Algumas propriedades e resultados - DM

Algumas propriedades e resultados
Axioma 1. Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.
Teorema 2. Os ângulos opostos formados pelas retas concorrentes são congruentes.
b = DEF
b e BC = EF então
Axioma 3 (LAL). Sejam 4ABC e 4DEF com AB = DE, ABC
os dois triângulos são congruentes.
b = DEF
b
b = F DE,
b
AB = DE, ABC
Teorema 4 (ALA). Sejam 4ABC e 4DEF com C AB
então os dois triângulos são congruentes.
Teorema 5. Dois lados de um triângulo são congruentes se, e somente se, os ângulos opostos
aos lados forem congruentes.
Teorema 6. Se um triângulo é isóceles, a mediana, a mediatriz, a bissetriz e a altura relativa
a base ou ao vértice oposta a base são coincidentes.
Teorema 7 (LLL). Sejam 4ABC e 4DEF , AB = DE, BC = EF e AC = DF então os
dois triângulos são congruentes.
Axioma 8 (paralelas). Por um ponto fora da reta, passa uma única reta paralela.
Teorema 9. Por um ponto, passa uma única reta ortogonal a reta dada.
Teorema 10. Dado uma reta concorrente as duas retas, são equivalêntes
• As duas retas são paralelas
• Os ângulos alternos internos são congruentes.
• Os ângulos correspondentes são congruentes.
• os ângulos colaterais internos são suplementares.
Teorema 11. A soma de ângulo interno de um triângulo é 180◦ e o ângulo externo é a soma
de dois ângulos internos não adjacentes.
Teorema 12. Num triângulo, o lado oposto ao ângulo maior é maior que o lado oposto ao
ângulo menor. Reciprocamente, o ângulo oposto ao lado maior é maior que o ângulo oposto ao
lado menor.
Teorema 13. A soma das medidas de dois lados de um triângulo é maior que a medida do
terceiro lado.
Corolário 14 (desigualdade triangular). AC ≤ AB + BC. Se A, B e C forem distintos, a
igualdade ocorre se, e somente se, B estiver entre A e C.
Teorema 15 (paralelogramo). Dado um quadrilátelo, são equivalêntes
• É um paralelogramo.
• Os lados opostos são congruentes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
• Tem um par de lados opostoso paralelos e congruentes.
• Os diagonais cruzam no meio.
Observação 16. Dois segmentos são ditos paralelas quando as retas determinadas pelos segmentos são paralelas. Dois segmentos são ditos ortogonais se possui ponto em comum e as retas
determinadas por eles são ortogonais..
Teorema 17 (Teorema fundamental da proprocionalidade). Dois triângulos com todos os ângulos correspondêntes congruentes são semelhantes. Dois triângulos com todos os lados congruentes também são semelhantes.
Teorema 18 (Teorema de Tales generalizado). Quando três retas paralelas cruzam outras
duas retas, os segmentos determinados sobre uma destas retas é proporcional aos segmentos
determinados sobre a outra reta.
Teorema 19 (Pitagoras). Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenus é igual
a soma dos quadrados da medida dos catetos.
Teorema 20. Uma reta que intercepta o círculo é tangente se, e somente se, o raio determinado
pelo ponto de intersecção for ortogonal ao raio.
Teorema 21. A medida de ângulos sobre o arco é a metade do ângulo central correspondênte.
Corolário 22. Os ângulos sobre o mesmo arco são congruentes.
Teorema 23. Todo triângulo possui um círculo inscrito e um círculo circunscrito.
Dois círculos são ditos concentricos quando possui o mesmo centro.
Teorema 24. Um poligono é regular se, e somente se, possui cinsculos inscritos e circunscritos
concentricos.
Teorema 25. O comprimento do círculo é proporcional ao raio, onde metade da razão de
proporcionalidade será denominado de π.
Teorema 26. Dois poligonos congruentes possui a mesma área.
Teorema 27. A área do paralelogramo é o produto de um dos lados pela altura relativa a este
lado.
Teorema 28. A área do triângulo é metade do produto de um dos lados pela altura relativa a
este lado.
Corolário 29. A área do círculo é proporcional ao quadrado do raio onde a razão de proporcionalidade é o número π definido pelo Teorema 25.