NiuAleph 12 - Livro de Exercícios para o 12.º ano de Matemática A

Manual de Matemática para o 12º ano
Matemática A
NIUaleph 12
LIVRO DE EXERCÍCIOS
VOLUME 1
Jaime Carvalho e Silva
Joaquim Pinto
Vladimiro Machado
2012
Título
NiuAleph 12 - Livro de Exercícios para o 12.º ano de Matemática A
Autores
Jaime Carvalho e Silva (Editor)
Joaquim Pinto
Vladimiro Machado
Capa e Design
Elisa Silva
Conceção Técnica
Vítor Teodoro
João Fernandes
Colaboração
António Marques do Amaral, Raul Gonçalves e Sofia Marques
Imagens e fontes
As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos
respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/
As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvolvidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html
ISBN
978-989-97839-1-1
Edição
1.ª edição/versão 1
Data
2012
© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é
permitida a impressão deste ficheiro.
Índice geral
Volume 1
(Capítulos 1 a 8)
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Recomendações do GAVE
Testes de tempo limitado
Soluções
Síntese
Volume 2
(Capítulos 9 a 17)
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Recomendações do GAVE
Testes de tempo limitado
Soluções
Síntese
Índice
Introdução6
Exercícios globais de 2.ª oportunidade9
Capítulo 1 - É possível? É provável?9
Capítulo 2 - Probabilidades13
Capítulo 3 - Probabilidade condicionada17
Capítulo 4 - Distribuição de probabilidades 21
Capítulo 5 – Análise Combinatória24
Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton
27
Capítulo 7 – Função exponencial29
Capítulo 8 – Função logarítmica33
Recomendações do GAVE37
Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real
39
Tarefas resolvidas39
Tarefas propostas47
Questões de escolha múltipla 53
Capítulo 2 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais
56
Tarefas resolvidas56
Tarefas propostas 60
Questões de escolha múltipla 61
Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos
63
Tarefas resolvidas63
Tarefas propostas65
Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas
66
Tarefas resolvidas66
Tarefas propostas70
Testes de tempo limitado73
Teste 1 – Probabilidades – Escolha múltipla73
Teste 2 – Probabilidades – Escolha múltipla77
Teste 3 – Probabilidades – Itens de resposta aberta
Teste 4 – Probabilidades – Itens de resposta aberta
80
81
Teste 5 – Probabilidades85
Soluções89
Síntese108
0.
Introdução
Para quê fazer exercícios?
Como bem chamou a atenção o matemático Ian Stewart, grande investigador matemático da Universidade de Warwick (Inglaterra) e divulgador da matemática, com mais de 80 livros publicados,
“Os problemas são a força motriz da Matemática”
Então espera-se que os alunos resolvam problemas. Estudar matemática implica resolver problemas.
Uns mais simples poderão ser chamados exercícios, outros mais extensos ou complexos poderão ser
chamados tarefas. Não se preocupem com estas designações que existem mais para organizar as
coisas do que verdadeiramente para classificar os problemas.
Quantos exercícios devo fazer?
Saber quantos exercícios resolver ou que tipo de exercícios resolver é um dos dilemas mais comuns
dos estudantes. São frequentes perguntas como:
“Como faço isso professor? Qual é a fórmula que se usa? Que conta temos que
fazer? O senhor não ensinou isso!“
Não há milagres e na página interior da contracapa deste livro aparecem os conselhos de um grande matemático húngaro George Polya (1888–1985), que se dedicou à reflexão sobre os métodos de
resolução de problemas em todos os níveis de ensino.
Um outro matemático, o australiano Terence Tao, que em 2006 ganhou a medalha Fields (também
chamado o Prémio Nobel da Matemática) descreve assim o seu método de resolver problemas:
“Hoje, comigo, é sempre assim: ‘Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum
progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho.’ Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos
progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final, o que
normalmente acontece é: ‘Olha, resolvi o problema.’ ”
O matemático espanhol Miguel de Guzmán (1936–2004), autor de livros de divulgação como “Aventuras Matemáticas” e “Contos com contas”, dava como primeiro conselho o seguinte:
“Antes de fazer tenta entender”
É efetivamente fundamental que se leia com atenção o enunciado do problema e se tente entender
bem o que é dado e o que é pedido. Um minuto perdido na leitura do enunciado pode salvar 30
minutos de resolução inútil porque não se responde realmente ao que é pedido.
O grande matemático português Sebastião e Silva (1914–1972) preocupava-se com a resolução de
problemas sem cuidados na sua escolha. Escreveu:
“É preciso combater o excesso de exercícios que, como um cancro, acaba por des-
6
Introdução
truir o que pode haver de nobre e vital no ensino. É preciso evitar certos exercícios artificiosos ou complicados, especialmente em assuntos simples.(...) É mais
importante refletir sobre o mesmo exercício que tenha interesse, do que resolver
vários exercícios diferentes, que não tenham interesse nenhum.(...) Entre os exercícios que podem ter mais interesse figuram aqueles que se aplicam a situações
reais, concretas.”
Neste livro de exercícios os autores tiveram a preocupação de selecionar cuidadosamente os exercícios pelo seu interesse e não apenas para fazerem número de páginas.
Primeiro aparecem o que chamamos “exercícios de 2ª oportunidade”, ou seja, exercícios que
devem ser feitos apenas depois de resolvidos os exercícios do manual escolar e apenas em caso de
necessidade. Se não conseguiste dominar alguma parte da matéria, se queres refrescar a tua mente
com uma matéria que tens medo de já ter esquecido, se queres testar o teu próprio conhecimento,
pega nestes exercícios, respeitando o grau de dificuldade (se dominas bem os exercícios simples de
determinado capítulo não precisas de fazer mais exercícios fáceis).
Depois aparecem os exercícios de matérias que o GAVE descobriu que são aquelas onde os alunos
têm mais dificuldades e a que chamamos “Recomendações do GAVE”. Esta parte contém algumas tarefas resolvidas que deves tentar resolver por ti; só depois de tentares resolver cada tarefa é
que deves olhar para a respetiva resolução e tentar compreendê-la. Não te esqueças que cada problema pode ter vários processos igualmente válidos de resolução, como se pode ver bem no caso da
Tarefa 5.
Na terceira parte preparámos “testes de tempo limitado”, de 45m e 90m, com uso de calculadora
e sem uso de calculadora, para conseguires testar a tua capacidade de resolver um certo número de
exercícios dentro de um intervalo temporal fixado previamente. Este é um aspeto que também os
relatórios do GAVE identificam como os alunos tendo dificuldade.
Como detetar alguns erros mais comuns
Na pressa da resolução de um problema é comum cometerem-se erros que podem estragar completamente um problema.
Por exemplo: é preciso usar muitas fórmulas e por vezes trocam-se uns sinais na fórmula ou usa-se
a fórmula ao contrário. Como ter a certeza que a fórmula está correta? Quais os principais cuidados
a ter?
Havendo dúvidas quanto à validade de determinada fórmula, o melhor é testar a fórmula com casos particulares. Por exemplo, a expressão
não pode ser igual à expressão
porque se fizermos
, a primeira expressão vale
e a segunda vale zero e não podem
assim ser iguais para todos os valores de x e y se nem sequer o são para valores particulares de x e
de y.
Outra estratégia útil é usar a calculadora gráfica ou o computador para traçar um gráfico,
mesmo quando não conseguimos obter valores exatos. Por exemplo, se tivermos dúvidas se o ponto
(1,–1) satisfaz simultaneamente as desigualdades
Introdução
7
poderemos recorrer à calculadora gráfica para obter o gráfico seguinte
e concluir que tal ponto, não estando na região sombreada, não satisfaz simultaneamente as duas
desigualdades dadas. Podemos ter de provar isso analiticamente mas já ficamos a “saber” a resposta
o que ajuda na resolução e permite controlar eventuais erros de cálculo.
Um modo de controlar se duas funções são realmente inversas é usar uma calculadora ou
computador e procurar o gráfico da respetiva composta. Por exemplo, para as funções
e
se tentarmos traçar o gráfico de
obteremos a função identidade. Não “prova” nada, mas permite verificar a nossa ideia (ou detetar
um erro se não obtivermos a função identidade).
Outros conselhos poderiam ser avançados, mas ficarão para o segundo volume.
Ao longo do ano escolar os autores irão disponibilizando na internet, na página
http://niualeph.eu
mais tarefas e desafios e provas globais para tu poderes ir encontrando desafios sempre novos.
Bom trabalho!
8
Introdução
1.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
C1
Capítulo 1 – É
possível?
É
provável?
Pratica ↑
1.
2.
Quando se fazem previsões sobre um acontecimento, utilizam-se com frequência frases como:
“é quase certo”, “é bastante provável”, “é pouco provável”, “é quase impossível”. Associa
uma destas frases às seguintes previsões sobre o clima na cidade de Faro no dia 15 de Agosto:
1.1
Nevará.
1.2
Choverá.
1.3
A temperatura máxima será superior a 20.
1.4
O céu estará limpo.
1.5
O Sol brilhará mais de 3 horas.
Observa a roda da sorte da figura. Considera a experiência: “rodar o ponteiro e anotar o
número que sai”.
2.1
Indica o espaço de resultados.
2.2
Indica o subconjunto do espaço de resultados associado a cada um dos seguintes acontecimentos.
2.2.1 Sair número ímpar.
2.2.2 Sair número fatorizável.
2.2.3 Sair múltiplo de 3.
10
9
11
8
12
7
1
6
2
5
3
4
2.2.4 Sair 2 ou 3.
2.2.5 Sair 9.
2.2.6 Não sair 9.
2.2.7 Sair 11, 13 ou 15.
2.2.8 Não sair 11, nem 13, nem 15.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
9
2.3
Considera os acontecimentos:
A: Sair número par.
B: Sair número maior ou igual a 3.
Utilizando apenas estes dois acontecimentos e as operações de interseção, reunião e complementação, caracteriza os seguintes acontecimentos:
2.3.1 Sair número ímpar.
2.3.2 Sair número 1.
2.3.3 Sair 2 ou sair um número ímpar.
2.3.4 Sair número par menor do que 3.
3.
Considera a experiência que consiste na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas
e os acontecimentos:
A: Sair copas
B: Sair valete
C: Sair 10 de capas ou de ouros
4.
5.
6.
10
3.1
Indica qual o espaço de resultados associado a esta experiência.
3.2
Traduz por palavras o significado dos seguintes acontecimentos:
,
,
,
.
,
,
Considera a experiência aleatória que consiste em verificar o sexo dos filhos das famílias de
três filhos.
4.1
Indica qual o espaço de resultados associado a esta experiência.
4.2
Considera o acontecimento “pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”. Quantas
ocorrências pode ter este acontecimento (número de elementos do acontecimento)?
4.3
Representa por um diagrama de Venn o acontecimento da alínea anterior.
Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos
resultados das faces superiores. Determina:
5.1
O espaço de resultados.
5.2
O acontecimento “obter pelo menos um 5”.
5.3
O acontecimento “obter pelo menos um resultado superior a 7”.
Uma equipa de basquetebol de Lamego e outra de Viseu estão na final de uma competição
nacional em que o vencedor é a primeira equipa que ganhar 3 jogos. A equipa de Lamego
ganhou o primeiro jogo. Qual o espaço de resultados?
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
7.
Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota
dos resultados das faces superiores. Determina o acontecimento contrário do acontecimento
“Sair face par”.
Pensa e resolve ↑ ↑
8.
9.
Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos
resultados das faces superiores. Dá um exemplo de:
8.1
Um acontecimento elementar.
8.2
Um acontecimento certo.
8.3
Um acontecimento impossível.
No lançamento de um dado cúbico comum, consideremos
os acontecimentos:
A: “sair face par”
B: “sair face menor que 3”
9.1
Define em extensão o acontecimento contrário de:
9.1.1 B
9.1.2 A
9.1.3
9.1.4
10. De uma urna que contém duas bolas amarelas e duas bolas roxas, retira-se uma bola ao acaso
e regista-se a cor.
10.1 Qual o espaço de resultados?
10.2 Quais os acontecimentos elementares?
10.3 Considera os seguintes acontecimentos:
A: Sair bola amarela
B: Sair bola vermelha
C: Não sair bola roxa
D: Não sair bola amarela nem roxa
10.3.1 Representa os acontecimentos por conjuntos.
10.3.2 Indica um acontecimento certo e um acontecimento impossível.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
11
11. No lançamento de um dado, consideremos os acontecimentos: A: «sair face par» e B: «sair
face menor que 3». Define em extensão o acontecimento contrário de B \ A .
Reflete ↑ ↑ ↑
12. Para cada uma das seguintes afirmações, indica quais são verdadeiras e quais são falsas:
12.1 Numa experiência aleatória pode não haver acontecimento certo.
12.2 Numa experiência aleatória pode não haver acontecimento impossível.
12.3 O acontecimento contrário de um acontecimento certo é sempre impossível.
12.4 O acontecimento contrário de um acontecimento elementar é sempre impossível.
12.5 O acontecimento contrário do acontecimento contrário de um acontecimento elementar
é sempre impossível.
12.6 O acontecimento contrário do acontecimento contrário de um acontecimento impossível é sempre impossível.
13. Num espaço S, considera dois acontecimentos A e B diferentes, e supõe que nenhum deles é
impossível ou certo. Explica quando se poderá ter que
é impossível.
12
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Capítulo 2 – Probabilidades
Pratica ↑
1.
Lançou-se uma moeda de euro ao ar duas vezes seguidas. Uma moeda de euro tem uma face
europeia e uma face nacional. Calcula a probabilidade de obter
duas faces europeias no lançamento.
2.
Lançou-se uma moeda de euro ao ar três vezes seguidas. Calcula a probabilidade de obter três faces europeias no lançamento.
3.
Lançou-se uma moeda de euro ao ar quatro vezes seguidas.
4.
5.
3.1
Calcula a probabilidade de obter: três faces europeias e uma
nacional no lançamento.
3.2
Pelo menos duas faces europeias.
Num saco há 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Retiram-se sucessivamente do saco três
bolas, sem repor nenhuma. Determina:
4.1
A probabilidade de saírem as 3 azuis.
4.2
A probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor.
4.3
A probabilidade de saírem 3 bolas de 3 cores diferentes.
Seja S o conjunto de resultados associados a uma certa experiência aleatória. Se A e B são
os acontecimentos apresentados a seguir, determina em cada caso
5.1
,
5.2
,
5.3
,
e
:
,
,
,
6.
Lançou-se ao ar um dado tetraédrico não equilibrado com as faces numeradas de 1 a 4. Depois de 1000 lançamentos, obtiveram-se os seguintes valores para as probabilidades de 3 das
faces: P({1}) = 0,6, P({2}) = 0,18 e P({3}) = 0,21. Qual a probabilidade de sair a face com
o número 4?
7.
Enuncia uma axiomática para as probabilidades. Prova que quaisquer que sejam os acontecimentos A e B,
.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
13
one Euro coins por Images Money, http://www.flickr.com/photos/59937401@N07/5929570123/
C2
8.
Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa
experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impossível, nem certo. Para cada alínea procura exemplos concretos para S, A e B de tal modo
que se verifique que
8.1
8.2
8.3
8.4
9.
Lança-se um dado equilibrado de 8 faces com as faces numeradas de 1 a 8. Considera os
acontecimentos:
A: “sair face ímpar”
B: “sair face de número maior ou igual a 4”
Determina o acontecimento contrário de
com o seu acontecimento contrário?
. Qual a probabilidade da união de
10. Lançam-se dois dados não viciados, um octaédrico com as faces numeradas de 1 a 8 e outro
dodecaédrico com as faces numeradas de 1 a 12. Determina a probabilidade de:
10.1 Sair um número diferente em ambos os dados.
10.2 Sair um número igual em ambos os dados.
Pensa e resolve ↑ ↑
11. Por vezes, é mais fácil determinar a probabilidade do acontecimento contrário ao que é
pedido por envolver uma contagem mais fácil. Aplica este princípio à seguinte situação:
“Lançam-se dois dados cúbicos equilibrados, tendo ambos as faces numeradas de 1 a 6. Qual
a probabilidade de a soma das pintas obtidas ser inferior ou igual a 10”.
12. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa
experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impossível, nem certo. Para cada alínea procura exemplos concretos para S, A e B, se existirem,
de tal modo que não se verifique que:
12.1
12.2
12.3
12.4
14
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
13. Seja S o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B
dois acontecimentos tais que
e
,
e
. Calcula
,
.
14. Um jogador utiliza um dado cúbico não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. A
probabilidade de sair cada uma das 5 primeiras faces é dada pela tabela seguinte:
Número
Probabilidade
1
0,1
14.1 Determina o valor em falta.
2
0,2
3
0,1
4
0,15
5
0,15
6
?
14.2 Determina a probabilidade de:
14.2.1 Sair número par.
14.2.2 Sair um número inferior ou igual a 3.
14.2.3 Sair o número 6.
15. Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis se a realização de um deles implica a não realização do outro. Exprime este conceito usando conjuntos.
16. Mostra que se A e B são dois acontecimentos se tem
.
Reflete ↑ ↑ ↑
17. O João e a Maria vão jogar aos dados com as seguintes regras:
Um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de
1 a 6 é lançado ao ar duas vezes.
O João ganha se sair pelo menos um 1 ou um 6.
A Maria ganha se saírem dois números pares.
A questão que se coloca é: este jogo é equitativo, isto
é, tanto o João como a Maria têm igual probabilidade
de ganhar?
18. Num jogo de dados são lançados dois dados comuns e se a soma das pintas dos dados for estritamente superior a 7 então tu ganhas o jogo. Caso contrário é o teu adversário que ganha.
Quem é favorecido neste jogo?
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
15
19. Diz se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:
19.1 Se A e B são acontecimentos em S, o conjunto de resultados associado a uma certa
é sempre superior a
experiência aleatória, então
19.2
é sempre superior a
.
.
19.3 É possível ter
,
,e
.
19.4 É possível ter
,
,e
.
19.5 Dois acontecimentos incompatíveis são contrários.
20. Em 2011, em Portugal, estavam matriculados no Ensino Superior 396 268 indivíduos e desses
28 657 estudavam Ciências, Matemática e Informática-CMA (fonte: Pordata). Destes estudantes, 46,6% eram do sexo feminino.
20.1 Reproduz no teu caderno e completa a tabela seguinte:
Feminino
Masculino
Não CMA
CMA
total
28 657
396 268
20.2 Escolhemos, ao acaso, um estudante matriculado no Ensino Superior em 2011. Considera os seguintes acontecimentos:
A: “É um estudante de Ciências, Matemática e Informática-CMA”
B: “É do sexo feminino”
C: “Estuda Ciências, Matemática e Informática-CMA e é do sexo feminino”
D: “É do sexo masculino e não estuda Ciências, Matemática e Informática-CMA”
Calcula a probabilidade de cada um destes acontecimentos. Arredonda o resultado às
centésimas.
20.3 Os acontecimentos A e D são incompatíveis?
20.4 Considera o acontecimento
. Define por meio de uma só frase este acontecimento e calcula a sua probabilidade. Arredonda o resultado às centésimas.
(adaptado do exame do 12.º ano, França, 1997)
16
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
C3
Capítulo 3 – Probabilidade
condicionada
Pratica ↑
1.
Uma urna contém cinco bolas brancas e doze pretas, equiprováveis. Ao extrair duas bolas
qual é a probabilidade de que eles sejam da mesma cor?
2.
Calcula a probabilidade de a soma das faces de dois dados ser maior que 10 sabendo que no
primeiro dado saiu um seis.
3.
Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois
acontecimentos tais que P(A) = 43% , P(B) = 77% e P(A ∪ B) = 82% . Usando um diagrama de Venn determina o valor das probabilidades condicionadas:
4.
3.1
P(A | B)
3.2
P(B | A)
Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois
acontecimentos tais que P(A) =
1
, P(B) =
4
Venn determina o valor das probabilidades:
5.
4.1
P(A ∪ B)
4.2
P(B | A)
1
3
e P(A | B) =
1
9
. Usando um diagrama de
Numa turma de 12.º ano sabe-se que a probabilidade de um aluno ter dúvidas a matemática
é de 55%, de ter dúvidas a português é de 30% e de ter simultaneamente dúvidas a ambas
a disciplinas é de 20%.
Calcula, apresentando o resultado na forma de fração irredutível, a probabilidade de um
aluno:
5.1
Ter dúvidas a matemática sabendo que tem dúvidas a português.
5.2
Ter dúvidas a português sabendo que tem dúvidas a matemática.
5.3
Ter dúvidas a matemática sabendo eu não tem dúvidas a português.
5.4
Ter duvidas a português sabendo que não tem dúvidas a matemática.
5.5
Não ter dúvidas a matemática sabendo que tem dúvidas a português.
5.6
Não ter dúvidas a português sabendo que não tem dúvidas a matemática.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
17
6.
7.
Na Escola Secundária Anastácio da Cunha, foi feito um inquérito sobre a leitura de 3 revistas de desportos motorizados: AutoRápido, BoaCorrida e CorreRápido. Dos 100 alunos
interrogados, 57 lêem AutoRápido, 42 lêem BoaCorrida, 38 lêem CorreRápido, 22 lêem
AutoRápido e BoaCorrida, 14 lêem BoaCorrida e CorreRápido, 16 lêem AutoRápido e CorreRápido, 8 lêem AutoRápido, BoaCorrida e CorreRápido. Usando um diagrama de Venn,
calcula o número de alunos que:
6.1
Lêm apenas AutoRápido e BoaCorrida.
6.2
Lêm apenas BoaCorrida e CorreRápido.
6.3
Lêm apenas BoaCorrida.
6.4
Lêm apenas CorreRápido.
6.5
Não lêm nenhuma das três revistas.
Suponhamos que na Escola Secundária Luís de Albuquerque foram inquiridos 300 alunos dos
dois sexos sobre as suas preferências de leitura de jornais diários entre o “NoticiasFrescas” e
o “TodaAVerdade”. Obtiveram-se os seguintes resultados:
Rapazes
Raparigas
Lê “NoticiasFrescas”
120
20
Lê “TodaAVerdade”
80
80
7.1
Suponhamos que se selecionou um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ler “NoticiasFrescas” sabendo que é Rapariga?
7.2
Suponhamos que se selecionou um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ser Rapariga sabendo que lê “TodaAVerdade”?
8.
Suponhamos que num saco há 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis. Das bolas vermelhas 2 são
redondas e uma triangular. Das bolas azuis 1 é redonda e 1 é triangular. Retira-se ao acaso
uma peça do saco. Qual a probabilidade de ser redonda sabendo que é azul?
9.
Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, duas vezes consecutivas.
Determina a probabilidade de no primeiro lançamento ter saído a face com o número 1, sabendo que a soma dos números saídos é 4.
10. Lançam-se dois dados.
10.1 Qual a probabilidade de obter uma soma igual a 7?
10.2 Sabendo que a soma é 7, qual é a probabilidade de que em algum dos dados tenha
saído um 3?
11. Numa experiência aleatória os acontecimentos A e B são tais que P(A) = 0,12 e P(B) = 0,90.
Os acontecimentos são independentes?
12. Numa experiência aleatória os acontecimentos A, B e C são tais que P(A) = 1/2 , P(B) = 1/3
e P(C) = 1/4. Os acontecimentos são independentes?
18
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Pensa e Resolve ↑ ↑
13. O daltonismo está associado a uma alteração genética que é mais frequente nos homens
que nas mulheres. Um estudo feito em larga escala revela que:
Homens
Mulheres
total
Daltónico
Não daltónico
total
8,6%
91,4%
100%
8,1%
0,5%
Determina a probabilidade de:
45%
46,4%
53,1%
46,9%
13.1 Sabendo que é homem ser daltónico.
13.2 Sabendo que é mulher ser daltónica.
13.3 Sabendo que é daltónico sabendo que é homem.
13.4 Sabendo que é daltónico sabendo que é mulher.
14. Numa companhia área a probabilidade de um voo partir dentro do horário previsto é de 83%,
a probabilidade de chegar no horário previsto é de 82% e a probabilidade de que o voo parta
e chegue no horário previsto é de 78%. Calcula:
14.1 A probabilidade do voo chegar no horário previsto tendo saído no horário previsto.
14.2 A probabilidade do voo ter saído no horário sabendo que chegou no horário previsto.
14.3 A probabilidade de não chegar no horário previsto sabendo que não saiu no horário
previsto.
15. Se a probabilidade de nascer um rapaz é de 0,51 e de nascer uma rapariga é de 0,49, determina a probabilidade de que dois gémeos sejam do mesmo sexo.
16. Na sequência da descoberta na Artilândia de um primeiro caso de uma doença contagiosa
não mortal, o Governo desse país promoveu uma importante campanha de vacinação. Em
consequência 70% dos habitantes foram vacinados. Um estudo feito mais tarde revelou que
5% dos vacinados foram atingidos em diversos graus pela doença, percentagem que se elevou
a 60% nos não vacinados.
16.1 Determina a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso na população da Artilândia ter sido atingido pela doença.
16.2 Calcula a probabilidade de um indivíduo ter sido vacinado, sabendo que foi atingido
pela doença.
17. Mostra que se dois acontecimentos são independentes então os seus contrários também são
independentes.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
19
18. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam X e Y dois
acontecimentos possíveis e incompatíveis. Prova que
Reflete ↑ ↑ ↑
19. O facto de ser surdo é independente de ser do sexo masculino ou feminino, tendo em consideração isso calcula as quatro probabilidades que faltam na tabela seguinte:
Masculino
Feminino
total
Surdo
Não surdo
total
0,004
0,996
1,000
0,531
0,469
20. Se dois acontecimentos A e B são independentes pode acontecer que
e
?
21. De dois acontecimentos A e B sabemos que
e
. Determina
e
para que os acontecimento A e B sejam independentes.
22. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A, B dois
acontecimentos possíveis. Sabe-se que: P(A  B) = P(B).
Será que se pode afirmar que
?
23. Mostra que o acontecimento impossível é independente de qualquer outro acontecimento.
20
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
C4
Capítulo 4 – Distribuição
de probabilidades
Pratica ↑
1.
A distribuição de probabilidade de uma dada variável aleatória é
1
2
0,1
Determina
0,1
3
4
0,6
0,05
5
0,15
1.1
1.2
1.3
2.
Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o número
de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades da
variável aleatória X?
3.
O gráfico representado é de uma distribuição normal.
1,0
y
μ= 0
σ=1
0,8
0,6
0,4
0,2
–4
–2
0
2
4
x
Esboça no teu caderno e usando as mesmas escalas, uma outra distribuição normal com um
desvio padrão inferior e com uma média superior.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
21
A distribuição de probabilidade de uma dada variável aleatória X é
1
2
a
5.
Sabendo que
dessa variável aleatória.
3
0,2
4
0,2
e que
b
5
0,2
6
c
, determina a média e o desvio padrão
Considera que o consumo de água na Escola Secundária Daniel da Silva segue uma distribuição normal em que o valor médio é 400 litros e o desvio padrão de 30 litros. Usando uma
calculadora determina a probabilidade de o consumo de água, em certo dia,
5.1
variar entre 100 e 450 litros;
5.2
não ultrapassar 500 litros;
5.3
ser superior a 400 litros.
Pinhão train station por Feliciano Guimarães, http://www.flickr.com/photos/jsome1/1183813060/
4.
Pensa e Resolve ↑ ↑
6.
Na estação da CP do Paraimo 16 passageiros compraram cada um o seu bilhete de comboio.
7 para Aveiro (preço do bilhete 3€); 5 para Coimbra (preço do bilhete 4€); e 4 para o Porto
(preço do bilhete 5€). Escolheu-se ao acaso um destes passageiros. Seja Y a variável aleatória
que associa a cada passageiro o preço do seu bilhete. A distribuição de probabilidade associada a esta variável é dada pela tabela:
3
4
5
Determina o valor esperado E(Y) da variável aleatória Y.
22
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
7.
Uma variável aleatória X segue uma distribuição normal, de média 5. Indica o valor de verdade da seguinte proposição: P(X > 3) > P(X < 6) . Justifica a tua resposta.
8.
Um dardo é lançado para um alvo dividido em três zonas: A, B e C. Se o dardo for cravado
na zona A, obtemos 10 pontos. Se for cravado na zona B, 2 pontos. Se for cravado na zona
C, 0 pontos. O João lançou 100 dardos, que se repartiram da seguinte forma: 20 dardos em
A, 50 em B e 30 em C.
O João convidou dois amigos para jogar com ele, o Álvaro e a Marisa. Combinaram que cada
um lançaria 12 vezes o dardo, somados os pontos obtidos em cada lançamento, definiriam
as suas classificações. A Marisa foi a primeira a fazer os lançamentos e obteve 24 pontos. De
seguida, o Álvaro fez 18 pontos. Vai agora lançar o João. Será que vai ganhar o concurso ?
10. Num jogo de basquetebol há exatamente dois resultados possíveis: vitória ou derrota (se o
jogo terminar empatado no tempo regulamentar são jogados prolongamentos até desempatar o jogo). Em cada jogo a probabilidade de
o Estrelas da Avenida ganhar é de 40%. Se o
Estrelas da Avenida disputar 4 jogos num torneio de basquetebol, qual é a probabilidade de
ganhar exatamente 2 jogos?
Reflete ↑ ↑ ↑
11. A tabela seguinte é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X:
7
9
11
13
p
q
p
q
Calcula o valor esperado de X:
11.1 Em função de p e de q.
11.2 Em função apenas de p.
12. Uma Prova de avaliação é constituída apenas por questões de escolha múltipla. A prova tem
4 questões e cada questão tem 5 hipóteses de resposta das quais só uma é certa. Se cada resposta errada desconta 3 pontos, quanto deve valer cada resposta certa para que a pontuação
esperada para um aluno, que responda ao acaso a todas as questões, seja zero?
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
23
Basketball hoop por Acid Pix, http://www.flickr.com/photos/acidpix/6065174738/
9.
Faz uma distribuição de frequências e calcula a média dos pontos obtidos (analiticamente) e
o desvio-padrão (com a calculadora).
C5
Pratica ↑
1.
Quantas matrículas de automóveis diferentes podem existir no sistema atual português, considerando que o alfabeto tem 26 letras?
2.
Se o alfabeto português tivesse 23 letras como sucedia antes do Acordo Ortográfico, quantas
matrículas de automóveis possíveis teríamos a menos do que hoje?
3.
Quantas matrículas de automóveis são capicuas, ou seja, os dois primeiros algarismos são
iguais aos dois últimos mas por ordem inversa e as duas letras são iguais?
4.
Pretende-se organizar um campeonato de futebol com 7 equipas. Se cada equipa encontra
cada uma das outras equipas uma só vez,
quantos jogos será preciso organizar? E se
cada equipa tiver de jogar com cada uma das
outras equipas tanto em sua casa como fora?
5.
De quantas maneiras podes ordenar verticalmente 5 dos teus livros, de disciplinas diferentes, numa tua estante?
6.
De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra LIVRO?
7.
De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra LIVRO de modo que as duas
vogais se mantenham nas suas posições?
8.
Quantas fotografias diferentes pode tirar uma família em que todos os 6 elementos da família
ficam uns ao lado dos outros?
9.
Num computador digital, um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sequência de “bits”. Determina o número de palavras distintas de 32 “bits” que é possível formar.
10. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze raparigas e
oito rapazes. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e
cinco raparigas.
10.1 De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo?
10.2 O João é aluno da turma. Qual a probabilidade de o João pertencer ao grupo que vai
ao teatro?
Pensa e Resolve ↑ ↑
11. Qual seria o modo mais eficaz de aumentar o número de matrículas de automóveis em Portugal: acrescentar um número ou uma letra?
24
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Teenagers playing soccer in the rain por Marlon dias, http://www.flickr.com/photos/marlondias/4019108057/
Capítulo 5 – Análise Combinatória
12. Um professor de Matemática deu aos alunos uma lista de exercícios, numerados de 1 a 50, e
escolheu, para um teste, dois desses exercícios ao acaso.
12.1 Qual a probabilidade um aluno que fez 3/4 dos exercícios da lista ter feito os dois
exercícios escolhidos pelo professor?
12.2 Qual a probabilidade um aluno que fez 1/4 dos exercícios da lista ter feito um dos dois
exercícios escolhidos pelo professor?
13. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra BIBLIOTECA?
14. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra BIBLIOTECA de modo que se
mantenham a primeira e a última letra nas suas posições?
15. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra PACIFICA?
16. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra PACIFICA de modo que as
consoantes se mantenham nas suas posições?
17. Quantas fotografias diferentes pode tirar uma família em que um elemento da família vai
tirando a foto aos outros 5 elementos da família, ficando sempre uns ao lado dos outros?
18. Num grupo de cinco amigas, só uma está habilitada para conduzir. De quantas formas se
podem sentar num automóvel de 5 lugares, para fazer uma viagem?
Reflete ↑ ↑ ↑
19. O jogo das sete famílias é constituído por 42 cartas. Neste jogo há 7 conjuntos de cartas constituídos pelo avô, avó, pai, mãe, filho e filha; cada conjunto constitui uma família. Tiram-se
do baralho de cartas, simultaneamente, 4 cartas. Determina o número da casos em que:
19.1 As 4 cartas tiradas são da mesma família.
19.2 Entre as 4 cartas não há nenhuma carta de uma família dada.
19.3 Entre as 4 cartas há uma carta “avó” de uma família dada.
19.4 Entre as 4 cartas há uma e uma só carta de uma família dada.
19.5 Entre as 4 cartas haja apenas uma carta “pai”.
20. Uma determinada marca de CDs garante que a probabilidade de um deles estar estragado é
de 0,001%. Um cliente compra 50 CDs. Determina a
probabilidade de:
20.1 Um deles estar estragado.
20.2 No máximo um deles estar estragado.
20.3 Pelo menos dois deles estarem estragados.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
25
21. Quantas retas podem ser traçadas usando as letras assinaladas no cubo da figura ao lado?
22. Qual a probabilidade de, escolhidos 3 pontos ao acaso no cubo da figura ao lado, eles
definirem um plano?
23. Seja dada uma população de n elementos.
Indica qual o número de amostras ordenadas distintas, de dimensão r, que se podem
selecionar desses n elementos se:
F
C
E
D
J
K
23.1 A seleção for feita com reposição.
23.2 A seleção for feita sem reposição.
24. Qual a probabilidade p de que, num conjunto de r pessoas, não haja duas a fazer
anos no mesmo dia?
25. Considera os pontos A, B, C e D representados no cubo da figura ao lado. Determina
a probabilidade de, escolhidos 3 pontos ao
acaso, eles definirem um plano.
26. Considera os pontos A, B, C, D, E e F
representados no cubo da figura ao lado.
Determina a probabilidade de, escolhidos 3
pontos ao acaso, eles definirem um plano.
27. Considera os pontos A, B, C, D, E e F
representados no cubo da figura ao lado.
Determina a probabilidade de, escolhidos 2
pontos ao acaso, eles definirem uma reta.
26
G
B
H
A
D
A
B
C
E
F
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
1
7
6
C6
Capítulo 6 – Triângulo
de
Pascal
e
Binómio
de
Newton
Pratica ↑
1.
2.
1
8
45
1
9
1
10
1
Considera a seguinte parte inicial do triângulo de Pascal:
Acrescenta-lhe as duas linhas seguintes.
Determina os números em falta no triângulo de Pascal seguinte:
1
1
3.
1
1
10
1
9
1
?
45
1
1
6
7
36
28
5
21
84
1
1
1
1
2
3
4
15
56
?
35
6
?
70
126
1
3
10
35
?
1
1
4
15
?
5
21
84
120 210 252 210
1
6
28
1
7
?
1
8
? ?
1
9
1
10
1
1
Recorrendo à fórmula do binómio de Newton calcula:
3.1
3.2
4.
Determina o termo em
no desenvolvimento de
.
Pensa e Resolve ↑ ↑
5.
a b c d e f g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos
estão substituídos por letras. Determina essas letras.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
27
Blaise Pascal por Janmad, http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Blaise_Pascal_Versailles.JPG
Blaise Pascal (1623-1662)
6.
Determina o valor de n que verifica a seguinte condição
7.
Determina os valores dos coeficientes numéricos dos termos do 7.º e 8.º grau no desenvolvimento de
.
.
8.
Reduz a uma forma mais simples a equação
9.
Determina o termo independente de x no desenvolvimento de
.
.
Reflete ↑ ↑ ↑
10. Determina o desenvolvimento de:
10.1
10.2
11. A partir da fórmula do binómio de Newton determina um valor para a soma:
12. Mostra, por indução matemática, que se n é um número natural, então
28
.
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
C7
Capítulo 7 – Função
exponencial
Pratica ↑
1.
Esboça o gráfico da função definida na reta real por
. A partir do gráfico desta
função esboça os gráficos das seguintes funções, indicando para cada caso o domínio, contradomínio e zeros:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.
Considera as funções definidas na reta real por:
e
2.1
Representa-as graficamente.
2.2
Determina, com aproximação até às centésimas, o conjunto solução de
3.
Considera a função f definida por
de a.
4.
Resolve as equações:
. Supondo que
.
, determina o valor exato
4.1
4.2
4.3
5.
Escreve cada uma das expressões sob a forma de um produto:
5.1
5.2
5.3
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
29
6.
Quando nos entregam uma bica, o café vem muito quente e quem não põe açúcar precisa de
esperar algum tempo para o beber. A
evolução da temperatura T (em °C) em
função do tempo t (em minutos) é definida
pela expressão
.
6.1
Representa graficamente a função T.
6.2
A que temperatura nos é entregue
o café?
6.3
Quem gosta de o beber a 60° quanto
tempo tem de esperar?
6.4
O arrefecimento do café é mais acentuado nos primeiros dois minutos ou nos dois minutos seguintes?
6.5
Em que instante é que o arrefecimento é mais acentuado?
6.6
Que acontece se deixarmos o café arrefecer muito tempo? Relaciona a conclusão a que
chegaste com a expressão de T.
(adaptado da brochura de Funções, 12.º ano, ME, 1999)
7.
8.
Recorrendo à calculadora resolve a equação
.
Calcula os limites seguintes:
8.1
8.2
8.3
9.
Resolve as seguintes equações:
9.1
9.2
9.3
30
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Saturday Morning Café (Cappuccino) por Frank Weber, http://www.flickr.com/photos/frawemedia/4863864661
Pensa e Resolve ↑ ↑
Reflete ↑ ↑ ↑
10. Há pessoas que por razões de natureza física ou psíquica têm dificuldade em adormecer.
Os médicos dispõem duma vasta gama de medicamentos que podem receitar nestes casos.
Uma propriedade importante que se requer a estes medicamentos é que o seu efeito desapareça antes da manhã seguinte de forma que quem o toma possa retomar a sua atividade
normal sem estar sonolento. Imagina que o médico receitou a uma tua amiga um destes
medicamentos. Depois de tomar algumas pastilhas, o medicamento atingiu um nível de
4 mg/L no sangue. Com que rapidez desaparecerá o efeito do medicamento? Para estudares a situação considera os dados da tabela, referentes a 4 medicamentos:
Nome
Fórmula
Triazolam
Nitrazepam
Pentobombitone
Methohexitone
A - dose inicial (mg/L);
y - quantidade de medicamento no sangue (mg/L)
x - tempo em horas desde que o medicamento chegou ao sangue.
10.1 Qual a quantidade de Triazolam no sangue ao fim de 3 horas? E ao fim de 10 horas?
Regista numa tabela a quantidade de Triazolam nas primeiras 10 horas.
10.2 Desenha um gráfico que possa descrever o comportamento do Triazolam.
10.3 Só três destes medicamentos poderão ser reais. Qual deles não é? O que aconteceria se
por engano tomasses esse produto?
10.4 Faz os gráficos que te permitem analisar como evolui uma dose que provocou a concentração de 4 mg/L de cada um dos medicamentos.
10.5 Qual dos medicamentos te parece preferível? Porquê?
10.6 Analisa agora com algum pormenor o efeito do Triazolam.
10.7 Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a quantidade de medicamento no sangue?
A redução para metade depende do tamanho da dose inicial? Como?
10.8 Qual será o efeito de tomar, hora a hora, uma dose de 4mg de Pentobombitone? Faz
uma representação gráfica que descreva as tuas conclusões.
(adaptado da brochura de Funções, 12.º ano, ME, 1999)
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
31
11. O Público noticiou em 1995 a descoberta de uma necrópole*, na Granja dos Serrões - Sintra,
e o achado de seis sepulturas cujas datas, ainda desconhecidas, se podem situar desde o séc. I
A.C. até ao séc. VII D.C. (* Uma necrópole é um lugar onde existe uma ou mais sepulturas
de tempos antigos.)
A datação da necrópole só será
esclarecida com análises aos ossos por carbono 14 - método de
datação a partir de um isótopo
radioactivo de carbono que torna
possível determinar a idade dos
materiais em análise, uma vez que
o seu tempo de desintegraçao é
conhecido (...)
jornal PÚBLICO, de 8 de Outubro
de 1995
Tal como este artigo também refere, uma técnica utilizada para descobrir a antiguidade de
um achado histórico consiste na análise de um objecto (osso, madeira, ...), medindo a quantidade do elemento radioativo carbono 14 que contém. Quando vivos, os animais e plantas
têm uma quantidade constante de carbono 14, que vai diminuindo com o tempo, após a
morte, por efeito da desintegração radioativa. Por quantidade de carbono 14 entende-se a
velocidade de desintegração de átomos de carbono 14 medida em desintegrações por minuto
por grama de carbono (dmg). A quantidade q(t) de carbono 14 encontrada num objecto é
dada pela fórmula
, em que t representa o tempo em milhares de anos.
11.1 Admitindo que os corpos encontrados nos túmulos são do séc. I a.C., que quantidade
de carbono 14 deveria ser encontrada em 1995?
11.2 Se o Instituto Nacional de Engenharia e Tecnologia Industrial tivesse divulgado que a
quantidade de carbono 14 encontrada era de 11,3 dmg, qual seria a idade das sepulturas?
11.3 Imagina que és um investigador do INETI e te pediram um artigo em que fundamentes teoricamente os resultados que divulgaste. Escreve o artigo, com o máximo de 3
páginas A4.
(adaptado da brochura de Funções, 12.º ano, ME, 1999)
12. Na cidade mongol de Ulam Bator (a capital e a maior cidade da Mongólia) surgiu uma epidemia de gripe asiática. A evolução da doença foi dada pela fórmula
representa a percentagem de pessoas doentes e t o tempo em dias.
onde P
12.1 Qual era a percentagem da população doente quando se começou o estudo da epidemia?
12.2 Quando foi o pior momento da epidemia? Qual era a percentagem de doentes?
12.3 A epidemia considera-se erradicada quando a percentagem de doentes for inferior a
1%. Quando aconteceu isso?
12.4 No 15.º dia, qual é a probabilidade do presidente da câmara estar doente?
(adaptado da brochura de Funções, 12.º ano, ME, 1999)
32
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
C8
Capítulo 8 – Função
logarítmica
Pratica ↑
1.
2.
3.
4.
5.
Simplifica o mais possível:
1.1
log 2 223
1.2
log 2 323
1.3
log 2 3 0
Sabendo que log 7 = 0,85 calcula:
2.1
log 7 5
2.2
log 7005
As calculadoras científicas e gráficas só têm nas suas teclas o logaritmo natural ou o logaritmo decimal. Para calcular logaritmos noutras bases é preciso usar a fórmula de mudança de
base. Usando essa fórmula e uma calculadora calcula:
3.1
log 3 47
3.2
log 23 274
Resolve as equações logarítmicas seguintes:
4.1
log x + log 40 = 2
4.2
log 5 7 = + log(2x + 1)
O custo total do fabrico de x unidades dum produto é, em euros c(x) = 2x ln x + 200 .
5.1
Calcula c(6) e c(60).
5.2
Quantas unidades se produziram com um custo total de 1010 euros?
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
33
Pensa e Resolve ↑ ↑
6.
Considera a função g definida por g(x) = 3x . Determina a abcissa do gráfico de g cuja ordenada é igual a 2.
7.
Considera que a função f é a função logaritmo natural. Determina o módulo da diferença
entre as abcissas dos pontos do gráfico de f cujas ordenadas são 1 e –1.
8.
Considera as funções f e g definidas, respectivamente por f (x) = log 2 x e g(x) = log 5 (x 2 + x)
Determina, recorrendo à calculadora quando necessário:
9.
8.1
o domínio de cada uma das funções.
8.2
os pontos do gráfico de g que estão por baixo dos do gráfico de f.
Considera que a quantidade Q(t) de uma substância radioativa se desintegra de acordo com
a fórmula Q(t) = Q e −kt , onde t está expresso em minutos. Suponhamos que a meia vida, isto
0
é o tempo que a substância leva a ficar reduzida a metade, é de 11 minutos. Mostra que,
nestas condições, k =
ln 2
11
.
10. Simplifica as seguintes expressões:
10.1
log 2(x 10 2y z 3 )
10.2
log 2
10.3
ln(x + y) − ln(x −1 + y −1 )
x 3 105
y
11. Supõe que x = log p e que y = logq . Escreve as expressões seguintes em termos de x e y:
11.1
log(p 4 3 q )
11.2
log
p
q4
11.3 pq
34
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
Sailing across Mediterranean por Mircea, http://www.flickr.com/photos/60265885@N03/7753745150/
12. Os logaritmos são úteis para medir quantidades que variam entre valores muito pequenos e
valores muito grandes. Tal é o caso da acidez (pH) de um líquido, estudada na Química. A
acidez depende da concentração dos iões de hidrogénio no líquido (expressa em moles por
litro), que se designa por [H+]. O pH é definido pela expressão
12.1 A concentração de iões de hidrogénio na água do mar é de
.
.
Faz uma estimativa, sem usar calculadora, do pH da água do mar. Usando uma calculadora calcula um valor aproximado do pH da água do mar.
12.2 Uma solução de vinagre tem pH igual a 3. Determina a concentração de iões de hidrogénio nessa solução.
13. Determina os domínios das funções definidas pelas expressões seguintes:
13.1
13.2
13.3
ln(1 − x + 1)
ln x
log 2
x +3
x −4
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
35
Reflete ↑ ↑ ↑
14. É verdade que
, para todo o x real positivo? Sim ou Não? Imagina que
alguém não tem a tua opinião. Elabora um texto com argumentação de modo a convencê-lo.
15. Para cada uma das seguintes igualdades, indica se é verdadeira para todos os valores de a e
b reais positivos ou se não é. Justifica devidamente cada afirmação:
15.1
15.2
15.3
15.4
16. Seja x um inteiro natural positivo e seja n o número de algarismos da escrita decimal de x.
16.1 Justifica que
.
16.2 Deduz da alínea anterior qual o número de casas decimais de um número como
.
17. Resolve as seguintes inequações:
17.1
17.2
17.3
17.4
36
Exercícios globais de 2.ª oportunidade
2.
Recomendações do GAVE
No Relatório de setembro de 2010 publicado pelo GAVE com o título “Um olhar sobre os resultados dos exames nacionais” podem-se encontrar informações muito interessantes sobre os
aspetos em que os alunos revelam melhor e pior desempenho nos exames nacionais, assim como recomendações para a lecionação feitas a partir dessa análise. Documentos como estes são muito úteis
para os alunos e os professores, embora em cada ano os alunos e as turmas possam exibir características muito variadas. Mesmo assim, as dificuldades mais comuns são reveladas por tais documentos.
Entre os aspetos onde os alunos do ensino secundário têm melhor desempenho na disciplina de Matemática, segundo este relatório, estão os seguintes:
“No ensino secundário, os itens com melhor desempenho, independentemente da
tipologia, convocam quase sempre operações mentais como transferir e, mais
esporadicamente, argumentar, relacionar, interpretar. Os alunos também revelam
facilidade nos itens de cálculo direto ou que apelem à leitura e seleção de
informação.”
Entre os aspetos que os alunos do ensino secundário revelam mais dificuldades encontram-se:
“No ensino secundário, as maiores dificuldades prendem‐se com a resposta aos
itens que mobilizam operações mentais como argumentar/justificar, analisar,
relacionar, em geral, e, muito pontualmente, transferir e classificar. Também é
fraco o desempenho nos itens em que se solicita a concretização de raciocínio
dedutivo e a interpretação em contexto.”
O GAVE conclui ainda que, tanto no Ensino Básico como no Ensino Secundário os alunos revelam
algumas dificuldades comuns:
“os examinandos revelam fragilidades no domínio da compreensão da língua, na
comunicação escrita, no recurso ao cálculo, na interpretação de novas situações e dificuldades em utilizar as capacidades gráficas da calculadora.”
Em função destas conclusões, o relatório do GAVE recomenda
“No ensino secundário, considera‐se muito importante a lecionação dos problemas a partir de contextos reais e com a execução de cálculos mais complexos.”
Na conclusão deste relatório é afirmado que
“O documento que agora se conclui pretende, através da identificação de níveis
de desempenho dos alunos, em sede de avaliação externa, contribuir para uma
melhoria sustentada dos resultados, em consequência de um progressivo upgrade
da qualidade dos saberes, das competências e do saber‐fazer dos nossos alunos.”
Nesta ordem de ideias foram selecionados para esta segunda parte algumas tarefas que permitem
desenvolver as capacidades identificadas neste relatório do GAVE como sendo as que colocam mais
dificuldades aos estudantes. As tarefas são de índole muito variada, podendo ser itens de exames
ou tarefas para a sala de aula, para trabalho em pequenos grupos ou para trabalho de auto-estudo.
Recomendações do GAVE
37
Assim, a segunda parte deste Livro de exercícios terá os seguintes capítulos (o capítulo 3 aparece
apenas no segundo volume):
Capítulo 1 – Resolução de problemas da vida real
Capítulo 2 – Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos
números reais
Capítulo 3 – Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos
números complexos
Capítulo 4 – Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos
Capítulo 5 – Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas
38
Recomendações do GAVE
C1
Capítulo 1 - Resolução
de problemas da vida real
Tr
1.
resolvidas
O Problema dos aniversários (1.ª parte)
Suponhamos que estamos numa sala com 20 pessoas. Qual é a probabilidade de não haver
duas pessoas a fazer anos no mesmo dia?
Resolução
Para resolver este problema temos de partir do princípio que o ano tem 365 dias e que a taxa
de nascimentos é constante ao longo do ano, de modo a poder admitir que qualquer dia do
ano é igualmente provável para ser o aniversário de uma pessoa. O que pretendemos é então
calcular a probabilidade de não haver repetições numa amostra de dimensão n obtida por
amostragem com reposição de uma população de dimensão N. Assim no nosso caso n = 20
e N = 365 e o número de casos favoráveis ao acontecimento desejado é dado por
número de casos possíveis é
Laplace, igual a
eo
. A probabilidade pedida é então, utilizando a regra de
A20
365
A'20
365
A20
365
=
36520
= 0,589
Note-se que este problema tem uma solução bastante simples se se raciocinar em termos de
probabilidades condicionadas. Com efeito, a 1.ª pessoa pode fazer anos em qualquer dia e a
Recomendações do GAVE
39
birthday cake ‘08 por normanack, http://www.flickr.com/photos/29278394@N00/2789584920
Tarefas
probabilidade é
365
365
tem probabilidade
. Dado que a 1.ª pessoa faz anos num determinado dia, a 2.ª pessoa
de fazer anos num dia qualquer que não o da 1.ª pessoa. Continuan365
do até terminar a 20.ª pessoa, temos que a probabilidade pretendida é o produto das probabilidades calculadas.
A probabilidade de numa sala com 20 pessoas haver pelo menos duas pessoas a fazer anos
no mesmo dia é portanto 1 – 0,589 = 0,411.
(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)
2.
Cartas e envelopes
Uma secretária muito desarrumada tinha 3 cartas para meter em 3 envelopes, mas caiu tudo
ao chão e ela meteu as cartas nos envelopes sem tomar atenção aos nomes. Uma das cartas
era para o Senhor Silva.
2.1
Qual a probabilidade de ele receber a carta que lhe era dirigida?
2.2
Qual é a probabilidade de pelo menos uma pessoa receber a carta que lhe era destinada?
Resolução
2.1 Para resolver esta questão é preciso admitir que se as cartas foram colocadas aleatoriamente nos envelopes, então a carta para o Senhor Silva tem igual probabilidade de aparecer
num qualquer dos envelopes. Assim a probabilidade de a secretária meter a carta no envelope certo é precisamente
.
2.2 Para sabermos se pelo menos uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada, temos
de considerar os casos em que “uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada” e os casos
em que “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada” e os casos em que “as três
pessoas receberam a carta que lhes era destinada”. Teremos de ter cuidado em subtrair os
40
Recomendações do GAVE
Stack of envelopes por stackorama, http://www.flickr.com/photos/slackorama/326182675
364
casos em que se verificam simultaneamente duas dessas situações atendendo à propriedade 5
do Manual (volume 1, capítulo 2)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
e que é generalizado na tarefa 45 deste volume. Designemos as cartas por C1, C2 e C3 e os
destinatários corretos destas cartas por S1, S2 e S3.
i) casos em que “uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada”:
Considerando por exemplo a carta C1, os casos em que vai parar a S1 são 2! (permutações
dos destinatários C2 e C3). Os casos possíveis são permutações de 3 destinatários, ou seja 3!.
Logo a probabilidade neste caso é
2!
3!
Como para a carta C2 e a carta C3 a situação é idêntica, a soma das probabilidades de “uma
pessoa receber a carta que lhe era destinada” é dada por
3×
2!
3!
=1
ii) casos em que que “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada”:
Considerando por exemplo as cartas C1 e C2, os casos em que vão parar a S1 e S2
são as possibilidades que sobram para a terceira carta que é só uma. Os casos possíveis são
novamente permutações de 3 destinatários, ou seja 3! Logo a probabilidade neste caso é
1
3!
Temos
⎛ 3 ⎞
⎜⎝
⎟
2 ⎠
possibilidades para tomarmos duas das cartas de cada vez. Logo a soma das probabilidades
de “duas pessoas receberem a carta que lhes era destinada” é dada por
⎛ 3 ⎞ 1
⎜⎝
⎟
2 ⎠ 3!
iii) casos em que que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada”:
Há apenas uma possibilidade de as três cartas chegarem ao seu destinatário correto que é a
de C1, C2 e C3 chegarem exatamente a S1, S2 e S3 respetivamente. A probabilidade de isso
Recomendações do GAVE
41
acontecer é então
1
3!
iv) conclusão:
A probabilidade pedida será então a soma das probabilidades de “uma pessoa receber a
carta que lhe era destinada” a que temos de subtrair a soma das probabilidades de “duas
pessoas receberam a carta que lhes era destinada” pois estes casos já foram necessariamente
contabilizados antes a que temos de adicionar os casos em que “as três pessoas receberam a
carta que lhes era destinada” pois estes foram subtraídos uma vez a mais.
Assim a probabilidade pedida é igual a
⎛
⎞ 1
1
1 1 1
1−⎜ 3 ⎟ +
=1− + =
⎝ 2 ⎠ 3! 3!
2 6 3
(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)
3.
A raspadinha
Numa raspadinha estão em jogo 100 bilhetes, repartidos da seguinte maneira: uma raspadinha tem um prémio de 100 euros, nove raspadinhas têm um prémio de 10 euros e nenhuma
outra raspadinha tem prémio. Cada raspadinha custa 3 euros e os prémios estão distribuídos
ao acaso nas raspadinhas. Seja X a variável aleatória que mede o ganho de cada jogador
(diferença entre o que ganha no prémio e o que gastou a comprar a raspadinha).
3.1
Determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.
3.2
O jogo é justo para os jogadores ou favorece os organizadores da raspadinha? Justifica
a resposta.
Resolução
3.1 A variável aleatória X só toma três valores diferentes: 97 se o jogador ganhar o prémio de
100 euros, 7 se o jogador ganhar o prémio de 10 euros e –3 se o jogador não ganhar qualquer
prémio. Como os prémios estão distribuídos ao acaso pelas raspadinhas as probabilidades
respetivas são as seguintes:
97
42
7
–3
Recomendações do GAVE
3.2 Para determinar se o jogo é justo ou não temos de calcular o valor esperado ou valor
médio da variável aleatória X só. Temos
4.
Podemos assim concluir que o jogo favorece os organizadores visto que o ganho esperado
de um jogador é negativo. Ou seja, se o jogador jogar muitas vezes ganhará em média ­–1,1
euros, ou seja, perderá dinheiro.
Baile de Finalistas
Numa turma do 12.º ano da Escola Secundária Luís de Albuquerque, a distribuição dos alunos por idade e sexo é a seguinte:
12.º X
rapazes
raparigas
16 anos
17 anos
5
7
6
8
4.1
Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de 16 anos?
Apresenta o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais.
4.2
Admite agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a comissão: os três rapazes e uma rapariga, a qual tem 16 anos de idade. Para a comissão
ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga. Seja X a variável
aleatória: número de raparigas de 17 anos que a comissão vai incluir. Constrói a tabela
de distribuição de probabilidades da variável X. Apresenta as probabilidades na forma
de fração.
Recomendações do GAVE
43
romeojuliet-spr12-7 por KCBalletMedia, http://www.flickr.com/photos/67555847@N06/6893010197/
Para formar uma comissão que vai preparar um baile de finalistas, vão ser sorteadas três
rapazes e duas raparigas desta turma.
Resolução
4.1 A comissão é constituída por 3 rapazes e 2 raparigas. Ora, temos 12 raparigas. À primeira vista poderá parecer-nos que existem 12 × 11 = 132 maneiras diferentes de escolher, ao
acaso, duas dessas 12 raparigas. Mas, essa suposição está errada.
Admitamos que queremos escolher duas raparigas de entre as seguintes três: {Ana, Beatriz,
Celina}. É fácil concluir que existem apenas três possibilidades: {Ana, Beatriz}, {Ana, Celina} e {Beatriz, Celina}. Não seis: (Ana, Beatriz), (Beatriz, Ana), (Ana, Celina), (Celina,
Ana), (Beatriz, Celina) e (Celina, Beatriz).
Isto é, como não interessa a ordem dos dois elementos considerados, o valor procurado é
, que traduz o número de subconjuntos de dois elementos que se podem obter de um
conjunto de três elementos.
Admitamos agora que pretendemos escolher três rapazes de entre quatro: {Abel, Belmiro,
Carlos, Daniel}. É imediato concluir que existem apenas
maneiras, não
4 × 3 × 2 = 24: {Abel, Belmiro, Carlos}, {Abel, Belmiro, Daniel}, {Abel, Carlos, Daniel} e
{Belmiro, Carlos, Daniel}. Porque é que divide por 3 × 2?
Basta reparar que cada um desses subconjuntos de três elementos dá origem a 3 × 2 = 6
ternos ordenados com esses três elementos.
Portanto, regressando ao problema, concluímos existirem
lecionar duas das doze raparigas e
rapazes.
maneiras de se-
maneiras de selecionar três dos catorze
Logo, o número de casos possíveis é 364 × 66 = 24024.
De forma análoga, conclui-se que o número de casos favoráveis é
isto é, o número de maneiras de escolher 3 rapazes de 16 anos, de entre 6, e de escolher 2
raparigas de 16 anos, de entre 5.
Logo, a probabilidade pedida é
4.2 Para terminar a constituição da comissão falta apenas escolher uma rapariga, de entre
11 disponíveis: 4 delas com 16 anos e 7 delas com 17 anos. Portanto, a variável aleatória X
pode assumir os valores: 0 e 1.
44
Recomendações do GAVE
Assim:
P(X = 0) = P(escolher uma rapariga de 16 anos) =
P(X = 0) = P(escolher uma rapariga de 17 anos) =
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:
5.
0
1
4
7
11
11
Três Bilhetes de Cinema
Resolve por quatro processos o seguinte problema:
A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos a ver um filme. Como o cinema tem
filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira
e distribuiu os bilhetes ao acaso pelos alunos. A Ana, a
Bela e a Carla são muito amigas e gostavam de ficar as três
juntas e numa das pontas da fila. Qual é a probabilidade
de isso acontecer?
Resolução
1.º Processo
Vamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três
amigas, não nos interessando a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares.
O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seus
elementos é o terno {5,7,15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15
embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar.
Os casos possíveis são as diferentes maneiras de elas receberem os 3 bilhetes de um conjunto
de 15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes.
Casos possíveis:
Casos favoráveis: apenas 2, ou recebem os bilhetes 1–2–3 ou os bilhetes 13–14–15.
Logo a probabilidade pedida é
Recomendações do GAVE
2
455
.
45
2.º Processo
Vamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a
ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12
bilhetes.
O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno , ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15.
Os casos possíveis são portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de um
conjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante.
Casos possíveis:
A3 = 2730
15
Casos favoráveis: Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa,
há seis maneiras de elas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os
bilhetes 13, 14 e 15. Logo, os casos favoráveis são 2 × P3 = 12 .
Logo a probabilidade pedida é
12
2730
=
2
455
.
3.º Processo
Desta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos se podem sentar nos 15
lugares.
O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras.
Os casos possíveis são portanto as permutações de 15.
Casos possíveis: P = 15!
15
Casos favoráveis: Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e
os outros 12 alunos também. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então os
casos favoráveis são 2 × P3 × P12 .
Logo a probabilidade pedida é
2 × 3!× 12!
15!
=
12
15 × 14 × 13
=
2
455
.
4.º Processo
Vamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um
às três amigas.
A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros
e os três últimos).
Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na
ponta onde a primeira ficou.
46
Recomendações do GAVE
Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na ponta
onde estão as amigas.
Logo a probabilidade pedida é
A
6×2×1
15 × 14 × 13
=
6
15
×
2
14
×
1
13
=
2
455
.
não esquecer
Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas de Probabilidades
é o facto de existirem vários processos de os resolver. Normalmente isso sucede
por, perante a situação descrita no problema, se poderem considerar diferentes
espaços de resultados conforme a abordagem que se faça. Para calcular a probabilidade aplicando a regra de Laplace, devemos dividir o número de casos favoráveis
pelo número de casos possíveis. Ora, a cada espaço de resultados irá corresponder
um diferente número de casos possíveis e, claro, um diferente número de casos
favoráveis.
O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos
casos favoráveis e na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar de espaço
de resultados a meio da resolução.
(adaptado de José Paulo Viana, Escola Secundária Vergílio Ferreira, Lisboa)
Tp
Tarefas Propostas
6.
O TOTOLOTO 6/49
O Totoloto surgiu em 1985. Criado pelo Decreto-Lei n.º 382/82 de 15 de Setembro só mais
tarde, através do Decreto-Lei n.º 84/85, de 28 de Março, o Estado concedeu à SCML o direito à sua organização e exploração. O primeiro concurso realizou-se a 30 de Março desse ano.
O jogo consiste na escolha de seis números, entre 49 possibilidades. Assim, os prognósticos
são efectuados traçando as cruzes nos quadradinhos e estabelecendo conjuntos de seis números. Os prémios são atribuídos a partir do acerto em três dos números escolhidos. As apostas
simples têm de ser em número par (2, 4, 6, 8 e 10 apostas), começando pelos dois primeiros
conjuntos da esquerda e continuando sem intervalo. Em cada conjunto, marcam-se com cruzes (X), os seis números escolhidos.
As apostas múltiplas fazem-se sempre no conjunto 1 dos bilhetes. Podem ser preenchidos 7 a
12 números, assinalando o quadradinho correspondente. No início de 1988 surgiu uma nova
modalidade de aposta múltipla, o 5/44. O apostador escolhe 5 números fixos que combinam
uma vez, com cada um dos restantes.
O bilhete de cinco semanas permite participar em cinco concursos seguidos, com os mesmos
conjuntos de números.
Recomendações do GAVE
47
7.
6.1
A quantas apostas simples corresponde a aposta múltipla de 11 cruzes?
6.2
A quantas apostas simples corresponde a aposta múltipla de 5/44?
6.3
Supõe que fizeste uma aposta múltipla, assinalaste 12 cruzes e acertaste em 3 delas.
Quantos quintos prémios (aposta com 3 números certos) ganhaste?
Há N pessoas e cada uma põe o respectivo chapéu numa caixa. Qual a probabilidade de uma
determinada pessoa retirar o próprio chapéu? Qual a probabilidade de que pelo menos uma
pessoa escolha o chapéu correto?
(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)
8.
9.
Numa raspadinha estão em jogo 200 bilhetes, repartidos da seguinte maneira: duas raspadinhas têm um prémio de 200 euros, 18 raspadinhas têm um prémio de 20 euros e nenhuma
outra raspadinha tem prémio. Cada raspadinha custa 3 euros e os prémios estão distribuídos
ao acaso nas raspadinhas. Seja X a variável aleatória que mede o ganho de cada jogador
(diferença entre o que ganha no prémio e o que gastou a comprar a raspadinha).
8.1
Determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.
8.2
Sem efetuares qualquer cálculo e olhando para a tarefa 3, parece-te que este jogo é
justo para os jogadores ou favorece os organizadores da raspadinha? Efetua os cálculos
e conclui.
8.3
Que alterações podes efetuar nas regas da raspadinha de modo que o jogo nem favoreça
os jogadores nem os organizadores?
Um concurso televisivo utiliza um dispositivo chamado aparelho ou caixa de Galton, para
determinar os prémios que os concorrentes ganham.
Um disco é largado do topo do aparelho e vai batendo sucessivamente nos pinos do aparelho
até atingir as posições A, B, C, D, E ou F.
48
Recomendações do GAVE
A
9.1
9.2
9.3
B
C
D
E
F
Quantos caminhos existem para o disco chegar à posição A?
E à posição B?
Mostra que o número de caminhos que há até chegar a cada pino é exatamente igual
aos números em posição semelhante do triângulo de Pascal:
1
A
1
1
5
1
4
B
1
3
10
C
1
2
6
1
3
10
D
1
4
1
5
E
1
1
F
(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)
10. O Nuno inventou o seguinte jogo de apostas, para se entreter com os seus colegas do 12.º
ano: cada aposta consiste em marcar n números de um total formado pela lista: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, e quer saber quanto deve valer n para assegurar que cada um dos 120
alunos possa fazer uma aposta distinta.
11. Um grupo de 10 amigos quer fazer um campeonato de “Poker”, pelo que decidem organizar
partidas (de quatro) de todas as formas possíveis. 11.1 Quantas partidas são possíveis?
11.2 Se jogarem 10 partidas por semana:
11.2.1 Quanto tempo demorariam a terminar o campeonato?
11.2.2 Quantas partidas jogará cada um ?
12. Cinco pessoas, A, B, C, D e E, devem pronunciar-se num discurso. De quantas maneiras se
podem ordenar as intervenções de cada um, se D não puder falar antes de A?
Recomendações do GAVE
49
13. Determina o número de rectas distintas que podem passar por oito pontos do plano,
13.1 se estão dispostos de maneira que três quaisquer deles não estão alinhados;
13.2 se quatro deles estão alinhados e os outros quatro também;
13.3 se os oito pontos são vértices de um quadrado e os pontos médios dos seus lados.
14. Considera os oito pontos que são vértices de um cubo.
14.1 Quantas rectas distintas determinam?
14.2 E quantos triângulos? Destes, quantos são rectângulos e quantos são equiláteros?
14.3 E quantos quadrados?
14.4 E quantos rectângulos?
14.5 E quantos planos?
15. Pintam-se as quatro faces de um tetraedro regular com duas cores distintas. Quantos tetraedros diferentes podemos obter? E se pintarmos com três cores diferentes? E se pintarmos
com quatro?
16. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro de 50 cêntimos. O João
retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.
16.1 Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Constrói a
tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades
na forma de fração irredutível.
16.2 Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de
que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual
é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresenta o resultado sob a forma de
fração irredutível.
⎛ 4⎞
17. A função P(x) = 22500 ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
−x
definida para x ≥ 0, é usada para determinar o valor de um
carro (em euros) x anos depois da sua compra.
17.1 Qual é o custo inicial do carro?
17.2 Determina o custo de um carro um ano e meio depois da compra.
17.3 Quanto desvaloriza o carro ao ano?
18. Um arquiteto resolveu usar a função logarítmica para fazer o arco de uma porta, como mostra a figura seguinte.
50
Recomendações do GAVE
2
y
B
1
0
A
5
D
10
C
x
O arco AB é parte da função definida por y = ln x .
O arco BC é simétrico do arco AB relativamente à recta BD.
18.1 Define uma função por ramos de modo que represente o arco AB e o arco BC.
18.2 Determina a altura máxima da porta (isto é, a do arco medido sobre a reta BD).
19. Financiamento para a viagem de finalistas
Podes observar na figura da tarefa 9 o aparelho de Galton, que pode ser utilizado em
concursos.
Os alunos de uma turma do 12.º ano da Escola Secundária de Cima pensam utilizar um
aparelho análogo, mas com 9 linhas, para promover um concurso destinado a angariar financiamento para ajudar a pagar a viagem de finalistas.
Pensam pedir um pagamento de 3,5 euros por cada aposta, ou seja, por cada disco lançado.
Os jogadores poderão obter um dos prémios cujo valor consta no fundo do aparelho, como
podes observar no esquema imediatamente abaixo:
A
100€
B
20€
C
10€
D
3€
E
1€
F
1€
G
3€
H
10€
I
20€
J
100€
Noutra escola, a Secundária de Baixo, os alunos de outra turma do 12.º ano resolveram promover outro tipo de concurso para fim análogo ao que se destina o concurso dos seus colegas
de Cima.
Criaram uma espécie de Euromilhões, o Baixocentenas, a ser realizado semanalmente que,
ao contrário do euromilhões, não dá lugar à divisão do prémio pelos apostadores premiados.
Quem acertar recebe integralmente o valor referente ao prémio.
Podes observar na figura seguinte um boletim desse concurso.
Recomendações do GAVE
51
A seguir podes observar uma tabela de distribuição de probabilidades da variável Y: “valor
ganho pelo jogador numa aposta”, relativa ao concurso Baixocentenas.
Y = yi
(
pi = P Y = yi
)
200
50
0
1
1
263
1320
330
264
Responde às seguintes questões, considerando que os custos para além dos resultantes dos
pagamentos dos prémios (aparelho, bilhetes do Baixocentenas, impostos, etc…) são suportados por patrocinadores externos em troco de publicidade.
19.1 Constrói uma tabela de distribuição de probabilidade relativa ao concurso a realizar na
E. S. de Cima, considerando a variável aleatória X: “valor ganho pelo apostador numa
jogada”.
19.2 Calcula o lucro ou prejuízo esperado pelo apostador em cada aposta no concurso da E.
S. de Cima.
19.3 Explica os valores de probabilidade que constam da tabela de distribuição de probabilidades relativa ao concurso Baixocentenas.
19.4 Se criassem, no Baixocentenas, um 3.º prémio para os apostadores que acertarem os
números mas falharem as letras (3 números + 0 letras), o que seria mais provável a um
apostador: acertar no 1.º prémio ou no 3.º prémio?
19.5 Considerando o concurso Baixocentenas tal como está previsto, com os dois prémios,
calcula o lucro/prejuízo esperado pelo jogador em cada aposta.
19.6 Tendo em consideração os dois concursos, elabora uma redacção em que refiras os seguintes aspectos:
- opinião acerca do melhor concurso, tendo em consideração a rentabilidade por aposta;
- cumprimento do objectivo a que se destinam os concursos e riscos associados, utilizando argumentos relativos a lei dos grandes números e à viabilidade prática da implementação de cada concurso;
- sugestões de eventuais alterações a introduzir em cada projeto de modo a aumentar
52
Recomendações do GAVE
o lucro esperado pelos alunos e o interesse de potenciais jogadores.
Na redação serão valorizados os argumentos matemáticos utilizados, cujos cálculos não
precisas de repetir se já estiverem nas respostas às questões anteriores (basta invocá-los), mas também a apresentação, o encadeamento lógico, a clareza, a correção e a
criatividade.
(Nota: Se este trabalho te der alguma ideia para aplicares, deves ter muita
atenção ao contexto legal.)
Em
Questões
de escolha múltipla
20. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem
licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor,
experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor.
Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a
distribuição de probabilidades da variável X?
(A)
0
1
2
3
4
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
(B)
(C)
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
0,1 0,1 0,2 0,2 0,4
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Recomendações do GAVE
53
(D)
1
2
3
4
5
0,1 0,1 0,2 0,2 0,4
21. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo,
dois cartões da caixa. Seja X : “o maior dos números saídos”. Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?
(A)
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
(B)
(C)
(D)
54
Recomendações do GAVE
22. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três
bolas da caixa. Seja X o número de bolas brancas extraídas. Sabe-se que a distribuição de
probabilidades da variável aleatória X é:
1
2 3
a a
Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas?
(A)
(B)
(C)
(D)
23. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai
adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida
pelo João esteja mais próxima?
(A) 20000
(B) 21000
(C) 22000
(D) 23000
Recomendações do GAVE
55
C2
Capítulo 2 - Problemas
que envolvem cálculos mais elaborados no
conjunto dos números reais
Tr
Tarefas
resolvidas
24. Demonstra que o número
é um número inteiro.
Resolução
Mas as combinações de 100 elementos de 25 a 25 dão o número de arranjos diferentes de 25
elementos sem interessar a ordenação, que se podem obter quando temos à nossa disposição
uma centena de elementos. Esse número é necessariamente um número inteiro, logo fica provado o que pretendíamos (sem ter necessidade de efetuar todos os cálculos!).
56
Recomendações do GAVE
Trail por Dennnis Vu, http://www.flickr.com/photos/dennis_vu/4229923760/
Temos que
25. Consideremos que temos dois baralhos de 32 cartas. Vamos chamar-lhes baralhos 1 e 2.
25.1 Tira-se ao acaso uma carta em cada um dos baralhos 1 e 2. Consideremos os acontecimentos
A: “Obter 2 cartas de Ás”
B: “Obter pelo menos um Ás”
Calcula P(A) e P(B).
25.2 Misturam-se as cartas dos dois jogos e tiram-se sucessivamente e sem reposição duas
cartas ao acaso. Calcula P(A) e P(B).
Resolução
25.1 Há 32 cartas do baralho 1 e 32 do baralho 2. Como se tira ao acaso uma carta em cada
um dos baralhos 1 e 2, pelo princípio básico da Análise Combinatória, há 32 × 32 = 1024
possibilidades. Há 4 possibilidades de tirar um Ás do primeiro baralho e quatro de tirar um
no segundo baralho. Ou seja, há 4 × 4 = 16 possibilidades de tirar 2 cartas de Ás. A probabilidade do acontecimento A é então
Consideremos agora o acontecimento B “Obter pelo menos um Ás”. Teremos de ver como
obter um Ás, dois Ases, 3 Ases e 4 Ases. Neste caso será mais fácil estudar o acontecimento
contrário de B:
: “Não obter qualquer carta de Ás”
Como há 28 cartas que não são Ás no primeiro baralho e outras tantas no segundo baralho,
pelo princípio básico da Análise Combinatória, concluímos que há 28 × 28 = 784 possibilidades. A probabilidade do acontecimento é
Então
Recomendações do GAVE
57
25.2 Como se misturam as 32 cartas de cada um dos dois baralhos e se tiram sucessivamente
e sem reposição duas cartas ao acaso, há 64 possibilidades diferentes para a primeira carta e
63 possibilidades para a segunda carta. O número de casos possíveis é então 64 × 63 = 4032.
Para o acontecimento A há 8 possibilidades de obter um Ás na primeira carta e 7 possibilidades de obter um Ás na segunda carta; ou seja, há no total 8 × 7 = 56 casos favoráveis
pelo que
Para o acontecimento B podemos mais uma vez recorrer ao acontecimento , o acontecimento contrário de B. Temos que então haverá 56 possibilidades de não sair Ás na primeira
carta; e então haverá 55 possibilidades de não sair Ás na segunda carta. Assim,
Logo
26. Usando a fórmula do binómio de Newton calcula
Resolução
A fórmula do Binómio de Newton diz que
No caso n = 6, a = 2x e b = 4y. Podemos dizer que todas as parcelas têm a forma
( )a
n
k
b
n −k k
com k a variar de 0 a 6. No nosso caso, todas as parcelas terão a forma
58
Recomendações do GAVE
Como k está a variar de 0 a 6 temos então que
Que podemos fazer para termos a certeza de que não nos enganámos nos cálculos? Basta observarmos que a soma dos expoentes de a = 2x e de b = 4y e portanto de x e de y é sempre igual ao
expoente n = 6. Concluindo, vem então
27. Calcula
Resolução
Temos que
C 99 =
100
100!
99!1!
= 100
pois 100! = 100 × 99! Um modo mais simples para calcular este valor é relembrar a propriedade
C k = nC n −k
n
para concluir que
C 99 =
100
Recomendações do GAVE
C 1 = 100
100
59
Tarefas
propostas
28. Numa corrida de cavalos, há 18 cavalos a participar. As apostas desportivas normalmente incidem em acertar nos três primeiros lugares à chegada, por ordem ou sem interessar a ordem.
28.1 Qual a probabilidade de acertar nos três primeiros classificados, supondo que a aposta
é totalmente aleatória?
28.2 Suponhamos que os três cavalos a chegar em primeiro lugar são o 9, o 17 e o 12 por esta
ordem. Qual a probabilidade de acertar nestes três lugares sem interessar a ordem?
29. Usando a fórmula do binómio de Newton calcula o 5.º termo do desenvolvimento de
29.1
29.2
30.
Calcula, usando a fórmula do binómio de Newton,
31. Simplifica a fração
.
.
32. Determina p de modo que seja ao mesmo tempo
e
60
Recomendações do GAVE
Horse racing event por Tsutomu Takasu, http://www.flickr.com/photos/gowestphoto/3921760653/
Tp
33. Calcula:
33.1
33.2
33.3
33.4
Em
Questões
de escolha múltipla
34.
é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
35. A soma dos três primeiros elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 121. Qual
é o terceiro elemento da linha seguinte?
(A) 78
(B) 120
(C) 91
(D) 136
36. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa
linha?
(A)
(B)
(C)
(D)
Recomendações do GAVE
61
37. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19600. A soma dos quatro
primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha seguinte?
(A) 169247
(B) 175324
(C) 184756
(D) 193628
38. Numa certa linha do Triângulo de Pascal, o segundo elemento é 2009. Quantos elementos
dessa linha são maiores do que um milhão?
(A) 2004
(B) 2005
(C) 2006
(D) 2007
39. O penúltimo número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 10. Qual é o terceiro número dessa linha?
(A) 11
(B) 19
(C) 45
(D) 144
40. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é
o quinto elemento da linha anterior?
(A) 23751
(B) 28416
(C) 31465
(D) 36534
62
Recomendações do GAVE
C4
Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos
Tr
Tarefas
resolvidas
41. Demonstra que
41.1
41.2
Resolução
41.1 Temos que
temos que
e
são disjuntos, pelo que, pelo 3.º axioma da Probabilidade,
Assim, supondo que P(B) > 0 e usando a definição de probabilidade condicionada, temos
que
Logo,
Recomendações do GAVE
c.q.d.
63
41.2 Sabemos que
condicionada podemos escrever
. Pela definição de probabilidade
Logo,
.
42. Mostra, por redução ao absurdo, que se
c.q.d.
então
Resolução
Suponhamos então que, em vez da conclusão pretendida, se teria a conclusão contrária, isto
é, que
Então, como
e
Mas como, por hipótese,
Como supusemos que
são disjuntos, pelo 3.º axioma viria
então será
pelo que virá
virá que
e isto contradiz o 1.º axioma. Chegámos a um absurdo, pelo que a hipótese feita é falsa e
assim concluímos que
.
c.q.d.
64
Recomendações do GAVE
Tp
Tarefas
propostas
43. Demonstra que:
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B | A)P[C | (A ∩ B)]
44. Reflete sobre a veracidade da seguinte afirmação:
“O número de diagonais de um polígono regular de n lados calcula-se pela fórmula
n(n – 3), porque aplicando o princípio da multiplicação, de cada um dos n vértices saem n – 3 diagonais.”
45. Usando um contraexemplo mostra a falsidade da afirmação:
46. Prova que, dados os acontecimentos A, B e C, se tem
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C ) − P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C )
47. Prova, por redução ao absurdo, que se
Recomendações do GAVE
então
65
C5
Capítulo 5 - Utilizar
a calculadora gráfica para resolver problemas
Tr
Tarefas
resolvidas
48. O Problema dos aniversários (2.ª parte)
Qual é o número mínimo de pessoas que é preciso ter numa sala para que a probabilidade de
haver pelo menos duas a fazer anos no mesmo dia seja superior a 50%?
Resolução
Intuitivamente parece que terão de existir mais de 150 pessoas na sala para haver 50% de
probabilidades de duas pessoas festejarem o seu aniversário no mesmo dia. Contudo, a Matemática vai mostrar algo de surpreendente.
Para resolver este problema de modo simples temos de partir do princípio que o ano tem 365
dias e que a taxa de nascimentos é constante ao longo do ano, de modo a poder admitir que
qualquer dia do ano é igualmente provável para ser o aniversário de uma pessoa.
Vamos calcular as sucessivas probabilidades de não haver duas pessoas a fazer anos no mesmo dia, começando com uma única pessoa na sala e fazendo entrar as outras uma a uma.
Pararemos logo que a probabilidade seja inferior a 0,5.
Se só houver 1 pessoa na sala, ela poderá fazer anos em qualquer um dos 365 dias. A probabilidade de isso acontecer é P(1) =
= 1.
Entra a segunda pessoa na sala, que tem de fazer anos num dia diferente da primeira. Servem 364 dos 365 dias e a probabilidade de isso acontecer é
coincidência de aniversários das duas pessoas é então
P(2) =
. A probabilidade de não
≈ 0,9973
Entra a terceira pessoa na sala, que tem de fazer anos num dia diferente das duas anteriores.
Servem 363 dos 365 dias e a probabilidade de isso acontecer é
coincidência dos três aniversários é então
66
363
365
. A probabilidade de não
Recomendações do GAVE
P(3) =
≈ 0,9918
Para 4 pessoas:
P(4) =
≈ 0,9836
É fácil agora fazer a generalização para n pessoas:
P(n) =
Agora vamos procurar o menor valor de n que faz com que P(n) seja inferior a 0,5. Convém usar a calculadora ou o computador. Colocamos em Y1 a função P(n), em Y2 a função
1 – P(n), que é a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas a fazer anos no mesmo
dia, e fazemos uma tabela para os sucessivos valores de n.
Vemos então que bastam 23 pessoas para que a probabilidade de haver duas pessoas a festejar o aniversário no mesmo dia seja superior a 50%. O resultado é surpreendentemente baixo.
Com 30 pessoas, a probabilidade já é superior a 70%, e com 41 pessoas superior 90%. Com
57 chega-se aos 99% e com 70 ultrapassa-se os 99,9%.
(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)
49. Gripe Asiática
Numa cidade surgiu uma epidemia de gripe asiática. Determinou-se que a evolução da doença era dada pela fórmula
onde P representa a percentagem de pessoas infetadas e t o tempo em dias após a declaração
da epidemia pelo Serviço Nacional de Saúde (SNS).
49.1 Determina, analiticamente, o período de tempo (em horas) em que a percentagem de
pessoas infetadas foi superior ou igual à existente no momento da detecção da epidemia.
Recomendações do GAVE
67
49.2 Quando foi declarada a epidemia, o SNS sossegou a população da cidade informando
que situação não era muito grave, pois tinham sido tomadas todas as medidas recomendadas e a epidemia seria erradicada em menos de uma semana. Numa pequena
composição, comenta o teor das declarações do SNS tendo em conta que
a) A epidemia se considera erradicada quando a percentagem de pessoas infetadas for
inferior a 1%.
b) Por questões de saúde pública e de acordo com a Organização Mundial de Saúde,
este tipo de epidemia configura uma situação muito grave quando afeta uma população
em mais de 60% por um período superior a 24 horas.
Na resolução desta questão deves utilizar as capacidades gráficas da tua calculadora e
enriquecer a tua composição com o traçado de um ou mais gráficos.
Não é obrigatória a determinação analítica de valores que consideres indispensáveis,
desde que os apresentes com uma aproximação razoável e indiques o processo que utilizaste recorrendo à calculadora.
Resolução
49.1 Há 32% de pessoas infetadas no momento da declaração da epidemia pois
Para determinar quando a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou igual à existente
no momento da detecção da epidemia temos de resolver a inequação
Temos
visto que a função exponencial de base superior a um é estritamente crescente. Logo
P(t) ≥ 32 ⇔ –0,25t 2 + t + 5 ≥ 5
⇔ −t(0,25t − 1) ≥ 0
⇔ t(0,25t − 1) ≤ 0
⇔0≤t ≤4
Assim, entre o momento inicial e o 4.º dia a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou
igual à existente no momento da declaração da epidemia. Passaram então 4 × 24 = 96 horas
em que a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou igual à existente no momento da
detecção da epidemia.
49.2 Considerando, respetivamente, as janelas de visualização [0,10]×[-1,70] e [0,3]×[50,70]
68
Recomendações do GAVE
representaram-se graficamente as funções
cujos gráficos se indicam a seguir
Considerando agora a janela de visualização [0,10]×[0,2] representaram-se a mesma função
juntamente com a função
cujos gráficos se indicam a seguir. Criou-se ainda uma tabela de valores para a função
como se mostra na mesma figura:
Sabendo-se que
e
podemos concluir que
Recomendações do GAVE
69
Reunindo toda esta informação podemos elaborar o gráfico seguinte
P(%)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1,39
2
2,61
4
6
6,89
8
t(dias)
Do gráfico conclui-se que a epidemia foi erradicada antes de se atingirem 7 dias, pelo que se
veio a confirmar o prognóstico do SNS quanto ao prazo de erradicação da epidemia.
Já quanto à gravidade da situação não sucedeu o mesmo, pois veio a verificar-se que aproximadamente durante 29 horas (2,61 – 1,39 = 1,22 dias, ou seja, 1,22 × 24 = 29,28 horas)
houve mais de 60% da população afetada, pelo que, tendo sido ultrapassado o limiar referido, de acordo com a classificação da Organização Mundial de Saúde, este tipo de epidemia
configura uma situação muito grave.
Claro que este é um modelo matemático geral pelo que não pode dar por si só todas as
indicações sobre as medidas que deveriam ter sido tomadas no terreno, pelo que não há informação que permita avaliar as medidas tomadas.
Tp
Tarefas
propostas
50. Tarefa: Cultura de Amibas
Os biólogos, para os seus estudos, realizam culturas de células. As amibas, seres unicelulares, reproduzem-se por bipartição, isto é, cada uma divide-se em duas. Cada uma das novas
amibas desenvolve-se, e quando chega ao momento próprio, divide-se novamente em duas, e
assim sucessivamente. O número de amibas irá pois aumentar segundo a lei:
1 − 2 − 4 − 8 − 16 − 32 − 64 − ...... − 2t
Esta lei, como adaptação à realidade, tem defeitos. Enumera um ou dois.
Nesta situação, se por hipótese as amibas se bipartissem de hora a hora e se não morressem,
quantas amibas haveria ao fim de 15 horas?
Mas, o tempo que decorre para cada partição não é o mesmo para todas as amibas. Por outro
lado, algumas amibas morrem antes de chegar à fase da bipartição. Para descobrir o número
70
Recomendações do GAVE
de amibas na cultura, é necessário fazer recontagens. Um biólogo contou as amibas que há
em cada momento na sua cultura:
tempo
(h)
n.º de
amibas
0
4
1
6
2
9
3
13
4
20
5
30
6
46
7
68
8
103
9
154
Procura encontrar uma fórmula que te permita obter, com o maior rigor possível, o número
de amibas em cada momento (utiliza a calculadora gráfica e as curvas de regressão, procurando a mais adequada).
51. Considera a função real de variável real, assim definida: t(x) = 1 + log (x 2 − 1).
51.1 Determina o domínio e os zeros da função.
51.2 Justifica que a função não admite função inversa.
51.3 Resolve a condição t(x) < 0.
51.4 Considera as funções, reais de variável real, assim definidas:
f (x) = x + 1 g(x) = log x e h(x) = x2 − 1
Tendo em consideração que t(x) = (f o (g o h))(x) e ainda todo o estudo feito sobre as
funções f, g e h, determina o contradomínio da função t. Explica o teu raciocínio.
51.5 Mostra que a expressão algébrica da correspondência (não função) inversa da função t
é x = ± 1 + 10y − 1 e comprova o conjunto indicado na alínea anterior.
51.6 Caracteriza j −1, função inversa da função t restrita a ]1, + ∞[.
51.7 Verifica na tua calculadora gráfica o representado a seguir:
51.8 Como explicas o observado confrontando-o com as respostas às alíneas 51.3 e 51.4?
51.9 Agora, utiliza um software de traçado de gráficos no computador para verificar a resolução deste exercício.
Recomendações do GAVE
71
52. Utilizando uma calculadora gráfica a Ana descobriu que a equação log(x 2 ) = 2 log 3 tinha
duas soluções, que eram 3 e −3 . De seguida, resolveu algebricamente a equação seguindo os
seguintes passos:
Onde está o erro? Justifica.
72
Recomendações do GAVE
3.
Testes de tempo limitado
T1
Teste 1 – Probabilidades – Escolha múltipla
45 minutos
Calculadora não autorizada
1.
Uma caixa contém 6 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. Duas bolas são tiradas da caixa, uma
depois da outra, sem reposição. As ações descritas resultarão em acontecimentos que são
(A) dependentes
(B) independentes
(C) complementares
(D) mutuamente exclusivos
2.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)
De acordo com os resultados obtidos anteriormente, a probabilidade de uma equipa de basebol ganhar um jogo é 4/5. A probabilidade de a equipa ganhar os próximos 2 jogos é
(A) 8/5
(B) 16/25
(C) 2/5
(D) 1/25
3.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)
O número de arranjos de 3 rapazes e 4 raparigas numa fila, se as raparigas têm de ficar
juntas, é
(A)
(B)
(C)
(D)
Testes de tempo limitado
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)
73
4.
Incluindo o Pedro e a Diana, uma determinada escola tem um Conselho Escolar com 10
membros. As probabilidades de 3 comissões possíveis, cada uma contendo 4 membros desse
Conselho, é apresentada a seguir:
Comissão 1: Pedro e Diana são ambos escolhidos
Comissão 2: Só um de Pedro ou Diana são escolhidos
Comissão 3: Nem Pedro nem Diana são escolhidos
A probabilidade de Pedro ou Diana serem escolhidos é:
(A) (Probabilidade da Comissão 1) × (Probabilidade da Comissão 2)
(B) 1 - (Probabilidade da Comissão 3)
(C) 1 - (Probabilidade da Comissão 1)
(D) (Probabilidade da Comissão 3)
5.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2001)
Calcula
(A) 1
(B) 4
(C) 15
(D) 16
74
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2005)
Testes de tempo limitado
6.
No desenvolvimento do binómio
, o termo que contém
é
(A) 4.º termo
(B) 5.º termo
(C) 6.º termo
(D) 7.º termo
7.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Manitoba, 2007)
O diagrama mostra um espaço de resultados com 13 acontecimentos igualmente prováveis.
Determina P(B).
A
B
S
(A)
(B)
(C)
(D)
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2006)
Testes de tempo limitado
75
8.
O diagrama abaixo mostra os gráficos de duas distribuições normais com médias
desvios padrão
e
e
e
, respetivamente.
y
X1 ~N(μ 1,σ 12)
X2 ~N(μ 2 ,σ 22)
x
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
76
(adaptado de exames da Austrália, estado de Victoria, 2003)
Testes de tempo limitado
T2
Teste 2 – Probabilidades – Escolha múltipla
45 minutos
Calculadora autorizada
1.
Na Estância de Férias “Luz do Sol”, a probabilidade de chover em qualquer dos dias do mês
de janeiro é 0,1. A Glória vai passar 3 dias nessa Estância de Férias em janeiro de 2013. Qual
é a probabilidade de que chova pelo menos num desses três dias?
(A) 0,001
(B) 0,271
(C) 0,3
(D) 0,729
2.
(adaptado de exames da Austrália, estado de New South Wales, 2000)
Os números 1 a 5 foram escritos em pedaços de papel separados e os papéis colocados numa
caixa. As letras A, B, C e D são cada uma escritas em papéis diferentes e os papéis são
colocados numa caixa diferente. Jodi retira um pedaço de papel de cada uma das caixas. O
número de elementos do espaço de resultados desta experiência aleatória é
(A) 51
(B) 20
(C) 9
(D) 2
3.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)
Os estudantes de um departamento de música prepararam 6 coros contemporâneos e 5 coros
tradicionais. Para o concerto do departamento será escolhido um programa em que apresentam 4 dos coros contemporâneos e 3 dos coros tradicionais. Quantos programas diferentes
podem ser apresentados, se a ordem dos coros não interessar?
(A) 25
(B) 35
(C) 150
(D) 330
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)
Testes de tempo limitado
77
4.
Foi efetuado um inquérito em que as pessoas tinham de colocar um X na caixa à frente das
atividades que as interessavam quando estavam de férias. Poderiam colocar tantos X em
quantas atividades quisessem e poderiam deixar todas as caixas em branco.
Ver paisagens
Ir ao teatro
Subir a uma montanha a pé
Praticar ski
Visitar museus
Praticar golfe
Ir às compras







Antes de serem tabulados os resultados do inquérito foi preciso determinar quantas respostas
diferentes se poderiam obter. Qual o número total de respostas diferentes possíveis?
(A) 28
(B) 128
(C) 5040
(D) 13700
5.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2001)
Uma festa de 18 pessoas é dividida em 2 grupos diferentes consistindo de 11 pessoas e 7
pessoas. O número de modos diferentes de fazer isto é:
(A)
(B)
(C)
(D)
78
(adaptado de exames do Canadá, estado de Manitoba, 2007)
Testes de tempo limitado
6.
No desenvolvimento de
, determina o coeficiente do termo contendo
.
(A) 9
(B) 10
(C) 36
(D) 45
7.
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2006)
Um investigador médico mediu a temperatura corporal de 700 pessoas e descobriu que as
temperaturas tinham uma distribuição normal com uma média de 36,8 graus Celsius e um
desvio padrão de 0,35 graus. O número de pessoas que se espera tenha uma temperatura
corporal de 37,5 graus ou inferior é
(A) 16
(B) 68
(C) 490
(D) 684
8.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)
Dada uma curva normal com média 50 e desvio padrão 10, determina o valor de
(A) 0,0415
(B) 0,2333
(C) 0,2707
(D) 0,3075
Testes de tempo limitado
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2006)
79
T3
Teste 3 – Probabilidades – Itens de resposta aberta
45 minutos
Calculadora não autorizada
1.
Lançam-se dois dados cúbicos equilibrados. Qual é a probabilidade de um e um só dos dois
números obtidos ser um 5?
(adaptado de exames de Itália, 2012)
2.
Um saco contém berlindes azuis e berlindes vermelhos na proporção de 2 para 3. Um berlinde é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de o berlinde ser azul?
(adaptado de exames da Austrália, estado de New South Wales, 2000)
3.
O número de combinações de n objetos 4 a 4 é igual ao número de combinações dos mesmos
objetos 3 a 3. Qual o valor de n?
(adaptado de exames de Itália, 2011)
4.
Quantos são os números distintos de 4 algarismos que é possível escrever usando os dígitos
ímpares?
(adaptado de exames de Itália, 2008)
5.
A Renata vai vender o seu carro mas antes vai à oficina fazer uma revisão. A probabilidade
de o carro necessitar de uma mudança de óleo é de 0,3 e a probabilidade de o carro necessitar
de um novo filtro de óleo é 0,5. A probabilidade de tanto o óleo como o filtro do óleo precisarem de ser mudados é de 0,225. Se o óleo precisar de ser mudado, qual a probabilidade de
ser preciso novo filtro de óleo?
(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2006)
80
Testes de tempo limitado
T4
Teste 4 – Probabilidades – Itens de resposta aberta
90 minutos
Calculadora autorizada
1.
Queremos formar uma comissão de cinco pessoas, a ser escolhida entre 10 homens e 3 mulheres. Qual a probabilidade de a comissão ser constituída por 3 homens e 2 mulheres?
(adaptado de exames de Itália, 2010)
2.
A Renata e o Estevão fizeram uma sondagem na sua escola sobre as preferências televisivas
dos estudantes.
2.1
A Renata pediu a 150 estudantes escolhidos ao acaso que programas é que tinham
visto no dia anterior na televisão. O programa Shortland Street foi visto por 90 estudantes, 50 tinham visto o Ídolos e 30 tinham visto ambos. Qual a probabilidade de
que um estudante escolhido ao acaso não tenha visto o Shortland Street nem o Ídolos?
2.2
O Estevão fez uma sondagem a um outro grupo de estudantes igualmente escolhidos
ao acaso sobre que tipos de programas tinham visto no fim de semana anterior. Ele
descobriu que 2/3 tinham visto desporto e que 4/9 tinham visto um filme. Se 4/5 deles
tinham visto pelo menos um programa de desporto ou filme, qual a probabilidade de
um estudante escolhido ao acaso ter visto tanto um programa de desporto como um
filme?
(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2006)
3.
A Renata e o Estevão são ambos membros da direção da Associação de Estudantes que tem
um total de 10 membros. Quando a direção da Associação de Estudantes foi apresentada
à escola durante uma assembleia, sentou-se no palco formando uma única fila. Os lugares
foram atribuídos ao acaso. Qual a probabilidade de a Renata ficar sentada na extremidade
esquerda da fila e o Estevão ficar sentado na extremidade direita da fila?
(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2006)
4.
Os estudantes de uma Escola Básica foram inquiridos sobre os seus almoços na escola. No dia
do inquérito, 63% dos estudantes levaram para a escola o seu almoço, enquanto que o resto
comprou o seu almoço, seja na escola seja em lojas próximas. Dos estudantes que foram para
a escola com almoço trazido de casa, 84% dos seus almoços incluía fruta; apenas 47% dos
lanches comprados incluía fruta.
4.1
Calcula a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso dentre os inquiridos ter
um almoço contendo fruta.
4.2
Suponhamos que um estudante escolhido ao acaso dentre os que responderam ao inquérito tinha um almoço contendo fruta. Calcula a probabilidade de esse estudante ter
comprado o almoço.
Testes de tempo limitado
81
4.3
Um inquérito no ano anterior tinha mostrado que 72% dos estudantes inquiridos tinha fruta no seu almoço. Dos estudantes que tinham fruta, descobriu-se que 56%
também tinha sumo. Apenas 12% dos estudantes que não tinha fruta no seu almoço tinha sumo. Também se descobriu no inquérito que 60% dos estudantes que tinham tanto fruta como sumo nos seus almoços tinha comprado o seu almoço.
Suponhamos que um aluno que respondeu ao inquérito do ano anterior foi escolhido ao
acaso. Determina a probabilidade de o estudante ter um almoço comprado contendo
fruta, sabendo que se descobriu que tinha sumo no seu almoço.
(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2009)
5.
O Henrique às vezes vai para escola de carro e das outras vezes vai de autocarro. O Henrique
às vezes leva o almoço de casa para a escola e outras
vezes compra-o na escola. Num dia qualquer, a probabilidade do Henrique ir de carro para a escola é
0,24 e a probabilidade de comprar o seu almoço é
0,32. A probabilidade do Henrique ir de carro para a
escola e comprar o seu almoço 0,0864.
5.1
Os acontecimentos “Henrique vai de carro para
a escola” e “Henrique compra o seu almoço”
são independentes? Justifica.
5.2
Sempre que ele não tem de pagar o autocarro
ou lhe dão dinheiro para almoçar, o Henrique
coloca algum dinheiro no seu mealheiro.
- Ele coloca 2 euros no seu mealheiro em cada
dia em vai de carro para a escola e compra o
seu almoço.
- Ele coloca 1 euro no seu mealheiro em cada dia em vai de carro para a escola e não
compra o seu almoço.
- Ele coloca 50 cêntimos no seu mealheiro em cada dia em vai de autocarro para a
escola e compra o seu almoço.
- Ele não coloca dinheiro no seu mealheiro em cada dia em vai de autocarro para a
escola e não compra o seu almoço.
Calcula o valor esperado de dinheiro que o Henrique coloca no seu mealheiro numa
semana de aulas de 5 dias. Supõe que o modo como o Henrique vai para a escola num
dia não influencia o transporte noutro dia qualquer, e que o mesmo acontece com o
almoço.
(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2009)
82
Testes de tempo limitado
6.
No Dia da Diversão Matemática, um dos jogos envolve a escolha aleatória de uma das seguintes cartas de uma caixa:
M
A
Regras do jogo:
T
E
M
A
T
I
C
A
- Escolhe uma carta e ganhas o jogo!
- Se não sair uma carta M recoloca essa carta na caixa e recomeça o jogo. Escolhe uma carta
M na segunda tentativa e ganhas o jogo! Se não sair uma carta dessas na segunda tentativa
perdes o jogo!
6.1
Se for escolhida uma carta da caixa, qual a probabilidade de que seja uma carta M?
6.2
Qual a probabilidade de ganhar este jogo?
(adaptado de exames da Austrália, estado de New South Wales, 2000)
7.
Um jogo consiste em lançar dois dados regulares. O resultado é a soma dos valores obtidos
nos dois dados. O prémio é dado de acordo com as seguintes regras:
- A soma de 11 ou 12 dá um prémio de 100 euros
- A soma de 9 ou 10 dá um prémio de 50 euros
- A soma de 7 ou 8 dá um prémio de 15 euros
- A soma de 6 ou menos não dá qualquer prémio.
A variável aleatória X representa o prémio num jogo.
7.1
Explica porque
7.2
Completa o preenchimento da seguinte tabela:
t
.
0
15
7.3
Determina a probabilidade de ganhar um prémio.
7.4
Determina o valor médio E(X).
50
100
(adaptado de exames da Dinamarca, 2007)
Testes de tempo limitado
83
8.
A Alice está a analisar o peso das ovelhas nascidas na sua quinta.
8.1
Ela descobre que o peso médio é 1,5 kg e o desvio padrão é 0,125 kg. Ela parte do
princípio que os pesos têm uma distribuição normal. Qual é a probabilidade de uma
ovelha, escolhida ao acaso, pesar entre 1,5 kg e 1,7 kg?
8.2
O Rafael calcula que a probabilidade de uma ovelha pesar entre 1,3 kg e 1,7 kg é 0,9.
Ele pensa que as ovelhas devem ser mais leves do que a Alice concluiu. Explica porque
é que não é provável que isto seja verdade.
8.3
Qual a probabilidade de uma ovelha escolhida ao acaso da quinta da Alice pesar mais
do que 1,8 kg?
8.4
Uma ovelha é considerada com peso a menos se pesar menos de 1,25 kg. As ovelhas
com peso a menos raramente sobrevivem. Alice espera que lhe nasçam 6400 ovelhas
este ano. Quantas ovelhas deve ela esperar que morram devido a peso insuficiente?
(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2011)
84
Testes de tempo limitado
T5
Teste 5 – Probabilidades
90 minutos
Calculadora autorizada
I Parte
1.
Uma comissão numa escola consiste inclui 1 subdiretor, 2 professores e 3 estudantes. O número de comissões diferentes que podem ser formadas com 2 subdiretores, 5 professores e 9
estudantes é
(A) 20 160
(B) 8 008
(C) 1680
(D) 90
2.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2001)
Num baralho comum de 52 cartas, quantas mãos diferentes de 4 cartas existem que contenham no máximo uma carta de copas?
(A) 91 403
(B) 118 807
(C) 188 474
(D) 201 058
3.
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2006)
O David tira uma carta ao acaso de um baralho contendo 12 cartas vermelhas, 10 cartas
amarelas, 5 cartas azuis, e 8 cartas verdes. Qual é a probabilidade de que selecione uma carta
azul ou uma carta vermelha?
(A) 5/35
(B) 12/35
(C) 17/35
(D) 18/35
(adaptado de exames da Austrália, estado de New South Wales, 2000)
Testes de tempo limitado
85
4.
O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam a aumentar. Há
alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0.
Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as
funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:
Tamanho dos calçados
Número de funcionárias
37
3
39
38
1
10
36
5
35
6
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é
(A) 1/3
(B) 1/5
(C) 2/5
(D) 5/7
(E) 5/14
5.
(adaptado de exames do Brasil, 2010)
A probabilidade de a Lisa ganhar um jogo é
. Nenhum jogo termina num empate. Se ela
jogar dois jogos, qual é a probabilidade de perder ambos?
(A)
(B)
(C)
(D)
(adaptado de exames do Canadá, estado de Manitoba, 2007)
86
Testes de tempo limitado
6.
Um código postal no Canadá é constituído por 3 letras e 3 dígitos ordenados de modo que
tem primeiro uma letra, depois um dígito, depois uma letra e um dígito, e mais uma letra e
um dígito. A primeira letra deve ser V, W ou X mas não há restrições sobre as outras letras
ou dígitos. Um exemplo de código postal é V0N 5Y2. Quantos códigos postais diferentes são
possíveis?
(A) 1 259 712
(B) 1 478 412
(C) 1 728 000
(D) 2 028 000
7.
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2005)
As primeiras 7 linhas do triângulo de Pascal são dadas a seguir:
1
(B) 540
(C) –10
1
1
6
5
1
3
4
15
10
2
6
20
1
1
3
10
4
15
1
5
7
21 35do binómio
35 21
no1desenvolvimento
O coeficiente de
(A) 1080
1
1
1
1
1
1
10
9
8
45
36
28
84
56
70
56
126 126
84
1
1
6
28
7
36
120 210 252 210 120
1
8
45
1 é igual a
9
1
10
1
1
1
1
1
10
1
9
1
1
?
45
Testes de tempo limitado
6
7
36
(D) –540
(E) –1080
1
(adaptado de exames da Austrália, estado de Victoria, 2003)
87
28
1
5
21
84
1
1
3
4
15
56
?
35
126
120 210 2
8.
O coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento de
é
(A) 21
(B) 35
(C) 84
(D) 140
(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2005)
II Parte
9.
Suponhamos que um termo do desenvolvimento de
, com b positivo, é
Determina o valor de b, arredondado às décimas.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2001)
10. O João, a Amélia e o Frederico tentaram resolver o seguinte problema:
“Numa certa cidade, durante toda a vida de cada pessoa a probabilidade de ter diabetes é
0,1 e a probabilidade de ter cancro é 0,05. Qual a probabilidade de uma pessoa ter ou cancro
ou ter diabetes durante toda a sua vida?”
Suponhamos que C é o acontecimento “ter cancro” e D é “ter diabetes”. Cada um dos estudantes propôs uma solução diferente:
Solução do João: P(C e D) = 0,1 × 0,05 = 0,005
Solução da Amélia: P(C ou D) = 0,1 + 0,05 = 0,15
Solução do Frederico: P(C ou D) = 0,1 + 0,05 – 0,005 = 0,145
10.1 Qual dos estudantes tem a resolução correta?
10.2 Explica porque é que as outras duas soluções não estão corretas.
(adaptado de exames do Canadá, estado de Nova Scotia, 2008)
11. Se n > 3 e
estão em progressão aritmética qual é o valor de n?
(adaptado de exames de Itália, 2010)
12. É mais provável obter pelo menos um 6 lançando quatro vezes um dado cúbico equilibrado
ou obter pelo menos um 12 lançando vinte e quatro vezes dois dados?
(adaptado de exames de Itália, 2007)
88
Testes de tempo limitado
Soluções
2.3.2
1 – Exercícios globais de 2.ª oportunidade
2.3.3
2.3.4
C1
Capítulo 1 – É
possível?
É
provável?
3.
3.1
Pratica ↑
3.2
1.
1.1
“é quase impossível”
1.2
“é pouco provável”
1.3
“ é bastante provável”
1.4
“ é bastante provável”
1.5
“ é quase certo”
: sair o 10 de copas
: acontecimento impossível
: sair valete ou sair copas
: sair copas ou o 10 de ouros
: sair valete, ou
sair o 10 de copas ou de ouros
2.
2.1
4.
4.1
2.2
2.2.1
2.2.2
: sair o valete de copas
(
(
M: ter sexo masculino ; F: ter sexo
feminino
)(
)(
)(
)(
2.2.3
4.2
7 Ocorrências
2.2.4
4.3
Diagrama de Venn:
2.2.5
2.2.6
)(
)(
⎧ M,M,M , M,M,F M,F,M , M,F,F
⎪
S =⎨
⎪ F,M,M , F,M,F , F,F,M , F,F,F
⎩
)
),⎫⎪⎬
⎪
⎭
Seja A o acontecimento: “pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”.
2.2.7
2.2.8
2.3
2.3.1
Soluções
89
A
(M,M,M)
(M,M,F)
⎧(L,L,L);(L,L,V ,L);(L,V ,L,L);(L,V ,V ,V );⎫
⎪
⎪
S = ⎨(L,L,V ,V ,L);(L,V ,V ,L,L);(L,V ,L,V ,L); ⎬
⎪(L,L,V ,V ,V );(L,V ,L,V ,V );(L,V ,V ,L,V ) ⎪
⎪⎩
⎪⎭
(F,F,F)
7.
(M,F,M)
: “não sair face par”.
(M,F,F)
(F,M,M)
{ }{ }{ }{ }{ }
{ }{ }{ }{ }{ }
{ }{ }{ }{ }
⎧ 1,1 , 1, 3 , 1, 5 , 1,7 , 1, 9 , ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
A = ⎨ 3, 5 , 3,7 , 3, 9 , 5, 5 , 5,7 , ⎬
⎪
⎪
⎪ 5, 9 , 7,7 , 7, 9 , 9, 9
⎪
⎩
⎭
(F,M,F)
(F,F,M)
Pensa e Resolve ↑ ↑
S
8.
5.
5.1
Utilizando uma tabela de dupla entrada:
{1,1}, {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, ⎫⎪
{2,2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 3}, ⎪⎪⎬
{3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 4}, {4, 5}, {4, 6},⎪⎪
⎪
{5, 5}, {5, 6}, {6, 6}
⎭
⎧
⎪
⎪
⎪
S=⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
{ } { } { } { } { },⎫⎪⎬
{ } { } { } { } ⎪⎭
L: vence a equipa de Lamego
V: vence a equipa de Viseu.
90
8.2
B: sair um número natural inferior
a dez
8.3
C: sair o número dez
9.
9.1
9.4
10. Considerem-se os acontecimentos,
5.3
{ }{ }{ }{ }{ }{ }
{ }{ }{ }{ }{ }{ }
{ }{ }{ }{ }{ }
A: sair a face com o número um
9.3
⎧ 5,1 , 5,2 , 5, 3 , 5, 4 , 5, 5
⎪
⎨
⎪ 5, 6 , 5,7 , 5, 8 , 5, 9
⎩
⎧ 8,1 , 8,2 , 8, 3 , 8, 4 , 8, 5 , 8, 6
⎪
⎪
⎨ 8,7 , 8, 8 , 8, 9 , 9,1 , 9,2 , 9, 3
⎪
⎪ 9, 4 , 9, 5 , 9, 6 , 9,7 , 9, 9
⎩
8.1
9.2
5.2
6.
A: “sair face par”.
,⎫
⎪
⎪
,⎬
⎪
⎪
⎭
X: sai bola amarela
Y: sai bola roxa
10.1
10.2
10.3
10.3.1
Soluções
.]
Utilizando a representação em diagramas
de Venn podemos observar
A
B
A
10.3.2 Acontecimento certo:
Acontecimento impossível:
S
11. A: sair face par
B: sair face menor
que 3
A
onde
S,
B
,
A
, de
Na
hipótese de
, temos
, logo não é um acontecimento
impossível.
, temos
hipótese de
, ou seja é um acontecimento
impossível.
Na
12.
Concluímos assim que para que
ser impossível, os conjuntos
tem
de ser disjuntos, ou seja não tem elementos em comum,
.
12.1 Falso. Basta considerar o acontecimento formado por todos os elementos do espaço amostral.
12.2 Falso. Basta considerarmos um
acontecimento coincidente com o
conjunto vazio.
12.3 Verdadeira.
é impossível então
.
por não se
Por hipótese,
tratarem de acontecimentos impossíveis e
, por não
de forma análoga,
se tratarem de acontecimentos certos.
Ficamos então com duas hipóteses, ou
ou
.
[Sendo que, como
Soluções
B
S
Reflete ↑ ↑ ↑
13. Se
S
são diferentes,
C2
Capítulo 2 – Probabilidades
Pratica ↑
1.
2.
91
A: sair número par
3.
B: sair número impar
3.1
3.2
8.3
4.
.
4.1
8.4
Considerem-se os acontecimentos
A: sair número divisor de 5
4.2
B: sair número divisor de 6
{ } { }
B = {1,2, 3, 6} ,B = {4, 5} ;
A = 1, 5 ; A = 2, 3, 4, 6 ;
4.3
P(A) ≥ P(B)
5.
5.1
{
P((A ∩ B) ∪ (A ∩ B)) = 1
10.
5.3
6.
0, 01
7.
−
8.
Consideremos, por exemplo, a experiência aleatória que consiste no lançamento
de um dado equilibrado numerado de 1
a 6.
8.1
10.1
Considerem-se os acontecimentos
A: sair um número primo
B: sair um número menor que 3
8.2
}
A ∩ B = 1,2, 3, 4, 6, 8 ;
9.
5.2
92
Considerando os acontecimentos da
alínea anterior, verifica-se que
Considerem-se os acontecimentos
10.2
11
12
1
12
Pensa e Resolve ↑ ↑
11. 11
12
12. Consideremos, por exemplo, a experiência aleatória que consiste no lançamento
de um dado equilibrado numerado de 1
a 6.
12.1 Considerem-se os acontecimentos
Soluções
A: sair um número par
14.2
B: sair um número impar
P(A) =
P(B) =
3
6
3
=
=
1
2
1
6 3
P(A) = P(B)
14.2.1
14.2.2
14.2.3
;
;
15. Consideremos, por exemplo, os conjuntos
{ }
B: sair número impar
12.3 Considerando os acontecimentos da
alínea anterior, também temos
.
12.4 Considerem-se os acontecimentos
A: sair número divisor de 6
B: sair número divisor de 5
{ } { }
B = {1, 5} ;B = {2, 3, 4, 6} ;
A = 1,2, 3, 6 ;A = 4, 5 ;
P(A) < P(B)
13.
}
A e B são acontecimentos incompatíveis
12.2 Considerem-se os acontecimentos
A: sair número primo
{
A = 1,2, 3 e B = 4, 5, 6
16. −
Reflete ↑ ↑ ↑
17. O jogo não é equitativo pois o João tem
mais probabilidade de ganhar que a Maria.
18. O “meu” adversário é favorecido neste
jogo.
19.
19.1 Falso.
19.2 Falso.
19.3 Falso.
19.4 Verdadeira.
19.5 Falso.
20.
20.1
Feminino
Masculino
Não CMA
171307
196304
367611
CMA
13354
15303
28 657
total
46,6%
53,4%
396 268
20.2 Consideremos os acontecimentos,
14. Considere-se o acontecimento
A: É um estudante de Ciências,
Matemática e Informática – CMA
14.1
Soluções
93
B: É do sexo feminino
3.2
4.
C: Estuda Ciências, Matemática e
Informática – CMA e é do sexo feminino
4.1
4.2
D: É do sexo masculino e não estuda Ciências, Matemática e Informática – CMA
5.
5.1
5.2
20.3 A e D são incompatíveis pois são
conjuntos disjuntos.
5.3
20.4
E: É estudante CMA, ou do sexo
masculino
5.4
5.5
C3
Capítulo 3 – Probabilidade
Pratica ↑
5.6
condicionada
6.
1.
2.
3.
3.1
94
6.1
14
6.2
6
6.3
14
6.4
16
6.5
7
7.
Soluções
16.1
7.1
16.2
7.2
17. −
18. −
Reflete ↑ ↑ ↑
8.
19.
Masculino
9.
10.
10.1
10.2
Feminino
20. Não.
Surdo
Não surdo
0,0021
0,5289
0,0019
0,4671
21.
22. Sim.
23. −
11. Nada se pode dizer.
C4
12. Nada se pode dizer.
Pensa e Resolve ↑ ↑
13.
13.1 15,3%
13.2 1,1%
Capítulo 4 – Distribuição
Pratica ↑
1.
13.3 94,2%%
1.1
13.4 5,8%
1.2
14.
14.1 0,94
de probabilida-
des
1.3
2.
0
14.2 0,95
14.3 0,24
1
2
15. 0,5002
16.
Soluções
3.
95
1,0
11. O valor obtido para a pontuação de cada
resposta certa é 5.856, pelo que arredondado às unidades, cada resposta certa
deve valor 6 pontos.
y
0,8
μ= 1
0,6
σ = 0,5
0,4
C5
Capítulo 5 – Análise Combinatória
0,2
–4
4.
–2
0
2
4
x
Média = 3,45 e Desvio Padrão = 1,69
5.
5.1
0,95221
5.2
0,999571
5.3
0,5
Pensa e Resolve ↑ ↑
6.
7.
é uma proposição
verdadeira, dado que a distribuição normal é centrada relativamente à média.
Como o 3 está mais afastado do 5 do que
o 6 e como queremos saber qual a área,
abaixo da curva, que é maior. Então a
área para
é maior do que a área
para
.
8.
8.1
Média = 3
8.2
Desvio Padrão = 3,6
9.
P = 0,3456
Reflete ↑ ↑ ↑
10.
96
Pratica ↑
1.
6760000
2.
1470000
3.
2600
4.
21; 42
5.
120
6.
120
7.
6
8.
720
9.
4294967296
10.
10.1 44352
10.2
Pensa e Resolve ↑ ↑
11. uma letra
12.
12.1
8,7 × 10−27
12.2 0,000009
13. 907200
14. 20160
10.1
15. 5040
10.2
16. 6
Soluções
17. 720
18. 24
Reflete ↑ ↑ ↑
19.
19.1 105
19.2 58905
C6
Capítulo 6 – Triângulo
mio de Newton
19.5 45815
20. 1
2.
1
3.2
23.
23.1
10
5
1
Binó-
15
10
20
15
6
1
3.
20.2 0,9988
22.
6
5
10; 20; 8; 56; 126; 36; 120; 45
3.1
21.
e
1.
20.1 0,0476
20.3 0,00119
Pascal
Pratica ↑
19.3 10660
19.4 42840
de
4.
Pensa e Resolve ↑ ↑
5.
a = 1; b = 5; c = 10; d = 10; e = 5;
f = 1
6.
3 e 14
7.
7.º
termo
;
8.º
termo
23.2 n – r + 1
24.
8.
9.
25.
26.
Reflete ↑ ↑ ↑
27.
10.
10.1
Soluções
97
h(x) = 1 x
–4
–2
11.
100
5
10.2
–6
T
y
3
80
1.2
2y
–5
60
40
x
4 = 26x
f (x)
20
0
4
12. Não tem solução.
2
x
–6
–4
–2
g(x) = f ( x) = 2
C7 2
–2
Capítulo 7 – Função
–4
4
x
6
5
2
x
8
3
6
1
x
0
–6
–6
10
y
8
y
0
–6
5
–4
–4
10
–2
2
–2
f (x) = 2x
4
–6
–4
–2
–6
8N(t) =
6
4
40
50
60
70
h(x) = f (x
2
6
97
4
6
t
1) = 2x
1
x
20
0
25
2
2
4
2
8
–2
4
6
30x
x
x
4
–6
P(t) = A2
x) = 2x
h(x) = 1 x
f (x) = 2
4
2
6 2
–4
6
–4
4
2
6
y
3
5
98
y
2
x
10
8
y 15
20
6
4
2
2
25
30
x
100
x
–6
–4
84
T
100
60
40
4 4
x
6
4
6
x
f (x) = 2x
8
2
y
6
y
2 42 4
5
2
4
3
–2
P(t) = A2
2
x
f (x) = 2x
6
x
80
x
6
8
y
x
g(x) =
4 24
x
T(t) = A
0 g(x) =
5
8
y
–5
–6 –6–4 –4–2 –2
x
0
A
L(x) = 2f (x) = 2 2
100 x
N(t) = A
976
2
4
–2
5
k(x) = |f (x)| = |2x | = 2x = f (x)
g(x) = f ( x) = 2 x
–4
x
4
f (x)y= 2x
– 6 – 6 – 4 – 4 – 2 – 2 –0 2
2 2
–6
–4
–2
1.4
x
3
2 2
x
x
– 2 x= A(1,15)
M(t)
y
4 4
1 h(x)1 = f (xx 1) = 2x 1
y
=
=2
f (x) = 2x
f (x) 2x 2
8
g(x)
= f ( x) = 2
–4 y
f (x) = 2x
h(x) = 1 x
x
84
15
y
8
x
100
A
100
2
y
6
x
30
–2
10
4
4 M(x) =
x
–4
f (x) = 2
T(t)
4 =A
6
2
20
4
x
1.1
= 2x
30
y
6
2
x
x
10
6
f (x) = 2x
2
exponencial
y
4g(x) =
P(t) = A2
0
y
0,11t
1.3
1.
4
8
x
Pratica ↑
00
T(t) = 20 + 60e
4 6
2
2
x
h(x) = f (x
6
0
5
y
5
10
0,11t
Soluções
10
N(t)
x =A
6
T(t) = A
h(x) = 1 x 3
T(t) = 20 + 60e
1
x
4
1
0
x
1) = 2x
15
100
97
x
84
20
25
8
y
f (x) = 2x
1.5
6
A
1
M(x) =
4.3
1
=
x
–2
2
–6
–4
2.
–2
–4
8
A
3
–2
–6
–4
y– 2
–6
5
4
x
4
30
00
7
2
4.2
Soluções
8
6
2
4
6
4
6
–2
2
x
1
y
3
x
6
–2
y
x
6
25
2
–5
30
4
5
5
10
5
4
3
y
10
97
x
15
15
N(t) = A
100
84
20
20
25
100
x
x
30
N(t) = A
97
4
6
60 h(x) =
–6
–4
40
y
1 x3
–2
y
0,11t
2
5
4
6
–5
40
50
2
60
4
80
4
70
t
6
T(t) = 20 + 60e
6.6
A
tende a igualar a
5
10 que 15é de 20
ambiente,
temperatura0 40
20�. O gráficoy20dá-nos
f (x)a= informação
2x
de que a reta
de
equação
10 0
é assíntota do gráfico de T, o que
10
20
30
40
50
8 0afirmámos.
y
confirma o que
60
0
temperatura
84
x
+∞
–2
97
T(t)
25
30
60
70
t
6
5
2
100
N(t) = A
3
k(x) = |f (x)| = |2x | = 2x = f (x) 97
4
4
8.2– 6 0 – 4
x
100
0,11t
No
P(t)instante
= A2 x inicial
0
x
N(t) = A
Nos primeiros100dois minutos
2
6
M(t) = A(1,15)x
10 8 20
30
–4
–2
x
6.5
100
x
f (x) = 2x
6
2
0
–6
2
Aproximadamente
3,7 minutos
T
8.3
100
8
x
6.3
8.1x
x
y
T(t) = 20 + 60e
8.
T(t)
=A
30
6
1
4
7.
97
25
–2
2
x
6
80�
x
100
N(t) = A
x
x
6
4
1) = 2x
6.2
6.4
20
T(t) = A
0
4
2
T
0
4
4
L(x) = 2f (x) = 2 2
20
M(t) = A(1,15)x
4
2
x
6.1
y
6 = f (x
h(x)
2
80
x
8
4
–2
1
84
15
{9, 94, 0, 0,74}
0 2
1) = 2x
–4
x
6
Pensa e Resolve
– 6 ↑– ↑
4
x
100
5
6
0
–6
x
2
10
y –4
8
5.3
–2
x
x = 2
(x)
f (x) =f 2
g(x)
=2
8
2
–4
y
6
100
y
4
2
x
4. P(t) = A20
4.1
x
3
2.2
P(t) = A2
3.
x
x
5
–6
–6
4
h(x) = f (x
–4
0
x
8
4
x
6.
h(x) = 1 x
1
6
2
T(t) = A
2
0
4
f–(x)
2 =2
–5
3
0
2
2
x
5
4
5.1
5.2
g(x)
4 = f ( x) = 2
–4
g(x) = 2
–4
5
y
x
6
–2
4
y
2
–6
x
5.
L(x) = 2f (x) = 2 2
x
6
6
2.1
h(x) = 1 x
2
4
–6
6
8
4
2
–4
y
x
f (x) h(x)
2x = f (xf (x)
1)==2x 2x f1 (x) = 2
4
–6
=y 2
x
y
0
P(t) = A2
2
x
12
0
0
4
5
y
10
8
6
x
T(t) = A
10
15
f (x) = 2x
99
100
x
84
20
25
–4
9.
y o doente
ne. Se fosse tomado
f (x) = 2x nunca mais acordaria.
8
y
f (x) = 2x
x
1 = A(1,15)
1
M(t)
M(x) =
=
=2 x y
4
x
8
f (x) 2
y
6
P(t) = A2
2
–2
g(x) = 6f ( x) = 2 x
x
100
N(t)
=
A
2
6
44
97
–2
9.3
–4
x
2
Reflete
↑↑↑
0
0
10.
–56
–10
4
–152
2
25
20
x
8
...
x
x
100
6
84
x
–6
–2
2
–6
T(t) = A
10
4
x
100
10.7
x
6
8
84
15
20
25
30
x
4
2
100
2
T(t) = A
2
10
x
100
84
4
15
97
x
6
20
25
30
x
5
10
15
20
25
M(t) = A(1,15)x
–2
50
2
–5
4
x
x
100
N(t) = A
2
0
x
97
x
T(t) = A
0
100
1 hora
5
150
10
200
1 hora
y
15
250
20
t em minutos
25
30
x
x
100
84
x
100
N(t) = A
Se considerarmos a sucessão das
2
( ) ao fim de 1, 2, 3,
quantidades qn
1
P(t) =terão
A2 x q = 4 × 0, 5
n horas
1
0
0
100
84
1 hora
3
30
6
5
T(t) = A
5
5
6
x
A concentração máxima nunca ul4
trapassará 8mg/l.
O medicamento que não é real é o Methohexito100
0
97
x
y
6
P(t) = A2
1 hora
N(t) = A
0
0
–2
4
M(t) = A(1,15)x
4
0
mg/L
8
–4
–6
6
0
6
P(t) = A2
– 40
10.6 4 horas. Não.
10.3
y
1
24
x
1
100
N(t) = A
4
2
1) = 2x
10.5 O Pentobombitone, pois permite
adormecer com alguma facilidade e
y
desaparece
h(x) = 1 x 3do sangue mais rápido
que os outros.
2
5
2
x
f (x
6
3
–2
P(t) = A2
y
1
0
8h(x) =
;
2
–3 4
8
–4
4
y
4
0
4
30
y
x
4
2
6
10.2
–6
x
;
g(x) = 2
6 =y 2
g(x)
4 5
T(t) = A
10.1
5
10.4
f (x) = 2x
8
2
9.2
4– 4
–6
9.1
–
5
T(t) = A
10
100
15
Soluções
x
97
x
84
20
25
30
(
q2 = 4 × 0, 52 + 0, 5
)
(
q3 = 4 × 0, 53 + 0, 52 + 0, 5
15.1 3,5
)
(
qn = 4 × 0, 5n + 0, 5n − 1 + ... + 0, 5
11.
15.2 1,79
Quando n tende para infinito
tende para 4.
16.
)
16.1
16.2
17.
11.1 1,124 × 10−186
17.1 c(6) = 12 ln(6) + 200 ≈ 221, 501
c(60) = 120 ln(60) + 200 ≈ 691, 321
11.2
17.2
2,106 anos.
11.3 –
Pensa e Resolve ↑ ↑
12.
18.
12.1 1%
12.2 O pior momento ocorreu no 20.º dia
com uma percentagem de 54,6%
12.3 A partir do 40.º dia.
12.4 42,52%
19.
20.
20.1
;
20.2
x ∈]2, 68, +∞[
C7
Capítulo 8 – Função
Pratica ↑
13.
13.1 23
13.2
logarítmica
21. −
22.
23.
23.1
13.3 0
14.
14.1 4,25
14.2 14,25
15.
Soluções
23.2
23.3
24.
24.1 Estimativa: 8 ; Valor aproximado:
101
7,96
29.3
24.2
25.
29.4
25.1
25.2
2 – Recomendações do GAVE
25.3
Reflete ↑ ↑ ↑
C1
26. Não!
Capítulo 1 – Resolução
27.
vida real
27.1 Falso!
Com
e
vamos obter
a igualdade numérica falsa:
log 2(10) =
log(2)
log(10)
Com
e
vamos obter
a igualdade numérica falsa:
ln(2)
ln(10)
⇔ 3, 32 = 0, 30
27.3 Verdadeira! (Veja-se a página 100
do manual)
27.4 Verdadeira! (Veja-se a página 100
do manual)
28.
28.1 −
28.2 606
29.
29.1
29.2
102
462
6.1
44
6.2
⇔ 3, 32 = 0, 30
27.2 Falso!
log 2(10) =
6.
de problemas da
6.3
7. 84
1/3; 1/3
8.
8.1
197
17
–3
1
9
9
100
100
10
8.2 Olhando para a tarefa 3 o jogo parece
ser do mesmo tipo pois há o dobro de raspadinhas e o dobro de prémios. Calculando
o valor esperado obtemos E(X) = 0,8 e assim
o jogo é favorável aos jogadores pois sendo
verdade que há o dobro de raspadinhas e o
dobro de prémios, os prémios têm também
o dobro do valor pelo que este jogo é muito
diferente do jogo da tarefa 3.
8.3 Poderia alterar o valor dos prémios, ou
o número de prémios de modo que o valor
esperado viesse igual a zero.
Soluções
9.
16.2
1
9.1
5
9.2
17.
Tem de ser pelo menos n = 3 para haver
10.
17.1
pelo menos 120 apostas distintas pois ⎜ 12 ⎟ = 66
⎝ 2 ⎠
⎛
⎞
e ⎜ 12 ⎟ = 220
⎛
⎞
17.2
17.3
⎝ 3 ⎠
18.
11.
11.1
210
11.2.1
11.2.2
60
12.
13.
13.1
13.2
13.3
14.
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
21 semanas
19.
16.
f(6) = ln 6 ≈ 1,79
28
96,5
18,5
6,5
–0,5
–2,5
–2,5
1
9
36
84
126
126
20
2
2
2
2
2
29
18
28
–0,5
6,5
2
2
84
56; 48; 8.
9
36
9
9
9
9
9
9
18,5 96,5
9
1
2
29
9
19.2 O valor esperado é positivo (favorável ao jogador) e aproximadamente igual a
0,55
8
12
19.3
A probabilidade de acertar em 3
números e 2 letras é de 1 em
24
19.4 Seria igual pois havendo apenas 4
letras, acertar em 2 letras ou acertar em
zero letras tem igual número de possibilidades.
16.1
1
Soluções
25%
19.1
6; 12; 24
15.
Aproximadamente 14 614 euros.
18.1 f(x) = ln x se 1 ≤ x ≤ 6 e f(x) = ln
(–x + 12) se x < 6 ≤ 11
18.2
21 partidas
22 500 euros.
1,5
2
19.5 O valor esperado é negativo (favorável aos organizadores) e aproximadamente
igual a –0,197
103
19.6
Um exemplo de composição é:
“Tendo em consideração que há lucro esperado
para o apostador no concurso da Escola Secundária Sidónio Pais, conforme o trabalho feito na
resposta à questão 2, tal significa que, em média, de cada vez que um jogador lança um disco
não será angariado qualquer financiamento para
a viagem de finalistas como ainda haverá lugar
a prejuízo. No concurso da Escola Secundária
Costa Lobo, o valor esperado para o apostador é
inferior ao valor que tem de pagar pela aposta, o
que origina que em média, por cada aposta, haverá lucro para os alunos. Assim, é obviamente
melhor, na perspectiva dos alunos, o concurso a
realizar na Escola Secundária Costa Lobo, o Baixocentenas. É aliás o único que pode permitir o
cumprimento do objectivo para o que foi criado,
financiar, pelo menos em parte, a viagem de finalistas. No entanto, é também muito arriscado,
uma vez que os alunos poderão não garantir o
pagamento dos prémios.
Sabe-se, pela lei dos grandes números, que a
frequência relativa dos acertos nas chaves premiadas estabilizará à volta do valor de probabilidade, utilizado para calcular o valor esperado, se se realizar um número muito elevado de
experiências, pelo que é perfeitamente possível
haver, por exemplo, 5 ou 6 apostadores a obter
o 1º prémio nas duas primeiras semanas, o que
obrigará os alunos a terem um plafond de mais
de 1000 euros para fazer face aos custos, e pior
será se nas duas semanas seguintes houver mais
três ou quatro vencedores.
Por outro lado, em termos práticos há um problema difícil, ou mesmo impossível, de ultrapassar. Para se chegar com segurança ao lucro pode
ser necessário fazer tantas experiências que não
chegarão as apostas feitas na escola, mesmo que
se prolongue o concurso por um ano inteiro, o
que se justifica mais uma vez por causa da lei
dos grandes números. E mesmo que esse lucro
venha a ocorrer, e considerando um pouco artificialmente que não haverá grandes desvios entre os valores de probabilidade e as frequências
relativas, seriam necessárias 10000 apostas para
se obter um lucro a rondar os 2000 euros, o que
para uma viagem para todos os alunos da tur104
ma poderia não dar mais de 100 euros a cada
um ((0,5 – 0,303) × 10000 = 1970). Será que o
trabalho e as privações para levar um concurso
destes á frente compensarão?
Poderíamos proceder a alterações de modo a tornar o jogo lucrativo para os alunos da Escola
Secundária Sidónio Pais, e para tentar aumentar
o lucro da escola de Baixo.
Relativamente à Escola Secundária Costa Lobo
poderia ser feito um aumento ligeiro do valor
das apostas, mas de modo a não afastar os potenciais apostadores, ou então diminuir o valor
do prémio, mas aí talvez diminua mais o interesse dos apostadores, mais do que o provocado
por um ligeiro aumento no valor da aposta. Poderia também fazer-se campanhas publicitárias
de modo a aumentar o interesse no jogo. Se se
aumentar o valor da aposta para 0,75€, o lucro
esperado por aposta será já de cerca de 0,447 €
(0,75 – 0,303), o que daria já 4470 € ao fim de
10000 apostas, ou então bastariam pouco mais
de 4000 apostas (1970 : 0,447 ≈ 4407) para dar
sensivelmente o mesmo lucro que daria com os
0,50€ por aposta ao fim das 10000 apostas.
Relativamente ao concurso da Escola Secundária
Sidónio Pais, bastaria aumentar a aposta para
um valor superior ao valor esperado para o apostador, ou seja, 4 €, por exemplo. No entanto
cada aposta não daria para 1 cêntimo de lucro
(4 ­– 0,3997 = 0,003), o que faria com que demorasse mais do que o possível para atingir os objectivos e, ainda por cima, baixar os valores dos
prémios tornaria o jogo ainda menos apetecível.
Se a aposta fosse superior a 4 euros, considero que começaria a ser improvável a adesão de
apostadores, e mesmo a 4 euros não sei se não
seria igualmente difícil. Mais vale adoptarem o
concurso dos seus colegas da Escola Secundária
Costa Lobo, ou é melhor prepararem-se para um
ano penoso e infrutífero.”
20.A
21.B
22.C
23.A
Soluções
40. C2
Capítulo 2 - Problemas
A
que envolvem cál-
C4
culos mais elaborados no conjunto dos números reais
Capítulo 4 - Exercícios
que pressupõem ra-
ciocínios demonstrativos
28.
28.1
43. –
45. –
44. 46. 28.2
–
–
47.–
29.
29.1
C5
Capítulo 5 - Utilizar
29.2
30.
31. 32. 33.
1,030 377 509 393 765 625
p=4
33.1
33.2
33.3
33.4
34. B
36. A
35. 37. 38. 39. Soluções
B
28
84
1
2013
50. –
51.–
52. A condição dada tem domínio
mas a condição
tem apenas por
domínio  + e não o domínio da equação que
pretendia resolver, pelo que a primeira equivalência não é válida. Daí não ter determinado a
solução negativa.
3 – Testes de tempo limitado
T1
Teste 1 – Probabilidades – Escolha
múl-
tipla
C
1.
A
2.
B
D
3.
A
4.
B
C
a calculadora gráfi-
ca para resolver problemas
105
2.
5.
C
6.
C
2.1
4/15
7.
B
2.2
14/45
8.
D
3.
1/90
4.
T2
Teste 2 – Probabilidades – Escolha
múl-
tipla
1.
B
2.
B
3.
C
4.
B
5.
B
6.
D
7.
D
8.
C
Teste 3 – Probabilidades – Itens
2.
2/5
3.
n=7
4.
120
5.
0,45
4.2
0,24733
4.3
0,55385
5.1
Se tomarmos A: “Henrique vai de
carro para a escola” e B: “Henrique
compra o seu almoço”, a probabilidade de A se realizar é 0,24 e a probabilidade de B se realizar é 0,32.
Temos 0,24 × 0,32 = 0,0768 mas
sabemos que a probabilidade de A
e B se realizarem é 0,0864 um valor
diferente. Logo os acontecimentos
não são independentes.
5.2
O valor esperado é aproximadamente 2,2 euros.
6.1
1/5
6.2
9/25
7.1
Porque existem 7 possibilidades de
saída de uma soma de 9 ou 10 (6 
+ 3, 5 + 4, 4 + 5, 3 + 6, 6 + 4, 5 
+  5, 4 + 6) num total de 36 resultados possíveis no lançamento dos
dois dados.
6.
de res-
posta aberta
5/18
0,7031
5.
T3
1.
4.1
7.
7.2
t
T4
Teste 4 – Probabilidades – Itens
de res-
0
15
50
100
posta aberta
1.
106
360/1287
7.3
Soluções
7.4
E(X)
=
aproximadamente
igual a 22,6 euros.
11. n = 7
12. É mais provável obter pelo menos um 6
lançando quatro vezes um dado..
8.
8.1
0,4452
8.2
O Rafael não tem razão pois os
valores 1,3 e 1,7 são simétricos em
relação à média prevista e sabemos
que 0,95 é a probabilidade, de acordo com a lei normal, de os valores se
encontrarem entre 1,5 – 2 × 0,125
e 1,5 + 2 × 0,125 que são valores
muito próximos dos estudados pelo
Rafael.
8.3
0,02275
8.4
145 ou 146 ovelhas
T5
Teste 5 – Probabilidades
1.
C
2.
D
3.
C
4.
D
5.
C
6.
D
7.
E
8.
C
9.
1,5
10.
10.1 O Frederico.
10.2 A solução do João não está correta
porque ele calculou a probabilidade
de C e D e não de C ou D. A solução da Amélia não afasta a hipótese
de C e D ocorrerem em simultâneo.
Soluções
107
Síntese
Um resumo do essencial
População – conjunto de elementos ou indivíduos (não necessariamente pessoas) com características comuns.
Variável – característica comum a uma população que assume valores diferentes de indivíduo
para indivíduo.
Experiência aleatória – é o processo que permite obter uma observação ou resultado tal que:
antes da observação do fenómeno não se tem conhecimento suficiente para dizer qual dos resultados se vai verificar; é possível fazer um grande número de realizações, independentes, da experiência; admite-se que é possível encontrar números entre 0 e 1, que representam a frequência
relativa com que se verificam os resultados individuais de cada realização da experiência.
Espaço de resultados S – conjunto de resultados possíveis associados a uma experiência
aleatória.
Acontecimento – é um subconjunto do espaço de resultados S.
Acontecimento elementar – é um acontecimento constituído por um único resultado, ou
seja, um subconjunto do espaço de resultados S formado por um único elemento.
Acontecimento certo – é um acontecimento igual ao espaço de resultados S.
Acontecimento impossível – é um acontecimento igual ao conjunto vazio, representado por
∅ ou
{ }.
Acontecimento complementar ou contrário do acontecimento A – é o acontecimento
constituído por todos os resultados de S que não estão em A. Representa-se por Ac ou
.
Acontecimento interseção dos acontecimentos A e B – é o acontecimento que se realiza
se e somente se A e B se realizam simultaneamente. Representa-se por
.
Acontecimento união dos acontecimentos A e B – é o acontecimento que se realiza se e
somente se pelo menos um dos acontecimentos A ou B se realiza. Representa-se por
.
Acontecimento diferença dos acontecimentos A e B – é o acontecimento que se realiza
ou
se o acontecimentos A se realiza mas sem que B se realize. Representa-se por
Definição frequencista de probabilidade de um acontecimento A – é o valor obtido
para a frequência relativa da realização de A, num grande número de repetições da experiência
aleatória.
Definição de Laplace de Probabilidade: Se o espaço de resultados S é constituído por
um número finito n de elementos, todos eles igualmente possíveis, define-se Probabilidade de
um acontecimento A, e representa-se por P(A), a razão entre o número m de resultados favoráveis a A (resultados que compõem A) e o número n de resultados possíveis (resultados que
constituem S).
108
Síntese
Axiomática da Probabilidade
As noções primitivas são: espaço de resultados; acontecimento. Considere-se um espaço
de resultados S, finito, e um conjunto W de acontecimentos (isto é, subconjuntos de S) que
satisfaçam as seguintes condições:
a)Se um acontecimento A está em W, então o seu complementar
b)Se dois acontecimentos A e B estão em W, então a sua união
também está em W.
também está em W.
A cada elemento
associa-se um número que se chama Probabilidade de A e que se
representa por P(A). Os axiomas a que P(A) satisfaz são:
1.º axioma - A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre maior ou igual a zero:
P(A) ≥ 0.
2.º axioma - A probabilidade do acontecimento certo, S, é 1: P(S) = 1.
3.º axioma - Se dois acontecimentos são disjuntos, a probabilidade da sua união é igual à
soma das probabilidades de cada um: se
então
Propriedades das probabilidades
1.
A probabilidade do acontecimento impossível é zero, isto é,
2.
Dado um acontecimento A, a probabilidade do acontecimento
dada por
.
, contrário de A, é
.
3.
Dados dois acontecimentos A e B, se
4.
Qualquer que seja o acontecimento A,
5.
Se os acontecimentos A, B e C são disjuntos dois a dois então
6.
Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B:
7.
Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B,
então
.
.
.
Probabilidade condicional: Dados dois acontecimentos A e B, com P(A) > 0, define-se a
probabilidade condicional de B sabendo que A ocorreu e representa-se por P(B |A), ao quocien-
te
O acontecimento A é independente do acontecimento B, com P(A) > 0 e P(B) > 0, se a
probabilidade de A se verificar é igual à probabilidade condicional de A se realizar dado que B
se realizou, isto é P(A) = P(A|B)
Síntese
109
Uma distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X ou função massa de
probabilidade de X é um número finito de valores distintos x1, x2 ,..., xN da variável aleatória
X e um correspondente número de probabilidades
p1 = P(X = x1 ), p2 = P(X = x 2 ),..., pN = P(X = xN )
tais que se tenha:
a)0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ p ≤ 1,...,0 ≤ p ≤ 1
1
2
N
b)p1 + p2 + ... + pN = 1
Valor médio ou valor esperado da variável aleatória X é a seguinte quantidade:
Modelo Binomial
À variável X que representa o número de sucessos em n observações (provas) independentes
umas das outras, em que em cada observação só se podem obter dois resultados possíveis,
sucesso ou insucesso, chama-se variável aleatória com distribuição Binomial de parâmetros n
e p. O seu valor é
para k = 0,1,2,…, n, onde N(n,k) representa o número de vezes em que temos k sucessos e n – k
insucessos. Tem-se
Modelo Normal
.
As principais características da curva do modelo normal são:
a)É simétrica relativamente ao valor médio µ da variável, assumindo aí o valor máximo;
b)Quanto maior for o desvio padrão σ mais achatada é a curva;
c)A área compreendida entre a curva e o eixo dos XX é igual a 1;
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0,683
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 0,954
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 0,997
Princípio básico da Análise Combinatória para pares ordenados: O número total de
pares ordenados que consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, é dado por m × n.
Arranjos Completos: Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos
admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de arranjos completos (com repetição). Temos:
110
Síntese
Arranjos Simples: Dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem
repetição) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por
ordem decrescente, a partir de n. Temos:
Permutações: Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutações dos n elementos
aos arranjos desses elementos, n a n. Temos:
Combinações: são um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com
n elementos em que a ordem não interessa. Representam-se por
se lê combinações de n elementos tomados p a p. Temos:
ou
ou ainda
que
O triângulo de Pascal – É um triângulo de números naturais em que os números dos lados
do triângulo são sempre iguais a 1 e cada elemento do triângulo (diferente de 1) se obtém somando os dois elementos imediatamente acima dele na linha de cima. Cada um dos números
do triângulo de Pascal pode ser representado por uma combinação em que o valor de cima é
o número da linha e o valor de baixo é a posição na linha (começando a contar as linhas e as
posições no zero).
,
Fórmulas: 0! = 1,
Fórmula do Binómio de Newton:
Propriedades da função exponencial
de base a superior a um
O domínio é  , o contradomínio é  + , a função é contínua, estritamente crescente, e injetiva.
,
,
,
Síntese
,
,
,
,
,
111
Propriedades da função logarítmica
de base a superior a um:
O Domínio da função logarítmica é  + e o Contradomínio é  . A função logarítmica é contínua. Os gráficos da função exponencial e da função logarítmica são simétricos relativamente à
reta y = x, a bissetriz dos quadrantes ímpares.
,
.,
. Se x > 1 então
, desde que w seja positivo.
positivos.
e se 0 < x < 1 então
, desde que z e w sejam
desde que b seja positivo.
O logaritmo do produto de dois números reais (positivos) é igual à soma dos logaritmos dos
fatores:
,
Uma função logarítmica de base superior a um cresce para infinito mais lentamente do que
qualquer potência do seu argumento:
Fórmula de mudança de base:
Quando a base for igual a 10, o logaritmo chama-se logaritmo decimal e designa-se apenas
por log, quando a base for o número de Euler e, designa-se por logaritmo natural e escreve-se simplesmente ln.
112
Síntese
Jaime Carvalho e Silva
Professor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado
em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade
de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e
é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática
(2009-2012).
Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de
Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de
professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática
em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elaboraram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática
dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor
do GAVE desde a sua criação.
NIUaleph 12 – Livro de Exercícios – Volume 1
Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário
tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares
em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.
Joaquim Pinto
Professor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licenciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento
de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de
Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.
Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de
Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Matemática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.
Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.
Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação
Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05
– Didáticas específicas (matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (Informática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos
referidos domínios.
Vladimiro Machado
Professor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licenciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e
Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.
Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de
Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Matemática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo
Programa de Matemática do Ensino Básico.
Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.
Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação
Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05
– Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (Informática / Aplicações da Informática).
Obra em 2 volumes
(Não é permitida a venda em separado)
Edição
dE autor
ISBN 978-989-97839-1-1
ISBN 978-989-97839-1-1
9 789899 783911