Conceitos B asicos Sobre Capacitores e Indutores

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, no. 2, junho, 1996
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Conceitos B
asicos Sobre Capacitores e Indutores
(Basic Concepts About Capacitors and Inductors)
Djalma M. Redondo e V. L. Lbero
Departamento de Fsica e Informatica
Instituto de Fsica de S~ao Carlos,
Universidade de S~ao Paulo, 13560 S~ao Carlos, SP, Brasil
Trabalho recebido em 30 de junho de 1995
Resumo
Circuitos contendo capacitores ou indutores s~ao abordados sem o uso de equac~oes diferenciais
ou outros formalismos avancados. Atraves de analise dimensional e da comparac~ao entre
escalas de tempo envolvidas nos processos de carga, algumas caractersticas basicas desses
componentes s~ao discutidas.
Abstract
Circuits with capacitors and inductors are discussed without the use of diferencial equations
or other advanced formalism. Through dimensional analysis and comparison of the time
scales involved in the charge process, several basic characteristic of those components are
discussed.
1. Introduca~o
2. Capacitores
Quando trabalhamos com tens~oes ou correntes que
variam no tempo, em particular correntes alternadas,
dois dispositivos eletr^onicos ganham especial atenc~ao:
o capacitor e o indutor. A import^ancia desses dispositivos na eletr^onica em geral e consagrada. Ao lado do
resistor s~ao os elementos mais antigos, mais usados em
qualquer equipamento eletr^onico, e mesmo com a atual
tend^encia de integrac~ao em larga escala, esses dispositivos n~ao perdem sua import^ancia. S~ao insubstituveis
pelas suas proprias concepc~oes.
Vamos olhar para alguns aspectos interessantes desses dispositivos. N~ao temos a pretens~ao de fazer uma
teoria completa[1], mas antes a de dar uma descric~ao
simples de alguns processos envolvendo os mesmos.
Como veremos, algumas das propriedades desses dispositivos podem ser obtidas somente pelo uso de analise
dimensional[2].
Um sistema de dois condutores metalicos de formato
qualquer e isolados, chamados normalmente de placas,
constitui um capacitor. Carregar um capacitor signica retirar uma certa quantidade de carga Q de uma
das placas e deposita-la na outra e isso se consegue mediante a aplicac~ao de uma diferenca de potencial (ddp)
entre elas. Uma caracterstica notavel dos capacitores e
a linearidade entre a carga Q e a ddp V entre as placas:
Q = C V
(1)
Essa relac~ao dene a grandeza C, chamada de
capacit^ancia, que e func~ao apenas das dimens~oes
geometricas das placas, separac~ao das mesmas e do material colocado entre elas. Quanto maior a area das
placas e menor a dist^ancia entre elas, maior a capacit^ancia. A unidade de capacit^ancia e o Coulomb/volt
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que recebeu o nome de Farad, em homenagem a Michael
Faraday. E uma unidade muito grande e na pratica s~ao
utilizados capacitores com capacit^ancia nas escalas de
picofarad (pF) ate microfarad (F). Conforme o meio
material posto entre as placas do capacitor, denominado dieletrico, eles s~ao denominados de capacitores a
oleo, de papel, cer^amicos, de poliester, polistireno ou
eletrolticos. Cada tipo possui uma aplicac~ao especca,
dependendo do regime de frequ^encias dos sinais com
os quais ser~ao usados, e ha de se observar tambem a
maxima tens~ao que suportam sem romper o dieletrico.
A func~ao principal desse meio dieletrico e aumentar a
capacit^ancia.
Para lembrar que um capacitor e constituido por
duas placas, seu smbolo e ;jj ; :
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a tens~ao no capacitor e aquela da bateria.
Figura 1
A. Circuito RC Serie - Corrente Continua
O primeiro circuito com capacitor que queremos
analisar esta esquematizado na Fig. (1). E um circuito
em que um resistor R, um capacitor C e uma bateria de tens~ao V0 est~ao ligados em serie. Nesse circuito a
corrente e comum a todos os componentes. Sem o capacitor, a bateria forcaria uma corrente I0 = V0 =R: Com
o capacitor, a bateria tambem forca um movimento de
eletrons so que eles saem da placa (1) e se acumulam na
placa (2), ja que n~ao ha passagem de eletrons por entre
as placas de nenhum capacitor. A princpio parece que
nada mudou e esperaramos uma corrente I0. De fato,
os primeiros eletrons a chegarem na placa (2) estabelecem um corrente I0 . Porem, esses primeiros eletrons
comecam a dicultar a entrada dos demais, devido a
repuls~ao eletrostatica graco da Fig. (2) ilustra esse
comportamento.
A menos de um fator de escala R, a Fig. (2) tambem
ilustra a curva de tens~ao no resistor, ja que VR = R I0.
A tens~ao no capacitor e simplesmente Vc = V0 ; VR .
V^e-se ent~ao que e necessario um tempo para se carregar totalmente um capacitor (o mesmo tempo e necessario para descarrega-lo), como se ele tivesse uma
inercia para se carregar. Apos transcorrido esse tempo,
Figura 2. Curvas de tens~ao no capacitor Vc e corrente I no
circuito da Fig.(1), como func~oes do tempo. V0 e a tens~ao
da bateria e I0 = V0 =R , denominado tempo de relaxac~ao,
e discutido no texto.
Esse tempo de carga deve ser func~ao unicamente
dos par^ametros do circuito: V0, R e C. A unidade de R, pela lei de Ohm, e volt/ampere ou
volt.segundo/coulomb. Portanto, a unica combinaca~o
com unidade de tempo e R C. De fato, pode-se mostrar que no intervalo de tempo
= RC
(2)
o capacitor adquire (ou perde) cerca de 66 % de sua
carga total (ou inicial). e chamado de tempo de relaxac~ao ou simplesmente tempo de carga do capacitor.
Na pratica, os valores de podem variar desde nanosegundos ate segundos. E a comparac~ao entre esse
tempo de relaxac~ao e os tempos caractersticos dos sinais aplicados ao circuito que dene o comportamento
desse ultimo.
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B. Circuito RC Serie - Corrente Alternada
Vamos agora analisar o nosso circuito RC serie da
Fig.(1) mas agora ligado a um gerador de corrente alternada de frequ^encia !, no lugar da bateria. Para
frequ^encias muito baixas, ou seja, de perodos muito
maiores que o tempo de carga RC, o capacitor tem
tempo para reagir a tens~ao aplicada. E como se
tivessemos corrente contnua e portanto a amplitude
da tens~ao em C, Vc , e igual a amplitude V0 da tens~ao
no gerador. Ja para frequ^encias altas, ou seja, para
perodos muito menores que o tempo de carga RC, antes que o capacitor consiga carregar-se, o gerador ja
trocou de polaridade muitas vezes e portanto o capacitor acaba se carregando muito pouco: Vc vai a zero.
Nesse caso a tens~ao do gerador esta toda aplicada no
resistor. Com isso temos o comportamento ilustrado na
Fig. (3). Como ja dissemos, a unica grandeza com unidade de tempo nesse circuito e R C, logo, a frequ^encia
!c onde a tens~ao no capacitor Vc se iguala a tens~ao no
resistor VR deve ser proporcional a 1=(RC): De fato,
pode-se mostrar que !c = 1(=R C):
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De forma analoga a resist^encia de um resistor, que
mede a diculdade que o mesmo imp~oe a passagem de
uma corrente, e e denida pela relac~ao R = VR =IR ;
podemos denir a grandeza denominada reat^ancia capacitiva atraves da relac~ao
c = VI c ;
c
(3)
onde Ic e a amplitude da corrente no capacitor. Como
sugere a Fig. (3), c depende da frequ^encia !. Para
! < !c , Vc ! V0 , enquanto IR = VR =R ! 0, logo c e
muito grande e tudo se passa como se o capacitor estivesse aberto. Ja para ! > !c, Vc ! V0 , e IR ! VR =R,
portanto c ! 0 e tudo se passa como se o capacitor
estivesse em curto-circuito.
N~ao e difcil obter a express~ao de c em func~ao da
frequ^encia !. A reat^ancia c tem unidade de resist^encia
e e func~ao de ! e C. A unica combinac~ao possvel e na
forma
(4)
c = !N C
onde N e uma constante adimensional. Podemos calcular N observando que no ponto ! = !c , da Fig. (3),
Vc = VR e como a corrente e a mesma em todo o circuito, temos que c = R: Logo,
N =R;
(5)
!c C
Usando a relac~ao !c = 1=(RC), obtemos N = 1 e
ent~ao,
c = ! 1 C :
)(6)
III. Indutores
Figura 3. Substituindo a bateria do circuito da Fig.(1) por
um gerador de frequ^encia ! temos o comportamento acima
para a tens~ao no capacitor Vc e para a tens~ao no resistor
VR :
Uma aplicac~ao desse circuito e na construc~ao de ltros, que s~ao circuitos destinados a deixar passar apenas um certo intervalo de frequ^encias. Por exemplo, se
nosso gerador fosse um amplicador de audio, desses
usados em equipamentos de som por exemplo, no capacitor teramos maior intensidade dos sinais de baixa
frequ^encia (graves), enquanto no resistor teramos apenas os sinais de alta frequ^encia (agudos).
Um indutor e essencialmente um o condutor enrolado em forma helicoidal. Pode ser enrolado de forma
auto-sustentada ou sobre um determinado nucleo. Para
lembrar sua constituic~ao, o smbolo usado para indutores e:
Quando uma corrente circula por esse dispositivo
aparece um campo magnetico ao redor dele. Essa e a
chamada lei de Ampere, e e um efeito bem conhecido
que e a base do funcionamento de motores eletricos e
eletro im~as. O campo magnetico gerado acompanhara
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as variac~oes temporais da corrente e atuara sobre as
espiras do indutor. Mas, a exemplo dos dnamos, ou
transformadores eletricos, onde um campo magnetico
dependente do tempo induz uma d.d.p., aqui tambem
teremos uma d.d.p. induzida no indutor devido ao seu
proprio campo. Faraday descobriu que a d.d.p. VL induzida e proporcional a variac~ao I da corrente num
intervalo de tempo t, ou que
VL = ;L I
t :
(7)
Figura.4
Essa equac~ao dene a grandeza L, chamada de indut^ancia. Ela e analoga a capacit^ancia do capacitor
ou a resist^encia do resistor, e indica a diculdade que
o indutor coloca a variac~oes da corrente. Ela depende
apenas da geometria do indutor e do meio onde ele se
encontra.
A unidade da indut^ancia e [L] = tens~ao tempo/corrente = resist^encia tempo, que recebeu o
nome de henry em homenagem ao fsico americano Joseph Henry. Na pratica s~ao comuns indutores desde
alguns milihenries ate centenas de henries.
A. Circuito RL serie - corrente continua
Vamos analisar o circuito esquematizado na Fig.(4).
Se no lugar do indutor tivessemos simplesmente um
o, ao ligarmos o circuito a corrente passaria de zero
a V0=R instantaneamente. O que o indutor faz e reagir
a essa brusca variac~ao de corrente gerando uma d.d.p.
de mesmo valor, mas de sentido contrario a da bateria.
A corrente, ent~ao, inicialmente e zero. Nao ha, portanto, variac~ao brusca da corrente e ent~ao a reac~ao do
indutor VL diminui; isso acarreta um aumento da corrente impelida pela bateria e portanto uma queda de
tens~ao no resistor, o que por sua vez faz VL diminuir
ainda mais. Essa sequ^encia continua ate que a corrente
atinja o seu valor maximo em V0 =R, quando ent~ao n~ao
ha mais reac~ao do indutor: VL 0. A Fig.(5) resume
o que foi dito.
Figura 5. Comportamento em func~ao do tempo da tens~ao
VL no indutor e da corrente no circuito da Fig.(4). Vo e a
tens~ao da bateria e I0 = V0 =R: Compare essas curvas com
aquelas da Fig. (2).
O graco I t na Fig.(5) ilustra a inercia que um
indutor apresenta a passagem de uma corrente. Devemos, ent~ao, sempre ter em mente que um circuito RL
serie demora um certo tempo para reagir a uma tens~ao.
Por analise dimensional, esse tempo deve ser proporcional a L=R, a unica combinac~ao de L e R com unidade
de tempo. De fato, pode ser mostrado que o tempo necessario para um indutor chegar a ter cerca de 66%
da tens~ao total e dado por
(8)
= RL :
B. Circuito RL serie - corrente alternada
Queremos agora substituir a bateria do circuito anterior por um gerador de corrente alternada, de amplitude V0 e frequ^encia !, e analisar as amplitudes das
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tens~oes no indutor VL e no resistor VR como func~oes de
!.
No regime de baixas frequ^encias, isto e, grandes
perodos, a corrente e quase contnua, e esperamos que
o circuito se comporte como aquele ligado a uma bateria. Ent~ao, nesse regime, a amplitude VL vai a zero.
Com isso a tens~ao do gerador e toda ela aplicada a R e
temos a igualdade VR = V0 .
Ja para altas frequ^encias, ou seja, perodos muito
menores do que o tempo necessario para o circuito reagir a tens~ao aplicada, o circuito simplesmente n~ao consegue reagir (e como se ele n~ao conseguisse se \carregar"). Com isso a corrente vai a zero e com ela a tens~ao
no resistor: VR ! 0. Toda a tens~ao do gerador, portanto, ca aplicada no indutor: VL ! V0 . A Fig. (6)
traduz esses resultados.
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! cresca. A reat^ancia L tem dimens~ao de resist^encia.
Logo, deve ser da forma N ! L, onde N e uma constante adimensional. Mas como para ! = !c devemos
ter V0L = V0R teremos que a reat^ancia se reduzira a
resist^encia, isto e,
L = R (em ! = !c )
(11)
Ent~ao, N !c L = R e usando a Eq.(9) obtemos N = 1:
Assim, a express~ao para a reat^ancia indutiva e
L = ! L :
(12)
Resumindo, podemos dizer que para frequ^encias baixas !L tudo se pass como se o indutor fosse um curtocircuito. Para frequ^encias altas, L e grande e tudo se
passa como o se indutor fosse um circuito aberto.
Esse comportamento e exatamente oposto ao de um
capacitor. Isso faz com que os circuitos que contenham juntamente capacitores e indutores possuam caractersticas muito interessantes. Um exemplo importante e o circuito que passaremos a descrever em seguida.
C. Circuito LC paralelo - corrente alternada
Figura 6. Com a bateria do circuito da Fig.(5) substituida
por um gerador de frequ^encia !, as amplitudes da tens~ao no
indutor VL e da corrente I no circuito comportam-se como
ilustrado acima. V0 e a amplitude da tens~ao no gerador e
I0 = V0 =R: Compare essas curvas com aquelas da Fig.(3).
Por analise dimensional, a frequ^encia !c para a qual
as tens~oes VL e VR s~ao iguais, deve ser proporcional a
R=L e, de fato, pode-se deduzir rigorosamente que
!c = R
L:
(9)
L = VI0L :
(10)
Vamos analisar a amplitude VLC da tens~ao entre os
terminais do indutor L ou do capacitor C do circuito
da Fig.(7). Para frequ^encias muito baixas, o capacitor
e, como vimos, um circuito aberto, enquanto o indutor
e um curto-circuito. Logo, VLC 0. Para frequ^encias
muito altas, o indutor e um circuito aberto e o capacitor um curto-circuito. Logo, de novo, teremos VLC 0.
A amplitude VLC e positiva por denic~ao e no maximo
sera igual a V0 . Assim, podemos prev^er o comportamento esquematizado na Fig. (8) e concluir que VLC
tem um valor maximo em uma frequ^encia !r chamada
de frequ^encia de resson^ancia.
Por analogia com o que zemos no circuito RC serie,
vamos denir uma grandeza chamada reat^ancia indutiva, L , por meio da equac~ao
0
Das curvas de VL e VR mostradas no graco anterior
conclui-se que L ! 0 para ! ! 0 e cresce a medida que
Figura.7
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Figura 8. VLC e a amplitude da tens~ao no capacitor, ou
indutor, do circuito da Fig.(7). O maior valor dessa amplitude ocorre na frequ^encia !r em que capacitor e indutor comportam-se de forma similar, ou seja, quando suas
reat^ancias s~ao iguais. A curva acima corresponde ao caso
em que R = 10
, C = 0:1=F e L = 1h dando uma
resson^ancia em !r = 3:16 Mhz (megahertz).
Perto de !r a curva e simetrica, ja que temos um
maximo. Isso quer dizer que se ! crescer um pouco
em direc~ao as frequ^encias altas, ou diminuir um pouco
em direc~ao as frequ^encias baixas, VLC apresentara o
mesmo comportamento nas duas direc~oes. Mas como
o comportamento de um capacitor e oposto ao de um
indutor, isso so sera possvel se, em torno de !r , capacitores e indutores forem indistinguveis, ou seja, possuirem as mesmas reat^ancias. Assim, igualando L e
c em ! = !r temos
1
(13)
!r C = !r L ;
de onde concluimos a seguinte express~ao para a
frequ^encia de resson^ancia:
!r = p 1 :
LC
(14)
Uma aplicac~ao simples do circuito acima e na func~ao
de ltro sintonizavel. Se no lugar do gerador de corrente
alternada colocarmos uma fonte de sinais que contenha
a superposic~ao de inumeros sinais de frequ^encias diferentes, como por exemplo, uma antena de radio, ent~ao,
nos extremos do capacitor ou indutor aparecera um
sinal forte correspondente a frequ^encia !r ; as demais
frequ^encias ser~ao atenuadas. Variando C ou L poderemos escolher qualquer um dos sinais de entrada. Isso
e o que se chama sintonizar um sinal e e exatamente o
que fazemos quando movimentamos o ponteiro do dial
de um radio.
Outros aspectos dos circuitos RLC podem ainda ser
analisados dentro do contexto aqui apresentado, como
por exemplo, as defasagens entre tens~oes e correntes impostas por capacitores ou indutores. Deixaremos isso
como exerccio para os leitores interessados.
Refer^encias
1. Para uma leitura completa sobre circuitos RLC
sugerimos os livros de J. J. Brophy, Eletr^onica
Basica para Cientistas, cap. 1,2 e 3, e ainda D.
Halliday, R. Resnick, Fsica II, vol. I cap. 30, 31,
32 e 36.
2. Sobre analise dimensional, sugerimos o livro de J.
Goldemberg, Fsica Geral e Experimental, V. 1,
cap. III. Para uma consulta mais profunda, ver P.
W. Bridgman, Dimensional Analysis, Yale University Press.