O modelo atômico (didático) de Bohr-Heisenberg.

Divisão de Ensino de Química da Sociedade Brasileira de Química (ED/SBQ)
Departamento de Química da Universidade Federal de Ouro Preto (DEQUI/UFOP)
EAP
O modelo atômico (didático) de Bohr-Heisenberg.
Edvaldo Silva dos Santos (IC)*1, José Luis P. B. Silva (PQ)1. [email protected]
1. Instituto de Química da Ufba - 40.170-115 - Salvador - BA.
Palavras-Chave: princípio da incerteza, modelo atômico, ensino de química.
RESUMO: ESTE TRABALHO OBJETIVA DISCUTIR A CONTRIBUIÇÃO DO PRINCÍPIO DA INCERTEZA PARA O ENSINO DOS
MODELOS ATÔMICOS DA MATÉRIA. CONSIDERANDO QUE O ENSINO DO MODELO QUÂNTICO DO ÁTOMO REQUER O
ENSINO DE CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA QUÂNTICA, DISCUTIMOS COMO O PRINCÍPIO DA INCERTEZA CONDUZ À
INDETERMINAÇÃO DAS TRAJETÓRIAS DOS ENTES QUÂNTICOS. T AL FATO IMPLICA NA INADEQUAÇÃO DE MODELOS
ATÔMICOS QUE EMPREGUEM ÓRBITAS ELETRÔNICAS EM TORNO DO NÚCLEO. DECORRE DAÍ O ENTENDIMENTO DA
ELETROSFERA COMO UMA REGIÃO DO ESPAÇO DE SIMETRIA ESFÉRICA E DE CONTORNOS INDEFINIDOS EM VOLTA
DO NÚCLEO. PROPOMOS, ENTÃO, O MODELO ATÔMICO DE BOHR-HEISENBERG COMO UM CONSTRUTO DIDÁTICO
QUE PODE TRAZER CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO DOS MODELOS ATÔMICOS.
INTRODUÇÃO
O ensino do conceito de átomo na química costuma seguir uma sequência
temporal de apresentação de modelos que pode ser expressa do seguinte modo:
modelo de Dalton, modelo de Thomson, modelo de Rutherford, modelo de Bohr,
modelo de orbitais.
Defendemos o ensino do modelo de orbitais no ensino médio de química, por
se tratar de um modelo amplamente utilizado nas explicações químicas, um
instrumento importante do pensamento químico atual. Por isso, o modelo atômico de
orbitais é um conhecimento químico “clássico, (...) que se firmou como fundamental,
como essencial” (SAVIANI, 2005, p. 13) da química e, como tal, não pode deixar de ser
ensinado às novas gerações.
Nossa posição é corroborada pelas Orientações Curriculares para o Ensino
Médio que apontam o “reconhecimento do modelo quântico do átomo como
interpretação do comportamento das partículas atômicas a partir de leis da Física
moderna fundamentadas em princípios diferentes dos previstos pela Física clássica”
como “conhecimentos químicos, habilidades e valores da base comum” (CIÊNCIAS,
2006, p.113).
O ensino do modelo atômico de orbitais exige o ensino de conceitos básicos da
teoria quântica, entre os quais o princípio da incerteza. Analisando livros didáticos de
química para o ensino médio aprovados no PNLD 2012, constatamos que apenas dois
livros, entre cinco, discutem o principio da incerteza, porém, sem estabelecer um
vínculo claro com o modelo atômico (SANTOS, 2013; SANTOS; SILVA, 2013).
Embora o ensino do modelo quântico do átomo abra possibilidades de
interdisciplinaridade com o ensino da física moderna, os trabalhos sobre ensino de
modelos atômicos não costumam estabelecer relação com o principio da incerteza (por
exemplo: MOURA; GUERRA, 2013; CASALLAS et al., 2013; RAMIREZ; BADILLO;
MIRANDA, 2010). As investigações sobre o ensino do princípio da incerteza também
não o relacionam ao modelo atômico (por exemplo: ABREGO et al., 2013; STUART
JÚNIOR; ZULIANI, 2012).
Este trabalho tem como objetivo compreender a contribuição do princípio da
incerteza para o ensino dos modelos atômicos. Em outras palavras, pretendemos
responder à seguinte questão de pesquisa: que contribuição que o princípio da
incerteza pode dar para o ensino dos modelos atômicos?
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HEISENBERG E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA
O princípio da incerteza foi proposto por Werner Heisenberg, em 1927
(HEISENBERG, 1983), e é considerado como um dos conceitos básicos da teoria
quântica. Antes de deduzi-lo, Heisenberg havia realizado estudos que levaram à
elaboração, juntamente com Born e Jordan, da formulação matricial da mecânica
quântica, aplicando-a aos problemas atômicos.
Por outro lado, Erwin Schroedinger elaborou uma formulação ondulatória da
mecânica quântica que se mostrou equivalente à formulação matricial e, por utilizar
equações diferenciais — equações de onda — um procedimento comum da física,
obteve a simpatia dos físicos.
Heisenberg (1996) conta que esteve um Munique para visitar seus pais e teve
a oportunidade de assistir a uma palestra de Schroedinger, discordando de sua
interpretação ondulatória fenômenos quânticos. Schroedinger foi convidado por Bohr
para ir a Copenhagen a fim de discutir a interpretação da mecânica quântica, que foram
acompanhadas por Heisenberg. Após alguns dias de discussões, não se havia
chegado a qualquer entendimento. Por um longo período Heisenberg discutiu com
Bohr, sobre a interpretação física da mecânica quântica, através da elaboração de
experimentos mentais, contudo perceberam que estavam traçando caminhos
diferentes. Bohr partia da complementaridade de partículas e ondas, considerando que
ambos eram necessários para uma descrição completa dos processos atômicos,
embora fossem conceitos mutuamente excludentes. Heisenberg tinha a convicção que
“era preciso nos afastar da representação objetiva de processos no tempo e no
espaço”, que “era impossível construir um modelo descritivo espaço-temporal dos
processos atômicos” (HEISENBERG, 1996, p.89) e
queria partir do fato de que a mecânica quântica, tal como a conhecíamos na
época, já impunha uma interpretação física singular de certas grandezas que
nela ocorriam — por exemplo, os valores médios da energia, do momento
elétrico, do impulso, das flutuações etc. — de modo que era como se já não
tivéssemos nenhuma liberdade no que dizia respeito a essa interpretação
(HEISENBERG, 1926, p. 94).
No início de 1927, Bohr viajou para a Noruega, em gozo de férias, e
Heisenberg permaneceu em Copenhague onde se concentrou em desenvolver uma
representação quantum mecânica para a trajetória do elétron na câmara de nuvens.
Sem sucesso começou a se indagar se estaria formulando a questão de pesquisa
adequada. A trajetória do elétron na câmara de nuvens era um fato, um evento
observável. Porém, tal trajetória era composta por gotículas de água condensadas
quando da passagem do elétron, Como as gotas d’água são muito maiores que os
elétrons, poderiam nos dar a impressão de formar uma trajetória contínua, quando, na
verdade, talvez se tratasse “apenas uma série de pontos distintos e mal definidos,
pelos quais o elétron havia passado” (HEISENBERG, 1996, p.95). Logo, as questões
poderiam ser as seguintes:
pode a mecânica quântica representar o fato de que um elétron se encontra
aproximadamente (ou seja, com uma certa imprecisão ) num determinado lugar
e se move aproximadamente (de novo, com uma certa imprecisão ) com
determinada velocidade? Podemos tornar essas aproximações tão estreitas
que elas não provoquem dificuldades experimentais? (HEISENBERG, 1996,
p.95-96).
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Heisenberg (1996) lembrou que, em discussões com um colega, quando ainda
era estudante, este havia sugerido a possibilidade de utilizar de um microscópio alto
poder de resolução para observar as trajetórias eletrônicas no interior do átomo. Uma
análise de tal experimento de pensamento (HEISENBERG, 1949) mostrou que, para
qualquer microscópio, “o produto das incertezas dos valores medidos da posição e do
momento (isto é, o produto de massa pela velocidade) não pode ser inferior à
constante de Planck, ou um quantum de ação.” (HEISENBERG, 1996, p. 96). Tal
formulação ficou conhecida como princípio da incerteza da mecânica quântica [1]. A
asserção acima pode ser escrita em termos matemáticos:
Δp xΔx  /2
Em outras palavras, o princípio da incerteza afirma ser impossível determinar a
posição e o momento de um ente quântico simultaneamente e com qualquer precisão:
se a incerteza na medida do momento é reduzida ao mínimo (∆p → 0), a incerteza na
medida da posição tende ao máximo (∆x → ) e vice-versa. Quanto menor a incerteza
na medida de uma das variáveis (x ou p), maior a incerteza na medida da outra
variável.
Para Heisenberg (1949, p.15) o “uso das palavras ‘posição’ e ‘velocidade’ com
exatidão [accuracy] maior que a estabelecida pela equação I [ Δp xΔx  /2 ] é tão sem
significado quanto o uso de palavras cujo sentido não é definido”. De modo mais forte,
entendia que a clareza de termos tais como “posição” ou “velocidade” estava vinculada
à especificação dos modos pelos quais poderiam ser medidos seus valores, caso
contrário, tais termos não teriam significado (HEISENBERG, 1983).
Divergimos de tal posição. Entendemos que os entes quânticos, tais como, os
elétrons, núcleos, átomos, moléculas, entre outros, possuem posição e momento (e
velocidade) definidos a cada instante, embora não sejam conhecidos simultaneamente,
pois os métodos que se pode empregar nas medidas provocam distúrbios nos seus
valores, conforme dado pelo princípio da incerteza (PESSOA Jr, 2003).
O PRINCÍPIO DA INCERTEZA E O MODELO ATÔMICO
No século XIX o conceito de átomo penetrou na química, a partir de Dalton,
contribuindo fortemente para o seu desenvolvimento. Ao longo dos anos
desenvolveram-se as ideias de ligação entre átomos (ligação química), de valência, de
estrutura molecular, que implicaram em aperfeiçoamento do modelo atômico de Dalton.
O século XX iniciou com a divisibilidade dos átomos em duas partes com
cargas elétricas opostas. J. J. Thomson, que desenvolvia estudos sobre modelos
atômicos há alguns anos, propôs, em 1904, na esteira da divisibilidade do átomo, um
modelo atômico em que os elétrons se moviam em órbitas circulares coplanares no
interior de uma esfera uniformemente positiva (LOPES, 2009).
Nos finais de 1903, Nagaoka já havia apresentado um modelo atômico nuclear
perante a Sociedade de Física e Matemática de Tóquio. Nesse modelo, um corpúsculo
da grande massa e carga elétrica positiva era rodeado por elétrons que se moviam em
um círculo, distribuídos em intervalos angulares idênticos. Os corpúsculos interagiam
segundo uma lei coulômbica. Foi o primeiro modelo atômico nuclear (LOPES, 2009).
[1] O princípio da incerteza não se resume ao par posição-momento, mas, a todo par de variáveis cujos
operadores não comutem, segundo o formalismo da mecânica quântica. Focamos no par posiçãomomento por ser relevante para o argumento apresentado neste trabalho.
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Alguns anos depois (1808-1910), Geiger e Mardsen realizaram as conhecidas
experiências de dispersão de partículas alfa que levaram Rutherford a propor outro
modelo nuclear do átomo, em 1911, citando, inclusive, o modelo de Nagaoka (Lopes,
2009).
Ainda em 1911, Nicholson publicou uma proposta de modelo atômico que
consistia de um núcleo rodeado por elétrons em órbitas. Este modelo derivou,
possivelmente, dos trabalhos de Nagaoka e Thomson, pois as experiências de
espalhamento de raios alfa de Rutherford não foram citadas (LOPES, 2009).
Em 1913, Niels Bohr apresentou uma crítica à instabilidade do modelo de
Rutherford: segundo a eletrodinâmica clássica, os elétrons emitiriam energia e
ganhariam velocidade em seu movimento em volta dos núcleos, conduzindo o átomo
ao colapso. Então, elaborou outro modelo atômico, considerando: um núcleo massivo,
de dimensões reduzidas e carga elétrica positiva; um elétron movendo-se com
velocidade muito menor que a velocidade da luz, em órbitas circulares estacionárias
em volta do núcleo; a mecânica clássica tem validade nos estados estacionários; que
nas transições entre estados estacionários, tanto a mecânica clássica quanto a
eletrodinâmica clássica não têm validade; que a transição entre tais estados se dá por
emissão/absorção de energia segundo a lei de Planck (BOHR, 2001).
Portanto, verificamos que os modelos atômicos, nucleares ou não, propostos
no início do século XX adotavam a ideia de elétrons em trajetórias em volta do núcleo.
Por trajetória entendemos a sequência de posições do espaço percorridas por um
corpo. De acordo com a mecânica clássica, a determinação da trajetória de um corpo
requer o conhecimento de: (a) posição do objeto no espaço num dado instante do
movimento, x(t); (b) velocidade instantânea do objeto no mesmo instante, v(t); (c)
forças que atuam (e atuarão) sobre o objeto a partir desse instante, F(t). Com tais
informações é possível prever (calcular) a trajetória do corpo em foco.
Para determinar a posição no espaço onde o corpo se encontra, é preciso
efetuar a medida da distância em relação à origem do referencial adotado. Isto pode
ser feito lançando fótons de luz visível em direção ao corpo, que irão se chocar com o
corpo, serão refletidos e alcançarão o aparelho de medida (que, inclusive, pode ser
nossos olhos) o qual identifica a posição do corpo.
Para conhecermos a velocidade do corpo, v(t), medem-se duas posições em
instantes seguidos e próximos; a velocidade é obtida dividindo-se a o espaço
percorrido pelo intervalo de tempo correspondente: v = (dx/dt).
Consideremos que o corpo em questão seja um corpo macroscópico —
clássico, ou seja, não quântico — com massa de 10 g e com velocidade de 3 m/s
(aproximadamente 1 km/h), algo como uma bolinha de vidro. Logo, a energia cinética
[(1/2) mv2] da bolinha será igual a 4,5.10-2 J. Por outro lado, um fóton de luz visível terá
energia (h) da ordem de 3,3.10-19 J. Portanto, se o corpo em medição é macroscópico
sua energia cinética é muito grande em relação à energia dos fótons utilizados nas
medidas de x(t) e v(t), — 1021 vezes maior! — de modo que, o choque dos fótons com
o corpo não provoca desvios perceptíveis em sua posição nem em sua velocidade, ou
seja: não altera a trajetória do corpo sob medição.
Consideremos, agora, a determinação da trajetória de um elétron na eletrosfera
de um átomo. As leis mecânicas clássicas requerem, como já visto, que sejam
determinados x e v em dado instante t. Consideremos uma experiência de pensamento
(HEISENBERG, 1949) onde o experimentador olhará através de um microscópio de
grande poder resolutivo e verá o corpúsculo em seu percurso, de modo que, pode
medir sua posição, x(t). Tal microscópio não poderá utilizar luz visível, uma vez que seu
poder de resolução não pode ser menor que o comprimento de onda da luz. Mas, um
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microscópio que utilizasse raios gama, cujo comprimento de onda é menor que o
tamanho do átomo (10-8 cm), se adequaria ao propósito do experimento. No momento
da observação o aparelho coletaria o fóton de radiação gama espalhado pelo
corpúsculo.
Há, porém, uma diferença entre a medição da posição do elétron — um ente
quântico — e a posição de um corpo clássico: a energia dos fótons empregados na
medição é comparável à energia do elétron. Por exemplo, consideremos um elétron no
nível fundamental de um átomo de hidrogênio, onde possui energia igual a 2,2.10-18 J.
Os fótons de raios gama possuem energia da ordem de 6,6.10-15 J, ou seja, 1000
vezes maior que a energia do elétron no átomo. Ao lançarmos um fóton sobre o elétron
ocorre uma transferência de energia que altera a sua trajetória e sua velocidade, como
representado na Figura 1. De modo geral, o ato de medir a posição do elétron perturba
sua posição e sua velocidade, pois o choque do fóton de raios gama com o elétron
retira-o de sua posição e altera sua velocidade, conforme descrito pelo efeito Compton
[2]. Logo, a posição medida já não terá correspondência com a trajetória que o elétron
percorrerá após a medida.
Um raciocínio similar se aplica à medição da velocidade do elétron, pois para
isto, são necessárias duas medidas de posição em instantes seguidos. Como cada
medição altera a velocidade e a posição do elétron, a medida de velocidade realizada
não corresponde à trajetória resultante.
De fato, esta explicação se aplica às medidas de posição e velocidade de
quaisquer entes quânticos, pois nesses casos, as energias dos fótons empregados nas
medidas são comparáveis às energias dos objetos sob medição. Cada nova medida
implica em modificação do movimento do corpúsculo, de modo que, os valores de x(t) e
v(t) obtidos não correspondem à trajetória que o corpúsculo está realmente
percorrendo após as medidas.
Figura 1: Representação do Efeito Compton (2011).
[2] Em 1923, Arthur Holly Compton realizou experimentos para avaliar a natureza corpuscular da
radiação. Compton fez com que feixes de raio X incidissem sobre um alvo de grafite e medindo a
intensidade do raio X espalhado em função do seu comprimento de onda, para vários ângulos de
espalhamento. Como resultado Compton propôs que o fóton incidente ao se chocar com o elétron
transfere parte de sua energia, provocando o deslocamento do elétron; o fóton espalhado deve ter
energia menor, o que implica em um comprimento de onda maior que do fóton incidente.
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De modo geral, teremos imprecisão tanto no valor de x quanto no valor de v.
Isso vale para x(t) e v(t). Uma vez que não são conhecidos os valores de x(t) e v(t) não
podemos calcular a trajetória de um ente quântico, contrariamente do pode ser
realizado para o corpo macroscópico. Por isso, segundo o princípio da incerteza, não
há sentido em se propor órbitas eletrônicas em modelos atômicos.
O MODELO ATÔMICO (DIDÁTICO) DE BOHR-HEISENBERG
O modelo atômico proposto por Bohr considera que os elétrons se movem em
órbitas em torno do núcleo atômico. Para fazer essa afirmativa, é necessário que as
posição e velocidade sejam conhecidas com precisão. Porém, tal não é possível, em
virtude das incertezas introduzidas nas medidas dos elétrons, que são entes quânticos.
Sendo assim, o modelo atômico de Bohr falha ao postular órbitas definidas para os
elétrons nos átomos.
Entretanto, admitimos que que as demais características do modelo de Bohr
são adequadas para explicar os fenômenos químicos: um átomo deve possuir núcleo
com carga elétrica positiva e grande massa em relação aos elétrons; os elétrons
possuem carga elétrica negativa, de modo que, interagem com o núcleo atômico
(atração) e entre si (repulsão); os estados de energia dos elétrons nos átomos são
quantizados. Considerando que os elétrons se encontrem em permanente movimento
em volta do núcleo, embora não conheçamos suas trajetórias com certeza, podemos
definir a eletrosfera como uma região do espaço em volta do núcleo atômico onde os
elétrons se movem. A eletrosfera é entendida como tridimensional e possuindo simetria
esférica, tal como o campo criado pela carga elétrica do núcleo atômico; a eletrosfera
não possui contornos definidos, pois a interação coulômbica elétron-núcleo só se anula
a distâncias infinitas.
Com a substituição do postulado das órbitas eletrônicas pelo conceito de
eletrosfera acima exposto introduzimos o modelo atômico de Bohr-Heisenberg, um
construto teórico que pretende trazer contribuições para o ensino da química.
Em primeiro lugar, o modelo atômico de Bohr-Heisenberg expressa claramente
a imbricação dos conceitos químicos clássicos e conceitos físicos modernos, exigindo a
maior aproximação entre ensino de química e ensino de física. Desse modo é criada
uma situação didática para a interdisciplinaridade, prática que costuma ser mais
anunciada que efetivamente realizada. Essa proposta implica na superação das
tradições do ensino de ciências, pois, enquanto o modelo atômico costuma ser
estudado no início (1º ano) do ensino médio de química, a física moderna costuma ser
estudada no final (3º ano) do ensino médio de física. Uma possibilidade seria a o
ensino trabalhar por mais tempo os aspectos macroscópicos da química de modo a
possibilitar ao ensino de física avançar na mecânica clássica e quântica.
Segundamente, esclarece a importância do princípio da incerteza na
elaboração do modelo atômico, possibilitando a explicação de como se deu o
abandono do conceito de órbitas no modelo atômico. Nesse sentido, é uma
oportunidade para o emprego da história da ciência no ensino de química.
Em terceiro lugar, o modelo atômico de Bohr-Heisenberg introduz a noção de
eletrosfera como uma região do espaço tridimensional e sem contornos definidos. Este
conceito, muito empregado na química não tem sido devidamente explicado nos livros
didáticos aprovados no PNLD 2012. É comum o emprego da metáfora da nuvem
eletrônica, que induz uma noção de dispersão do elétron e pode vir a constituir-se num
obstáculo realista para a compreensão da ideia que a trajetória é indeterminada.
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O entendimento deste conceito de eletrosfera abre as portas para a
compreensão do conceito de orbital atômico. Em geral, a substituição do modelo de
Bohr pelo modelo de orbitais não é bem explicada. O modelo de Bohr-Heisenberg pode
servir de elemento de ligação entre esses modelos, embora não seja único elo
necessário. Como já apontamos em outro lugar (SILVA; CUNHA, 2008), são
necessários cinco aspectos para compreensão do modelo quântico do átomo: o que
caracteriza um sistema quântico como tal; seu comportamento dual (onda/partícula);
movimento sem trajetória definida; a representação do estado por uma função de onda;
caráter probabilístico do seu comportamento.
Em vista do exposto, concluímos que o princípio da incerteza pode contribuir
para o ensino dos modelos atômicos através da explicação da impossibilidade de se
determinar as trajetórias dos elétrons nos átomos e o consequente abandono dessa
característica nos modelos atômicos. No intuito de contribuir para a substituição do
modelo de órbitas para o modelo de orbitais, propomos o modelo atômico de BohrHeisenberg como um instrumento didático.
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