 cédulas. Logo, a área da
superfície ocupada por essas cédulas é dada por
X = Número de amigos.
342
342
( x  3).19  3.
 x.( x  3)  3.
 x 2  3x  54  0
x
19
Resolvendo temos x = 9 ou x = -6 (não convém)
50000  14  6,5  4550000cm2
 455 m2 .
Resposta da questão 3:
[A]
Resposta da questão 7:
[C]
A área do quadrado ABCD é igual a 122  144 u.a.
A figura escura é constituída por 16 losangos de diagonais
3 2 e 2. Logo, sua área é dada por
3 2 2
16 
 48 u.a.
2
Portanto, o resultado é
Logo, a soma pedida será S = 2
1 2  2
Resposta da questão 8:
[A]
48
1
 .
144  48 2
Resposta da questão 4:
[B]
Seja n o número de litros de álcool que devem ser
adicionados à mistura, a fim de termos 5% de álcool. O
valor de n é tal que
n  0,04  2565
 0,05  n  102,6  0,05n  128,25
n  2565
 0,95n  25,65
 n  27.
2

2  3 2  4 2  5 2  6 2  7 2  8 2  9 2  81 2
A = 2 – (A1 +A2 + A3 + A4)
A = 4 - Acírculo
A = 4 - .12
A=4-
Existem A 8,3  8!  8  7  6 pódios
5!
Resposta da questão 9:
[B]
possíveis.
3
 2  120
 8 x  27.120  8 x  3240  x  405g
  
x
3
Resposta da questão 10:
[E]
1. falso, basta observar a posição (3,7).
2. falso, basta observar a posição (3,7).
3. falso, basta observar a posição (2,7).
4. falso, basta observar a posição (2,6).
correta.
dada por
12  6 
18
 3 .
876
876
56
Resposta da questão 14:
[D]
Sejam x o número de alunos em cada turma antes da
migração e y o número de alunos que migram de uma
turma para outra.
Resposta da questão 11:
[D]
Seja a sequência ( 4, a, b, c, 4), com a, b, c  Z .
a2  4b
2
2

 a  a  a  2  18  3a2  8a  128  0
2c  b  4
4
8
a  b  c  18

 a  8 ou a  16 (não convém )
3
x  y  1 ( x  y )  x  2y.
3
Portanto, o percentual pedido é
y
 100 %  50 %.
2y
Resposta da questão 15:
[A]
Botafogo campeão no ano A  Celso e
Marcelo acertaram e os outros erraram.
Botafogo campeão no ano C  André e
Nazareno acertaram e os outros erraram.
b  16
a  8  
c  10
Desse modo, como cada um acertou ao menos um
palpite, Ivan e José Luís devem ter acertado o
campeão no ano B. De fato, ambos apontaram o
Fluminense como campeão no ano B.
Portanto, 4  a  b  4  8  16  12 .
Resposta da questão 12:
[E]
P( votado em branco | não votou em A ) 
Portanto, a probabilidade pedida é
12 %
 1  25Procedendo
%.
de forma análoga, é fácil ver que
100 %  52%
4
todas as outras alternativas levam a uma contradição.
Resposta da questão 13:
[C]
Se Lind for o 1º colocado, Bolt poderá ser o 2º ou 3º.
Há seis escolhas para o terceiro atleta que irá compor
o pódio. Assim, temos 2  6  12 pódios possíveis
com Lind em 1º lugar.
Resposta da questão 16:
[A]
Observe o padrão:
30  1
31  3
32  9
Se Lind for o 2º colocado, Bolt deverá
ser o 3º e teremos seis escolhas para o campeão.
Logo, há seis pódios com Lind em 2º lugar.
33  27  20  7
3 4  81  80  1
35  243  240  3

Como de zero a 2008 existem 2009 números inteiros
e 2009  4  502  1, temos que o algarismo das
unidades de 3 2008 é 1.
Resposta da questão 17:
01 + 02 + 16 = 19.
O raio da pista será dado por 1884 : 6,28 = 300m.
[01] Correta.
2  1884  600  2  1884  600  1884  10620m  10km.
e DQN são congruentes. Logo, temos
CP  PQ  2  PG  , em que é o lado do quadrado
MNPQ.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CPG,
encontramos
2
2
2
2
5
 
CG  CP  PG     2   
2
2

2
5 2 25

4
4
[02] Correta. 10620m  11 km.
[04] Incorreta. 10620m  11 km.
[08] Incorreta. Dependeria do número de voltas.
[16] Correta. 300  300  600m.
que é o resultado pedido.
Resposta da questão 18:
[C]
Resposta da questão 20:
[D]
Considere a figura.
Seja x o preço da gasolina pura antes do aumento. Tem-se
que
 2  5,
750
250
x
 2,3  3,2  3x  12,8  2,3
1000
1000
 x  3,50.
Logo, se y é o preço da gasolina pura após o aumento,
então
Os triângulos CDE, FBG e GHC são semelhantes por
AA. Logo, temos
CD
FB

DE
10
3

8 BG
BG
12
 BG 
m.
5

13
m. Além disso, aplicando o Teorema
5
de Pitágoras no triângulo CDE, encontramos
Donde vem GC 
CE  109 m.
Finalmente, da semelhança dos triângulos CDE e GHC,
segue que
13
GH


 5
10
CD CE
109
GH
GC
26 109
 GH 
m.
109
Resposta da questão 19:
[C]
É fácil ver que os triângulos retângulos AME, BNF, CPG
730
270
y
 2,3  3,2  730y  3200  621
1000
1000
 y  R$ 3,53.
Resposta da questão 21:
[B]
Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n,
então a  nx  r e b  ny  r, com x sendo o quociente
da divisão de a por n, y sendo o quociente da divisão de
b por n e r o resto comum. Logo, segue que
a  b  n(x  y) e, portanto, a  b é múltiplo de n.
Sejam a  7, b  4 e n  3. Tem-se que 7  4  3 é
múltiplo de 3. Porém, nem 7 e nem 4 são múltiplos de
3.
Sejam a  2, b  3 e n  6. É claro que 2  3  6 é
múltiplo de 6. Contudo, nem 2 e nem 3 são múltiplos
de 6.
Se d  mdc(a, b), então a  d  r e b  d  s, em que r e
s são inteiros positivos. Além disso, lembrando que
mmc(p, q)  mdc(p, q)  p  q, com p e q sendo inteiros
positivos, temos
d  m  a  b  d  m  (d  r)  (d  s)
 m  (r  s)  d
 m  k  d, k   .
Portanto, m é múltiplo de d.
Resposta da questão 22:
[C]
Desde que x 
1
 3, temos
x
2
1
1

2
2
x  x   3  x  2 2  9


x
1
 x2 
 7.
x2
Em consequência, impondo y  0 na equação da reta r,
 10 
vem S  , 0  .
 3

Portanto,
Logo, segue que
9
6 2
3
4x  2x y  4x  2y
6
3 2
8x  4x y
2


6
3
2
3
2
2x (2x  y )  2(2x  y )
4x3 (2x3  y 2 )
(2x3  y 2 )(2x 6  2)
4x3 (2x3  y 2 )
1 3 1 
x  3 
2
x 
1
1 
1 
  x    x2  1 

2
x 
x2 
1
 36
2
 9.

Resposta da questão 23:
[B]
Como P e Q pertencem à circunferência, vem
32  y 2  10  y  1.
Daí, podemos tomar P(3, 1) e Q(3,  1).
É fácil ver que o coeficiente angular da reta OP é igual a
1
. Logo, como r  OP, segue-se que a equação da reta r
3
é
(OPSQ)  2  (OPS)
1 10
 2 
1
2 3
10

.
3
Resposta da questão 24:
[E]
Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes
por AA, vem
CD
CE

BD
AE
CD
4

CD  3 5
 CD  12.

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
ACE, encontramos
2
2
2
2
AC  AE  CE  AC  52  152
 AC  5 10.
Resposta da questão 25:
[C]
Seja i a taxa de juros no terceiro mês. Logo,
22000
21420
 i  1,027  1
 i  0,027.
20000  1,02  1,05  (1  i)  22000  1  i 
y  1  3(x  3)  y  3x  10.
Portanto, a taxa mínima no terceiro mês deve ser de
aproximadamente 3%.
Resposta da questão 26:
[D]
Sejam c, p e t, respectivamente, o número de músicas
clássicas, o número de músicas populares e o total de
músicas. Como c  0,4t e p  0,6t, vem
5  0,4t  4  0,6t  220  t  50.
Em consequência, o resultado pedido é 0,6  50  30.
Resposta da questão 27:
[A]
Pessoas casadas: 180 – 45 = 135
Pessoas casadas sem filho: 135 – 99 = 36
Pessoas não casadas e sem filho: 49 – 36 = 13
Resposta da questão 28:
[C]
Considerando n a quantidade de depósitos, temos:
n  n  1
Primeiro irmão: 1  2  3  4 

Segundo irmão: 10  10  10 
  10n
2
Igualando as duas expressões, temos:
n  n  1
2
 10n  n2  19n  0  n  não convém  ou n  19
Portanto, no final do período cada irmão, obteve
10  19  R$190,00.
Resposta da questão 29:
[E]
20% de a = 30% de b  a  1,5  b
20% de c = 70% de b  c  3,5  b , logo,
10% de (a + b + c) = 0,6b
Porcentagem em relação à a:
0,6b  0,6b  0,4  40%.
a
1,5b
Resposta da questão 30:
[B]
Calculando o primeiro elemento da PA de acordo com os
dados do enunciado, tem-se:
an  a1  (n  1)  r
a10  94
n  10
r6
94  a1  (10  1)  6  a1  40
Ao final de 10 anos, o número de exames por imagem
aumentou de 40 milhões por ano para 94 milhões por ano.
Isso representa um aumento de:
94  40 54

 1,35  135%
40
40