As Transformações de Lorentz

Paulo Vargas Moniz
Lição 5
As Transformações de Lorentz
Estrutura Pedagógica
Apresentação:
Com esta lição vamos iniciar uma análise detalhada de consequências dos
postulados de A. Einstein. Noomeadamente, no tocante às transformações de
coordenadas espacio-temporais respeitantes a eventos registados em dois RI em
movimento relativo. Em particular, vamos derivar as transformações de Lorentz
que substiuirão as de Galileo como o caso mais abrangente. Também iremos
depois derivar como quantidades e conceitos derivados como velocidade e
aceleração são alteradas no contexto da TRR.
Questões Centrais:
Os postulados da TRR vão afectar o modo como quantidades espaciais e temporais
(e outros conceitos derivados) se relacionam entre RI em movimento relativo. Em
particular, é importante determinar
 Como é que coordenadas espacio-temporais de eventos se relacionam no
contexto da TRR?
 Como é que registos de velocidade e aceleração se relacionam no quadro da
TRR?
Estrutura da Lição:
Esta lição terá inicialmente uma estrutura “sequencial”. Iniciaremos com a
determinação explicita da relação entre coordenadas espacio-temporais de eventos,
para dois RI em movimento relativo. Posteriormente, utilizando resultados obtidos
préviamente especificamos como registos de velocidade e aceleração se
relacionam.
38
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
Sumário da lição:
Em termos mais sucintos, iremos:
 Estabelecer a forma analitica das transformações de coordenadas (designadas
de Transformações de Lorentz) entre dois RI, que permitam relacionar eventos
quando Vrelativa ~ c;
 Utilizar transformações de Lorentz e determinar como registos de velocidade e
aceleração se relacionam para 2 RI em movimento relativo no quadro da TRR.
Objectivos Didácticos:
No fim da lição, ao aluno deverá ser possivel:

Poder derivar e estabelecer as transformações de Lorentz;

Constatar como conceitos de espaço e tempo ficam interligados;

Compreender a transformação de velocidades em TRR, e como tal é autoconsistente com a velocidade da luz ser invariante para RI em movimento relativo;

Compreender a transformação de acelerações em TRR e as implicações no
contexto da mecânica, em particular no caso da descrição Newtoniana;
O
objectivo das transformações de Lorentz é o de permitir uma relação da
descrição de eventos entre 2 RI, especificando as coordenadas desses eventos.
Em particular, estabelecendo uma relação entre coordenadas (e observáveis) de um
ponto de vista operacional.
Sejam então 2 RI, S e S', tais que
(i) S' se move na direcção positiva do eixos dos xx com velocidade u em relação a S;
(ii) Relógios inerciais nos 2 referencias são iniciados quando origem de S e S' (e
eixos) coincidem em O=O' com t=t'=0;
(iii) Eventos em S são registados através de (x,y,z,t) e em S' com (x',y',z',t').
39
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A transformação de coordenadas mais geral e linear entre 2 referenciais para um
mesmo evento é1
x   a11 x  a12 y  a13 z  a14 t
(1.34a)
y   a 21 x  a 22 y  a 23 z  a 24 t
(1.34b)
z   a 31 x  a 32 y  a 33 z  a 34 t
(1.34c)
t   a 41 x  a 42 y  a 43 z  a 44 t
(1.34d)
A linearidade é uma consequência da
homogeneidade do espaço e também do 1o
postulado.
A
dicionalmente,
a
forma
dos
coeficientes (matriciais) aij podem ser
determinados dos postulados de Einstein, a
partir de
considerações e argumentos
simples de simetria.
O primeiro postulado implica que distâncias
perpendiculares não são alteradas. I.e.,
toma-se y = y’ e z= z’ o que implica a22 =
a33 = 1 e a2i = 0 ( i  2 ) e a3j = 0 ( j  3 ).
Comentário: Se as transformações não
forem linerares, então comprimentos e
intervalos de tempo dependeriam da
escolha de origem dos referenciais (eixos
coordenados). Isso seria inaceitável, pois
leis da física não podem depender de
coordenadas númericas arbitrarias de um
referencial de coordenadas arbitrário.
Alem disso, se dois referencais são
inerciais, então se S regista um objecto
com equação do movimento uniforme
(e.g., x = vt) então S' também tem que
registar um movimento uniforme para
esse objecto: uma transformação não
linear inviabilizaria isso, i.e., opõe-se ao
principio da relatividade (1o postulado).
Há varias formas de justificar este resultado,
que enuncia que distancias perpendiculares
ao movimento no referencial em movimento não são alteradas quando medidas em
referencial do observador.
 Uma, talvez menos rigorosa, é afirmar que movimento não se faz na direcção dos
yy e zz e por isso não ocorrerão alterações - só se espera que ocorram relativamente
ao eixo dos xx onde estado de movimento, junto com invariancia de c, pode levar a
situações não antevistas. (i.e., simetria do problema assim sugere).
 Outro, envolve o seguinte argumento.
Suponhamos que referenciais S e S' movem-se lado a lado ao longo do eixo dos xx.
Entre eles há uma placa (ficticia) de vidro, localizada de forma equidistante.
Suponhamos um pincel segurado (em S) perpendicularmente à direcção do
movimento e ao eixo dos yy (i.e., perpendicular ao vidro, estando este orientado ao
longo de zz), o qual tem tinta vermelha e assim risca o vidro. Equivalentemente,
tambem há um outro pincel em S' mas com cor azul. Se S vê S' pintar azul abaixo
de vermelho (i.e., comprimentos na perpendicular em S' alterado), então com
1
A transformação também deve ser simétrica. I.e., as mesmas regras que especificam a transformação
de S para S´ devem ser aplicadas quando se considerar a transformação de S´ para S.As equações devem
permanecer válidas se trocarmos S por S´ e u por – u.
40
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
principio da relatividade (1o postulado) S' veria S pintar vermelho abaixo de linha
azul. Ora, as duas linhas não podem estar uma abaixo da outra. A conclusão, nesta
prova por absurso, é que elas coincidem, i.e., z = z’ e y = y’.
Note-se iremos também re-derivar consequências dos Postulados da TRR sem recurso
às transformações de Lorentz e teremos oportunidade de re-analisar este assunto.
O
utras implicações do primeiro postulado (note-se que perfeitamente adequado
dentro de mecânica Newtoniana) é que eq. (1.34d) tem que ser invariante para
transformações y   y e z   z o que implica que a42 = a43 = 0.
Esta simetria rotacional faz sentido pois implica que medição do tempo não deve
depender da orientação em que evento ocorre no eixo dos xx.
S
eja o movimento de origem de S', O'. Como os relógios de S e S' foram
sincronizados em t = t' = 0, quando O = O', então a coordenada de O' é dada por x
= ut em S e x' = 0 em S'. Isso implica de (1.34a)
0  a11 ut  a12 y  a13 z  a14 t  a12  a13  0; a11u  a14
(i.e., se pusessemos t = 0, então para que a12y + a13z = 0 fosse válido para qualquer
valor de y e z isso implica que a12 = a13 = 0).
T
oda a informação acima recolhida resulta em que
x   a11 ( x  ut )
(1.35a)
y  y
(1.35b)
z  z
(1.35c)
t   a 41 x  a 44 t
(1.35d)
Estas equações são consistentes com mecânica Newtoniana e transformações de
Galileo se a11 = a44 = 1 e a41 = 0. Só que até este ponto só invocamos o Primeiro
Postulado de Einstein: O principio da relatividade de Galileo extendido a todos os
fenómenos naturais.
Introduzamos então agora o 2o postulado de Einstein: cada observador (RI) mede
exactamente o mesmo valor para a velocidade da luz.
41
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S
uponhamos que em t=t'=0 (quando referenciais coincidem) é emitido e accionada
uma fonte de radiação (ondas electromagneticas) de luz. Então:
(a) Observador em S, em tempo t qualquer
posterior, mede e regista uma frente de onda
esférica, movendo-se desde a origem com
velocidade c satisfazendo
x 2  y 2  z 2  (ct ) 2
Comentário: Em transformações de
Galileo assumimos que todos relógios
em ambos RI são postos em zero
quando O e O’ coincidem. Mas como
veremos na lição seguinte, o conceito
de sincronização em TRR implica que
tal deixa de ser consistente:
sincronização permanece em S mas
deixa de o estar em relação a S’. E
reciprocamente. No entanto, 2
relógios em movimento relativo
podem ser colocados a registar o
mesmo quando na mesma localização
espacial.
(1.36a)
(b) Similarmente para S', que regista essa
mesma onda com raio ct', movendo-se desde
origem O'
x  2  y  2  z  2  (ct ) 2
(1.36b)
O que resta fazer é inserir eq. (1.35a)-(1.35d)
em (1.36b) e comparar, termo a termo, com (1.36a). O resultado é
1
a11  a 44 
1
u2
c2
; a 41  
u a11
c2
i.e.,
x  ut
x 
u2
1 2
c
(1.37a)
y  y
(1.37b)
z  z
(1.37c)
x
c2
t 
u2
1 2
c
(1.37d)
t u
42
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
Nota: Estas transformações foram obtidas para
o caso de movimento relativo ao longo do eixo
dos xx.
O factor
 
1
u2
1 2
c
(1.38)
é designado de factor de Lorentz. A
importancia de efeitos relativistas com respeito a u (e assim comparando com
mecânica Newtoniana) está presente na figura junta.
Como se pode constatar, os efeitos relativistas diferem de 1% da mecânica
Newtoniana (i.e.,   101
. ) quando u/c = 1/7, e 10% quando u/c = 5/12. No caso de
observações correspondentes a u << c, as transformações de Lorentz devem reduzirse satisfatóriamente à formulação Newtoniana. Em particular, quando u c  0 , o que
será um similar requerimento de consistência para todas outras formulas relativistas.
Analisaremos este aspecto adiante nesta lição.
A
s transformações inversas de Lorentz (ou LLV) podem ser obtidas de novo de
forma algébrica ou trocando x  x , y  y , z  z , t  t , u  u , vindo
x
x  u t 
u2
1 2
c
(1.39a)
y  y
(1.39b)
z  z
(1.39c)
ux 
c2
t
u2
1 2
c
(1.39d)
t 
As transformações de Lorentz constituem pois um aspecto fundamental da TRR2.
Básicamente, permitem extrair uma variedade de aplicações surpreendentes e fora do
quotodiano usual, como constataremos nesta lição e seguintes. Em particular,
salientemos o seguinte:
2
As transformações de Lorentz podem também ser obtidas por outros métodos. Em particular, fazendo
uso de consequências directas dos Postulados de A. Einstein para a TRR, como é o caso de fenómenos
de contração de comprimentos e dilatação de tempos (ver lições 7 e 8).
43
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
A inter-conexão do papel de espaço e de tempo é agora mais evidente. Se
tomarmos ct (em vez de t) como variavel temporal, obtemos as transformações de
Lorentz na forma
u


x     x  (ct ) 
c


u


t     ct  ( x) 
c


demonstrando um simetria entre espaço e tempo. No contexto da Teoria da
Relatividade Restrita a evolução natural tem pois lugar em 4 dimensões (reais e
não meramente auxiliares).

Note-se igualmente que a velocidade da da luz tem igual valor em qualquer RI. Se
x = c t em S para impulsos de luz, então pelas transformações de Lorentz vem
também que


 ( x   ut )  c  t  

ux  
  x   ct 
c2 
É também fundamental que as transformações de Lorentz se reduzam às
transformações de Galileo quando u << c. Neste sentido, já mencionámos que
  1 quando u c  0 . No entanto, note-se que  (ver expressão (1.38)) se
expande3
1u
2c
2
3u 
8 c 
4
  1        ...
pelo que em primeira aproximação se
u
 1,   1. Nesta situação as
c
transformações de Lorentz reduzem-se a
x   x  ut
u
t  t  2 x
c
3
Usando 1  x   1  nx 
com
n
x
n(n  1) 2
x  ... que converge quando n não é inteiro positivo e x<1,
2
1
u2
e n .
2
c
44
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
u
x . Se
c2
considerarmos que as quantidades relevantes são os intervalos entre coordenadas
espacio-temporais (i.e., dx e dt) correspondentes a eventos, então temos
u dx
 u dx 
 1, i.e., sr também tivermos que
dt   dt 1 
 . Obtem-se dt´=dt se
c cdt
 c cdt 
dx << cdt. Para eventos associados com movimento de um objecto esta condição
representa que velocidade do objecto tem que ser muito inferior à da luz, o que
recai no limite não-relativista que temos vindo a mencionar4.
que não corresponde às transformações de Galileo devido ao termo 
D
ado que intervalos de espaço e tempo são medidos de forma diferente por
diferentes observadores em movimento relativo, isso implicara que as
velocidades também serão registados de forma diferente em relação à mecânica
Newtoniana. As equações de transformação de velocidades podem ser facilmente
extraidas das transformações de Lorentz (1.37a-d) se as escrevermos em termos de
diferenciais:
dx    (dx  udt )
(1.40a)
dy   dy; dz   dz
(1.40b)
udx 

dt     dt  2 

c 
(1.40c)
donde se retira que (usando v x  dx dt e similarmente para vy e vz)
v x 
v y 
v z 
v u
dx  dx  udt

 x
udx
u
dt 
dt  2
1  vx 2
c
c
dy 

dt 
vy
u

 1  v x 2 

c 
vz
u

 1  v x 2 

c 
(1.41a)
(1.41b)
(1.41c)
4
No entanto, se dx e dt correspondem a eventos quase simultâneos (ver lição seguinte) muito afastados,
a condição dx << cdt pode não ser satisfeita. A descrição terá queser feita no contexto da TRR, mesmo
que RI se movam com velocidade relativa entre si muito inferior à da luz.
45
Paulo Vargas Moniz
A transformação inversa pode ser
obtida ou algebricamente ou mudando
e
também
u  u
v x  v x , v x  v x , v y  v y , v z  v z :
v  u
vx  x
u
1  v x 2
c
vy 
vz 
v y
u

  1  v x 2 

c 
v z
u

  1  v x 2 

c 
(1.42a)
(1.42b)
vu
v  u
; v
u
u
1 v 2
1 v 2
c
c
(1.43)
e para v = c, obtemos v’ = c. I.e.,
velocidade da luz no vácuo é invariante
em todos RI, como deveria ser em
consistencia com dois postulados de A.
Einstein.
D
as expressões para as transformações de velocidades vamos
de seguida extrair a descrição
quantitativa
do
fenómeno
de
“lanterna5”. Esrte efeito tem um papel
importante em Física, associado à
radiação de sincrotão, emitida por
cargas
electricas
aceleradas
até
velocidades próximas de c. Este efeito é
particularmente
relevante
em
Astrofísica, no caso de estrelas de
neutrões (pulsars) onde um forte campo
magnético está presente, assim como no
núcleo de galáxias activas.
5
Para verificarmos qua assim é seja u a
velocidade relativa entre S e S’, v a
velocidade de objecto em S e v’ a velocidade
correspondente em S’. Assumamos que v’>0
e u>0. Se v’<c e u<c então defininamos
B=u/c e   v c ,    v  c . Adicionalmente, seja
   1   ,B  1  k ;  , k  0;  k  1 .
Da segunda expressão em (1.43) obtemos
que
(1.42c)
No caso simples de vy = 0 e vz = 0, vem
sómente que
v 
Comentário: Se um corpo se move com
velocidade inferior à da luz em RI S,
também assim se move noutro RI.

2k
2k k
Como numerador e denominador são
positivos e denominador é superior ao
numerador, conclui-se que   1 .
Por outro lado, se corpo se move com
velocidade maior que c em S, tal também o
será em S': c é a barreira limite. Como
veremos, um corpo material nunca pode
alcançar velocidade da luz se inicialmente
com v<c. Mas não é estritamente correcto
dizer que efeitos supraluminosos não têm
existencia.
Comentário: As transformações de
velocidades em TRR podem ser analisadas
do ponto de vista seguinte, reforçando o
conteudo do 1º Postulado. Consideremos
objecto que se move com velocidade v na
direcção de eixo dos xx em S, com equação
x = vt. Usando transformações de Lorentz
para converter em coordenadas de S´, vem
x 
vu
t  . Note-se que também é um
vu
1 2
c
movimento uniforme e rectilineo, como
seria de esperar, pois x´ é proporcional a
t´.Ora de v´=x´/t´ vem v  
vu
.
vu
1 2
c
Do Inglês “headlight”.
46
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
Seja então um RI S´, onde na sua origem O´ se encontra situado uma fonte de luz
monocromática. A fonte de luz (e S´ também) move-se com velocidade u em relação a
S, ao longo do eixo positivo dos xx. Consideremos um sinal luminoso particular em
S´, que é emitido no plano x´y´ e numa direcção fazendo um angulo   com x´x´. As
componentes da velocidade desse sinal de luz (descrevendo um raio luminoso) são,
em S´,
v x  c cos  
v y  c sin  
v z  0
(1.44a)
Como é que esse raio luminoso (ou qualquer outro) é registado em S?
Obviamente que também será registado como um raio luminoso, i.e., um movimento
uniforme com
v x  c cos 
v y  c sin  ,
vz  0
(1.44b)
onde  é a inclinação do trajecto do raio luminoso com o eixo dos xx em S. A única
alteração possivel é ser     . Vejamos se assim é e como.
Usando a transformação inversa de velocidades6 (1.42a-c) vem
6
Se quisermos derivar como a direcção de movimento uniforme (qualquer) se relaciona entre RI, então
em (1.44a), (1.44b) substituimos c por v. Usando a transformação de velocidades vem que se obtem
tan   
 v sin   u 
.
v cos
47
Paulo Vargas Moniz
c cos   u
u
1  cos 
c
c sin  
.
vy 
 u

 1  cos  
 c

vz  0
vx 
(1.45)
De (1.45) obtemos que
tan  
vx
sin  

u
vy

  cos   
c

(1.46a)
e também que
sin  
sin  
.
 u

 1  cos  
 c

(1.46b)
Com   1, u  0 e para angulos    90 o vem que sin   sin       . I.e., se ao
invés de considerarmos um raio luminoso particular mas um feixe de raios luminosos
em S´ compreendidos numa região de um plano formando angulos de   a -   , esse
feixe será mais estreito em S: os raios luminosos estão contidos entre  e -  com
 <  .
Seja em particular o caso de fonte luminosa em
S´ que emite igualmente em todas as direcções,
tal que metade da luz é emitida no hemisfério
onde x´x´ é positivo. Para um raio de luz com
   90 o , i.e., v x  v z  0; v y  c vem que em S
se tem
vx  u
vy  c

vz  0
Comentário: As expressões
(1.46a-b) também permitem
analisar o efeito de aberração
estelar relativista. I.e., o efeito
devido ao movimento da Terra
que determina que telescópio
tem que estar adequadamente
orientado (ver lição 3). Mas o
efeito é muito pequeno. Para
velocidades da ordem de 100
km/seg e angulo de aberração
20” de arco, a correcção é da
ordem de 10 7 ”de arco!
e o raio de luz em S não viaja perpendicularmente
ao eixo dos xx mas fazendo um angulo dado por
sin  
1

(1.47)
48
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições
Assim, a luz que em S´ era emitida uniformemente em todas as direcções está agora
contida num cone de angulo dado por (1.47). Para u/c com valores de 0.1, 0.6, 0.9 e
0.9999 em S e    90 o , obtemos que  é igual a 84 o , 53o , 26 o ,0.81o ,
respectivamente! A luz está concentrada num cone muito estreito de angulo muito
pequeno, na direcção de objecto emissor e sendo fortemente polarizada7.
N
a sequência do método atràs
apresentado para determinar a
transformação de velocidades no quadro da
TRR, vejamos como é que a aceleração de
um objecto é relacionada entre 2 RI em
movimento relativo com velocidade u ao
longo do eixo dos xx. Relembremos que em
mecânica Newtoniana as transformações de
Galileo (ver (1.20), (1.21)) determinam que
a aceleração é uma quantidade invariante.
Mas no contexto da TRR como será?
Num RI S um objecto tem aceleração dada
por
  dv dv y dv z
a   x ,
,
 dt dt dt



Comentário: Curiosamente, este efeito
é o contrário do que poderiamos
(erradamente)
esperar
de
uma
aplicação ingénua das transformações
de Lorentz. A TRR determina (ver
lição 8) que se dá uma contração na
direcção do movimento, pelo que se
esperaria então que angulo  >   : o
diametro seria menor mas com o
compriemnto reduzido o angulo seria
maior. Mas para um raciocinio
correcto há que considerar que o feixe
não é um objecto a contrair, apenas
descreve como a luz se move num RI.
A única forma de determinar como a
luz se move noutro RI é utilizar a
transformação de velocidades ditada
pela TRR.

enquanto que um RI S´ temos no entanto uma aceleração a  dada por

  dv  dv y dv z 
a   x ,
,
 dt  dt  dt  




A relação entre a  e a é determinada se usarmos


dv x dv x dt d  v x  u
a x 


uv x
dt 
dt  dt
dt 
1 2
c







d   uv x  
  t  2  
dt  
c 
Além deste efeito, também haverá outro – o efeito de Doppler relativista (ver lição 10). Se a luz
emitida em S´ tem comprimento de onda  rep  589 nm (amarelo de sódio) e u = 0.9999c, para
7
  0 vem obsv  4.17 nm
(ultravioleta) e para
  180 o temos que  obsv  8.3  10 4 nm
(infravermelhos).
49
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ao que vem,
3
 u2  2
1  2 
c 
a x  
ax
3
 uv x 
1  2 
c 

(1.48a)
e igualmente que
u2
c2
a y 
2
 uv x 
1  2 
c 

u2
1 2
c
a z 
2
 uv x 
1  2 
c 

1


uv y


2
c a 
ay 
uv x x 

1



c2


,
(1.48b)


uv z


2
c a 
 az 
uv x x 

1



c2


.
(1.48c)
Como se pode verificar, a aceleração já não é um invariante em TRR. Apesar de (e
como seria de esperar consistentemente) que só quando u<<c e v x , v y , v z  c se tem


que a  e a são iguais, as expressões (1.48a-c) mostram como os postulados da TRR
vão alterar a nossa compreensão da natureza. As consequências são várias e algumas
estão presentes nos seguintes comentários:

Se um objecto num RI S se move desde o repouso com movimento uniformente
1
acelerado ao longo do eixo dos xx, a sua posição é dada por x  at 2 (para x=0
2
para t=0). Usando as transformações de Lorentz(1.39a-d) obtemos que
2
1 
u 
x   ut   a  t   2 x   .
2 
c

Mas esta expressão não é nem pode ser transformada algébricamante em algo
como
x  C1t   C2 t  2
onde C1 e C2 são constantes. A aceleração em S´ não é constante, i.e., um
movimento uniformemente acelerado em S vai corresponder a um movimento
com aceleração variavel em S´. Este comentátio leva então ao seguinte.
50
A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Em mecânica Newtoniana, se aceleração é invariante, então a 2ª lei de Newton
(ver lição 1) é covariante (na utilização de transformações de Galileo) se força for
invariante. A situação em TRR é mais complicada: a aceleração jã não é
invariante.
Será então que a 2ª lei de Newton é covariante? O comentário anterior parece
implicar que não. Para o ser, a quantidade F/m dever-se-ia transformar de modo
semelhante a (1.48a-c). Mas isso não ocorre para várias situações fisicas. A 2ª lei
de Newton não é uma lei generalizada da natureza; é apenas o limite para u<<c e
v x , v y , v z  c de uma lei covariante mais geral. Voltaremos a este tópico nas
lições 12 e 13. Mas também aqui se antevê o configurar de uma Teoria da
Relatividade Generalizada.

Em mecânica Newtoniana, um objecto sujeito a uma força constante acelera a uma
taxa constante e pode, em principio, ultrapassar a velocidade da luz. Em TRR, tal
não pode ocorrer. Como veremos nas lições 12 e 13, inicialmente o objecto tem
aceleração dada por F/m mas vai decrescendo até zero, com velocidade
aproximando-se de c mas nunca ultrapassando: tal é devido ao aumento relativista
da massa com a velocidade.
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