Matemática 2

Matemática 2
Módulo 9
4.
GEOMETRIA ANALÍTICA – VI
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
SALA
C ( 2; 4 ) e r 2 = 8 → r = 2 2
II. Considere a reta r: –8x + 2y – 2 = 0 → r: –4x + y – 1 = 0,
−A
mr =
= 4 . Como r // s, então ms = 4
B
III. A reta s passa pelo ponto (2; 4) e tem coeficiente
angular ms = 4. Assim, (y – y0) = m(x – x0) →
→ y – 4 = 4(x – 2) → y – 4 = 4x – 8 → y = 4x – 4 →
→ y = 4 ( x − 1)
2
x − 4x + 4 + y − 2y + 1 = −3 + 4 + 1
2
2
(x – 2) + (y – 1) = 2
Assim temos: C1(2, 1) e r1 = 2
Seja λ2 a circunferência concêntrica a λ1 e de raio r = 5.
Assim, pela equação (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, em que (x0;
y0) é o centro e r o raio, temos:
C1 = C2 = (2; 1); r = 5
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 52
2
2
x – 4x + 4 + y – 2y + 1 – 25 = 0
2
2
x + y – 4x – 2y – 20 = 0
Da equação λ: 2x2 + 2y2 – 8x – 16y + 24 = 0, temos:
x2 + y2 – 4x – 8y + 12 = 0 → x2 – 4x +4 +y2 – 8y +16 =
= –12 + 4 + 16 → (x – 2)2 + (y – 4)2 = 8;
I.
Se duas circunferências são concêntricas, então os seus
centros são coincidentes.
Temos a circunferência λ1: x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0.
Completando o quadrados, temos:
2
Lembrando...
• Se duas retas r e s são paralelas, então ms = mr.
• A equação de uma reta pode ser dada pela expressão y – y0 = m(x – x0), em que (x0; y0) é um ponto dado e m é o coeficiente angular.
Resposta correta: B
5.
Lembrando...
Se A, B e C são pontos colineares, então Det(m) = 0.
λ: x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 →
→ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 12 + 4 + 9 →
→ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25; C(–2; 3) e r = 5
II. Temos os pontos O(0; 0), B(P; –1) e C(2; 3). Como
são colineares, então:
I.
Resposta correta: D
2.
Lembrando...
Sabemos que a área de um círculo é dada pela relação
A = πr2, em que r é o raio.
I.
Seja a circunferência λ: x2 + y2 – 8x + 6y + 22 = 0.
Descobrindo o valor do raio, temos:
x 2 − 8x + 16 + y 2 + 6y + 9 = −22 + 16 + 9 →
→ ( x − 4 ) + ( y + 3 ) = 3; C ( 4; − 3 ) e r 2 = 3 → r = 3
2
II. A = πr2 → A = π
2
( 3)
2
Det(m) = 0 → 3P – 2 = 0 → P =
→ A = 3π
Resposta correta:
+2
3
+2
3
Resposta correta: A
3.
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
Considere a circunferência abaixo:
1.
Temos a equação λ: x2 + y2 + 4x + 10y + 28 = 0. Assim:
x2 + 4x +4 +y2 + 10y +25 = –28 +4 +25 →
→ (x + 2)2 + (y + 5)2 = 1; C(–2; –5) e r = 1
Localizando no plano temos:
Como C é o centro da circunferência, temos que C é
ponto médio de AB. Assim:
2+0
− 3+ 3
=1
yC =
=0
C(1; 0)
2
0
A distância de C ao A ou ao B é o raio, então:
xC =
dB,C =
( 0 − 1)2 + (
3 −0
)
2
= 1 + 3 → dB,C = r = 2
Sendo r = 2 e C(1; 0), então a equação é:
(x – 1)2 + (y – 0)2 = 4 → (x – 1)2 + y2 = 4
Resposta correta: E
Resposta correta: C
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 3
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MATEMÁTICA 2
1
2.
Sabemos que –k + 13 > 0, pois não pode ser negativo e nem
zero, pois é a medida do raio, então –k > –13 → k < 13.
Como queremos o maior inteiro, temos k = 12 .
Resposta correta: B
7.
Assim temos:
(x + 4)2 + (y – 3)2 = 16
x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0
x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0
Resposta correta: E
I. Como o centro da circunferência está na reta x = 2,
então as coordenadas do centro são C(2; 6).
II. Assim ficamos com a equação (x – 2)2 + (y – b)2 = r2.
Como a circunferência passa pelos pontos A(0; 1) e
B(1; 4), temos:
III. Para A(0; 1), temos (0 – 2)2 + (1 – b)2 = r2 →
→ 5 – 2b = r2 – b2
IV Para B(1; 4), temos (1 – 2)2 + (4 – b)2 = r2 →
→ 17 . 8b = r2 – b2
V. Igualando (III) e (IV), temos 5 – 2b = 17 – 8b →
b=2
VI. Fazendo b = 2 e substituindo em (III) ou (IV), temos
3.
Se P(2; k) é o centro da circunferência de raio r = 3 ,
então (x – 2)2 + (y – k)2 =
5 – 2(2) = r2 – (2)2 → 1 = r2 – 4 → r 2 = 5
( 3 ) → (x – 2) + (y – k) = 3.
2
2
VII. Como C(2; b) = (2; 2) e r2 = 5, temos a equação:
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 5
2
Como o ponto Q (1; 2), pertence à circunferência, temos:
x y
(1 – 2)2 + (2 – k)2 = 3 → 1 + 4 – 4k + k2 = 3 →
→ k2 – 4k + 2 = 0
Para a equação temos k' = 2 + 2 e k'' = 2 – 2 . Como
8.
2.
k > 2, então k = 2 +
Se k = 2 +
2
2 , então (2 +
2
2) –6=
= 4 +4 2 + 2 − 6 = 4 2
Resposta correta: D
4.
A
x – 4x +4 + y – 6y +9 = 3 +4 +9 →
2
B
C
D
E
F
A = B ≠ 0 → m=1
I.
II. C = 0 → 2n = 0 → n = 0
→ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16; C(2; 3); r2 = 16 → r = 4
Observando a figura temos que CF = 2r, assim:
CF = 2 . 4 = 8
III. D2 + E2 – 4AF > 0 → 16 + 36 – 4k > 0 →
→ –4k > – 52 → k < 13
Resposta correta: m = 1; n = 0; k < 13
Resposta correta: E
5.
Lembrando.
A equação do 2º grau Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0,
só representará uma circunferência se:
• A=B≠0
• C=0
• D2 + E2 – 4AF > 0
Observando a equação:
2
2
m
N x + yN + 2n
N xy + 4
Nx+6
N y + kN = 0 , temos:
Dada a equação λ: x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0, temos:
2
2
Resposta correta: (x – 2) + (y – 2) = 5
⎧ x = 2.cos a
Do sistema ⎨
, temos:
⎩ y = a + 2 sena
⎧ x = 2.cos a
⎪⎧ x = 4.cos a
+
→⎨
⎨
2
2
⎩ y − 9 = 2sena
⎪⎩( y − 9 ) = 4 sen a
2
9.
II. C = 0 → b = 0
III. Se a = 1 e b = 0, temos a equação:
x2 + y2 + 6x + 8y + c = 0 →
2
(
x 2 + ( y − 9 ) = 4 sen2a + cos2 a
2
I. A = B ≠ 0 → a = 1
)
1
x2 + 6x +9 + y2 + 8y +16 = –C + 9 + 16 →
x 2 + ( y − 9 ) = 4; C ( 0; 9 ) ;r 2 = 4 → r = 2
2
→ (x + 3)2 + (y + 4)2 = −
C
+ 25
r2
Resposta correta: C
6.
Da equação x2 + y2 + 4x – 6y + k = 0, podemos completar quadrados, veja:
x2 + 4x +4 + y2 – 6y +9 = –k + 4 + 9 →
PRÉ-VESTIBULAR
V. Assim a + b + c = 1 + 0 – 11 = −10
Resposta correta: –10
→ (x + 2)2 + (y – 3)2 = –k + 13,
assim C(–2; 3) e r2 = –k + 46 → r = −k + 13 .
2
IV. Como r = 6 → r = 36, assim –C + 25 = 36 →
→ –C = +11 → C = −11
2
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VOLUME 3
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MATEMÁTICA 2
10. Observe a figura:
*
d−2
= 2 → d − 2 = 16 . 2d → 3d = 18 → d = 6
8−d
**
c −1
13
= 2 → c − 1 = 12 − 2c → 3c = 13 → c =
6−c
3
⎛ 13
D⎜ ;
⎝ 3
⎞
6⎟
⎠
⎛8 ⎞
⎛ 13 ⎞
; 4⎟ e ⎜
; 6⎟
⎝3 ⎠
⎝ 3
⎠
Resposta correta: ⎜
C(–3; 4) e r = s, temos (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25 →
→ x2 + 6x +9 + y2 – 8y +16 = 25
→
Módulo 10
→ x2 + y2 + 6x – 8y = 0
GEOMETRIA ANALÍTICA – VII
Resposta correta: C
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
11. Considere o triângulo abaixo:
1.
dA,C =
( 0 − 1)2 + ( 2 − y )
dA,B =
( 7 − 1)2 + ( 4 − 2 )2
dB,C =
( 0 − 7)
2
49 + (y − 4)2
Como a corda está sobre a reta x + y – 7 = 0, então os
extremos dessa corda são as interseções da reta com a
circunferência.
Observe a figura:
2
→ dA,B = 36 + 4 → dA,B = 40
λ: x2 + y2 – 25 = 0
+ ( y − 4 ) → dB,C = 49 + ( y − 4 )
2
Como (dB, C)2 = (dA, B)2 + (dA, C)2, então:
(
) = ( 40 ) + (
2
1 + (2 − y)2
)
2
⎧⎪ x + y = 7
Resolvendo o sistema ⎨ 2
, temos:
2
⎪⎩ x + y = 25
• x=7–y
⇒
⇒ 49 + y 2 − 8y + 16 = 40 + 1 + 4 − 4y + y 2 ⇒
y=4
⇒ −8y + 65 = −4y + 45 ⇒ 4y = 20 ⇒ y = 5
•
Como C(0; y) e y = 5, então C ( 0;5 )
Para y = 4 → x = 3; A(3; 4).
Para y = 3 → x = 4; B(4; 3).
dA,B =
12. O segmento AB abaixo foi dividido em três partes
iguais, assim AC = CD = CB. Veja:
AC x C − x A y C − y A P 1 1
=
=
=
=
CB xB − x C
yB − y C 2P 2
a −1 1
8
= → 2a − 2 = 6 − a → a =
6−a 2
3
⎛8
C⎜ ;
⎝3
= 2
A equação x2 + y2 ≤ 4 representa um círculo de centro
(0, 0) e raio 2. Enquanto a equação (x – 1)2 + y2 ≥ 1 representa os pontos pertencentes e externos a uma circunferência de centro (1,0) e raio 1. Representando no
plano cartesiano:
⎞
4⎟
⎠
b−2 1
= → 2b − 4 = 8 − b → b = 4
8−b 2
A = πR2 – πr2
A = π . 22 - π . 12
A = 3π
AD yD − y A xD − x A 2P
=2
=
=
=
DB yB − yD
xB − x D
P
PRÉ-VESTIBULAR
( 4 − 3)2 + ( 3 − 4 )2
Resposta correta: A
2.
**
(7 – y)2 + y2 = 25 → y2 – 7y + 12 = 0
y=3
Resposta correta: (0; 5)
*
SALA
→ dA,C = 1 + ( 2 − y )
2
2
PARA
Resposta correta: 3π
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VOLUME 3
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MATEMÁTICA 2
3
3.
A bissetriz dos quadrantes pares é y = –x, para encontrar
o centro, que é o ponto de interseção das duas retas,
resolveremos o sistema formado por suas equações:
⎧y = −x
⎨
⎩2x − y − 6 = 0
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Tomemos a primeira desigualdade x2 + y2 ≤ 9.
2x − ( − x) − 6 = 0
3x − 6 = 0
x = 2 ∴ y = −2
Representando no plano cartesiano:
Temos a segunda desigualdade: y ≥ x
O centro da circunferência é (2, –2) e o raio é 2, portanto sua equação é:
(x – 2)2 + (y + 2)2 = 22
x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4
x2 + y2 – 4x + 4y + 4 = 0
⎧⎪ x 2 + y 2 ≤ 9
Para resolvermos o sistema ⎨
, temos que
⎪⎩ y ≥ x
pegar a interseção das figuras, o que representa um semi-círculo.
Resposta correta: D
4.
Como y = x, então x2 + y2 = 16 fica x2 + x2 = 16 ⇒
⇒ 2x2 = 16 ⇒ x2 = 8 ⇒ x = ±2 2
Para x = 2 2 ⇒ y = 2 2 e x = −2 2 ⇒ y = −2 2
(2 2; 2 2)
( −2 2; −2 2)
Resposta correta: D
5.
Encontrando o centro e o raio da circunferência.
x2 + y2 + 8x + 14y + 49 = 0
x2 + 8x + y2 + 14y + 49 = 0
(x2 + 8x + 16)(y + 7)2 = 0 + 16
(x + 4)2 + (y + 7)2 = 16
Centro (–4, –7) e R = 4
A=
Calculando a distância entre P(4, 7) e o centro (–4, –7).
d = ( −4 − 4)2 + ( −7 − 7)2
πr 2 π . 32 9π
=
=
2
2
2
Resposta correta: A
d = 64 + 196
d = 260
Como d > R, então o ponto é exterior à circunferência.
2.
Lembrando…
Para que um ponto P(x, y) seja externo a uma circunferência (λ) de raio "R" e centro "C" temos: dP, C > R
1º Modo
Identificar o raio
λ: x – 4x + 4 + y – 2y + 1 = –m + 4 + 1
2
2
λ: (x – 2) + (y – 1) = –m + 5
2
2
Da equação temos C(2; 1) e R2 = –m + 5 ⇒ R = −m + 5 ⇒
⇒ –m + 5 > 0 ⇒ –m > –5 ⇒ m < 5
dC, P = (4 − 2)2 + (3 − 1)2 ⇒ dC, P = 8
Resposta correta: D
4
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MATEMÁTICA 2
então ( 8)2 > ( −m + 5)2 ⇒ 8 > −m + 5 ⇒ m > −3
Como o ponto P(a; b) é o ponto da interseção das circunferências, então podemos:
I) (a – 1)2 + b2 = 8 ⇒ a2 – 2a +1 + b2 = 8 ⇒ a2 + b2 – 2a = 7
2º Modo
Como A(4; 3), então f(4; 3) > 0. Assim:
II) (a – 2)2 + (b – 1)2 = 2 ⇒ a2 – 4a + 4 + b2 – 2b + 1 = 2 ⇒
⇒ a2 + b2 – 4a – 2b = –3
dC, P > R ⇒ 8 > −m + 5, como já consideramos –m + 5 > 0,
5.
(4)2 + (3)2 − 4 (4) − 2(3) + m > 0 ⇒ m > −3
Fazendo (I) e (II), temos:
Pela condição D2 + E2 – 4AF > 0 e sendo D = –4, E = –2,
A = 1 e F = m, temos:
(–4)2 + (–2)2 – 4(1)(m) > 0 ⇒ 20 – 4m > 0 ⇒ 4m < 20 ⇒ m < 5
a2 + b2 − 2a = 7
+
a2 + b2 − 4a − 2b = −3
2a + 2b = 10 ( ÷2)
a+b = 5
Como m > –3 ou m < 5, então: {m ∈ R / − 3 < m < 5}
Resposta correta: C
Resposta correta: {m ∈ R / − 3 < m < 5}
6.
3.
Da equação λ: x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0
λ : x 2 − 2x + 1 + y 2 − 4y + 4 = −1 + 5
Da equação da circunferência λ: 2x2 + 2y2 – 4x –16 = 0,
temos:
2
2
2
2
λ: x + y – 2x – 8 = 0 ⇒ λ: x – 2x +1 + y = 8 + 1 ⇒
⇒ λ: (x – 1) + y = 9, assim C(1; 0) e R = 3
2
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4
dc,r :
Observe a figura:
2
| 1(1) + 1(10) − 2 |
1 +1
2
2
⇒ dc,r =
1
.
2
2
2
⇒ dc,r =
2
2
Resposta correta: B
7.
*
dC, r = 2
3(1) − 4(2) + C1
32 + (4)2
Observe a figura:
−5 + C1
= 2 ⇒ −5 + C1 = 10 ⇒
5
=2⇒
⇒ |–5 + C1| = 10 C1 – 5 = 10 ⇒ C1 = 15
C1 – 5 = –10 ⇒ C1 = –5
Considerando C1 = 15 e C2 = –5, temos as equações
r: 3x – 4y + 15 = 0 e s: 3x – 4y – 5 = 0
Temos a equação λ: x2 + y2 – 6x + 10y + 29 = 0 ⇒
⇒ x 2 − 6x + 9 + y 2 + 10y + 25 = −29 + 9 + 25
(x – 3)2 + (y + 5)2 = 5
Resposta correta: D
4.
Da equação λ1: (x – 6)2 + (y – 1)2 = 9, temos C1(6; 1) e
R1 = 3.
Temos C1(6; 1) e O(2; –2) os centros das circunferências
dC1,O = (6 − 2)2 + (1 + 2)2 = 16 + 9 ⇒ dC1,O = 5
C(3; –5)
R= 5
Temos que a reta "s" passa por dois pontos "A" e "C".
Assim:
Sabemos que existem duas hipóteses para a tangência
de circunferências:
• Tangentes exteriormentes:
dC1,O = r1 + r ' ⇒ 5 = 3 + r ' ⇒ r' = 2
Assim temos a circunfêrencia λ' = (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4
•
Tangentes interiormentes:
dC1,O = | r1 − r" | ⇒ 5 = | 3 − r" | ⇒
⎧s: 2x + y − 1 = 0
⎪
A
⎨
⎪⎩ms = − B ⇒ ms = −2
⇒ |3 – r"| = 5 3 – r" = ⇒ r" = –2 (F)
3 – r" = –5 ⇒ r" = 8
Assim ficarmos com a equação λ": (x – 2)2 + (y + 2)2 = 64
Resposta correta: λ': (x – 2) + (y + 2) = 4
2
2
λ": (x – 2) + (y + 2) = 64
2
2
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 3
Pela figura temos r⊥ s, então mr . ms = –1. Assim, se
1
ms = –2, então mr = .
2
|
MATEMÁTICA 2
5
A reta "r" passa pelo ponto A(2; –3) e tem coeficiente
1
angular mr = . Assim pela relação y – yo = m(x – xo),
2
temos:
1
1
r : y − ( −3) = (x − 2) ⇒ r : y + 3 = x − 1 ⇒ x − 2y − 8 = 0
2
2
⇒ tgθ =
−2 3
3 + 3 −3 3 − 3
⇒ tgθ =
⇒
9−3
6
⇒ tgθ =
− 3
3
⇒ tgθ =
, assim θ = 60o
3
3
Resposta correta: C
8.
r: 2x – y – 1 = 0 ⇒ y = 2x – 1
2
2
λ: x + y + 5x – 7y = 2, como y = 2x – 1, então:
2
2
x + (2x – 1) + 5x – 7(2x – 1) – 2 = 0 ⇒
2
2
⇒ x + 4x – 4x + 1 + 5x – 14x + 7 – 2 = 0 ⇒
⇒ 5x2 – 13x + 6 = 0
2
Δ = b – 4ac
2
Δ = (–13) – 4(5)(6)
Δ = 169 – 120 = 49
13 + 7 2 0
x' =
=
⇒ x' = 2
10
2.5
13 − 7 6
3
3
x" =
=
= ⇒ x" =
2 . 5 10 5
5
Resposta correta: C
A −2
=
⇒ mr = 2
B −1
1
Como r ⊥ s, temos ms = −
2
10. r: 2x –y – 1 = 0; mr = −
1
A reta "s" passa pelo ponto M(1; 1) e tem ms = − ,
2
então
1
y − 1 = − (x − 1) ⇒ 2y − 2 = − x + 1 ⇒ x + 2y = 3 ( ÷3) ⇒
2
x 2y 3
x y
x y
⇒ +
= ⇒ s: + = 1. Como s:
+ = 1, então
3 3
3
3 3
p q
2
3
3 9
p = 3 e q = , assim p + q = 3 + =
2
2 2
Para x = 2 ⇒ y = 2 . (2) – 1 ⇒ y = 3; (2; 3)
3
6
1 ⎛ 3 1⎞
⎛3⎞
Para x = ⇒ y = 2 . ⎜ ⎟ − 1 ⇒ y = − 1 = ; ⎜ ; ⎟
5
5
5 ⎝5 5⎠
⎝5⎠
Observe a figura:
Resposta correta: C
11. Temos que "r" passa pelo ponto P(1; 0) e Q(–1; –2).
Assim:
2
3⎞ ⎛
1⎞
⎛
dA, B = ⎜ 2 − ⎟ + ⎜ 3 − ⎟
5⎠ ⎝
5⎠
⎝
2
⎛ 7 ⎞ ⎛ 14 ⎞
dA, B = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝5⎠ ⎝ 5 ⎠
2
2
49 + 196
⇒ dA, B =
25
dA, B =
⇒ dA, B =
r: –2x + 2y + 2 = 0 (÷2)
r: –x + y + 1 = 0
−A
mr =
=1
B
245
⇒
25
72 . 5
7 5
⇒ dA, B =
5
52
Observe o plano cartesiano abaixo:
Resposta correta: D
9.
r: y – x =1 ⇒ r: –x + y – 1 = 0 ⇒ mr =
− A +1
=
⇒ mr = −1
B
−1
s: y + (2 − 3)x = 1 ⇒ s: (2 − 3)x + y − 1 = 0 ⇒
⇒ ms =
tgθ =
mr − ms
−1 + 2 − 3
⇒ tgθ =
⇒
1 + mr .ms
1 + ( −1).(2 + 3)
⇒ tgθ =
6
− A −2 + 3
=
⇒ ms = −2 + 3
B
1
1− 3
1 − 3 (3 + 3)
.
⇒ tgθ =
⇒
3− 3
3 − 3 (3 + 3)
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MATEMÁTICA 2
*
*
Como r ⊥ s, então, mr . ms = –1 ⇒ ms = –1
"s" passa (1; 2) e tem ms = –1, então
s: y – yo = ms(x – xo)
s: y – 2 = –1(x – 1)
s: x + y – 3 = 0
Considere o ponto "P" como o ponto de encontro das
⎧− x + y = −1
; x = 2 e y = 1.
retas "r" e "s", ⎨
⎩x + y = 3
Considere o ponto “R” o ponto simétrico de “N” em
relação à “r”. Assim “P” é ponto médio de NR. Assim:
x + xR
1+ a
xP = N
⇒2=
⇒a=3
2
2
R(3; 0)
yN + yR
2+b
⇒ 1=
⇒b=0
yP =
2
2
Resposta correta: B
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