Geometria e Natureza

Geometria e Natureza
Rui Pacheco - MPT2013-UBI
Geo (Terra) + Metria (Medida)
Ramo da Matemática que estuda a forma, medida,
estrutura e posição relativa de figuras no espaço
Geometria e Natureza
1) Como a história da Geometria tem sido moldada pelas
formas observadas... na natureza?
2) Como a Geometria tem contribuído para o conhecimento e descoberta das formas “escondidas”?
As formas na geometria euclidiana
A lua cheia tem a forma de uma circunferência
As margens do rio correm paralelamente
Os raios de luz propagam-se em linha recta e as árvores crescem perpendicularmente ao solo
Os Elementos de Euclides (IV a.C.- III a.C.)
1) Apresentam uma vasta colecção de resultados geométricos conhecidos à data.
2) Estabelecem o paradigma axiomático-dedutivo que
viria a marcar, ao longo dos tempos e até hoje, o
desenvolvimento da Matemática.
Porque a nossa intuição às vezes engana-nos...
Porque os nossos sentidos às vezes enganam-nos...
• Não significa isto que a Matemática se resuma ao
fastidioso processo de axiomatização e dedução formal
de teoremas – essa é a última etapa!
• A intuição e... uma boa figura são essenciais.
Aplicações da Geometria de Euclides
• Eratóstenes (III a.C.- II a.C.) estimou o raio da Terra
com notável precisão.
• A óptica geométrica.
Latitude de um ponto sobre a superfície terrestre.
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Geometria Projectiva
• A forma percepcionada dos objectos depende do ponto de observação.
Teoria da perspectiva: cada ponto no espaço define
com o ponto de observação uma recta; esta recta intersecta a tela num ponto.
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A forma e o tamanho variam com a posição do plano
de incidência.
A Geometria Projectiva estuda as propriedades que, pelo
contrário, são preservadas quando se varia a posição do
plano de incidência (Girard Desargues 1591-1661).
Secções Cónicas
Teorema de Desargues
Geometria Diferencial
• Curvas na Natureza.
A Ciclóide
É a solução para os problemas da Tautócrona (C. Huygens 1629-1695)
e da Braquistrócrona (J. Bernoulli 1667-1748).
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Pêndulo de Huygens
A evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide
• Superfícies na natureza:
películas de sabão (superfícies mínimas).
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A Geometria Diferencial (C. Gauss 1777-1855) usa
técnicas do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral para
estudar problemas sobre curvas e superfícies
Por exemplo, dados dois pontos sobre uma superfície, qual
é o caminho mais curto (geodésica) sobre a superfície que
une esses dois pontos?
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Vivemos num espaço euclidiano (curvatura nula) tridimensional? A forma como medimos
ângulos e
comprimentos é a mais indicada?
B. Riemann (1826-1866) intuiu a importância de
generalizar a Geometria Diferencial das curvas e
superfícies para espaços ambiente com procedimentos bem
diversos de medição de ângulos e distâncias: a Geometria
Riemanniana.
A Relatividade de Einstein
• Albert Einstein (1879-1955) ensinou-nos que a
relação entre o espaço e o tempo é bem mais subtil do
que julgávamos.
A Relatividade de Einstein
• Vivemos num mundo a quatro dimensões “curvado”
por acção do campo gravítico!
Cristalografia
• Os átomos ou moléculas num cristal organizam-se em
estruturas periódicas.
Cristalografia
Cloreto de Sódio
Imagem por difracção de raio-x
do cloreto de Sódio
E. Fedorov (1853-1919) e A. Schoeflies (1853-1928)
provaram que existem essencialmente 17 padrões periódicos
planares e 219 padrões periódicos espaciais possíveis.
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Um padrão planar periódico.
Quase-Cristalografia
Em 1982, D. Shechtman (Prémio Nobel da Química em
2011) observou padrões de difracção com centros de
simetria de ordem 10.
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Quase-Cristalografia
Tais padrões não podem ser gerados por estruturas periódicas,
e portanto não correspondem a cristais: os quase-cristais.
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Numa estrutura periódica, existe uma distância mínima a
separar quaisquer dois centros de simetria de ordem igual.
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Quase-Cristalografia
Roger Penrose, em 1974, descobriu uma pavimentação
do plano exibindo um (e necessariamente único) centro
de simetria de ordem 5.
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Pavimentação de Penrose
Compreender as estruturas aperiódicas geradas por um
número finito de “peças” e que exibem um grande número
de (quase)simetrias.
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Quase-Cristalografia
Padrões semelhantes podem ser encontrados na arte medieval
islâmica.
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