circunferência outro

Introdução à Astronomia
Semestre: 2014
2014.1
1
Sergio Scarano Jr
22/10/2013
C
Configurações
Planetárias
CS
Exterior
Interior
C = Conjunção
O = Oposição
Q = Quadratura
Oc. = Ocidental (W)
Or. = Oriental (E)
S = Superior
I = Inferior
ME = Máxima Elongação
M.E.Or.
M.E.Oc.
CI
T
Q Or
Q.Or.
QO
Q.Oc.
O
Distâncias para Planetas Interiores
Observando sistematicamente p
planetas interiores no exato momento do
por ou do nascer do Sol ao longo do tempo é possível registrar um máximo
afastamento dos mesmos em relação ao Sol. O mesmo pode ser feito em
elongação
g ç máxima ocidental ou oriental.
Máxima
elongação
ocidental
b
Distância X:
sen b = X / D
X = D . sen b
tempo
X
b
Leste
Oeste
D
T1PS
Raio orbital de planeta interior
Enunciado: Em sua máxima elongação, Vênus se encontra a
47o do Sol. Qual seu raio orbital?
b = 470
D = 1 UA (S
(Sol-Terra)
lT
)
Raio orbital X:
X = D . sen b
X
P1
D
b
X = 1 . sen 470
X  1 * 0,73
X  0,73 UA
T1
 
Planetas Exteriores
Para obter distâncias de planetas
p
exteriores deve-se combinar
informações de períodos orbitais de diferentes planetas e registrar eventos
de conjunção e oposição.
P2
T2
Y
D
t = t2 - t 1
b
d
c
T1
P1
Terra
A  360 o
t 
b
d=b-c
cos d = D / Y
Y = D / cos d
Planeta
T  360 o
t 
c
Lei de TitusTitus-Bode
Conhecidas as distâncias,
distâncias derivou-se uma lei empírica para as mesmas.
mesmas
D = 0,4
, + 0,3
, * 2n
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Asteróides
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Plutão
utão
n
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
D
04
0,4
0,7
1,0
16
1,6
2,8
5,2
10 0
10,0
19,6
38,8
77,2
,
D
Real (UA)
0 39
0,39
0,72
1,00
1 52
1,52
2,8
5,2
9 54
9,54
19,2
30,06
39,4
39,
Planeta
Movimento Circular e a
Gravitação
Sergio Scarano Jr
28/11/2012
Definição de Velocidade Linear e Angular para o
Movimento Uniforme em uma Circunferência
Grandezas relacionadas ao movimento circular em termos escalares.









T
t
Velocidade angular :
v8

v1
v7


t

d
 constante
dt
Velocidade linear:
R
2  R
v
T
R
v6

v2
C  2  R
v3
v5
Relação entre velocidade linear e velocidade
angular:

v4
2
T
Em módulo: v = v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7
 v  R
Aceleração no Movimento Circular
G
Grandezas
d
relacionadas
l i
d ao movimento
i
t circular
i
l
No espaço do movimento:









T
v
v8
No espaço das velocidades:
2  R
T
v1
v7
R
v6
v7
2
v
a  v   2R
2R
v8
v6
v1
v5
C  2  R
v2
v4
v3
a
v5
2  v
T
v4
Em módulo: v = v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7
v3
Direção e Sentido da Aceleração no Movimento Circular
Sendo
S
d a velocidade
l id d uma grandeza
d
vetorial,
t i l o vetor
t
resultante
lt t para
aceleração é outro vetor, apontando para o centro da circunferência:
Usando como exemplo a aceleração na posição 1:



v7  v6
a1 
t
vv66
 v5
v6
Posição 1
a=?
 v7
v7
 v7
v8
 v8
v6
v1
a1
 v7
v5
v2
 v4
v4
Note que a1 é perpendicular a v1 e aponta para o
centro da trajetória circular.
 v3
v3
 v2
 v1
Exemplo de Exercício de Movimento Circular
Johannes Kepler (1571
(1571--1630)
A Astronomia marcou toda a vida de Kepler.
Kepler
Grande Cometa de 1577
Sequência de sólidos Platônicos
- Octaedro (Mercúrio);
- Icosaedro (Vênus)
- Dodecaedro (Terra)
- Octaedro (Marte);
- Tetraedro (Júpiter);
- Cubo (Saturno)
Mysterium
Cosmographicum.
Tycho Brahe
A “Guerra” de Kepler Contra Marte
Sendo o planeta com mais dados observados por Tycho,
Tycho Kepler se
dedicou ao trabalho de determinar a distância ocupada por Marte em
diferentes posições orbitais, usando configurações planetárias.
Órbita de Marte segundo Kepler
Diagrama polar da órbita de Marte segundo Kepler:
Mo2
Mo1
Mo3
Mo7
Mo6
Mo44
Mo5
M
Elipse !
Traçar uma elipse
Comprimento
p
do barbante = 2.a
Elementos de uma elipse
B
O
A
P
f
a
F
b
B
B’
f  a·e
a  semi-eixo maior
b  semi-eixo menor
f  distância
di tâ i focal
f
l
e  excentricidade
e  f/a
Definição de uma elipse
Q
r’
r
F’
F
F
Eli
Elipse
2a
r + r’  2a
Fator de contração (C)
Uma
elipse
pode
ser
descrita
como
uma
proporcionalmente achatada por um fator de contração.
circunferência
Q=B
b
r’
r
O
f
f
F’
F
r + r’  2a
r = r’
r=a
No triângulo OBF :
b2 = r2 - f2
b2 = a2 - f2
f  ae
b2 = a2 - (ae)2
b2 = a2 - a2 e2
b2 = a2(1 - e2)
b = a 11 e2
b = aC
C   1- e2
Quadrante elíptico
Pela simetria da elipse,
elipse pode
pode-se
se trabalhar com apenas um quarto da
figura e generalizar o resultado para os demais quadrantes.
Y
Y
B
B
P
P
O
O
X
X
Elipse = Circunferência contraída
Verificando que o fator de contração vale para qualquer ponto da elipse.
y
Para a circunferência:
X2 + Y2 = a2
Circunferência
Q’
Elipse
a
b
Como x = X, então:
x2 + Y2 = a2
x2 = a2 - Y2
http://nebula deanza edu/~bloom/mat
http://nebula.deanza.edu/
bloom/mat
Para a elipse:
x2 / a2 + y2 / b2 = 1
Y
Q
h43/ellipse-derivation.pdf
((a2 - Y2 ) / a2 + y2 / b2 = 1
1 - Y2 / a2 + y2 / b2 = 1
y2 / b2 = Y2 / a2
y2 = Y2 (b2/ a2)
y = Y (b/ a))
y
x
o
x=X
Q”
b = aC
y = Y (aC/ a)
y = YC
Primeira Lei de Kepler (1571 - 1630)
Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele numa
órbita elíptica, sendo que um deles ocupa o foco da elipse.
Semi
eixo
menor
Semi-eixo maior
Foco
http://astro.unl.edu/naap/pos/pos.html
Área de Uma Elipse de Forma Intuitiva
Segunda Lei de Kepler (1571 - 1630)
Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele,
dele com seu
raio vetor varrendo áreas iguais em tempos iguais.
t
A
A
Foco
(VA) = dA / dt
Aelipse = ab
T = Período
P í d orbital
bit l
(VA) = ab / T
http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.html
t
Terceira Lei de Kepler
r
M
( r / r’ )3 = ( T / T’ )2
m
T
r’
m’
m
T’
r3= kT2
Expressão correta:
r 3 = [G/(42)] ( M + m ) T 2
( r / r’ )3 = ( (M + m) / (M + m’) ) x ( T / T’ )2
Leis de Newton
Sergio Scarano Jr
02/07/2013
Rotação da Terra, Composição de Movimentos e Inércia
Se a Terra estivesse girando porque as coisas não são arremessadas de
sua superfície? Inércia e a ação da gravidade (força gravitacional)
combinadas contém a resposta desse dilema.
Aceleração Centrípeta
O que acontece
t
a um corpo posto
t em movimento
i
t circular
i
l se a aceleração
l
ã
que o mantém girando acaba?
Velocidade
ac
ac
Trajetória
Tangente
Trajetória
Circular
Trajetória
Tangente
Primeira Lei de Newton
No livro
N
li
seu livro
li
P i i i Mathematica,
Principia
M th
ti
N t
Newton
enunciou
i
a lei
l i de
d Inércia
I é i
baseado nos trabalhos de Galileu e René Descartes, que afirmava que um
corpo preserva seu estado de movimento até que algo interfira no seu
movimento.
movimento
Segunda Lei de Newton
Defini-se
D
fi i
f
força
F como a taxa
t
d variação
de
i ã da
d quantidade
tid d de
d movimento
i
t p.
A massa surge como uma constante de proporcionalidade e mede a
resistência que um corpo impõe à mudança de seu estado de movimento.

p
F  lim
t 0 t

dp
 F 
dt

F  ma
2ª Lei de Newton
Condensa a parte Matemática da Dinâmica.
Dinâmica
 dp
F 
dt


1
aR 
m


F  ma
(A aceleração
resultante é
inversamente
proporcional à
massa do corpo).
a
1. A força da mão acelera a caixa;
a
2 A mesma força sobre uma massa duas vezes
2.
maior, causa metade da aceleração;
a
3. Sobre uma massa três vezes maior, causa
um terço da aceleração original.
original
2ª Lei de Newton
Condensa a parte Matemática da Dinâmica.
Dinâmica


F  ma
1. A força da mão acelera a caixa;
2. Duas vezes a força produz uma aceleração
duas vezes maior;
3. Duas vezes a força sobre uma massa duas vezes
maior,
maior produz a mesma aceleração original.
original
Terceira Lei de Newton
A toda
t d ação
ã corresponde
d uma reação
ã de
d mesma intensidade
i t
id d e de
d sentido
tid
oposto.
adaptado de R. Boczko