a excentricidade quase circular da orbita terrestre - TCC On-line

VANDA MARlA DE SOUSA
A EXCENTRICIDADE QUASE CIRCULAR DA ORBIT A TERRESTRE:
UM ESTUDO DA EXCENTRICIDADE DA ELIPSE
Monografta apresentada como requisito parcial
para conclusao do curse de P6s-Gradua~ao em
Educa~ao Matematica,
da Universidade Tuiuli
do Parana
Orientador:
CURITIBA
2002
Prof. Mateus Bemardes
AGRADECI
Pela compreensao
e disposi~ao
M ENTOS
do Professor
Mateus Bernardes
em orientar
este
trabalho.
Em especial,
Colla, pela sua
professor.
aten((ao
quero estender
esta gratidiio ii sua esposa Tayne Graciela
e simpatia que sempre
me atcndeu,
Garcia
nas vezes que liguei a procura
do
SUMARIO
~
.
LlSTA DE FIGURAS ..
I INTRODU<;::Ao..
.
2. ASPECTOS HISTORICOS
2.1 ASTRONOMlA
2
NA GRECIA ANTIGA
2.2 NICOLAU COPERNICO
2
..
.
2
2.3 TYCHO BRAHE ..
2.4 JOHANNES
I
.
KEPLER ....
.
7
3 ASPECTOS MATEMAncos..
.
4 CONCLUsAo...
.
REFERENCIAS BIBLlOGRAFlCAS...
.
iii
4
10
17
18
INTRODU(:Ao
o
conceito de excentricidade na elipse
e, muitas
vezes, tratado de modo
superficial no ensino media. Em geral as tcxtos didaticos de matematica costumam se
fixar mais Ilas equayoes, distancia focal, semi-eixos, etc., deixando
0
conceito de
exccnrricidade como mero exercicio de ca1culo.
Quando se rala em aplicayoes do estudo das c6nicas e, em pmticular, da
elipse, costuma-se eilar as Leis de Kepler para a orbita dos planetas. E
leis terem side estabelecidas foi
LIm
fato destas
0
grande avauyo na hist6ria da astronomia, ja que
uma maior precisao nos dadas astronomicos permite que resultados e aplicayoes mais
complexos possam seT obtidos. t exatamcnte quando se fala na 6rbita dos planctas que
aparece a importfincia do conceito de excentricidade.
No material didatlco de outras disciplinas, tais como Fisica e Gcografia,
as representa90es elipticas da orbita dos planetas (em particular da Terra) costumam
ser "exageradas" de modo a convencer
0
leitor de que a orbita
levar em conta que uma clipse pode ser muito excentrica ou
e, de
POllCO
fato, el.iptica. sem
cxcentrica (e nest'e
ultimo caso sua aparencia se confunde meslllo com a de uma circunfen!ncia).
o
objetivo deste u·abalho
dentro da escala correta, mostranda
modele
isenta aqueles
astronomicas
astronomos
0
e estahelecer
quae
um modelo para a 6rbita da Terra
pouco excentrica ela
da antigtiidade
cram feitas a olho nu, que consideraram
classica,
e.
Ver-se-a que tal
cujas
observayoes
circular a 6rbita tell'estre.
2
2. ASPECTOS
HISTORICOS
2.1 ASTRONOMlA
NA GRECIA ANTIGA
Destaque para Aristarco de Samos (384-322 a.C.), cujo modele propunha
planet as girando em orbitas circulaTes ao redor do sol, ern oposiyao it grande maioria
dos Dutros modelos, Geocentricos (TCIT3 no centro e os outros planelas, inclusive 0
Sol, girando em
Aristoteles) e
0
t0l110
del a), como
pOT
excmplo: Esferas Concenlricas
(Eudoxo e
Sistema Geocenlnco de Ptolomeu.
Sua obra naD foi aceita na Antigtiidade, quase tudo se perdeu, com
excey30 de uma sabre "Tamanho e distancins do Sol e da Lua". Aristarco elaboroll
uma cJassificayao das estrelas quanta ao brilho, estabelecendo
tres "grandezas",
concluiu que elas estao a diferentes distancins cia Terra.
2.2 NlCOLAU
COPERNICO
Copcmico
(1473-1543)
calculou a distancia dos planetas ao Sol no pressuposto de que
eles deslocavam-se em velocidades constantes e orbitas circulares centradas no Sol. A
insuficiencia de dados observados
1130
pennitiu que ele comprovasse
seu calculo.
3
Assim, Copem.ico fez Illodificayoes
em sua tcoria, slipondo 0 sol LIm poueo deslocado
dos centros das 6rbitas. Isso naa foi suficiente, e ele recorreu ao artificio usado por
PtololllcU
e outres astrono1l1os da antiguidade - 0 epicic/o.
Epiciclo
e
um circulo de raia r, centl'ado na circunferencia
circulo de raia R maior que r, este chamado
(sec. IV a.c.), Hiparco (aprox.
astron01110S
da antiguidade
explicar 0 Illovimento
0
de outro
circulo deferente (Figura 1). Eudoxo
150 a.c.), Ptolomeu (aprox.
valeram-se desse atTanjo "defercllte
105 d.C.) e outl·os
-
epicic1o" para
en"Mica dos planetas no meio das estrelas fix as, "incrustadas" 113
ab6boda celeste. Supondo assim,
0
planeta em movirnento uniforme no epiciclo, e
0
centro deste em movimcnto unifonne CIll volta da Terra, urn ajuste conveniente das
velocidades e dos raios r e R pennitia explicar os movilllentos direto e retTogrado dos
planetas (Figura 2), como se observam nos ceus desde a mais alta antigliidade.
FIGURA I - EPICICLO
4
FIGURA
2 - MOVlMENTOS
Tentando
DIRETO
ajustar
48 epicicJos
em seu sistema,
heliocentrico
e representava
Ptolomeu.
alTaigado
momento,
0
sistema
sistema
56
E RETROGRADO
sua tcoria
aos clados de observacao,
0 que descaractelizava
em ponto
de Copcrnico
geocentrico
100 an05
DE UM PLANET A
de
depois
cornunidade
cientifica.
Tycho
pesquisando,
buscando
superar
fOlle de identificacao
nao
apresentava
Ptolomeu.
de
sua
Brahe
fai
Por
i550 nao
as dificuldades
em
e
incluiu
lim
sistema
sistema
maiores
houve
1543,
se interessou
deixadas
de
com 0 antigo
vanl'agens
publicacao
quem
Copernico
a ideia simples
do
que
credibilidade
que
pOl'
sua
foi
obra
de
0
no
ace ito
na
e viveu
por Copemico.
2.3 TYCHO BRAHE (1514-1601)
Dinamarques
anos
de idade,
ao observar
integral mente a astronomia.
vinda
da nobreza,
um eclipse
ele se apaixonoll
do sol. A partir
pel a astronomia
dai ele passou
aos 14
a dedicar-se
5
o
segundo acontecimento marcante na vida Tycho foi aos 17
aTlOS
de
idade na noite de 17 de agosto de 1563. Observando os CellS, ele notoll que as planetas
H'piter e
SatlU110
estavam praticamente coincidentes. Verificando as tabelas usadas na
epoca (tanto as "Tabelas Alfonsinas" quanta as de Copemico) decepcionou-se
ao ver
que etas eram imprecisas quanta a este evento. Esta foi a grande descobelta que fez
0
dinamarques: a AS1Tonomia nao tinha dados de observayao confiavel. Tycho estava
decidido
a mudar
isso, e era necessaria
construir
instrumentos
adequados
e
desenvolver metodos precisos de observayao.
Dos 17 aos 26 allos, Tycho estudou em varias universidades europeias,
viajoll, conheceu astronolllos, adquitiu valios instmmentos de observa9ao e construiu
outros cad a vez mais preciosos.
o
terceiro acontecimento
definitivamente famoso, foi
na vida de Tycho,
° aparecimento
°
que vitia toma-Io
de uma nova estrela no ceu no dia 11 de
novembro de 1572. Cerca de um mes essa estrela brilhou mais do que
0
planeta Venus
(Estrela Dalva ou Estrela Vesper) e ern dezembro ela come90u a perder seu blitho,
desaparecendo por completo em mar90 de 1574.
Nessa epoca acreditava-se que tudo era imutavel na esfera das estrelas
fixas. S6 na terra e em suas proximidades , a cham ada regiao sublunar,
ocorrer movimentos de trallsforma90es. Pois teria que provar
0
e que
podiam
novo fenomeno ocorria
nesta regiao. A (mica maneira de provar isso era: mostrando que a nova estrela se
deslocava entre as estrelas fixas.
6
AstTonornos de tada a Europa comcyaram a cmpenhar-se em observ3coes
e estudos para demollstrar seu deslocamento entre as estrelas fixas. Entao Tycho Srahe
se destacoll ainda
mais, com a construvao
de urn sextante,
instrumcnto
muito
sofisticado para epoca. Este aparelho possuia bravos que mediam quase dois metros de
comprimcnto e lima escala em graus e em minutos de graus.
De posse de tantos recursos 56 Tyeha tinha condicoes de garantir que
astra estava realmcnte parada em meia as estrelasfixas.
E foi esse
0
0
sell veredito que
n<lnou em detaUlcs, sellS instrumentos e observacoes escrcvendo sell primeiro livre,
'''De Nova Stella", Tyeha era excentrico, arrogante e aUloritiirio. Em 1575 ameacou
mudar-sc para Basih=ia, 0 Rei fez tudo para impcdi-Io. Ofereceu
0
castelo que ele quis
para residir, e entao 0 rei Ihe deu a iLha de Huen, no canal que scpam a Dinamarca da
Suecia, oficinas, fabrica de papel, imprensa, moradia as cllstas do rei e os lucros sobre
o que ali se produzia.
Assim Tycho, cOllstruiu seu "Uraniburgo",
passou 20 allos de sua vida e eolctol!
ate entao cOllseguido. (S6 em 1609
0
ou "Castelo dos Ceus" onde
mais rico acervo de observayocs astronomicas
c que comecaram
a aparecer os aparelhos 6pticos).
Tycho fez um levantamento completo das coordenadas de mais de 700
estTelas fixas; observou os planelas, a lua e
0
sol, que sao corpos celestes que se
deslocam entre as estrelas fixas, isso roi fcito dia ap6s dia durante csses 20 aIlOS.Com
isso Tycho
Brahe podia afinnar
com segurall(j:a que 0 sistema
aprescl1l'ado pOl' Copemico, era insustentavel.
heliocentTico,
Precisava ser melhorado.
Entao ele
prop6s que lodos os plruletas, excelo a Terra giravam em tomo do Sol e estc pOl' sua
7
vez girava em
t0l110
da Terra, arrastando com sigo todos os demais planctas, que
HaD
vingou.
Com a maliC de Frederico II em 1588 seu sucessor Cristiano LV 11aO
tclerou Tycho e sua arrogilncia. Durante dais
a1105
sCbruidos ele vagou por diferentcs
lugares da Europa, juntamente com sellS manuscritos, inslrumentos familiares criados
e assistentes, ate junho de \599, quando fixou residencia no castelo de Benatck,
proximo
a cidade do Papa, como "matcmatico imperial" do Imperador Rodolfo 1I cia
Boemia.
La ele encontrou
2.4 JOHANNES
Johannes Kepler.
KEPLER(1571-1630)
Oposto de Tyeho Brahe, Johannes Kepler era pobre. de precana saude.
timido e teve lima inf.'1..I1cia infeliz. Alemao de Weil - del' - Stadt, lim lugarejo situado a
30 km a oeste de SWtgart, capital de Wiirtenberg. Kepler vlvell no tempo em que os
paises da Europa se cncontravam em guen'a pOl'causa das religioes. Naquela epoca os
rneninos pobres cram encaminhados para escolas que davam bolsas, assim eles podiam
estudar despreocupados
com
0
trabalho, Assim
0
inteiigente
mcnino chegou
a
universidade, aos 23 anos, Estudou Teologia em Tiibingen, porem a abandonou para
lecionar matematica em Gratz onde nao foi bem sllcedido.
8
Adepto ao sistema de Copemico quando, ate enhio 56 se conheciam seis
planetas: Mercurio, Venus, Terra, Matte, Jupiter e Saturno. (Urano, Netuno e Plutao,
56 foram descobertos tnuito mais tarde.)
Kepler questionava isso 0 tempo todD, ate que em 1595, Ihe ocolTeu a
resposta, que ele considerou
0
maior achado de sua vida.
Os seis planetas significavam cinco espar;os entre os possiveis pares de
planetas consecutivas. Cinco cram os posslveis poliedros regulares ou poliedros de
Platiio.
Kepler comecou
a pensar
que entre
as esferas
de dais
plantas
consecutivos devia se encaixar em um poliedro regular, circWlscrito a wna esfera e
inscrito
fla
Dutra.
Foi essa ideia, 0 tema do ptimeiro livro do astnJllOmO
1.596. Ao conhecer
0
publicado em
livre, Tycho Brahe logo reconheceu 0 talento matetTI<lticode
Kepler, era tudo que ele precisava para completar suas observayoes.
Kepler tinha muitas dificuldades inclusive visual. Foram os interesses
mutuos que uniram os dois astronomos em Benate~ a partir de fevereiro de 1600. Em
1601 Tycho Brahe faleceu de uma maneira muito sofTida.
Com a 1110Iiede Tycho, Kepler foi nomeado seu sucessor no posto de
matematico
imperial, penllanecendo
ate a morte de Rodolfo II, em 1612. Nos
primeiros 6 an05 de seu cargo ele descobriu suas prirneiras leis pianetarias, publicando
seu segundo livro em 1609, com 0 titulo de: "Astronomia nova".
9
Kepler estcndeu a todos os pian etas do sistema solar a lei das 6rbitas
elipticas, descoberta
para
0
planeta Marte. Conhecida
como sua
enunciada: "Cada piancta descreve uma 6rbita eliptica, da qual
foeDs". Sua 2:1lei
e
0
1:1
lei, assim
sol ocupa urn dos
tambem generalizada para todos os pianel'as, sell enunciado diz:
"Os raias vetores que uncm urn planeta ao sol valTcm areas iguais em tempos iguais".
10
3 ASPECTOS
MATEMATICOS
Considere a elipse abaixo:
FIGURA 3 - ELIPSE
E comum cOllvencionaJ-se de que:
2c:
Distancia Focal: E a distancia que separa os dais Cocos da eJipse.
2a:
Eixo Maior
2b:
Eixo Menor
2
2
x,
De tal fonna que: ;. +
= 1
a
b
e a equa,ao
(reduzida) da elipse centrad a
na OIigem e corn semi-eixo menor igual a a e semi-eixo menor igual a b.
Outra reiayao impeltinente
e bZ + c2
=
a2 (*)
11
FIGURA 4 - TEOREMA
DE PlT;\GORAS
- TIUANGULO
RET ANGULO
Fece 2
Essa relayao
e
conseqi.iencia
do teorema de Pitagoras
aplicado
ao
triangulo retangulo.
Chama-se Excentricidade
de Ehpse ao da Distancia
Focal pelo Eixo
Maior: quociente.
e
c
a
=-
Naturalmente este numero e esta compreendido entre 0 e 1:
o<e
<
I, pais 0 < c < a
Uma elipse
e "rnuito
Uma elipse
e "polleD excentrica"
Equal
ea
excentrica" quando e ~ 1.
aparencia
quando
e ~ O.
de lima elipse muito exd~ntrica? E de uma pOllca
excentrica?
No primeiro casc, ista
e c est-ao muito
pr6ximos,
e, e
;:::::I, temos que a ;:::::
c. Mas se as valores de a
ista significa que, pela rclayao (*)~ temos b ~ O.
12
Assim, com
Focal e
0
0
semi-eixo menor quase igual a zero; e com a distancia
semi-eixo maior praticamente iguais entre si, a sua aparencia (de elipse)
e
mais ou menes esta:
FIGURA
5 - ELiPSE
MUlTO
EXCENTRICA
Elipse de Alta Excentricidade:
e
=
0.9682
-1
-2
-3 L-__ ~
__ ~
~
-2
-3
__ ~
__ ~
~
__ ~
__ ~
-1
No segundo casc, ista
4
e, e
:::::0; tcmos que 0 valor de e
e mllita
pequeno
em relacao ao valor de a. Assim, mais uma vez usanda (*), teremos b ::::::
a. Isto
dais semj-eixQs, tanto
que confere
0
maior quanta
a eLipse a segunda
0
aparencia:
e: os
menor tem praticamente a me sma medida,
0
13
FIGURA 6 - ELIPSE DE EXCENTRICIDADE
MEDIANA
0.8
0.6
0.4
-0.6
-0.8
.,
Ista
e, a elipse e quase
urn circulo!
De fata, um circulo pode seT pensado com uma elipse cujos eixos maior e
menor coincidem (e sao chamados de RAJ 0), portanto
0
circulo
e
lima
elipse de
excenu-icidade zerol
Deste modo, quante mais proximo de ZERO
elipse tanto mais proxima de
Ulll
e a excentricidade
de uma
circu]o senl sua aparencia.
No casa de orbita elfptica da Terra ao redor do Sol (que ocupa um dos
facos desta elipse) temos os seguinles dadas:
14
FIGURA 7 - ELiPSE
AO REDOR DO SOL
f--
P
-0
A
no
Pen"elio
TSn'G
Terra no
4f6lio
Sol
No PERIELlO, que
do sol, a distilncia que os separa
No AFELIO,
distiincia
6-
0
0
e a posiyi'io da
TelT8 quando ela esta mais proxima
e de, aproxirnadarnente,
1147.1000.000
kriil = P.
ponto da 6rbita terrestre mais afastado do sol, esta
e de 1152 100.000 k,ij -
A
No desenho acirna nao deve ser levado em conta a escala pais,
11a
realidade, os valores de A e P sao muito proximos.
E como calcular a excentricidade da 6rbita telTestre a partir destes dois
elementos?
o
semi-eixo maior da eJipse da Drbita telTestre ao redor do sol
arinnetica entre os valores de A e P:
a
=
A
+P
2
= 149.600.000
e a media
15
Este valor media (em km)
e
adotado como unidade de distancia em
astTonomia.
De tal fanna que a distancia Focal (metade deJa)
e dada
por:
c ~ a - P ~ 149.600.000 - 147.100.000 ~ 2.500.000 kill
FIGURA 8 - EFELlO,
PERIELlO
f-- P -+---
E DIST ANCIA FOCAL
----l
c
-+-----501 ----------~------------------t_
f-------
A --j
~
E finalmcnte podemos calcular a excentricidade cia orbita terrestre:
c
e =a
e~~;00167
149,6
Isto
a orbita da
TelTa
'
e, a excentricidade
em
t0l110
do Sol
e~
de 6rbita terrestre
circular!
e guase
!lula,
0
que mostra que
16
FIGURA 9 - EUPSE
poueo
EXCENTRlCA
Elipse (de baix& excentricidade)
da 6rbita TerrestIe:
e '" 0.0167
'"
••
·1~O
Portanto
100
.100
astronomos
OS
da 3ntiguidade
(que
150
realizam
observar;oes
astronomicas a olho nu), Ilac estavam tao enganados em usaf esta simplificac;ao.
Para finalizar, apenas como curiosidade, vamos deduzir uma equac;ao a
elipse da 6rbita terrcstre. Basta ca!cular 0 valor do seu semi-eixo
=> b = J22.373,91 '" 149,58
Veja:
a=
{
__ x_'__
22.380,16
149,60
Istoe:Q
b
=
149,58
+ __ y_'__
=1
22.373,91
E a equaC;iio de elipse da 6rbita
tCITcstrc.
mellor (b) usanda a
17
4 CONCLUSAO
Fica claro l1a Figura 9 que a excentricidade da orbita tClTestre
mas que, devido it sua baixa excentricidade, a aparencia
e quase
e eliptica,
circular. P0l1anto as
observa90es de Aristarco de Samos foram bastante precisas para sua epoea.
Isto atesta a impOItancia do conceito de excentricidade na elipse.
18
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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