Aula #01
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COMPUTAÇÃO GRÁFICA PÁGINA 1/5 PROF. JÚLIO C. KLAFKE Aula #02 RASTERIZAÇÃO DE LINHAS Vimos como transformar as coordenadas reais de um ponto nas coordenadas de um pixel no interior de uma janela de visualização (mapeamento window-to-viewport). Não devemos nos esquecer que esse mapeamento converte tanto pontos do SRU em pixels do SRD como o contrário, ou seja, dado um pixel no SRD calcula-se o ponto no SRU. Desta vez, vamos ligar dois pixels para obtermos uma linha reta. A motivação é simples. Em vez de mapearmos do SRU para o SRD cada ponto de uma aresta que liga dois vértices, mapeamos apenas os vértices (não esquecendo de efetuar o recorte, se necessário) e completamos as arestas com um algoritmo que considere apenas os pixels do SRD. Sejam XRi e YRi as coordenadas de um ponto inicial Pi e XRf e YRf as coordenadas de um ponto Pf, final, ambos pertencentes ao R2 (logo, ao SRU). A equação da reta que passa por Pi e Pf é dada por: y = mx + b (figura 1) Pf YRf y Pi YRi x =m +b Y = YRf - YRi m = Y/ X b = YRi - m.XRi Tan() = m X = XRf - XRi b XRi XRf figura 1. Elementos da Reta que passa por dois pontos dados (Pi, Pf) É claro que, em um primeiro momento, precisamos transformar as coordenadas dos pontos Pi e Pf em coordenadas da janela de visualização (viewport) em pixels. Para tanto, procedemos como na aula anterior. Na maioria dos casos, contudo, já temos os pontos Pi e Pf em pixels. Por exemplo: Em um programa de desenho tipo PaintBrush, na ferramenta "linha", pressionamos o botão do mouse para indicar o pixel inicial (Pi). Em seguida, arrastamos o ponteiro através da tela com o botão do mouse pressionado e soltamos, indicando o ponto final (Pf). Neste caso, observe, não houve necessidade de transformação de pontos reais em pixels. No entanto, em programas como CAD/CAM ou programas que desenha gráficos (Excel, Grapher, etc...), o mapeamento window-toviewport dos pontos Pi e Pf são necessárias. No entanto, seja em um caso ou no outro, o PREENCHIMENTO do espaço entre os pontos pode ser feito mais eficientemente calculando-se apenas os pixels que devem ser ativados mais próximos da reta teórica. A RASTERIZAÇÃO DE LINHAS é, portanto, efetuada no espaço dos pixels, através de um algoritmo que ligue os dois pontos dados, Pi e Pf. Há vários algoritmos para esse fim. O mais simples pertence a categoria chamada DDA (Digital Differencial Analizer) [veja http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_Differential_Analyzer_(graphics_algorithm)] REVISÃO: 10.03.2010 (UNIP - J.C.KLAFKE) COMPUTAÇÃO GRÁFICA PÁGINA 2/5 PROF. JÚLIO C. KLAFKE Basicamente, os DDAs são ALGORITMOS INCREMENTAIS que se utilizam diretamente da definição de reta dada por sua equação: y = mx +b. Algoritmos incrementais são aqueles em que uma das variáveis é obtida apenas incrementando o seu valor, por exemplo X = X + 1, e a outra é calculada por alguma regra a partir da primeira. Vamos ligar os pontos (pixels) (XPi, YPi) e (XPf, YPf)... Primeiro calculamos os parâmetros da reta e inicializamos variáveis: n = XPf-XPi m = (YPf-YPi)/n X0 = XPi Y0 = YPi Observe que "n" é o número de colunas de pixels entre Pi e Pf e que Y0 também pode ser entendido como Y0 = m*X0 + b. Em seguida incrementamos sucessivos Xs e calculamos os Ys correspondentes pela definição da reta: X1 = X0 + 1 Y1 = m.X1 + b = m*(X0+1) + b = m*X0 + m + b = m*X0 + b + m Y1 = Y0 + m Continuando (faça as contas!)... X2 = X1 + 1 X2 = X0 + 2 Y2 = Y0 + 2*m X3 = X0 + 3 Y3 = Y0 + 3*m ... Por indução, obtemos uma expressão geral para o j-ésimo ponto: Xj = X0 + j Yj = Y0 + j*m O último ponto será o ponto n Xn = X0 + n Yn = Y0 + n*m ~ YPf Observe que Yn ~ YPf porque o resultado da expressão n*m é truncado (ou, se preferir, arredondado), introduzindo um pequeno erro que pode ser de até um pixel. Os pontos fracos nos algoritmos DDAs são o uso da ARITMÉTICA REAL e uma pequena imprecisão por ERROS DE ARREDONDAMENTO. Além dessas desvantagens, que são bastante indesejáveis, o algoritmo apresenta uma restrição importante: ele funciona apenas para retas onde |m| 1, ou seja, retas com inclinações entre -45° e 45°. Para obtermos corretamente as demais inclinações, devemos lançar mão de SIMETRIAS. Por exemplo, podemos dividir o plano cartesiano em oito fatias, ou OCTANTES. Para cada um deles as retas assumem direções diferentes. O algoritmo descrito foi pensado para servir no PRIMEIRO OCTANTE, mas funciona também no OITAVO OCTANTE. Com uma pequena modificação pode-se facilmente estendê-lo para os QUARTO e QUINTO OCTANTES (pense em como isso pode ser feito!). Os demais também podem ser obtidos a partir dessas extensões transpondo as variáveis X Y. REVISÃO: 10.03.2010 (UNIP - J.C.KLAFKE) COMPUTAÇÃO GRÁFICA PÁGINA 3/5 PROF. JÚLIO C. KLAFKE ALGORITMO DE BRESEHAM PARA SEGMENTOS DE RETAS Outra família de Algoritmos é formada pelos ALGORITMO DE BRESENHAM e ALGORITMO DO PONTO MÉDIO1 Esses algoritmos não usam diretamente a definição da reta, mas sim as DIFERENÇAS, ou as distâncias (erro) entre os pixels adjacentes à reta desejada. Como nos DDAs, são algoritmos incrementais. Entretanto, diferentemente, ambas as variáveis são incrementadas de uma quantidade inteira. Assim, para cada X = X + 1 o valor de Y é decidido pelo algoritmo incrementando-se ou não em função de alguns testes de diferenças. Ou seja, faz-se Y = Y ou Y = Y + 1 conforme o caso. Procure na Internet algum site onde o algoritmo de Bresenham é obtido para mais informação de como é seu desenvolvimento matemático. Detalhe, Jack Bresenham trabalhava na IBM na década de 1960 quando desenvolveu esses algoritmos para rasterização de linhas e curvas O algoritmo de Bresenham baseia-se no argumento de que um segmento de reta, ao ser plotado, deve ser contínuo, ou melhor, os pixels que compõem um segmento de reta devem ser vizinhos. Uma vez que o algoritmo também é pensado para o PRIMEIRO OCTANTE, discutiremos o caso de 0m1 Aqui, o ponto de partida é a seguinte pergunta: se 0 m 1, e dado um ponto de um segmento de reta (x,y) o próximo pixel a ser pintado será o (x+1, y) ou o (x+1, y+1) ? O algoritmo de Breseham responde esta questão calculando uma variável de teste (p no algoritmo dado abaixo) para cada pixel, e passando para o pixel seguinte, até alcançar o último pixel do segmento de reta (c.f. figura 2). y+2 ? y+1 s t y ? x x+1 x+2 x+3… Figura 2: Algoritmo de Bresenham (Coordenadas Lógicas) Vejamos como podemos descrever o algoritmo de Bresenham... Parâmetros de entrada: (x1,y1) e (x2,y2) (pontos inicial e final do segmento de reta) 1. Calcula-se x x2 - x1 e y y2 - y1. 2. Coloca-se nas variáveis de trabalho o ponto inicial: x x1 e y y1 3. Calcula-se o parâmetro de decisão: p 2y - x 4. Plota-se o ponto (x,y). 5. Se p for negativo (isto é, se p < 0) então: xx+1 , p p + 2y e passa-se para o passo 7. 6. Se p for positivo ou zero então: xx+1 , yy+1 e p p + 2y - 2x 7. Repete-se os passos 4 a 6 até que o ponto (x2,y2) seja alcançado. 1 Há uma pequena confusão de nomenclatura nas diferentes referências. Ambos algoritmos, Bresenham e Ponto Médio, são, frequentemente, tidos como a mesma coisa, pois geram os mesmos pixels. REVISÃO: 10.03.2010 (UNIP - J.C.KLAFKE) COMPUTAÇÃO GRÁFICA PÁGINA 4/5 PROF. JÚLIO C. KLAFKE Note que também o algoritmo de Bresenham (e o algoritmo do ponto médio) só calcula linhas que estejam entre 0 - 45°, ou seja, se 0 m 1, primeiro OCTANTE. As alterações necessárias para estender o algoritmo para os demais octantes não parecem tão triviais quando no caso do DDA. O emprego de SIMETRIAS é muito comum nos algoritmos de rasterização de primitivas. Os casos especiais y=0, x=0 ou x = y) também devem ser considerados com o objetivo de otimização. A principal desvantagens do algoritmo de Bresenham é sua implementação, o que é completamente irrelevante no contexto da relação programador x usuário. Um bom programador é aquele que procura implementar bons algoritmos, ou seja, algoritmos com máxima eficiência. Já o usuário espera um resultado limpo e preciso, que é o que o algoritmo de Bresenham oferece, ao contrário do DDA. Como vantagens altamente desejáveis do algoritmo de Bresenham podemos citar: o uso de aritmética inteira, o que o torna rápido na execução e mais facilmente tratável em nível de linguagem de máquina, e preciso, ou seja, ele rigorosamente começa no pixel inicial e termina no pixel final, possibilitando uma concatenação limpa de polilinhas, sem superposições e duplicação de pixels. EXERCÍCIOS 1. Pesquise o termo RASTERIZAÇÃO e escreva uma definição para o mesmo usando suas próprias palavras. 2. Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A = (0.5, 1.5) e B = (2.0, 3.5). Quais os valores dos coeficientes linear e angular da mesma? 3. Ao traçarmos a ARESTA (segmento de reta) entre dois VÉRTICES (pontos) A e B, apenas o segmento A'B' que encontra-se no interior da window deve ser representado (o clipping na figura 3, ao lado). Pense no caso mais simples onde só o vértice A encontra-se no exterior da window (ou seja, o segmento de reta representável é o A'B). Ache as coordenadas do ponto A' para o caso em que A = (0.5, 1.5), B = (2.5, 2.5) e uma window limitada por (1.0, 1.0) - (3.0, 3.0). SRU B YRMAX B' A A' window YRMIN XRMIN XRMAX 3.. Faça uma pesquisa sobre RECORTE (clipping) na computação gráfica e escreva uma definição sumária usando suas próprias palavras. Liste os principais algoritmos, destacando suas vantagens e desvantagens. Sugestão inicial: <http://en.wikipedia.org/wiki/Line_clipping> 4. Desenhe uma grade quadriculada de 10 x 10 quadrados. Esse será o seu gabarito para a matriz de pixels de um dispositivo matricial gráfico hipotético. Considere coordenadas lógicas do dispositivo, com o pixel de coordenadas (0, 0) no canto inferior esquerdo e o pixel de coordenadas (9, 9) no canto superior direito. a) Assinale os pixels (vértices) de coordenadas A = (0, 5), B = (7, 8) e C = (4, 0). b) Ligue os vértices ABC de (a) com um linhas retas simples partindo do centro geométrico de cada quadrado (pixel). Use uma régua. c) Intuitivamente, preencha os pixels (quadrados) que você acha que melhor representam as linhas assinaladas em (b). 5. Escreva (e não copie de uma outra fonte qualquer) um pseudocódigo para o algoritmo DDA descrito no texto considerando as alterações necessárias para que ele trace linhas em todas as direções, inclusive linhas verticais e teste-o, comparando seus resultados com os pixels assinalados por você na questão 4(c) REVISÃO: 10.03.2010 (UNIP - J.C.KLAFKE) COMPUTAÇÃO GRÁFICA PROF. JÚLIO C. KLAFKE PÁGINA 5/5 6. Teste o algoritmo de Bresenham para rasterização de linhas, como descrito no texto, comparando seus resultados com os pixels assinalados por você na questão 4(c) e 5 7. Um efeito indesejável que resulta do processo de discretização dos pixels no traçado de linhas é o efeito de SERRILHAMENTO (o termo em inglês é aliasing, embora aliasing não se traduza como serrilhamento). Para atenuá-lo, ou eliminá-lo, devemos lançar mão de técnicas de ANTI-SERRILHAMENTO (anti-aliasing, ou AA). A técnica mais simples é a da super amostragem (supersampling). Pesquise sobre essa técnica (que possui várias formas de implementação) e tente explicá-la, resumidademente, usando suas próprias palavras. 8. Uma forma muito simples de se tentar minimizar o efeito de serrilhamento pode ser obtida acendendo ambos os pixel, y e y + 1, com tons intermediários. No algoritmo DDA, por exemplo, podemos optar por arredondar o incremento j*m. Neste caso, o valor truncado poderia ser pintado com uma tonalidade mais clara. Para garantir que a cor da reta seja preservada, devemos primeiro pintar o pixel mais claro e depois pintamos o pixel correto com o tom desejado. Implemente um algoritmo para testar essa idéia e observe o resultado (ou use-a com o exemplo da questão 5). Como essa mesma idéia poderia ser implementada com o algoritmo de Bresenham? REVISÃO: 10.03.2010 (UNIP - J.C.KLAFKE)
