Gabarito comentado da Prova Proposta para alunos da 8º Ano do

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO Gabarito comentado da Prova Proposta
SANTO INÁCIO – RJ.
para alunos da 8º Ano do Ensino
Fundamental
1ª Questão:
A figura mostra parte de um polígono regular de 20 lados
(icoságono) ABCDEF:::, um quadrado BCYZ e um pentágono
regular DEVWX.
ˆ .
Determine a medida do ângulo YDC
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
45º
48º
52º
54º
60º
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA D
O ângulo interno do icoságono regular mede
180º 18º
 162º .
20
ˆ  162º 90º  72º . Como YC = CD, o triângulo YCD é
Segue que YCD
ˆ  DYC
ˆ =
isósceles de base YD. Assim, YDC
180º 72º
 54º
2
2ª Questão:
Uma tira de papel retangular é dobrada ao
longo da linha tracejada, conforme indicado,
formando a figura plana da direita. Qual a
medida do ângulo x ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
30º
50º
80º
100º
130º
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
Observando a figura da fita dobrada vemos que x + 50º + 50º = 180º,
donde x = 80º.
CF/094/14 1
3ª Questão:
Se
1
37
1
, então
é igual a:

a  11 73
a  13
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
37
78
42
78
37
98
37
75
37
147
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA E
De
1
37
73
73
147
1
37

2

segue que a  11 
. Logo, a  13  a  11  2 
. Então,
a  11 73
37
37
a  13 147
37
4ª Questão:
O número n é um inteiro negativo. Qual dos números abaixo é o maior?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
– 3n
3n
n–3
9n – 3
n–9
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA A
Vamos investigar as alternativas uma a uma. Como n é negativo, temos:
(A) − 3n = (−3)n é positivo, pois é o produto de dois números negativos;
(B) 3n é negativo, pois é o produto de um número positivo e um negativo;
(C) n −3 = n + (−3) é negativo, pois é a soma de dois números negativos;
CF/094/14 2
(D) 9n − 3 = 9n + (−3) é negativo, pois é a soma de dois números negativos; notamos que 9n é
negativo, pois é o produto de um número positivo e outro negativo;
(E) n − 9 é negativo, como no item (c).
5ª Questão:
A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião.
O primeiro trecho faz um ângulo de 18º com a direção norte e o segundo,
um ângulo de 44º, também com a direção norte. Se o avião tivesse
percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse
trecho com a direção norte?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
12º
13º
14º
15º
16º
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B
Como os segmentos AF e ED apontam para o norte, eles são paralelos, e como AB é
ˆ  FAB
ˆ  18º (são ângulos alternos internos).
transversal a AF e a ED segue que DBA
ˆ  180º  18º 44º   118º . Como AB = BC, o triângulo ABC é isósceles; os
Logo ABC
180º 118º
 31º .
2
ˆ  BAC
ˆ  BAF
ˆ  31º 18º  13º .
Concluímos então que FAC
ˆ e CAB
ˆ medem então
ângulos iguais ACB
6ª Questão:
Arnaldo, Beto, Celina e Dalila formam dois casais. Os quatro tem
idades diferentes. Arnaldo é mais velho que Celina e mais novo
que Dalila. O esposo de Celina é a pessoa mais velha. É correto afirmar
que:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Arnaldo é mais velho que Beto e sua esposa é Dalila.
Arnaldo é mais velho que sua esposa Dalila.
Celina é a mais nova de todos e seu marido é Beto.
Dalila é mais velha que Celina e seu marido é Beto.
Celina é mais velha que seu marido Arnaldo.
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
Na figura ao lado, A representa a idade de Arnaldo, C a
de Celina e D a de Dalila; a flecha indica o sentido de
CF/094/14 3
idade crescente. A ordem das letras C, A e D indica que Arnaldo é mais velho que Celina e mais novo que
Dalila. Logo o esposo de Celina é Beto, que é também o mais velho de todos.
7ª Questão:
A figura mostra dois homens erguendo um piano com uma corda. Se um dos homens puxar 15 m de corda e
o outro puxar 25 m, quantos metros o piano vai subir?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
15
20
25
30
40
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B
O comprimento da parte da corda que fica entre as polias fixas diminuirá 15 + 25 = 40 metros depois
que os homens puxarem a corda. A polia móvel imediatamente acima do piano distribui ao meio
esses 40 metros; assim, o piano subirá 40 : 2 = 20 metros.
8ª Questão:
A figura mostra um quadrado com suas diagonais e segmentos que unem os pontos
médios de seus lados. A área em preto corresponde a que fração da área do
quadrado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
2
2
3
3
4
3
8
9
16
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
O quadrado está dividido em quatro quadrados menores iguais. Cada um dos triângulos brancos tem um
lado que é um lado de um quadrado menor e sua altura, relativa a este lado, é a metade do lado do quadrado
1
2  1 da área de um quadrado menor. Como são quatro desses triângulos, vemos
2
4
1
menor; logo sua área é
CF/094/14 4
que a área da parte branca é igual à área de 4 
é
1
 1 quadrado menor. Como área de um desses quadrados
4
1
1 3
da área do quadrado maior, segue que a área preta é igual a 1   da área do quadrado maior.
4
4 4
9ª Questão:
Arqueólogos encontraram um colar de ouro feito de
placas no formato de pentágonos regulares. Cada uma
destas placas está conectada a outras duas placas, como
ilustra a figura. Quantas placas formam o colar?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
8
10
11
12
13
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B
O ângulo interno de um pentágono regular mede 108º.
Assim, o ângulo interno do polígono determinado pelo colar
mede 360º - 108º - 108º = 144º. Devemos então encontrar n
180º n  2 
tal que
 144º . Resolvendo esta equação, obtemos
n
n = 10. Portanto, dez placas formam o colar.
10ª Questão:
A figura mostra um polígono regular de dez lados com centro O. Qual é a medida do ângulo a?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
15º
18º
20º
30º
36º
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B
CF/094/14 5
11ª Questão:
Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina pesa o dobro
de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina
que valia R$1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber se vender os quatro pedaços?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
R$ 160,00
R$ 200,00
R$ 250,00
R$ 400,00
R$ 500,00
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA A
Se o peso de uma turmalina é o dobro do peso de outra, então seu peso é cinco vezes o preço da outra; isto
equivale a dizer que se uma turmalina pesa a metade de outra, então seu preço é um quinto do preço da
outra. Zita dividiu sua turmalina em 4 pedras iguais, o que equivale a primeiro dividi-la em 2 turmalinas
iguais e depois dividir cada uma dessas em 2 também iguais. No primeiro passo, Zita ficará com 2
turmalinas cada uma de valor igual a 200 reais. Depois do segundo passo, Zita terá 4 turmalinas, cada uma
valendo 40 reais; essas 4 turmalinas juntas valem 4×40 =160 reais. Podemos esquematizar a solução da
seguinte forma, mostrando como calcular o preço de uma das quatro turmalinas menores:
12ª Questão:
José e seus parentes moram em algumas das cidades A, B, C, D e E, indicadas na figura com as distâncias
entre elas. Ele saiu de sua cidade e viajou 13 km para visitar seu tio, depois mais 21 km para visitar sua irmã
e, finalmente, mais 12 km para ver sua mãe. Em qual cidade mora a mãe de José?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
A
B
C
D
E
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA D
A primeira etapa da viagem do José só pode ter sido C→E ou E→C, pois 4+9 =13 é o único modo de
percorrer 13 km entre cidades nessa estrada. Como todas as cidades distam de C menos que 21 km, o
CF/094/14 6
percurso inicial foi C→E. Percorrendo 21 km a partir de E José chega à cidade A e mais 12 km o levam à
cidade D, que é onde mora sua mãe.
13ª Questão:
No gráfico estão representadas as populações das
cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em
milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a
população da cidade II era de 60 000 habitantes e
em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.
Qual cidade teve o maior aumento percentual de
população de 1990 a 2000?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
I
II
III
IV
V
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA A
As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:
, concluímos que o maior aumento percentual de população
14ª Questão:
A figura representa parte de uma régua graduada de meio em meio centímetro, onde estão marcados alguns
pontos. Qual deles melhor representa o número 2x +1?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
R
S
T
U
V
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
CF/094/14 7
Notamos que x é maior que 0,5 e menor que 1, isto é, 0,5 < x< 1. Como 2 é positivo, multiplicando
por 2 todos os membros desta desigualdade o sinal é preservado e obtemos 1 < 2x < 2. Somando 1 a todos
os membros obtemos 2 < 2x + 1 < 3, ou seja, 2x + 1 é um número entre 2 e 3. O único ponto na figura que
satisfaz esta condição é o ponto T.
15ª Questão:
Qual dos números a seguir está mais próximo de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
60,12   0,99 
401
2
?
0,03
0,3
3
30
300
SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C
Vamos usar o símbolo ≈ para indicar “aproximadamente igual a”; ou seja, x ≈ y quer dizer que x é
aproximadamente igual a y. Por exemplo, 0,99 ≈ 1; 401 ≈ 20 e 60,12 ≈ 60 . Em geral, se em uma operação
aritmética trocamos os números envolvidos por outros aproximadamente iguais a eles, o resultado da
operação deve ser uma aproximação do que teríamos obtido com os números originais. Nesse caso, 3.
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