Matemática

Instrução: Os passos efetuados na resolução
das questões deverão constar no Caderno de
Respostas.
Questão 22
a) determine as razões da P.A. e da P.G.
b) escreva os 8 termos dessa seqüência.
Resposta
a) Sendo r a razão da PA (a1 ; a 2 ; a3 ; a4 ; a5 )
cujo primeiro termo é 1 e q a razão da PG (a6 ; a7 ;
a8 ) cujo primeiro termo é 2,
1
r =
a5 = a6
1 + 4r = 2
4
.
⇔
⇔
a4 = a7
1 + 3r = 2q
7
q =
8
a4 = 1 + 3 ⋅
1 5
1 3
;
= ; a3 = 1 + 2 ⋅ =
4 4
4 2
1 7
1
= ; a = 1 + 4 ⋅ = 2 = a6 ;
4 4 5
4
2
a7 = 2 ⋅
1
0
2
a) det A = 2 sen x
0
= sen x ⋅ cos x + 8 =
0
2
cos x
=
Em uma seqüência de 8 números, a1 , a2 , ... ,
a7 , a 8 , os 5 primeiros termos formam uma
progressão aritmética (P.A.) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão
geométrica (P.G.) de primeiro termo 2.
Sabendo que a 5 = a6 e a4 = a7 ,
b) a1 = 1; a 2 = 1 +
Resposta
7 7
49
7 
.
= ;a =2   =
8 
8 4 8
32
b) Como −1 ≤ sen 2x ≤ 1, x ∈ R, o valor máximo
1
17
do determinante é
e o mínimo é
+8 =
2
2
1
15
.
−
+8 =
2
2
Questão 24
Uma pessoa comprou um número (de dois algarismos) de uma rifa, constante de números de 00 a 99. O sorteio será feito de uma
das duas maneiras descritas a seguir.
A. Em uma urna, são colocadas 100 bolas,
numeradas de 00 a 99, de onde será retirada
uma única bola.
B. Em uma urna, são colocadas 20 bolas, numeradas de 0 a 9, sendo duas com número 0,
duas com número 1, ... , até duas numeradas
com 9. Uma bola é retirada, formando o algarismo das dezenas e, depois, sem reposição da
primeira bola, outra é retirada, formando o
algarismo das unidades.
a) Qual é a probabilidade de ganhar no sorteio
descrito em A?
b) Qual é a probabilidade de ganhar no sorteio
descrito em B?
Resposta
Questão 23
0
2 
1

Considere a matriz A = 2 sen x
0 ,


2
cos x 
0
onde x varia no conjunto dos números reais.
Calcule:
a) o determinante da matriz A;
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
sen 2x
+ 8.
2
a) A probabilidade de que o número sorteado seja
igual ao número da rifa que a pessoa comprou é
1
.
100
b) Temos dois casos:
•
Se o número da rifa é formado por dois algarismos distintos, temos que a probabilidade de que
o número da primeira bola retirada seja igual ao
2
1
, e a
algarismo das dezenas da rifa é
=
20
10
probabilidade de que o número da segunda bola
matemática 2
retirada seja igual ao algarismo das unidades da
2
. Assim, neste caso, a probabilidade de
19
1
2
1
a pessoa ganhar é
.
⋅
=
10 19 95
a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são
semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC.
b) Calcule AD e FD.
• Se o número da rifa é formado por dois algarismos iguais, temos que a probabilidade de retirarmos a primeira bola com o algarismo das dezenas
2
1
, enquanto que a
do número da rifa é
=
20
10
probabilidade de retirarmos a segunda bola com o
1
. Portanto a probaalgarismo das unidades é
19
bilidade de a pessoa ganhar neste caso é
1
1
1
.
⋅
=
10 19
190
Resposta
rifa é
Questão 25
Mostraremos que os dados do problema são inconsistentes.
Temos
∧
∧
∧
∧
BAC ≅ EBC (hipótese)
. Portanto,
ACB ≅ BCE (ângulo comum)
pelo caso AA, ∆ABC ~ ∆BEC .
AB
AC
BC
=
=
⇔
BE
BC
EC
AB
27
9
⇔
=
=
⇔ AB = 24 e EC = 3.
8
9
EC
Logo
Assim DC = DE + EC = 9 + 3 = 12 e, como
2
2
2
No triângulo ABC da figura, que não está de- 15 = 9 + 12 , o triângulo BCD é retângulo em
C.
Conseqüentemente,
o triângulo ABC é retânsenhada em escala, temos:
2
2
gulo em C e AB = AC + BC 2 ⇔
$ ≅ CBE,
$
BAC
⇔ AB 2 = 27 2 + 9 2 ⇔ AB = 9 10 ≠ 24, con$ ≅ BDF,
$
ADF
tradição.
AC = 27,
BC = 9,
BE = 8,
BD = 15 e
DE = 9.