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FUNÇÕES DE DUAS
VARIÁVEIS
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FUNÇÃO DE DUAS
VARIÁVEIS
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FUNÇÃO DE DUAS
VARIÁVEIS
Uma função real f de duas variáveis é uma relação que
a cada par ordenado de números reais (x, y) é
associado um único número real f (x, y).
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FUNÇÃO DE TRÊS
VARIÁVEIS
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FUNÇÃO DE TRÊS
VARIÁVEIS
Uma função real f de três variáveis é uma relação que a
cada terna ordenada de números reais (x, y, z) associa
um único número real f (x, y, z).
3
FUNÇÃO DE N
VARIÁVEIS
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FUNÇÃO DE N
VARIÁVEIS
Uma função real f de n variáveis é uma relação que a
cada n-upla ordenada de números reais(x1, x2, ...,xn)
associa um único número real f (x1, x2, ..., xn).
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EXEMPLO DE FUNÇÕES
DE DUAS VARIÁVEIS
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EXEMPLO DE FUNÇÕES
DE DUAS VARIÁVEIS
sendo f(x,y)= 3x 2 y − 1, determine:
a)f(1,4)
b)f(0,9)
c)f(a,ab)
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EXEMPLO DE FUNÇÕES
DE TRÊS VARIÁVEIS
Determina f( 2,0,1) sendo f(x) = 3x – y + z 2
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DOMÍNIO DE FUNÇÕES
DE DUAS VARIÁVEIS
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DOMÍNIO DE FUNÇÕES
DE DUAS VARIÁVEIS
O domínio de uma função de duas variáveis é, em
geral, representado por uma relação binária.
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DOMÍNIO DE FUNÇÕES
DE DUAS VARIÁVEIS
O domínio de uma função de duas variáveis é, em
geral, representado por uma relação binária.
A representação do domínio pode ser dada lógica ou
graficamente.
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EXEMPLO
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EXEMPLO
Determina e representa graficamente o domínio de
cada função:
8
EXEMPLO
Determina e representa graficamente o domínio de
cada função:
a)g(x,y)= ln(x 2 − y)
b) f (x, y) = 3x 2 y − 1
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SOLUÇÃO:
a)
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SOLUÇÃO:
a) g(x,y)= ln(x 2 − y) está definida somente para x 2 − y > 0, ou
seja: y < x 2 .
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SOLUÇÃO:
a) g(x,y)= ln(x 2 − y) está definida somente para x 2 − y > 0, ou
seja: y < x 2 .
Assim sendo Dom(f)={(x,y) ∈ 2 | y < x 2 }
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SOLUÇÃO:
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SOLUÇÃO:
Na representação gráfica do domínio usamos o fato que a curva
y=x 2 separa a região onde y<x 2 da região onde y>x 2 .
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SOLUÇÃO:
Na representação gráfica do domínio usamos o fato que a curva
y=x 2 separa a região onde y<x 2 da região onde y>x 2 .
Para determinar a região onde y<x 2 , podemos selecionar um ponto
teste fora da fronteira y=x 2 e verificar se y<x 2 ou y>x 2 .
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SOLUÇÃO:
Na representação gráfica do domínio usamos o fato que a curva
y=x 2 separa a região onde y<x 2 da região onde y>x 2 .
Para determinar a região onde y<x 2 , podemos selecionar um ponto
teste fora da fronteira y=x 2 e verificar se y<x 2 ou y>x 2 .
Peguemos por exemplo (x,y)=(0,1), então 1<0 2 , isso não é uma relação
verdadeira... logo este ponto não está na região onde y<x 2 .
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SOLUÇÃO:
Na representação gráfica do domínio usamos o fato que a curva
y=x 2 separa a região onde y<x 2 da região onde y>x 2 .
Para determinar a região onde y<x 2 , podemos selecionar um ponto
teste fora da fronteira y=x 2 e verificar se y<x 2 ou y>x 2 .
Peguemos por exemplo (x,y)=(0,1), então 1<0 2 , isso não é uma relação
verdadeira... logo este ponto não está na região onde y<x 2 .
A região correspondente ao domínio é aquela que não contém o ponto teste
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SOLUÇÃO:
11
SOLUÇÃO:
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SOLUÇÃO:
a)
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SOLUÇÃO:
2
a) para f (x, y) = 3x y − 1, devemos ter y ≥ 0.
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SOLUÇÃO:
2
a) para f (x, y) = 3x y − 1, devemos ter y ≥ 0.
Assim, Dom(f)={(x,y) ∈ 2 | y ≥ 0}
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SOLUÇÃO:
2
a) para f (x, y) = 3x y − 1, devemos ter y ≥ 0.
Assim, Dom(f)={(x,y) ∈ 2 | y ≥ 0}
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FUNÇÃO LINEAR
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FUNÇÃO LINEAR
Função linear é aquela cuja equação funcional é da
forma
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FUNÇÃO LINEAR
Função linear é aquela cuja equação funcional é da
forma
ƒ(x,y)=Ax+By+C
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FUNÇÃO LINEAR
Função linear é aquela cuja equação funcional é da
forma
ƒ(x,y)=Ax+By+C
em que A≠0 ou B≠0
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FUNÇÃO LINEAR
Função linear é aquela cuja equação funcional é da
forma
ƒ(x,y)=Ax+By+C
em que A≠0 ou B≠0
O gráfico de uma função linear de duas variáveis é um
plano ou superfície linear no espaço tridimensional
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EXEMPLO
Para tratamento de recuperação de solos foram aplicadas
as quantidades de x=NO 3 (kg / ha), variando de 13 a 42, em
camadas de 0-60cm de altura, e y=P extraído (mg/kg) , variando
de 2 a 43 , em camadas de 0-15cm de altura, obtendo-se uma
produção de matéria seca dada por:
f(x,y)=51.3+0.33x+0.47y
Determine o domínio e o respectivo gráfico
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EXEMPLO
Para tratamento de recuperação de solos foram aplicadas
as quantidades de x=NO 3 (kg / ha), variando de 13 a 42, em
camadas de 0-60cm de altura, e y=P extraído (mg/kg) , variando
de 2 a 43 , em camadas de 0-15cm de altura, obtendo-se uma
produção de matéria seca dada por:
f(x,y)=51.3+0.33x+0.47y
Determine o domínio e o respectivo gráfico
Dom(f)={(x,y) ∈ 2 | 13 ≤ x ≤ 42, 2 ≤ y ≤ 43}
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GRÁFICO
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GRÁFICO
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função quadrática é aquela cuja equação é da forma
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função quadrática é aquela cuja equação é da forma
f (x, y) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função quadrática é aquela cuja equação é da forma
f (x, y) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F
Onde A,B ou C ≠0
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função quadrática é aquela cuja equação é da forma
f (x, y) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F
Onde A,B ou C ≠0
O gráfico de uma função quadrática é denominado
superfície quadrática ou quadrica
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
A equação a seguir foi obtida para modelar um
experimento de produção de feijão como função da
quantidade de nitrogênio x(kg/ha) e da quantidade de
lâmina de água y(mm).logo:
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
A equação a seguir foi obtida para modelar um
experimento de produção de feijão como função da
quantidade de nitrogênio x(kg/ha) e da quantidade de
lâmina de água y(mm).logo:
f (x, y) = 759, 29 + 12, 771x + 7, 96y + 0, 0152xy − 0, 0913x 2 − 0, 00854y 2
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
A equação a seguir foi obtida para modelar um
experimento de produção de feijão como função da
quantidade de nitrogênio x(kg/ha) e da quantidade de
lâmina de água y(mm).logo:
f (x, y) = 759, 29 + 12, 771x + 7, 96y + 0, 0152xy − 0, 0913x 2 − 0, 00854y 2
Considerando x no intervalo 0≤ x ≤ 260 e y , 105≤y≤621
Determine o Domínio e o gráfico da função
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
A equação a seguir foi obtida para modelar um
experimento de produção de feijão como função da
quantidade de nitrogênio x(kg/ha) e da quantidade de
lâmina de água y(mm).logo:
f (x, y) = 759, 29 + 12, 771x + 7, 96y + 0, 0152xy − 0, 0913x 2 − 0, 00854y 2
Considerando x no intervalo 0≤ x ≤ 260 e y , 105≤y≤621
Determine o Domínio e o gráfico da função
Dom( f ) = {(x, y) ∈ 2 | 0 ≤ x ≤ 260,105 ≤ y ≤ 621}
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GRÁFICO
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GRÁFICO
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